Analysis I - Fachbereich Mathematik - Technische Universität ...

Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Linus Kramer
Martin Fuchssteiner
Lisa Steiner
(G 1) zum Aufwärmen
Analysis I
11. Übung
Gruppenübungen
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
WS 2004/2005 17.01.2005
Sebastian fährt mit dem Fahrrad zur Uni. Er fährt 2 Minuten lang mit 20 km , schiebt dann
h
sein Fahrrad 1 Minute lang über den Marktplatz (4 km ), fährt dann noch einmal 1 Minute
h
lang mit 20 km , wartet dann 2 Minuten an einer Kreuzung und fährt schließlich 3 Minuten
h
lang mit 12 km h
den Berg hoch.
(a) Stelle Sebastians Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit graphisch dar.
(b) Wie weit ist Sebastians Weg zur Uni?
(c) Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit kommt er zur Uni?
(G 2) Integration von Polynomen
(a) Berechne für 0 < a < b das Integral
b
x k dx,
indem Du sie durch Stufenfunktionen approximierst.
Hinweis: Benutze als Partition a = a0 < a1 < . . . < an = b mit aj = a · ( n
b
bilde dann die ,,Obersumme”.
(b) Berechne das Integral
(G 3) Aussagen über Funktionenräume
a
b n
bkx k
dx.
Sei (a, b) ein abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] → R.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Begründe oder widerlege.
(i) Jede beschränkte Funktion f ist stetig.
(ii) Jede stetige Funktion f ist beschränkt.
(iii) Jede Regelfunktion ist stetig.
a
k=1
(iv) Jede beschränkte Funktion ist eine Regelfunktion.
a )j und

(G 4) Regelfunktionen I
Wir definieren f : [0, 1] → R durch f(x) = 2 −n , wenn 2 −(n+1) < x ≤ 2 −n für ein n ∈ ⋉ gilt,
und f(0) = 0.
Skizziere den Graphen von f. Zeige, dass f eine Regelfunktion ist und berechne 1
0 f(x)dx.
(H 1) Regelfunktionen II
Seien a, b ∈ R mit a < b.
Hausübungen
(a) Seie ε > 0 uns seien f, g : [a, b] → R Stufenfunktionen, für die f(x) ≤ g(x) + ε für
jedes x ∈ [a, b] gilt. Zeige
b b
f(x)da ≤ g(x)dx + ε(b − a).
a
a
(b) Seien f, g : [a, b] → R Regelfunktionen, für die f(x) ≤ g(x) für jedes x ∈ [a, b] gilt.
Zeige
b b
f(x)da ≤ g(x)dx.
(H 2) Integral punktsymmetrischer Funktionen
a
(a) Sei f eine punktsymmetrische Funktion, d.h., es gilt f(x) = −f(−x). Zeige, dass
f(x)dx = 0 gilt.
a
−a
(b) Für die Funktion f gilt b
f(x) = 0. Zeige, dass hieraus nicht f(x) = 0 für alle x ∈ [a, b]
a
folgt.
(c) Ist die Menge V = {f : b
f(x) = 0} ein Vektorraum?
a
a