Unterlagen-Mathe 11

Mathematik
Klasse 11c
Schuljahr 2010/11
Michael Thielke
4. März 2012
1

Inhaltsverzeichnis
I Analysis - Differentialrechnung 4
1 Funktionen und ihre Eigenschaften 4
1.1 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Verhalten im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Definitionsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.5 Umkehrbarkeit und Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Änderungsraten und Ableitungsbegriff 11
2.1 Mittlere Änderungsraten einer Messgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Lokale Änderungsrate als Tangentensteigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Ableitungsregeln 14
3.1 Einfache Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Die Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Existenz der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Funktionsuntersuchungen 20
4.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Nullstellenbestimmung mit der Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Vollständige Funktionsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Funktionsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Optimierungsprobleme 27
II Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen im IR 3 30
6 Vektoren im Raum 30
6.1 Positionsbestimmung durch Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Lineare Abhängigkeit 35
8 Geraden im IR 3 37
9 Ebenen im IR 3 40
2

10 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen 43
10.1 Analyse der Lagebeziehung über Kollinearitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 43
10.2 Analyse eines Schnittpunktansatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
10.3 Lage von Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.4 Lage zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III Stochastik - Wahrscheinlichkeitstheorie 50
11 Zufallsexeperimente und Wahrscheinlichkeitsdefinition 50
11.1 Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.2 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.3 Laplace-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12 Kombinatorik und Urnenemodelle - Simulationen 54
13 Baumdiagramme 57
14 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 58
IV Grundlagen aus der Mittelstufe 60
15 Gleichungen 60
15.1 Lineare Gleichungen und Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
15.2 Quadratische Gleichungen und verwandte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
15.3 Exponential- und Lograithmusgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
15.4 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
16 Lineare Gleichungssysteme 60
16.1 Verhältnisgleichungen - Einsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
16.2 Das Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
16.3 Lösung durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
16.4 Der Gauß - Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
16.5 Das Determinantenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
16.6 Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
16.7 Lösungsmanigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
V Anhang 68
17 Objekte der Mathematik 68
3

Teil I
Analysis - Differentialrechnung
1 Funktionen und ihre Eigenschaften
Wir betrachten zunächst einige Diagramme 1 . Sie zeigen verschiedene Zusammenhänge zwischen
Messgrößen. Solche Zusammenhänge beschreiben, wie sich die eine Messgröße verändern kann und
wie sich dann in der Folge die andere Messgröße mitverändert. Gleichzeitig lässt sich die Abhängigkeit
von weiteren Parametern darstellen.
In unseren Beispielen finden wir lineare (1,6), quadratische (2) und exponentielle (3,4,5) Zusammenhänge.
Wir erkennen Anwendungsbereiche aus der Physik (1), dem Alltag (2,5), der Wirtschaft
(4,6) und der Medizin (3). Dargestellt sind zeitliche Entwicklungen als Abnahme- (4,6) und Zunahmeprozesse
(3,5).
Mathematisch betrachtet handelt es sich um Funktionen. In der Mathematik reduzieren wir diese
Funktionen auf das Wesentliche und blenden zunächst die beteilgten Messgrößen aus. Dadurch wird
die Darstellung einerseits abstrakter, also schwieriger verständlich, andererseits gewinnen wir eine
Allgemeinheit, die es uns ermöglicht, die gewonnenen Ergebnisse anschließend auf viele konkrete
Messgrößen und Zusammenhänge zu übertragen.
Diese Reduzierung und die damit verbundene Abstraktion sind wesentliche Kennzeichen der Mathematik.
Daraus ergibt sich die allgemeine Gültigkeit der gewonnenen Erkenntnisse.
Häufig interessiert uns die Veränderung einer Größe - genauer gesagt das Tempo der Veränderung.
Es geht also um die Fragen ”
Wie ändert sich eine Messgröße?“ und ”
Wie stark ändert sich eine
abhängige Messgröße, wenn sich die andere etwas verändert?“. Diese Fragen führen zu dem Begriff
der Änderunsgrate, der eine zentrale Rolle in der Differentialrechnung spielt und direkt mit dem
Begriff der Ableitungsfunktion zusammen hängt.
Bevor wir uns jedoch mit Änderungsraten von Funktionen beschäftigen können, müssen wir zunächst
Funktionen verstanden haben. Wir müssen klären, was wir unter einer Funktion verstehen und welche
Eigenschaften solche Funktionen besitzen können.
1.1 Der Funktionsbegriff
Die Ergebnisse dieser Betrachtungen führen uns zur Definition von Funktionen.
Definition 1.1 Ordnen wir jedem Element x einer Menge ID (Definitionsmenge) genau ein Element
y = f(x) einer Menge IW (Wertemenge) zu, so erhalten wir eine Funktion:
f :
{
x ↦−→ y = f(x)
ID ↦−→ IW
Hier werden also die Vollständigkeit, d.h. die volle Ausschöpfung der Definitionsmenge, und die
Eindeutigkeit - bezogen auf die einmalige Verwendung jedes Elementes der Definitionsmenge - betont.
Zur Definition einer Funktion gehören immer auch die Angabe des Definitionsbereiches und
des Wertebereiches.
1 11 AB Diagramme
4

