Netzwerke und Schaltungen I 1 Grundlagen

Netzwerke und
Schaltungen I
Christian Schluchter, schluchc@ee.ethz.ch
25. August 2007
1 Grundlagen
1.1 Einheiten und Grössen
häufigste elektrische Einheiten
Ladung Coulomb C 1C = 1As
Spannung Volt V 1V = 1 J
Widerstand Ohm Ω
s
1Ω = 1 V Leitwert Siemens S
A
1S = 1Ω−1 Kapazität Farad F 1F = 1 C Induktivität Henry H
V
1H = 1 Vs
mag. Fluss Weber Wb
A
1Wb = 1Vs
mag. Flussdichte Tesla T 1T = 1 Wb
m2 Leistung Watt W 1W = 1VA
Arbeit Joule J 1J = 1Nm
Konstanten
Elektronenladung −e = −1.60 · 10−19C el. Feldkonstante ɛ0 = 8.855 · 10−12 As
Vm
1
1.2 Elektrische Ladungen und
Felder
1.2.1 Gesetz von Coulomb
�F = 1 Q1Q2 4πɛ0 r2 �e �e = �r r
1
Proportionalitätskonst. 4πɛ = 8.987 · 109 Nm2
0 C2 1.2.2 Elektrisches Feld
elektrische Feldstärke �E = �F
Q = Q
4πɛr2 �r
r
(Feldstärke im Punkt �r einer Punktladung Q im Ursprung)
Komponentenweise: E1 = Q r1 4πɛ
3 z○
(r 2
1 +r22 +r32 ) 2
[E] = N As = V m
ɛ = ɛ0ɛr ɛr : Dielektrizitätszahl (materialabh.)
Im Draht: E = S·ρ � S = �E ρ S : Stromdichte [S] = A
m 2
1.2.3 Arbeit einer Kraft im
elektrischen Feld
dW = Ft·ds = QE cos α ds Ft:Tangentialkomp. von F
�2
W12 = Q �E d�s = −W21
1
Im konstanten Feld: W = QEd
Konvention: von E abgegebene Arbeit hat positives
Vorzeichen.
1.3 Spannung und Potential
Das Potential ϕ berechnet sich aus der Arbeit die geleistet werden muss
um eine Einheitsladung (q = 1C) vom Bezugspunkt zum gegebenen
Punkt zu bringen: ϕ0A = W �A
0A
q = − �Ed�s
0
UAB = WAB Q =
�B
�Ed�s = (−ϕB) − (−ϕA) = ϕA − ϕB
A
Im Draht: U = E · l Im Plattenkondensator: U = E · d
Spannung = Potentialdifferenz
Merke Ideale Spannungsquellen nie parallel
schalten!
1.3.1 Maschenregel
U1,2 + U2,3 + U3,4 + ... + Un−1,n + Un,1 = 0
Braunsche Röhre
Ekin = 1 2 mv2 = U0Q = EFeld ⇒ v =
x =
l vH v
vV ⇒ x = l � H
2UQ
m
� 2U0 Q
m
1.4 Elektrischer Strom
I = dQ
dt
[I] = C s = A
I = Q · v Q: auf die Länge bezogene,spezifische
Ladungsmenge in einem Draht
I = �
�S · d
A
� A
für Metalle: I = SA A : Querschnitt des Leiters
Die Bewegungsgeschwindigkeit der Elektronen ist sehr klein (0.07 mm
s )
das Elektronengas lässt sich jedoch in extrem kurzer Zeit in Bewegung
versetzen (4 · 10 −16 s).
1.4.1 Knotenregel
I1 + I2 + I3 + ... + In = 0
Konvention: Alle I zum Knotenpunkt positiv.
Merke Ideale Stromquellen nie seriell schalten!
1.5 Elektrischer Widerstand
R = U I = ρ l A ρ : spez. Widerstand
G = 1 R : el. Leitwert κ = 1 ρ : el. Leitfähigkeit
Widerstände seriell: Rtot = R1 + R2 + ...
