Gruppe 4: Anwendungen der Exponentialfunktion bei ...

Exponentialfunktion
HRO, Mathematik-LK
Abiturvorbereitung
Gruppe 4: Anwendungen der Exponentialfunktion bei
Wachstumsprozessen, Absatzentwicklung und Marktpreistheorien
Die Exponentialfunktion ist dadurch gekennzeichnet, dass die unabhängige Variable im Exponenten steht. Dabei hat
eine Exponentialfunktion die Form f(x) = a x ; wobei a > 0 und a ≠ 1 ist
Als die Exponentialfunktion im eigenen Sinne wird die Exponentialfunktion f(x) = e x ; mit der eulerschen Zahl e =
2,718281 … als Basis bezeichnet
Exponentialfunktionen spielen in der Mathematik eine große Rolle. Ohne sie ließe sich kaum ein dynamisches System
verstehen, sei es physikalischer, chemischer, biologischer oder ökonomischer Natur. Bei diesem Lernblatt gehen wir
dabei genauer auf die Anwendbarkeit der Exponentialfunktionen bei Wachstumsprozessen, Absatzentwicklung und
Marktpreistheorien ein.
Anwendung der Exponentialfunktion bei Wachstumsprozessen
Beim exponentiellen Wachstum braucht man zunächst einen Anfangsbestand und einen Faktor um den sich der
Anfangsbestand vermehrt. Dabei verändert sich der Anfangsbestand nach jeder Rechnung.Wichtig ist, dass sich im
Gegensatz zum linearen Wachstum der Zuwachs bei jeder Rechnung ändert, da er proportional zum vorhandenen
Bestand erfolgt.
Beispiel: Ein Organismus wird von 500 Viren befallen, die sich (für eine Zeit lang) exponentiell vermehren. Während
jeder Stunde wächst ihre Anzahl um 20%. Wie groß ist die Zahl der Viren zu einer beliebigen Zeit nach der Infektion?
Lösung: In diesem Beispiel haben wir einen Anfangsbestand von 500 Viren, die sich jede Stunde um 20 % vermehren.
Also ist die Gleichung f(t) =500 • 1.2 t ; setzt man nun für t eine Zahl ein bekommt
man den Bestand nach t-Stunden.z.B. nach einer Stunde f(1)= 600 ; f(2)= 720 ; f(3)= 864 usw.
Anwendung der Exponentialfunktion bei der Absatzentwicklung und bei Marktpreistheorien
Am Markt bildet sich der Preis über Angebot und Nachfrage. Im Regelfall steigt das Mengenangebot mit steigendem
Preis und umgekehrt. Die Marktteilnehmer (Unternehmen und Haushalte) werden sich an dem Punkt treffen, wo beide
bereit sind, ein Produkt anzubieten bzw. zu kaufen. Durch Anpassungsprozesse wird der Gleichgewichtspreis
angesteuert, bei dem sich Angebots- und Nachfragemenge decken.

HRO, Mathematik-LK
Abiturvorbereitung
Gruppe 4: Anwendungen der Exponentialfunktion bei
Wachstumsprozessen, Absatzentwicklung und Marktpreistheorien
Beispiel: Ein Reisebüro hat pro Wochenende 400 Plätze in Sonderzügen reserviert, dabei liegen die Kosten pro
Wochenende bei 2500 €. Nun stellt sich die Frage, bei welchem Preis der höchste Gewinn erzielt werden kann.
Die Bilanz der ersten drei Wochen :
Wochenende Preis einer Fahrkarte Teilnehmer Gewinn
1 20,00 € 125 0,00 €
2 30,00 € 50 -1.000,00 €
3 60,00 € 6 -2.140,00 €
Nun versucht man, aus diesen Werten ein Diagramm zu erstellen, welches den höchst möglichen Gewinn anzeigt. Der
erste Versuch ist der Parabelansatz. Dieser lautet x(p)= a • p 2 + b • p + c
Nach Einsetzen der Werte aus der Tabelle erhält man die folgende Werte
a ≈ 0,1508 b ≈ -15,0417 c ≈ 365,5
Beim Zeichnen des Graphen fällt jedoch auf, dass ein Bereich unterhalb der x-Achse liegt, was bedeuten würde, dass es
eine negative Teilnehmerzahl gibt. Hinzukommt, dass bei höheren Preisen die Teilnehmerzahl wieder zunehmen würde.
Daher ist dieses Modell wohl nicht geeignet, um den höchsten Gewinn zu ermitteln.
Ein weiterer Ansatz wäre die Exponentialfunktion der Form x(p)= a • e b•p
Dadurch ergibt sich die Gleichung D(a,b)= (125- a • e b•20 ) 2 + (50-a • e b•30 ) 2 +(6-a• e b•60 ) 2
Nun leitet man die Funktion D(a,b) ab und setzt die Ableitung gleich Null um festzustellen, ob ein Minimum vorliegt.
In diesem Fall ist a ≈ 756 und b ≈ - 0,09007.
Also ist die Preis-Absatzfunktion x(p)= 756 • e -0,09007•p
Damit haben wir nun einen Zusammenhang zwischen Preis, Teilnehmerzahl und Gewinn gefunden.Die Gewinnfunktion
ergibt sich dann indem man die Preis-Absatzfunktion x(p) mit dem aktuellen Preis p multipliziert und die Kosten K
(hier sind es nur Fixkosten) abzieht.
Gewinnfunktion: G(p)= 756 • e -0,09007•p • P – 2500
Um nun den Preis zu finden bei dem der Gewinn maximal wird, leitet man die Gewinnfunktion nach p ab und setzt die
Ableitung gleich Null und überprüft ob ein Minimum vorliegt. Dabei ist der optimale Preis 11,10€ und der maximale
Gewinn beträgt ungefähr 588€.
Kettenregel:
f '(x) = u'(v(x)) • v'(x)
Produktregel: f '(x) = u'(x) • v(x) + u(x) • v'(x)