Ferner ergeben sich verschiedene Darstellungsmöglichkeiten für eine Funktion.
• Mengenbild
• Wertetabelle
• Funktionsgraph
• Funktionsgleichung
Zum besseren Verständnis bearbeiten wir einige Aufgaben 2 . Aufgabe 1 zeigt zunächst verschiedene
Beschreibungsmöglichkeiten einer Funktion mit Hilfe einer Tabelle, als Funktionsgraph oder durch
eine Funktionsgleichung. Gleichzeitg wird deutlich, dass man am Funktionsgraphen den Typ einer
Funktion, nicht aber die genauen Parameter ablesen kann. Hier handelt es sich um eine gebrochene
Potenzfunktion 2. Grades:
f(x) = k · 1
x 2 bzw. f(x) = k x 2 .
Aufgabe 2 verdeutlicht die Interpretation einer Funktion als Zuordnung zwischen zwei Messgrößen
sowie die Bedeutung der Definitionsmenge. In diesem Fall wird der Defintionsbereich aus zwei
Gründen eingeschränkt:
• Mathematisch betrachtet darf der Nenner nicht null werden, d.h. r ≠ 0.
• Von der Sache her können sich nicht zwei Körper am gleichen Ort befinden, daher auch hier
r ≠ 0.
So passen oft sachliche und mathematische Gründe zusammen. Nur dann macht eine Beschreibung
der Realität mit Hilfe von Mathematik einen Sinn.
Aufgabe 3 führt uns zum Begriff der Umkehrfunktion. Gemeint ist damit eine umkehrende Zuodnung,
in diesem Fall eine Funktion mit deren Hilfe wir aus der gemessenen Kraft den Abstand
berechnen berechnen können. Allerdings ist nicht jede Funktion umkehrbar.
Die letzte Aufgabe 4 gibt einen ersten Eindruck von weiteren Eigenschaften, die Funktionen in verschiedenen
Varianten besitzen können oder auch nicht, z.B. Symmetrie oder Monotonie.
Zum Abschluss dieser Einführung wollen wir uns einen Überblick über die bereits bekannten Funktionstypen
verschaffen und dabei gleichzeitig eine Software kennen lernen, mit deren Hilfe wir Funktionen
darstellen und ihre Eigenschaften untersuchen werden: Das Compteralgebrasystem (kurz:
CAS) DERIVE.
Aufgabe 1.1 Starten Sie das Computeralgebrasystem DERIVE, und definieren Sie verschiedene
Funktionen von verschiedenen Typen. Öffnen Sie ein zweidimensionales Grafikfenster und zeichnen
Sie die Funktionsgraphen. Betten Sie jede Graphik hinter der entsprechenden Funktionsgleichung
ein. Ergänzen Sie zu jeder Funktion eine Textbox, in der Sie den Funktionstyp benennen und eine
kurze Beschreibung der typischen Eigenarten ergänzen.
Als Ergebnis dieser Arbeit müssten folgende Funktionen auftauchen 3 :
• Lineare Funktionen;
• Quadratische Funktionen und Wurzelfunktionen;
2 12 AB Funktionen
3 13 Funktiosntypen.dfw
5

• Potenzfunktionen (mit positiven und negativen ganzzahligen Exponenten);
• Exponential- und Logarithmusfunktionen;
• Trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan).
Wir ergänzen diese Liste durch zwei weitere Funktionstypen, die wir als Beispiele für unsere Untersuchungen
benötigen werden:
• ganzrationale Funktionen;
• gebrochrationale Funktionen.
Definition 1.2 Eine ganzrationale Funktion erhalten wir, wenn wir Vielfache von Potenzen mit
natürlichen Exponenten der Funktionsvariablen x addieren:
Beispiel 1.1 Ganzrationale Funktion:
f(x) = a n · x n + a n−1 · x n−1 + ... + a 1 · x + a 0 .
f(x) = 3x 4 + 2x 3 − 5x 2 + 12
Definition 1.3 Eine gebrochenrationale Funktion erhalten wir, wenn wir den Quotienten aus zwei
ganzrationalen Funktionen bilden:
Beispiel 1.2 Gebrochenrationale Funktion:
q(x) = z(x)
n(x) = an·xn +...+a 1·x+a 0
b n·x n +...+b 1·x+b 0
.
q(x) =
x−1
x 2 +x−6
Aufgabe 1.2 Ergänzen Sie in Ihrer DERIVE - Datei auch Funktionsgraphen zu diesen Funktionstypen.
1.2 Lineare Funktionen
Den einfachsten Funktionstyp bilden die linearen Funktionen 4 .
Definition 1.4 Wird eine Funktion beschrieben durch eine Funktionsgleichung der Form
so erhalten wir eine Lineare Funktion.
f(x) = m · x + n, x ∈ IR,
Für jede Wahl von Werten für die Parameter m und n erhalten wir eine andere lineare Funktion.
Der Funktionsgraph ist immer eine Gerade mit der Gleichung y = m · x + n. Die Steigung m beschreibt,
wie steil diese Gerade im Koordinatensystem verläuft, der y - Achsenabschnitt n legt den
Schnittpunkt (0 | n) mit der y - Achse fest.
Die Funktionsschreibweise, wie in der Definiton, betont den Zuordnungscharakter und wird in der
Analysis und bei Funktionsuntersuchungen verwendet. Die Gleichung y = m · x + n ist eine algebraische
Beschreibung einer Punktmenge - in diesem Fall des Funktionsgraphen - und gehört in die
analytische Geometrie. Sie betont die Interpretation des Funktionswertes als y - Koordinate eines
Punktes im Koordinatensystem.
Die Steigung m der Geraden hängt zusammen mit dem Steigungswinkel σ, der zwischen der positiven
x - Achse und der Geraden gemessen wird. Eine Betrachtung des Steigungsdreiecks liefert den
Zusammenhang
4 14 AB Lineare Funktionen
6