Widerstände parallel: Rtot = R 1·R 2·...
R 1+R 2+...
temperaturabhängig: Rν = R20 ◦ C(1 + α(ν − 20 ◦ C))
1.5.1 spezifischer Widerstand
ρϑ = ρ20 (1 + α(ϑ − 20)) (ϑ in ◦ C)
[ρ] = Ωm
[α] = K −1 : Temperaturbeiwert (tabelliert)
elektrische Leitfähigkeit κ = 1 ρ
Material ρ20 α
Ag (Silber) 1.6 · 10 −8 3.8 · 10 −3
Cu 1.7 · 10 −8 3.9 · 10 −3
Al 2.7 · 10 −8 3.9 · 10 −3
Au (Gold) 2.2 · 10 −8 4.0 · 10 −3
Fe 9.7 · 10 −8 5.0 · 10 −3
W (Wolfram) 5.3 · 10 −8 4.8 · 10 −3
Quelle: DMK/DPK:Formeln und Tafeln
variable Grössen
R = � ρ(l)
A(l) dl wobei A(l): Querschnittsfläche,
ρ(l) spezifischer Widerstand abhängig von der Länge
Achtung: Die infinitesimalen Widerstände können
parallel liegen → Integration über den Leitwert

1.6 Leistung, Arbeit,
Wirkungsgrad
1.6.1 Leistung
P = UI = U dQ
dt
Konvention: An einem Widerstand verbrauchte Leistung
positiv, von einer Quelle gespeiste Leistung negativ.
Leistung eines Widerstandes
P = UI = U2
R
= RI2
Leistung einer realen Quelle
P0 = −(Pi + Pv)
Pi : Verlustleistung am Innenwiderstand
Pv : Verbraucherleistung
Leitungsoptimierung
U
Pv(Rv) =
2 q
(Ri+Rv) 2 Rv
Die Leistung Pv wird maximal wenn gilt: Ri = Rv
1.6.2 Arbeit
�t
2 �t
2
W = P · dt = UI · dt
t 1
t 1
Umrechnung in kWh : 1kWh = 3.6 · 10 6 J
1.6.3 Wirkungsgrad
2
η = Pnutz
Pges =
Pnutz
Pnutz+P verlust
2 Gleichstromnetzwerke
und ihre Elemente
2.1 Spannungs- und
Stromquellen,
Quellenumwandlung
reale Spannungsquelle
U = Uq − Ui = Uq − RiI I = Uq
R+R Innenwiderstand
i
Ri = Uq
I Ik : Kurzschlussstrom
k
bzw. Ri = U 1−U 2
I 2−I 1 = Uq−U min
Imax
Kurzschluss-/ Leerlaufversuch real:
Spannungsmessung: UVM = RVM R · Uq
i+RVM Strommessung: IAM = Uq ·
1
R i+R AM
nach Uq auflösen, gleichsetzen
nach Ri auflösen
reale Stromquelle
I = Iq − U R i
Quellenumwandlung
Spannunsquelle = Stromquelle
Iq = − Uq
Ri Uq = −Iq · Ri
2.2 Stromteiler
I3 = I1 ·
2.3 Spannungsteiler
Gilt auch im Komplexen!
unbelastet
U1 = U R 1
R 1+R 2
kapazitiver Spannungsteiler:
U1 = U C 2
C 1+C 2
2.3.1 Potentiometer
unbelastet
R1 = R0 X H = R0x
R2 = R0(1 − x)
U1 = Ux U2 = U(1 − x)
belastet
R 1
R 1+R 2
R
U2 = U 2RV R1R2+R1R V+R2RV R2 IV = U R1R2+R1R V+R2RV R ′ = R2RV R2+RV belastet
führe zurück auf belasteten
Spannungsteiler:
R
U1 = U 0xRV R 2
0 x(1−x)+RVR0 2.4 Kondensator
Die Kapazität speichert Energie im elektrischen Feld.
