Beispiel einer 3. Schulaufgabe - FOS-Friedberg

3. Schulaufgabe aus der Mathematik
Arbeitszeit: 90 Minuten
Analysis
1 3 2 2
1.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f : x ( x 2ax
a x)
, D IR ,
a a
f
a
mit a IR. a 0 .
Die zugehörigen Graphen werden mit
G bezeichnet.
f
a
1.1 Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Lage aller Nullstellen der Funktion fa . ( 3 BE )
1.2 Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a das maximale Intervall, in dem der Graph
G streng monoton fällt. ( 6 BE )
f
a
1.3 Untersuchen Sie, ob es Werte für a gibt, für die die zugehörigen Graphen G Wende-
f
a
punkte besitzen, die auf den Koordinatenachsen liegen. Begründen Sie Ihre Ergebnisse
genau. ( 6 BE )
1.4 Bestimmen Sie den Wert für a, für den die Tangente an
G im Schnittpunkt mit der
f
a
y –Achse die Gleichung y 6x
hat. ( 2 BE )
Für alle folgenden Aufgaben gilt a = 6.
1 3 2
Der zugehörige Funktionsterm lautet dann f ( x)
( x 12x
36x)
.
6 6
1.5 Berechnen Sie die Koordinaten und die Art der relativen Extrempunkte sowie die Koordinaten
des Wendepunktes des Graphen G . ( 5 BE )
1.6 Zeichnen Sie den Graphen G für 0 x 7 anhand der bisherigen Ergebnisse und
f
6
unter Berücksichtigung der Steigung der Wendetangente. ( 4 BE )
1.7 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung p(x) der Parabel, die durch die Nullstellen von
G verläuft sowie im Koordinatenursprung mit G eine gemeinsame Tangente besitzt.
f
6
f
6
f
6
( 4 BE )
Fortsetzung siehe Rückseite !

Wahrscheinlichkeitsrechnung
In einer Großstadt wird zu Zeiten des Berufsverkehrs die Pünktlichkeit von Omnibussen untersucht.
Aus umfangreichen Beobachtungen zeigt sich dabei, dass an einer bestimmten Haltestelle
70% aller Busse unabhängig voneinander pünktlich eintreffen.
1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 25 beobachteten Bussen
1.1 höchstens zwei pünktlich sind.
1.2 mindestens 15 pünktlich sind.
1.3 höchstens 5 unpünktlich sind.
1.4 nur die ersten 3 unpünktlich sind.
Geben Sie Ihre Ergebnisse auf fünf Nachkommastellen gerundet an. ( 7 BE )
2. Während des Berufsverkehrs sind insgesamt 45 Busse des Fabrikats A und 15 Busse des
Fabrikats B im Einsatz. Andere Fabrikate kommen nicht vor. Die Wahrscheinlichkeit,
dass ein zufällig beobachteter Bus das Fabrikat A hat und nicht pünktlich ist, beträgt
0,13.
Es werden folgende Ereignisse definiert:
A: „ Ein zufällig beobachteter Bus weist das Fabrikat A auf.“
V: „ Ein zufällig beobachteter Bus hat Verspätung.“
2.1 Untersuchen Sie die Ereignisse A und V auf stochastische Unabhängigkeit. ( 5 BE )
2.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig beobachteter Bus das Fabrikat B
aufweist und zugleich pünktlich ist. ( 3 BE )
3. Als Zufallsgrösse X wird die auf ganze Minuten gerundete Verspätung eines zufällig
ausgewählten Busses definiert. Dabei ergab sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
x 0 1 2 3
W(x) 0,70 0,15 0,10 0,05
3.1 Zeichnen Sie für die Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Histogramm. ( 2 BE )
3.2 Berechnen Sie den prozentualen Anteil der Busse, die höchstens um zwei Minuten zu
spät eintreffen. ( 1 BE )
3.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keiner von zehn Bussen mehr als zwei Minuten
Verspätung hat. (2 BE )