tan (σ) = m.
Damit erhalten wir die Möglichkeit, zu vorgegebenen Winkeln die passende Gerade sowie die dazugehörige
Funktion zu bestimmen und umgekehrt den Schnittwinkel von Geraden mit den Koordinatenachsen,
aber auch wischen zwei Geraden zu berechnen 5 .
1.3 Quadratische Funktionen
Einen zweiten Funktionstyp betrachten wir mit den quadratischen Funktionen 6 .
Definition 1.5 Wird eine Funktion beschrieben durch eine Funktionsgleichung der Form
so erhalten wir eine quadratische Funktion.
f (x) = a · x 2 + b · x + c,
Der Funktionsgraph ist eine Parabel, deren Öffnung durch den Parameter a beschrieben wird. die
Parameter b und c ergeben sich aus der Lage des Scheitelpunktes im Koordinatensystem. Dies wird
deutlich durch folgende Umformung der Parabelgleichung:
y = ax 2 + bx + c (1)
(
y = a x 2 + b a x + c )
a
(
y = a x 2 + b ( ) b 2 ( b 2
a x + − +
2a 2a) c )
a
(
y = a x 2 + b ( ) )
b
2
a x + − b2
2a 4a + c
(
y = a x + b ) 2
− b2
2a 4a + c
y = (x − x S ) 2 + y S (2)
Gleichung (1) heißt allgemeine Form der Parabelgleichung und enthält den Schnittpunkt mit der y
- Achse (0 | c) als Parameter c. Gleichung (2) nennen wir Scheitelpunktsform der Parabelgleichung,
weil wir den Scheitelpunkt S (x S | y S ) direkt ablesen können. Der Öffnungsfaktor a tritt in beiden
Formen unverändert mit dem gleichen Zahlenwert auf. Der Parameter b in der allgemeinen Form
hat offenbar keine geometrische Bedeutung.
Die Umrechnung lässt sich natütlich an jeder konkreten Parabel in beide Richtungen durchführen, so
dass wir stets aus der allgemeinen Form auch die Scheitelpunkte gewinnen und aus gegebenem Scheitelpunkt
eine allgemeine Funktionsgleichung zur Bestimmung der Nullstellen aufstellen können 7 .
Ferner können mit Hilfe der SCheitelpunktsform geometrische Veränderungen wie Verschiebung im
Koordinatensystem oder Spiegelungen an den Koordinatenachsen durchgeführt werden 8 .
5 AB 14: Aufgabe 7
6 15 AB Quadratische Funktionen
7 AB 14: Aufgaben 1,2,5
8 AB 15: Aufgaben 4 - 6
7

1.4 Funktionseigenschaften
Nachdem wir bisher unsere Kenntnisse über zwei bekannte Funktionstypen wiederholt und durch
einige allgemeine Überlegungen vertieft haben, wollen wir uns jetzt einigen allgemeinen Funktonseigenschaften
zuwenden, die wir bei (fast) allen Funktionstypen finden werden. Dazu benutzen wir
wieder das CAS 9 .
Wir untersuchen hier vier Funktionseigenschaften: Die Symmetrie (Aufg.1), das Verhalten im Unendlichen
(Aufg.2), den maximalen Definitonsbereich (Aufg.3) und die Nullstellen (Aufg.4).
1.4.1 Symmetrie
Es gibt viele Funktionsgraphen mit sehr unterschiedlichen Symmetrieeigenschaften. Uns interessieren
dabei vor allem zwei besondere Symmetrien: Achsensymmetrie zur y - Achse und Punktsymmetrie
bezogen auf den Koordinatenursprung. Soll ein Funktiosngraph symmetrisch zur y - Achse
liegen, so müssen doch offenbar zwei Punkt P und Q auf dem Funktionsgraphen, deren x - Koordinaten
sich nur im Vorzeichen unterscheiden (x Q = −x P ) gleiche y - Koordinaten besitzen: (y Q = y P ).
Da die y - Koordinaten abermit den Fuktionswerten übereinstimmen ergibt sich:
Satz 1.1 Erfüllen alle x Werte aus dem Definitionsbereich ID einer Funktion f die Bedingung
f (−x) = f (x),
so liegt der zugehörige Funktionsgraph symmetrisch zur y - Achse im Koordinatenkreuz.
Entsprechend müssen bei einem punktsymmetrischen Fumnktionsgraphen für zwei Punkte P und
Q mit (x Q = −x P ) dem Betrage nach gleich sein, aber entgegen gesetzte Vorzeichen besitzen:
(y Q = −y P ). Für die Funktion gilt damit:
Satz 1.2 Erfüllen alle x Werte aus dem Definitionsbereich ID einer Funktion f die Bedingung
f (−x) = −f (x),
so liegt der zugehörige Funktionsgraph symmetrisch zum Koordinatenursprung im Koordinatenkreuz.
Solche Funktionen erhalten eine besondere Bezeichnung:
Definition 1.6 Eine Funktion, welche die Bedingung von Satz 1.1 erfüllt heißt gerade Funktion,
eine Funktion welche die Bedingung von Satz 1.2. erfüllt nennen wir eine ungerade Funktion.
Für einige spezielle Funktiosntypen gibt es einfachere Möglichkeiten, die Symmetrien zu erkennen
und nachzuweisen.
1.4.2 Verhalten im Unendlichen
Gerade bei Funktionen, die eine physikalische Größe beschreiben oder in der Wirtschaftsmathematik
betrachtet werden, spielen die Grenzwerte für sehr große oder sehr kleine x - Werte eine Rolle. Daher
untersuchen wir das Verhalten im Unendlichen. Dabei verwenden wir eine spezielle Schreibweise,
falls die Funktionenswerte nicht unendlich groß werden. Streben Sie gegen eine endliche Zahl g, so
nennen wir diese Zahl den Grenzwert.
9 AB 16 Funktionseigenschaften
8