C = Q
U AB mit [C] = 1F = 1 C V
Plattenkondensator: C = ɛ A mit A : Plattenfläche, d : Abstand
d
Merke Spannung über Kondensator kann nicht
springen (Sonst I → ∞).
für t = 0 : uc = 0 für t → ∞ : uc = Uq
uC(t) = 1 C
bzw. duC dt = 1 dQ
C dt
� i(t)dt + u(0) iC(t) = C du C
dt
Energie der Kapazität:
W = 1 2 CU2 = 1 2 QU = 1 Q
2
2
C [W]=J
(U zum gesuchten Zeitpunkt)
Leistung der Kapazität: p = u(t)i(t)
Serieschaltung von Kapazitäten
Q = Q1 = Q2 = ... = Qn
1
C
= 1
C 1 + 1 C 2 + ... + 1
Cn
Parallelschaltung von Kapazitäten
Q = Q1 + Q2 + ... + Qn
C = C1 = C2 = ... = Cn
Gleichungen aufstellen
eine für Ladungserhaltung
eine für Serie- bzw. Parallelschaltung

2.4.1 Ladungserhaltungssatz
Q Anfang = Q Ende
C1U1 = (C1 + C2)U ′
(da I Ende = 0 gibt es keinen Spannungsabfall über R)
U ′ C1
= U1
C1 + C2
2.4.2 RC-Aufladung eines
Kondensators
Aufstellen der DGL:
Uq − uC − RiC = 0 iC = C du C
dt
RCuC ′ + uC = Uq
−→ uC(t) = Ae − t τ + B
A, B aus uC(t = 0), uC(t = ∞)
Entladung
3
�
− uC(t) = Uq 1 − e t �
τ
iC(t) = Uq
R e− t τ
UR(t) = Uqe − t τ
wobei τ = RC
uC(t) = U0e − t τ iC(t) = C du C
dt = −I0e − t τ
Zum Zeitpunkt 5τ hat die Ladung sich bis auf weniger
als 1% dem Endwert angenähert.
Sobald der Kondensator aufgeladen ist, fliesst kein
Strom mehr durch ihn: t → ∞ ⇒ IC = 0
2.5 Induktivität
Die Induktivität speichert Energie im magnetischen
Feld.
uL(t) = L di l (t)
dt
mit [L] = 1H = 1 Vs
A
iL(t) = 1 L
� uL(t)dt + i(0)
Merke Strom durch Spule kann nicht springen!
(sonst U → ∞)
für t = 0 : iL = 0 für t → ∞ : iL =konst
Energie einer Spule: WL = 1 2 LI2
(I zum gesuchten Zeitpunkt)
Leistung einer Spule: p = u(t)i(t) = Li di
dt
Serieschaltung von Induktivitäten
L = L1 + L2 + ... + Ln
Parallelschaltung von Induktivitäten
1 1
L = L +
1 1 L + ... +
2 1
Ln
2.5.1 RL-Schwingkreis
Aufstellen der DGL:
Uq − uL − RiL = 0 uL = L di L
R
L
dt
i′
L + iL = Uq
R
−→ iL(t) = Ae− t τ + B
A, B aus iL(t = 0), iL(t = ∞)
uL(t) = Uqe − t τ iL(t) = Uq
R (1 − e− t τ ) wobei τ = L R
2.5.2 Grenzwertüberlegungen
anhand von U12.1
S in Stellung 0, P wird bei t = 0 + auf 1 geschaltet
t = 0 + t → ∞
id did dt
0A (aufgrund Stetigkeit)
Ud−uZ−RLi d
Ld Ud Rd +RL 0A/s( d
uZ
duZ dt
0 (aufgrund Stetigkeit)
1
C
iC =
d
dt = 0)
Ud − RLid 1 �
C
id −
d
u �
Z
R = 0V/s
d
d 0V/s( dt = 0)
2.6 Netzwerke mit
abschnittsweise linearen
Kennlinien
2.6.1 Diode
ideale Diode
ID ≥ 0 UD = 0
UD ≤ 0 ID = 0
UD : Durchlassspannung
Vorwiderstand einer Diode
AP-Bestimmung
Rv = Uq − UD
ID
Linearisierte Kennlinie der Diode bestimmen
