Ausgearbeitete Fragen

Zentraler Differenzenquotient:
Taylor Entwicklung:
Umformen:
O(hi) … first order accurate
>
6( 1
61 ? (DEG − (DE − 1]
C
@A B@ ∆1
>
6((1)
61 ? ([E + 1] − ([E − 1]
≈
@A B@ 2∆1
0 IJ = 0 + 0 K ℎ + M(ℎ ) )
0 K = 0 IJ − 0
ℎ
4
+ M(ℎ )
Einheitliche Stützpunkte: (alle h gleich)
0 IJ = 0 + 0 K ℎ + M(ℎ ) )
0 NJ = 0 − 0 K ℎ + M(ℎ ) )
Subtrahieren und Umformen:
0 K = 0 IJ − 0 NJ
+ M(ℎ)
2ℎ
Diese auf dem ersten Blick lineare Abhängigkeit des Abschneidefehlers vom Stützstellenabstand
stimmt aber nicht ganz.
Allgemeine Stützpunkte: (ℎ ≠ ℎ IJ)
0 IJ = 0 + 0 K ℎ + 1
2! 0KKℎ ) + 1
3! 0(R) ℎ R + M(ℎ S )
0 NJ = 0 − 0 K ℎ NJ + 1
2! 0KK ) 1
ℎ NJ −
3! 0(R) R S
ℎ NJ + M(ℎ NJ)
Subtrahieren und Umformen:
0 K = 0 IJ − 0 NJ
+
ℎ + ℎ IJ
ℎ − ℎ NJ
0
2
KK + M T ℎR R
+ ℎ NJ
U
ℎ + ℎ NJ
Der Abschneidefehler (truncation error) ist für ein äquidistantes Gitter (hi = hi-1) von der Ordnung
M(ℎ ) )|0KK (1)|
(second order accurate)
Also:
Gitter Erste Ableitung u‘ Zweite Ableitung u‘‘
Uniform Quadratisch Quadratisch
Quasi-uniform Quadratisch Quadratisch
Non-uniform Linear Linear
How do we discretize the basic differential operators divergence and gradient? What
happens at the boundaries?
Anhang B
A…Vektorfeld
F…Fluss
ΔV…kleinse Volumen
Man nimmt eine rechteckige Box an aus der in x und in y-Richtung ein Fluss fließt.