Definition 1.7 Strebt der Funktionswert f(x) gegen eine endliche Zahl g, falls wir die Werte von
x gegen eine reelle Zahl x 0 oder ins Unendliche laufen lassen, so nennen wir g den Grenzwert von
f für x gegen x 0 bzw. x gegen Unendlich und schreiben:
lim
x→x 0
bzw.
lim
x→∞
Die Ergebnisse dieser Überlegungen befinden sich auch in einer CAS - Datei 10 .
1.4.3 Definitionsbereiche
Manche Funktionen besitzen einen eingeschränkten Definitionsbereich. Dies kann Sachgründe haben,
die sich aus unmöglichen Werten für bestimmte Messgrößen eregeben, etwa wenn ein in der Zeit
ablaufendes Phänomen erst ab t = 0 betrachtet wird, oder weil ein elektrischer Widerstand nicht
negativ sein. In solchen Fällen könne wir über mathematische Bedingungen einen eingeschränkten
Definitionsbereich selbst festlegen.
Es gibt aber auch Funktionen, die aus mathematischen Gründen nicht überall definiert sind. Dies
liegt an der Nichtausführbarkeit einzelner Rechenoperationen, z.B. kann der Radikand unter einer
Wurzel nicht negativ sein, der Nenner eines Bruches darf nicht 0 werden. Außerdem gibt es spezielle
Funktionen, die nicht durchgängig definiert sind (z.B tan(x)) oder nur in bestimmten Bereichen
definiert sind, wie die Logarithmusfunktionen, die nur für positive Argumente existieren. In solchen
Fällen versuchen wir einen maximalen Definitionsbereich zu bestimmen.
Aufgabe 3 beschäftigt sich mit dem Definitionsbereich von Funktionen. Grundsätzlich kann ein Definitionsbereich
bei der Festlegung einer Funktion frei gewählt werden. Häufig ergibt er sich auch
aus dem Sachzusammenhang. So kann Beispielsweise ein Abstand nicht negativ sein. Daneben gibt
es aber auch mathematische Notwendigkeiten, die wir nicht ignorieren können. In viele Funktionsterem
darf nicht jede Zahl eingesetzt werden, z.B. weil der Nenner eines Bruches nicht 0 werden darf.
Uns soll hier dieser mathematische Aspekt interessiern. Wir wollen zu gegebenen Funktionen die
maximalen Defintionsbereiche bestimmen, also mathematisch erforderliche Ausschlüsse vornehmen.
Ausschlussgründe sind vor allem eine Division durch 0, ein negativer Radikand unter einer Wurzel
oder bei bestimmten Sonderfunktionen die Einschränkung durch die Funktion selbst. Für die
Notation der Definitonsmengen verwenden wir folgende Schreibweisen:
• ID = IR \ {r}, falls eine Zahl r nicht möglich ist 11 .
• ID = [a; b], falls nur Zahlen aus einem bestimmten Intervall erlaubt sind 12 .
Die erste Variante tritt bei Bruchfunktionen auf und ist erweiterbar auf einige wenige Ausschlusszahlen.
Die zweite Variante tritt bei Wurzelfunktionen auf. Dabei könne verschiedene Intervalltypen
beteiligt sein:
• offene Intervall: (a; b), falls a < x < b gilt.
• geschlossene Intervalle: [a; b], falls a ≤ x ≤ b gilt.
• halboffene Intervalle, die auf einer Seite offen, auf der anderen geschlossen sind.
Reicht ein Intervall bis ins Unendliche, verwendet man als Grenze das Symbol für Unendlich: ∞,
und benutz an dieser Seite immer ein offenes Intervall.
10 17 Funktionseigenschaften.dfw
11 Aufg. 3 a,c
12 Aufg. 3 b,d
9

1.4.4 Nullstellen
Eine weitere Eigenschaft von Funktionen, die auch beim Zeichnen der Funktionsgraphen hilfreich
ist, bilden die Nullstellen.
Definition 1.8 Als Nullstellen einer Funktion f bezeichnen wir diejenigen Werte x N aus dem Definitionsbereich
ID f , an denen der Funktionswert 0 beträgt: f(x N ) = 0.
Geometrisch sind das die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der x - Achse. Diese können
wir auch als Punkt (x N | 0) angeben. Zur Berechung der Nullstellen muss der Funktionswert Null
ergeben. Dadurch entsteht aus der Funktionsgleichung eine Bestimmungsgleichung für die Nullstellen
x N . Diese Gleichung ist dann mit geeigneten Methoden, die aus der Mittelstufe bekannt sind,
zu lösen. Beispiele dazu finden sich in den Abschnitten 1.2 und 1.3. Wir betrachten hier noch ein
Beispiel zu Exponentialfunktionen.
Beispiel 1.3 Gegeben ist die Funktion f(x) = 3 · x 4 − 4, 5. Wir bestimmen die Nullstellen dieser
Funktion.
3 · x 4 N − 4, 5 = 0
x 4 N = 1, 5
x N = log 4 (1, 5) = lg(1,5)
lg(4)
≈ 0, 29.
Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei x N ≈ 0, 29. Der Funktionsgraph schneidet dort die x - Achse.
1.4.5 Umkehrbarkeit und Umkehrfunktionen
Als letztes betrachten wir noch kurz die Umkehrbarkeit von Funktionen. Zu einer Funktion f gibt
es unter bestimmten Voraussetzungen, die wir später untersuchen werden, eine Umkehrfunktion.
diese soll zu einem bekannten Fuktionswert y = f(x) den Ursprungswert x bestimmen. Dazu muss
im Prinzip nur die Funktionsgleichung nach der Variablen x aufgelöst werden.
Beispiel 1.4 Wir betrachten die Funktion
f (x) = 5 · √25
− x 2 .
Um den Schreibaufwand zu reduzieren, setzen wir y für f(x) ein und lösen auf nach x:
y = 5 · √25
− x
( 2
y ) 2
5
= 25 − x 2
x 2 = 25 − ( y ) 2
√
x =
5
25 − ( y ) 2
5
.
Abschließend tauschen wir die Variablenbezeichnungen aus, damit x wieder die freie Funktionsvariable
wird und schreiben
√
f −1 (x) = 25 − ( )
x 2
5
für die Umkehrfunktion.
10