Lastgerade der Quelle bestimmen mit Kurzschlussstrom
und Leerlaufspannung
Siehe T1.4
Shockley-Modell der realen Diode
ID = Is
�
U D
�
UT e − 1
Is : Sperrstrom
UT = kT : Temperaturspannung
qe
qe = 1.6022 · 10−19As: Elementarladung
k = 1.3807 · 10−23 VAs
K : Boltzmann-Konstante
T: absolute Temperatur
� �
in K
UD = UT ln
e I D Is + 1
Graetzschaltung
Verpolungsschutz

2.6.2 Zener-Diode
Beachte umgekehrte Richtung des Diodenpfeils
Ersatzwiderstand:
RZ = U Zmax −U Z 0
I Zmax
= U Z min −U Z0
I Zmin
= U Zmax −U Z min
I Zmax −I Zmin
Ersatzspannung:
UZ0 : Zenerspannung, Durchbruchspannung
UZmax = RZ · IZmax + UZ 0 ⇒ UZ 0 = UZmax − RZ · IZmax
Vorgehen
Annahme: Diode sperrt → Berechnung der Spannungen
und Ströme.
Falls die Spannung über der Diode grösser als die
Durchbruchspannung ist → Diode sperrt doch nicht
→ Maximal mögliche Spannung liegt an der Diode an
→ Neuberechnung der Spannungen und Ströme
Anwendung: konstante Spannungsquelle
Ua = U−U Z0
R V+R Z RZ + UZ0
Ua,max = Umax−U Z0
R V+R Z RZ + UZ0
Ua,min = U min−U Z0
R V+R Z RZ + UZ0
Spannungsschwankung:
Ua,max − Ua,min = Umax−Umin
R
RZ
V+RZ 4
Schwankung der Ausgangsspannung bezogen
auf die Schwankung der Versorgungspannung:
Ua,max−U a,min
Umax−U min ≈ R Z
R V
Bedingungen:
IZ,min ≤ IZ = U min−U Z0−R VIa,max
R V+R Z
≤ IZ,max
2.6.3 Metalloxid-Ableiter
Berechnung analog Zener-Diode
2.6.4 Bipolar-Transistor
Early-Spannung (auch −UA): In diesem Punkt treffen
sich alle Verlängerungen des linearen Bereichs der
Kennlinien.
Im linearen Bereich des des Transistors gilt:
IC = � 1 + U CE
U A
� · BIB ideal : U CE
U A → 0 ⇒ IC 0 = BIB
B ist dabei die Stromverstärkung des Transistors.
Kennliniensteigung:
ideal: GCE = 0
Emitterstrom: IE = IB(1 + B)
Basis-Emitter-Kreis: IB = UBE−UT RB Ersatzschaltbild:
dI C
dU CE = GCE = B I B
U A = I C0
U A
Grundschaltungen eines Transistors
Emitterschaltung
Potential des Emitters als Bezugspotential
Grosse Leistungsverstärkung, verstärkt Spannung
und Strom
Ua = RaB (US+∆US)−UBE RS+RB Falls UCE ≪ Ua, RS ≫ RB, UT ≪ US, dann
Ua + ∆Ua = BRaU S
R S
+ BRa∆U S
R S
wobei der erste Term den Arbeitspunkt festlegt und
der zweite dem verstärkten Signal entspricht.
Kollektorschaltung
Potential des Kollektors als Bezugspotential
Emitterpotential folgt Basispotential (Emitterfolger)
kleine Leistungsverstärkung
UA + ∆UA = R A(1+B)(U S−U T)
R S+R B+R A(1+B) + R A(1+B)∆U S
R S+R B+R A(1+B)
für UBE ≫ UB:
UA ≈ UB
Bsp: U5.3
2.7 Gesteuerte Quellen
Steuerung leistungslos!

