Gruppe 6 - Einseitige Hypothesentests - Mathe kann jeder

HRO, Mathematik – LK
Abiturvorbereitung
Gruppe 6 von René und Marvin
Hypothese (griech. Hypothesis) = Annahme, Vermutung
Datum:
Das Ziel des Hypothesentests besteht darin, aufgrund einer Stichprobe zu prüfen, ob eine
vermutete Wahrscheinlichkeit, die Hypothese, als wahr angenommen werden kann oder ob sie
verworfen werden muss.
Beim Testen von Hypothesen unterscheidet man rechtsseitige und linksseitige Tests. Der
rechtsseitige Hypothesentest unterscheidet sich vom linksseitigen Hypothesentest vor allem im
Ablehungsbereich K. Dieser verläuft bei dem linksseitigen Test von 0 bis g und beim
rechtsseitigen von g bis n (n=max. Wert).
Abbildung 1: linksseitiger Hypothesentest Abbildung 2: rechtsseitiger Hypothesentest
Formale Vorgehensweise:
1. Formulieren Sie die Zufallsvariable T (ZV T)
2. Legen Sie die Nullhypothese H0 und die Gegenhypothese H1 fest
3. Unterscheiden Sie: rechtsseitigen ( H1: p < p0 ) oder linksseitigen (H1: p > p0) Test
4. Festlegung des Erwartungswert µ = E(x) = n*p (man schreibt: T ist Bn;p – verteilt)
5. Ermitteln Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit α
6. Ablesen der Wahrscheinlichkeit P
7. Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich K
8. Auswertung des Hypothesentests
Gruppe 6: Hypothesentests (Buch S.381-390) Seite 1 von 2

Auslesen der Wahrscheinlichkeiten:
Zum Auslesen der Werte wird die Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten benötigt.
1. Tabelle mit n=x raussuchen. In der p-Zeile wird nach der gewünschten Wahrscheinlichkeit
gesucht.
2. Linksseitger Test: Gesucht ist die größte ganze Zahl g mit P (T < g) < α
→ Die gesuchte Zahl muss die größte ganze Zahl sein , welche eine kumulierte
Wahrscheinlichkeit hat, die geringer als α ist.
3. Rechtsseitger Test: Gesucht ist die kleinste ganze Zahl g mit P(T > g) = 1-P(T < g - 1) < α
→ Die gesuchte Zahl muss die kleinste ganze Zahl sein, wessen Wert, der sich aus 1 – P ergibt,
kleiner als α ist. ((1- P) < α)
4. Sind die Bedingungen erfüllt, kann man die Zahl an der Seite der Tabelle ablesen.
5. Liegt das Ergebnis der Stichprobe innerhalb des Annahmebereichs, wird H0 angenommen,
anderenfalls abgelehnt
zu beachten: die kumulierte Wahrscheinlichkeits-Tabelle zeigt nur Werte für einen linksseitigen
Test (≤) an. Bei einem rechtsseitigen Test rechnet man daher 1-P.
Mögliche Fehler beim Testen:
Entscheidung:
H0 wird abgelehnt
Zustand der Wirklichkeit
H0 ist wahr H0 ist falsch
abgelehnt Fehler 1. Art Richtige Entscheidung
nicht abgelehnt Richtige Entscheidung Fehler 2. Art
Fehler 1. Art (α-Fehler): Ablehnung H0 zugunsten von H1, wenn die Trefferzahl für T im
Ablehnungsbereich K liegt.
Fehler 2. Art (β-Fehler): H0 wird beibehalten, wenn die Trefferzahl T außerhalb des
Ablehnungsbereich K liegt. Ist H0 aber tatsächlich falsch und H1 wahr, so
begeht man den Fehler 2. Art.
Gruppe 6: Hypothesentests (Buch S.381-390) Seite 2 von 2

HRO, Mathematik – LK
Abiturvorbereitung
Gruppe 6 - Beispiel Rechtsseitger Test
Datum:
Aufgabe:
Von einem Virus-Test ist bekannt, dass er mit der Wahrscheinlichkeit von 90% einen Nicht-
Infizierten als solchen erkennt (Nullhypothese) – man nennt diese Wahrscheinlichkeit Spezifität.
Ein neuer Test versprich eine höhere Spezifität. Er wird an 100 nicht-Infiziertengetestet. Wie viele
Nicht-Infizierte muss der Test mindenstens richtig erkennen, damit bei einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% eine höhere Spezifität gesichtert ist?
Lösung:
1. ZV T: erkennt Nicht-Infizierten
2. H0: p=0,9
H1: p>0,9
3. → rechtsseitger Test
4. µ = E(x) = n*p = 100*0,9 =90 daraus folgt T ist B100; 0,9 -verteilt
5. Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 5%
6. P (T≥ 94) = 1 - P(T≤ 95)
= 0,9763
7. Ablehnungsbereich K = { 95;....;100 }
8. Der Test muss mindenstens 95 Nicht-Infizierte erkennen damit er eine höhere Spezifität
erreicht wird.

HRO, Mathematik – LK
Abiturvorbereitung
Gruppe 6 - Beispiel Linksseitiger Test
Datum:
Aufgabe:
In einer Drogerie hatte die Hautcreme A einer Firma bisher einen Marktanteil von 28%. Nach
einem mäßigen Testergebnis der Creme in einer Testzeitschrift stellt die Geschäftsleiterin fest,
dass in der Woche nach Erscheinen der Zeitschrift von 214 Käufern von Hautcreme nur 50 die
Creme A kauften. Kann man bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10 % davon ausgehen, dass
der Marktanteil von A gesunken ist?
Lösung:
1. ZV T: Hautcreme A wurde gekauft
2. H0: p=0,28
H1: p>0,28
3. → linksseitiger Test
4. µ = E(x) = n*p = 215*0,28 =60 daraus folgt T ist B215; 0,28 -verteilt
5. Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 10 %
6. P (T ≤ 51) = 0,9163
7. Ablehnungsbereich K = { 0;....;51 }
8. Man kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10 % davon ausgehen, dass der
Marktanteil der Creme A gesunken ist.