2 Änderungsraten und Ableitungsbegriff
2.1 Mittlere Änderungsraten einer Messgröße
Wir beginnen dieses Teilthema mit einer Gruppenarbeit 13 . In sechs Beispielen, die von sechs Grupepn
bearbeitet werden, geht es jeweils um den Zusammenhang zwischen zwei Messgrößen.
a) Mopedbeschleunigung: Wegstrecke als Funktion der Zeit
b) Streckenlänge des kanadischen Eisenbahnnetzes in Abhängigkeit von der Jahreszahl
c) Kraftstoffverbrauc als Funktion der Geschwindigkeit
d) Fallbewegung einer Kugel: Fallstrecke als Funktion der Zeit
e) Wachstum einer Bakterienkultur: Anzahl asl Funktion der Zeit
f) Luftdruck als Funktion der Höhe über dem Meeresspiegel
In allen Beispieln soll die Veränderung der abhängigen Messgröße in bestimmten Intervallen und
dann an einem bestimmten Wert der unabhängigen Variablen ermittelt werden. Die Parallelität
dieser Überlegungen wird in den Vorträgen der Gruppen deutlich. Dabei wird zubnächst der Durchschnittswert
für die Veränderung auch asl tatsächlicher Wert in der Mitte des Intervalls interpretiert.
Dies führt uns zunächst zu einer neuen Begriffsbildung.
Definition 2.1 Ist eine Funktion f(x) innerhalb eines Intervalls [a; b] überall definiert und stetig,
so beschreibt der Differenzenquotient
f(b) − f(a)
b − a
die durchschnittliche Änderung des Funktionswertes in diesem Intervall. Wir nennen ihn daher
mittlere Änderungsrate von f im Intervall [a; b].
Gleichzeitg wird deutlich, dass diese mittlere Änderunsgrate zwar in den Beispielen a), c) und d)
vermutlich richtig die tatsächliche Veränderung in der Mitte des Intervalls beschreibt, aber in den
anderen Beispielen dies nicht der Fall ist. Offenbar erhalten wir bessere Werte, wenn wir das Intervall
immer kleiner werden lassen - letztlich also die Breite gegen 0 gehen lassen.
Definition 2.2 Unter der lokalen Änderunsgrate f ′ (x 0 ) einer Funktion f an einer Stelle x 0 des
Definitonsbereiches verstehen wir den Grenzwert
f ′ lim
(x 0 ) = b−a →
f(b) − f(a)
0 (
b − a
).
Beide Änderungsraten lassen sich geometrisch am Funktionsgraphen darstellen. Die mittlere Änderungsrate
stimmt von der Definition her überein mit der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte.
Da beide Punkte auf dem Funktionsgraphen gewählt wurden, erhalten wir eine Sekante. Die mittlere
Änderungsrate einer Funktion in einem Intervall [a; b] ist also die Steigung der Sekante durch
die Punkte A[a; f(a)] und B[b; f(b)] auf dem zugehörigen Funktionsgraphen.
Die Grenzwertbildung in der Definition der lokalen Änderungsrate f ′ (x 0 ) macht aus dieser Sekante
eine Tangente. Die lokale Änderungsrate wird also am Funktiosngraphen dargesteltl durch die Steigung
der Tangente im Punkt P [x 0 ; f(x 0 )], der gleichzeitig auch der Berührpunkt zwiwchen Tangente
und Funktionsgraph ist.
Dies bedeutet, dass wir die lokale Änderunsgrate einer beliebigen Funktion - und damit jeder durch
eine Funktion beschriebenen Messgröße als Steigung der Tangente an diesem Punkt bestimmen
können. Damit habe wir eine Aufgabe, die es zu lösen gilt.
13 20 G Änderungsraten
11