2.8 Operationsverstärker
charakteristisch:
Spannungsverstärkung v = Ua
Ue
idealer OpAmp
v → ∞ Da Ua endlich −→ Ue = 0 und Ie = 0 .
realer OpAmp
Ie = 0 Ue � 0 UA = vUe
UA = � v + ∆v
2
�
Uep − � v − ∆v
�
2
Uen
= v(Uep − Uen) + ∆v Uep+Uen
2
Gleichtaktunterdrückung CMRR: g = ∆v
v
2.8.1 OpAmp Schaltungen
Invertierender OpAmp
Summierverstärker
5
UA = − R K
R E UE = vUE
UA = − � RK R
UE1 +
E1 RK R
UE2 + ... +
E2 R �
K
R
UEn
En
Beispiel: Digital/Analog-Wandler.
Mit den Eingangswiderständen kann eine Gewichtung
der Eingangsspannungen vorgenommen werden.
Funktioniert auch vor anderen Verstärkern! z.B.
Integration einer Summe
Spannungsfolger
Differenzverstärker
UA = − RK R
UE1 +
E1 1+ RK RE1 UE2 bzw.
1+ R E2
R 0
UA = V(UE2 − UE1) mit V = R 0
R E2 = R K
R E1
Integrierverstärker
UA = UE = Uep = Uen
IE = Ie = 0
UA = − 1 �t
τ UE1dt + UA(0)
0
τ = RE1CK
oder anstatt C : R und anstatt R : L
dann ist τ = L
RE1 iC = C dU A
dt
Die Integrationskonstante UA(0) ist die Ausgangsspannung
und somit auch die Kondensatorspannung
zum Zeitpunkt t = 0.
Beispiel: Dreiecksgenerator
Differentiator
Ua = −τ dUe
dt
τ = RC
oder anstatt R : L und anstatt C : R
dann ist τ = L R
2.8.2 Lineare Verzerrungen
Wird die Eingangsgrösse
differenziert: hochfrequente Anteile in Ausgang
stärker vertreten als in Eingang
integriert: hochfrequente Anteile in Ausgang
schwächer vertreten als in Eingang
3 Schwingkreise
3.1 allgemeiner Schwingkreis
3.1.1 Aufstellen der DGL
1. Maschengleichungen aufstellen
2. einfachere Gleichung nach Strom auflösen
3. in anderer unerwünschte Spannung bzw
Strom an Spule bzw. Kondensator durch Ableitung
des Stromes bzw der Spannung ersetzen
4. Strom durch Spannung ersetzen
5. auflösen
Bsp siehe ML Schnelltest 2
3.2 Serieschwingkreis
Aufstellen der DGL
Kondensator: C duc di
dt = i → dt = C d2u dt2 Widerstand: uR = Ri
Spule: L di
dt = uL
Maschengleichung: uL + uR + uC = Uq
Substituiere
LC d2uC duC
+ RC
dt2 dt + uC = Uq
d2uC duC
+ 2Dω0
dt2 dt + ω0 2 uC = ω0 2 Uq

Lösen der DGL
hom.: chp(λ) = λ2 + 2Dω0λ + ω0 2 = 0
√
λ1,2 = −Dω0 ± ω0 D2 − 1
3 Fälle (D 2 − 1 >=< 0):
Periodischer Fall: D < 1 −→ λ1,2 ∈ C
Aperiodischer Grenzfall: D = 1 −→ λ1 = λ2 ∈ R
Aperiodischer Fall: D > 1 −→ λ1,2 ∈ R
Periodischer Fall
Ansatz: uC = eat (C1 cos (bt) + C2 sin (bt)) + Uq
√
a = −ω0D, b = ω0 1 − D2 Anfangsbedingungen: uC(t = 0) = u ′ (t = 0) = 0
C
6
Aperiodischer Grenzfall
Ansatz: uC = (C1 + C2t)e λt + Uq
Anfangsbedingungen: uC(t = 0) = u ′ (t = 0) = 0
C
Aperiodischer Fall
Ansatz: uC = C1e λ 1t + C2e λ 2t + Uq
Anfangsbedingungen: uC(t = 0) = u ′ (t = 0) = 0
C
