Lernübersicht Analysis I

Die folgende rationale Funktion hat die Nennernullstellen (Pole) -1 und 3.
5(z − 1)
(z − 3)(z + 1)
Nun setzen wir sie mit der Partialbruchzerlegung, die wir erhalten wollen, gleich. Dazu
brauchen wir soviele Terme, wie der Nenner Nullstellen hat und setzen in deren Nenner
wiederum Linearfaktoren für die entsprechenden Nullstellen ein. A und B bleiben unbestimmt.
5(z − 1) A B
= +
(z − 3)(z + 1) z − 3 z + 1
Um A und B zu bestimmen, bringt man die rechte Seite auf einen Hauptnenner.
Nun klammern wir günstig aus:
Man sieht:
5(z − 1) A(z + 1) + B(z − 3)
=
(z − 3)(z + 1) (z − 3)(z + 1)
5z − 5 z(A + B) + (A − 3B)
=
(z − 3)(z + 1) (z − 3)(z + 1)
5 = A + B und − 5 = A − 3B
Damit haben wir (über ein einfaches lineares Gleichungssystem):
A = B = 5
2
Und damit haben wir auch unsere Partialbruchzerlegung gefunden! Hurra!:
5(z − 1)
(z − 3)(z + 1) =
5
2
z − 3 +
5
2
z + 1
So eine Partialbruchzerlegung ist also nichts Anderes als die Zerlegung in Hauptteile!
Diese Partialbruchzerlegung gibt es immer, wir müssen sie nur finden.
4.6 Stetigkeit von Funktionen
Anschaulich betrachtet ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph innerhalb des Definitionsbereiches
” keine Sprünge“ aufweist.
30