2.2 Lokale Änderungsrate als Tangentensteigung
Diese Aufgabe wollen wir jetzt zunächst an einer einfachen Funktion lösen - der Normalparabel 14 .
In Aufgabe 1 betrachten wir eine Folge von Sekanten, die alle durch den Punkt P 0 [1; 1] verlaufen.
Diese Folge von Sekanten nähert sich der Tangente in disem Punkt an. Die berechneten Sekantensteigungen
werden oimmer kleiner, scheinen aber nicht unter den Wert m T = 2 zu sinken, den wir
als erste Näherung für die Steigung der Tangente betrachten. Damit bestimmen wir die Gleichung
dieser Tangete zu t(x) = 2 · x − 1. In Teilaufgabe d) bestätigen wir den Wert, indem wir eine
weitere Folge von Sekanten durch P 0 [1; 1] von links annähern, so dass die Werte für die Sekantensteigungen
immer größer werden, aber die Grenze m T = 2 ebenfalls nicht übersteigen.
Die letzte Teilaufagbe e) verallgemeinert unsere Überlegungen auf einen beliebigen Punkt Q und
unseren Punkt P 0 [1; 1]. Die Betrachtung des Grenzwertes in einer allgemeinen Rechnung bestätigt
jetzt exakt die Vermutung für die Tangentensteigung.
m S = y Q − 1
x Q − 1 = x2 Q − 1
x Q − 1 = x Q + 1
m T = xQ
lim → 1 (m S ) = xQ
lim → 1 (x Q + 1) = 1 + 1 = 2.
Damit wissen wir jetzt sicher, dass die Steigung der Tangente an der Normalparabel im Punkt
P 0 [1; 1] m T = 2 lautet. Aber wie sieht es an anderen Punkten aus. Die Parabel wechselt doch
beständig ihre Steigung. Diese Frage beantwortet Aufgabe 2. Nach ersten konkreten Berechnungen
liefert uns Teilaufgabe c) die Lösung für einen beliebigen Punkt P 0 [x 0 ; y 0 ].
m S = y Q − y 0
x Q − x 0
= x2 Q − x2 0
x Q − x 0
= x Q + x 0
m T = xQ
lim → x0 (m S ) = xQ
lim → 1 (x Q + x 0 ) = 2 · x 0 .
Dieser Grenzwert beschreibt die Steigung des Funktionsgraphen von f. Dabei setzen wir voraus,
dass der Grenzwert existiert, was nicht immer gegeben ist. Im Falle der Existenz liegt also eine
Besonderheit vor, für die wir einen Begriff festlegen.
Definition 2.3 Ist eine Funktion f auf einem Intervall [a; b] definiert und stetig, und liegt x 0 in
diesem Intervall, und existiert für x → x 0 der Grenzwert des Differenzenquotienten, so nennen
wir diesen Grenzwert
f ′ (x 0 ) = lim f(x) − f(x 0)
x − x 0
die Ableitung von f an der Stelle x 0 . Die Funktion f heißt dann an der Stelle x 0 differenzierbar.
Lässt sich dieser Grenzwert in jedem beliebiegen Punkt P 0 [x 0 ; y 0 ] auf einem Funktionsgraphen
bestimmen, so können wir eine neue Funktion f’ definieren, die sich aus der ursprünglichen Funktion
ergibt. Die neue Funktion f’ ordnet jedem x - Wert die Steigung der Tangente am Funktionsgraphen
von f als Funktionswert zu.
Definition 2.4 Ist eine Funkiton f an jeder Stelle innerhalb ihres Definitionsbereiches differenzierbar,
so nennen wir die Funktion f’(x), die jedem x - Wert die Steigung der Tangente am Funktionsgraphen
von f zuordnet die 1. Ableitungsfunktion von f.
Beispiel 2.1 Für unsere quadratische Funktion f(x) = x 2 erhalten wir damit als Ableitungsfunktion
f ′ (x) = 2 · x.
14 21 AB Parabeltangenten
12

Diese Ableitungsfunktion hat eine mehrfache Bedeutung. Zum einen beschreibt sie nach ihrer Definition
die Steigung der Tangente am Funktionsgraphen. Diese werden wir ab jetzt auch als Steigung
des Funktonsgraphen selbst betrachten. Daneben gibt sie uns aber auch die Änderungsrate der
Funktion f an jeder beliebigen Stelle x 0 an. Denn wir haben ja die Tangentensteigung als Maß für
diese Änderungsrate erkannt.
Jetzt müssen wir unsere Ergebnisse weiter verallgemeinern. Es genügt nicht, für nur eine Funktion
die Ableitung zu kennen. Wir müssen einen Weg finden, ohne die aufwändige Grenzwertbildung zu
einer Ableitungsfunktion zu kommen. Ein erster Schritt gelingt uns mit der Lösung von Aufgabe 3.
Als Ergebnis erhalten wir:
Satz 2.1 Die Ableitungsfunktion einer gestreckten und entlang der y - Achse verschobenen Parabel
bzw. der zugehörigen quadratischen Funktion f(x) = ax 2 + c lautet f ′ (x) = 2ax.
Bevor wir diesen Weg weiter verfolgen, wollen wir uns mitmeinigen Übungen zu Änderungsraten
und Sekantensteigungen beschäftigen 15 . In allen Aufgaben geht es um die Bestimmung einer mittleren
Änderungsrate in einem Intervall, z.T. als rein mathematische Berechnung an einer Funktion
(Aufgaben 1,2,3,6), z.T. als Anwendungsaufgabe in einem Sachzusammenhang (Aufgaben 4,5).
15 22 AB Änderungsraten
13