3.3 Parallelschwingkreis
Aufstellen der DGL
Kondensator: C duc di
dt = i → dt = C d2u dt2 Widerstand: uR = Ri
Spule: L di
dt = uL
Knotengleichung: iC + iR + iL = 0
LC d2uC L duC
+
dt2 R dt + uC = 0
weiteres Vorgehen wie bei Seriellschwingkreis
nach unendlich langer Zeit
Strom durch Kondensator iC = 0
Spannung über Spule uL = 0

4 Netzwerkanalyse
4.1 Zweipole und Quellen
4.1.1 Verbraucherzählpfeilsystem
4.1.2 Quellen
Thévenin-Äquivalent: Spannungsquelle
Norton-Äquivalent: Stromquelle
Zählpfeile werden so gezeichnet,
dass P = UI, mit
P, U, I > 0 beim Verbraucher.
I, P negativ, wenn Uq > U
I, P positiv, wenn Uq < U
4.2 Berechnungsverfahren für
lineare Netzwerke
4.2.1 Topologische Kennzeichnung
7
1. Zweige: ideale Spannungsquellen kurzschliessen,
ideale Stromquellen entfernen; jeder
verbliebene passive Zweipol stellt einen Zweig
dar, jede Klemme eines Zweipols stellt einen
Knoten dar.
2. Ein Baum ist ein Teilgraph, der alle Knoten
miteinander verbindet, ohne das eine Ma-
sche entsteht.
Die Zweige des Baumes nennt man Äste. Die
Zweige die den Baum zum vollständigen Graphen
ergänzen Sehnen.
• Kein Widerstand im Zweig mit idealer
Spannungsquelle −→ R in Serie
einfügen und am Schluss R → 0 gehen
lassen.
• Kein Widerstand parallel zum Zweig
mit idealer Stromquelle −→ R parallel
einfügen und am Schluss R → ∞ gehen
lassen.
Wichtig Nach Annahme einer Stromrichtung
für jeden Zweig muss die Spannungsrichtung
der passiven Zweigelemete in dieselbe
Richtung gehen wie die Zweigstromrichtung.
3. Anzahl Maschen = Zweige - Knoten + 1
Anzahl Äste = Knoten - 1
Anzahl Maschen = Zweige - Äste = Sehnen
4. Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix
4.2.2 Superpositionsprinzip
Den Einfluss jeder Quelle einzeln beachten und am
Schluss alle Teilströme/-Spannungen addieren.
Spannungsquellen kurzschliessen, Stromquellen
weglassen, Innenwiderstände bleiben.
Bei einer Gleichspannungsquelle, muss man die
komplexen Impedanzen anpassen:
Induktivität → Kurzschluss
Kondensator → Leerlauf
4.2.3 Ähnlichkeitssatz
In linearen Netzwerken kann man für die gesuchte
Grösse einen runden Wert annehmen und dann
schrittweise auf die Eingangsgrösse zurückrechnen.
Aus dem Verhältnis der ”geschätztenËingangsgrösse
zur tatsächlichen ergibt sich dann der wirkliche Wert
der gesuchten Grösse.
Bsp
U 5 wird gewählt zu U ′ 5 daraus wird die Eingangsgrösse U′ errechnet.
Mit dem Verhältnis U/U ′ errechnet sich die tatsächliche Spannung U 5 zu
U 5 = U
U ′ U ′ 5
4.2.4 Vertauschungssatz
(Reziprozitätssatz)
Der Quellenstrom ist gegeben, und es soll U3 berechnet
werden.