3 Ableitungsregeln
3.1 Einfache Ableitungsregeln
Als nächstes betrachten wir jetzt Potenzfunktionen. Für eine beliebige Potenzfunktion f(x) = x n mit
einem ganzzahligen positiven Exponenten n können wir die Sekantensteigung in einem beliebiegen
Punkt P 0 [x 0 ; y 0 ] bestimmen:
m S = f(x) − f(x 0)
x − x 0
= xn −x n 0
x−x 0
.
Durch Polynomdivision erhalten wir:
m S = ∑ n−1
k=0 (xn−k · x k 0 ) = xn−1 0 + x0 n−2 y + ... + x 1 0 yn−2 + y n−1 .
Bilden wir jetzt den Grenzwert, so erhalten wir für die Tangentensteigung:
m T = lim(x n−1
0 + x n−2
0 y + ... + x 1 0 yn−2 + y n−1 ) = n · x n−1
0 .
Da diese Rechnung für jedes x 0 ∈ IR ausführbar ist, erhalten wir insgesamt die Ableitungsfunktion
f ′ (x) = n · x n−1 .
Beispiel 3.1 Zur Funktion f(x) = x 5 ergibt sich die Ableitungsfunktion f ′ (x) = 5x 4 . Daraus
können wir jetzt überall die Tangentensteigung bestimmen, etwa bei x 0 = 3: m T = f ′ (x 0 = 3) =
5 · 3 4 = 405.
Ohne auf die kompliziertere Herleitung einzugehen, nehmen wir an dieser Stelle zur Kenntnis, dass
diese Ableitungsregel auch für beliebiege reelle Exponenten gilt.
Satz 3.1 : Potenzregel
Ist f(x) = x r eine Potenzfunktion mit einem beliebigen rellen Exponenten r ≠ 0, so ist f auf dem
ganzen Definitionsbereich von f differenzierbar mit der Ableitungsfunktion f ′ (x) = r · x r−1 .
Die Ausnahme bei r = 0 ergibt sich daraus, dass in diesem Fall eine konstante Funktion f(x) = 1
vorliegt, deren Steigung überall null beträgt, die Ableitungsfunktion folglich f ′ (x) = 0 lautet. Der
Hinweis auf den Definitinsbereich ist notwendig, weil für Exponenten, die keine natürlichen Zahlen
sind, dieser Definitionsbereich eingeschränkt ist. Für negative Exponenten liegt eine Kerbruchbildung
vor, so dass x nicht null sein dar, für gebrochene Exponenten entstehen Wurzelfunktionen,
deren Radikand nicht negativ werden darf.
Jetzt können wir drei allgemeine Regeln ableiten, die sich auf beliebige differenzierbare Funktionen
anwenden lassen.
Satz 3.2 : Faktorregel, Summenregel, Verschiebungsregel
Sind f(x) und g(x) zwei auf einem Intervall differenzierbare Funktionen mit den Ableitungsfunktionen
f’(x) und g’(x), und ist a eine beliebieg reelle Zahl, so gelten:
1. h(x) = a · f(x) ist differenzierbar mit der Ableitungsfunktion h ′ (x) = a · f ′ (x).
2. h(x) = f(x) + g(x) ist differenzierbar mit der Ableitunsfunktion h ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x).
3. h(x) = f(x − a) ist differenzierbar mit der Ableitung h ′ (x) = f ′ (x − a).
Die erste Behauptung bedeutet, dass eine Streckung des Funktionsgraphen in y - Richtung auch
die Steigung um den gleichen Streckfaktor vergrößert, was anschaulich sofort klar ist. Die dritte
Aussage beschreibt eine Verschiebung des Funktionsgraphen um a in x - Richtung. Auch dadurch
ändert sich die Steigung und damit die Ableitungsfunktion nicht. Diese beiden Regeln lassen sich
auch durch konkretes Nachrechnen beweisen 16 .
16 23 AB Ableitungsfunktionen Aufg. 7
14

3.2 Ableitungen elementarer Funktionen
Als elementare Funktionen wollen wir alle die Funktionen betrachten, deren Ableitung entweder
einfach zu bilden ist, oder deren Ableitung aus der Formelsammlung entnommen werden muss.
Dies gilt insbesondere für alle Transzendenten Funktion wie die trigonometrischen Funktionen,
Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen. Die Ableitungen solcher Funktionen sollte man
auswendig wissen. Wir stellen hier deshalb eine kleine Tabelle zusammen. Diese Regeln können wir
Funktion f(x) Ableitung f ′ (x)
sin(x)
cos(x)
cos(x) - sin(x)
1
tan(x)
cos 2 (x)
e x
a x
e x
ln(a) · a x
1
ln(x)
x
1
log b (x)
ln(b) · 1
x
jetzt mit unseren einfachen Ableitungsregeln kombinieren.
Beispiel 3.2 Ableitung einer Summe
Zur Funktion
gehört die Ableitungsfunktion
Zur Funktion
gehört die Ableitungsfunktion
3.3 Die Produktregel
f(x) = 3 · sin(x) + ln(x)
f ′ (x) = 3 · cos(x) + 1 x .
g(x) = tan(x) − 6 x
g ′ (x) = 1
cos 2 (x) − ln(6) · 6x .
Viele Funktionen entstehen als Produkt aus zwei elementaren Funktionen. Dann kann die Ableitung
der Produktfunktion aus den Ableitungen der beteiligten elementaren Fuktionen gebildet werden.
Beispiel 3.3 Aus den Funktionen g(x) = x 2 und h(x) = sin(x) entsteht die Produktfunktion
f(x) = x 2 · sin(x).
Wir wollen jetzt eine Ableitungsregel für solche Produkte herleiten. Sei also allgemein
Dann gilt für die Sekantensteigung:
f(x) = g(x) · h(x).
15