Dazu darf die Quelle mit der zu bestimmenden Spannung
vertauscht werden.
Achtung:Die übrigen Ströme und Spannungen ändern
sich natürlich!
4.2.5 Thévenin-Norton-Theorem für
lineare ohmsche Netzwerke
Thévenin-Norton-Theorem Jedes lineare
Netzwerk, bestehend aus einer beliebigen Kombination
von Widerständen, gesteuerten Quellen
und ungesteuerten Quellen, kann bezüglich
zweier Klemmen (Tor, Anschlusspaar) auf eine
ideale Spannungsquelle in Serie mit dem Ersatzwiderstand
RT des Thévenin-Netzwerkes NT
bzw. auf eine ideale Stromquelle parallel zum
Ersatzwiderstand RT des Norton-Netzwerkes
NN reduziert werden.
Ein lineares Netzwerk bezüglich eines Anschlusspaares
wird vollständig charakterisiert
durch die folgenden Grössen:
Leerlaufspannung UL
Kurzschlussstrom IK
Ersatzwiderstand RT

Bestimmung Ersatzwiderstand
1. unabhängige Stromquellen Leerlauf
2. unabhängige Spannungsquellen kurzschliessen
3. von den Ausgangsklemmen ins Netzwerk
schauen und Widerstände zusammenfassen
Bestimmung Ersatzquelle
1. Superpositionsprinzip
2. Théveninäquivalent (Ersatzspannungsquelle)
= Leerlaufspannung
3. Nortonäquivalent (Ersatzstromquelle)
= Kurzschlussstrom
4.2.6 Maschen- oder
Kreisstromverfahren
8
Maschenverfahren
1. Strom- → Spannungsquellen
2. Baum, Nummerieren der Zweige;
Zweigströme
3. diagonale Zweigimpedanzmatrix Zz
Uz = Zz · Iz ⇔
⎡ ⎤ ⎡
U1 R1 U2 U3 =
⎢⎣
. ⎥⎦ ⎢⎣
.
R2 R3 .
..
⎤ ⎡
·
⎥⎦ ⎢⎣
I1 I2 I3 .
⎤
⎥⎦
4. Maschen einzeichnen;
Maschenrichtung = Sehnenstromrichtung
5. Zweig-Sehnen-Inzidenzmatrix A
(Alle Ströme durch Sehnenströme ausgedrückt)
Iz = A · Im ⇔
⎡
I
⎤ ⎡
1 1 0 0
⎤
I2 1 0 0 ⎡
I3 1 0 0
I =
4 1 1 0 · ⎢⎣
⎢⎣
. ⎥⎦ ⎢⎣
. . .
. . . ⎥⎦
. . . .
I 3
I 5
I 7
6. Quellenspannungsvektor Uqz
⎡ ⎤
−Uq1 0
Uq4 Uqz =
0
(positiv falls mit Stromrichtung)
⎢⎣
. ⎥⎦
.
Uqm = −A T · Uqz
⎤
⎥⎦
7. Maschenimpedanzmatrix Zm
⎡
R1 + R2 + R4 + R8 R4 ⎢⎣
R4 R4 + R5 + R6 R8 −R6 Zm ist symmetrisch.
R8 −R6 R8 + R7 + R6 ⎤
⎥⎦
Zm = A T · Zz · A
A T · Zz · A ·Im = −A
����������������
Zm
T · Uqz
����������������
Uqm
⇔ Im = Zm −1 · Uqm
8. −→ Iz = A · Im
Abgekürztes Maschenverfahren
Uz = Zz · Iz + Uqz
1. Strom- → Spannungsquellen
Baum, Sehnen, Maschen, Stromrichtung
2. Diagonalelemente Zm(i, i):
Summe aller in der Masche i liegenden
Impedanzen
3. Nebendiagonalelemente Zm(i, j):
Summe der von den Maschen i und j gemeinsam
durchlaufenen Impedanzen (po-
sitiv falls von beiden Maschen im gleichen Sinn durch-
laufen)
4. Maschenspannungen Uqm(i):
Summe aller in der Masche i liegenden
Spannungsquellen (positiv falls Span-
nungsquelle gegen Maschenstrom!)
5. Weiter bei 8
4.2.7 Knotenpotentialverfahren
Knotenpotentialverfahren
1. Spannungs- → Stromquellen
Widerstände → Admittanzen
2. Bei idealen Quellen virtuellen Widerstand
einsetzen und gegen ∞ streben lassen.
3. gerichteten Graphen zeichnen
4. Admittanzmatrix Yz
Iz = Yz · Uz ⇔
⎡ ⎤ ⎡
I1 G1 I2 G2 I3 =
⎢⎣
. ⎥⎦ ⎢⎣
.
G 3
. ..
⎤ ⎡
·
⎥⎦ ⎢⎣
U1 U2 U3 .
5. Zweigknoteninzidenzmatrix C = A T
Alle Zweigspannungen durch Knotenpotentiale aus-
drücken.
pro Zweig: -1 bei Endknoten, 1 bei Anfangsknoten
Uz = C · V ⇔
⎡
U
⎤ ⎡
z1 1 0 0
⎤
Uz2 1 −1 0 ⎡
Uz3 0 1 0
U =
z4 0 −1 1 · ⎢⎣
⎢⎣
. ⎥⎦ ⎢⎣
. . .
. . . ⎥⎦
. . . .
V 1
V 2
V 3
⎤
⎥⎦
⎤
⎥⎦

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6. Knotenstromquellenvektor Ikq pro Knoten: positiv für eingehende Quellen,
negativ für ausgehende Quellen
⎡ ⎤
Iq1
Ikq = ⎢⎣
Iq3 − Iq4 ⎥⎦
Iq4
7. Knotenpunktadmittanzmatrix Y
⎡
G12 + G10 −G12 0 0
−G12 G12 + G23 −G23 0
⎢⎣
0 −G23 G23 + G30 −G34 0 0 −G34 G34 ⎤
⎥⎦
Y ist symmetrisch,falls Netzwerk aus passiven
Elementen besteht
Y = C T · Yz · C
Y · V = I kq ⇔ V = Y −1 · I kq
V: Knotenpotentiale
8. −→ Uz = C · V Iz = Yz · Uz
Abgekürztes Knotenpotentialverfahren
1. Dimension der Matrix Y :
(k−1)(k−1) wobei k : Anzahl Knoten inkl.
Bezugsknoten
2. Diagonalelemente Y(i, i):
Summe aller vom Knoten i ausgehenden
Admittanzen
3. Nebendiagonalelemente Y(i, j):
Die Admittanzen die zwei Knoten gemeinsam
haben, werden addiert und
negativ gesetzt, sonst 0.
4. Aufstellen des Knotenstromvektors I:
Die Zeile i entspricht der Summe aller
Stromquellen die den Knoten i berühren.
Positiv: zum Knoten
5. Ausrechnen der Knotenpotentiale: V =
Y −1 · I
6. Die Zweigspannungen entsprechen den
Differenzen der Knotenpotentiale. Für
Zweigströme benutze ohmsches Gesetz.
4.2.8 Tellegen-Theorem
Satz Das Produkt der Zweigströme mit den
Zweigspannungen, aufsummiert über alle Zweige
ist gleich Null.
U T · I = 0
Anwendung zur Überprüfung der Ergebnisse
Wir betrachten zwei Netzwerke N,N’, welche durch den selben Graphen
beschrieben werden, aber völlig unterschiedliche Bauelemente enthal-
ten, und deren zugehörige Systeme von Zweigspannungen U,U’ und
Zweigströme I,I’. Erfüllen U,U’ die Maschengleichungen und I,I’ die
Knotengleichungen für das jeweilige Netzwerk, dann gilt:
U T I ′ = U ′T I = 0