m S =
=
=
f(x + h) − f(x) g(x + h) · h(x + h) − g(x) · h(x)
=
h
h
g(x + h) · h(x + h) − g(x) · h(x + h) + g(x) · h(x + h) − g(x) · h(x)
h
g(x + h) · h(x + h) − g(x) · h(x + h) g(x) · h(x + h) − g(x) · h(x)
+
h
h
Bilden wir jetzt den Grenzwert dieser Summe, so können wir diesen Grenzwert für jeden Summanden
einzeln bilden und erhalten:
( )
g(x + h) · h(x + h) − g(x) · h(x + h) g(x) · h(x + h) − g(x) · h(x)
m T = lim
+
h
h
( ) ( g(x + h) · h(x + h) − g(x) · h(x + h) g(x) · h(x + h) − g(x) · h(x)
= lim
+ lim
h
( g(x + h) − g(x)
= lim
h
= g ′ (x) · h(x) + g(x) · h ′ (x)
)
· h(x + h) + lim
Damit erhalten wir eine Ableitungsregel für Produkte.
(
g(x) ·
h(x + h) − h(x)
h
Satz 3.3 Produktregel
Lässt sich eine Funktion f(x) schreiben als Produkt aus zwei Faktoren g(x) und h(x)
f(x) = g(x) · h(x),
so lässt sich ihre Ableitung mit Hilfe der Ableitungen g’(x) und h’(x) schreiben als
f ′ (x) = g ′ (x) · h(x) + g(x) · h ′ (x).
Mit Hilfe dieser Regel können wir jetzt alle Produktfunktionen ableiten.
Beispiel 3.4 Ableitung eines Produktes
besteht aus den Faktoren
mit den Ableitungen
und liefert insgesamt die Ableitung
f(x) = cos(x) · sin(x)
g(x) = cos(x) und h(x) = sin(x)
g ′ (x) = −sin(x) und h(x) = cos(x)
h
)
f(x) = −sin(x) · sin(x) + cos(x) · cos(x) = cos 2 (x) − sin 2 (x).
Weitere Übungsaufgaben befinden sich im Buch 17 und auf dem Aufgabenblatt 18 .
17 Elemente der Mathematik S. 157
18 25 AB ProduktQuotient
)
16

3.4 Die Kettenregel
Verkettete Funktionen entstehen, wenn wir die Variable x innerhalb einer äußeren Funktion a(x)
ersetzen durch eine innere Funktion i(x).
Beispiel 3.5 Aus der äußeren Funktion
und der inneren Funktion
ergibt sich die Funktion
a(x) = √ x
i(x) = 3 · x 2 − 6x
f(x) = a[i(x)] = √ 3 · x 2 − 6x.
Für die Ableitung solcher Funktionen gilt die Kettenregel. Für die Sekantensteigung zwischen dem
festen Punkt P (x 0 |f(x 0 )) und einem Hilfspunkt H(x 0 + h|f(x 0 + h)) ergibt sich dann:
m S = a(i(x 0 + h)) − a(i(x 0 ))
h
= a(i(x 0 + h)) − a(i(x 0 ))
· i(x 0 + h) − i(x 0 )
i(x 0 + h) − i(x 0 )
h
Daraus ergibt sich bei der Grenzwertbildung für die Tangentensteigung:
f ′ (x) = m T = lim( a(i(x 0 + h)) − a(i(x 0 ))
i(x 0 + h) − i(x 0 )
= lim( a(i(x 0 + h)) − a(i(x 0 ))
i(x 0 + h) − i(x 0 )
= a ′ [i(x 0 )] · i ′ (x 0 )
· i(x 0 + h) − i(x 0 )
)
h
) · lim( i(x 0 + h) − i(x 0 )
))
h
Die Ableitung ergibt sich also als Produkt aus der äußeren Ableitung a ′ (i 0 ) und der inneren Ableitung
i ′ (x 0 ).
Satz 3.4 Kettenregel Lässt sich eine Funktion f(x) interpretieren als Verkettung einer äußeren
Funktion a(i) und einer inneren Funktion i(x)
f(x) = a[i(x)],
die beide differenzierbar sind, so ist auch f differenzierbar und die Ableitung von f ergibt sich aus
den Ableitungen a’(i) und i’(x):
Beispiel 3.6 Zur Funktion
können wir
als äußere Funktion und
f ′ (x) = a ′ [i(x)] · i ′ (x).
f(x) = 3 · sin(x 3 − 2x 2 )
a(i) = 3 · sin(i)
i(x) = x 3 − 2x 2 als innere Funktion auffassen und erhalten somit die Ableitung
f ′ (x) = 3 · cos(i) · i ′ (x) = 3 · cos(x 3 − 2x 2 ) · (3x 2 − 4x).
Weitere Übungsaufgaben befinden sich im Buch 19 und auf dem Aufgabenblatt 20 .
19 Elemente der Mathematik S.162
20 26 AB Kettenregel
17

3.5 Die Quotientenregel
Jetzt bleiben uns Funktionen, die sich als Quotient schreiben lassen. Die zugehörige Regel ergibt
sich aus der Verbindung von Produkt- und Kettenregel. Betrachten wir also eine Funktion
f(x) = z(x)
n(x)
aus einer Zählerfunktion z(x) und einer Nennerfuntkion n(x), die beide differenzierbar sein sollen.
Dann könne wir den Quotienten mit Hilfe der Potenzgesetze umschreiben und erhalten:
f(x) = z(x) · [n(x)] −1 .
Dieses Produkt können wir mit der Produktregel ableiten, wobei der zweite Faktor zusätzlich mit
der Kettenregel betrachtet werden muss:
Damit erhalten wir die Quotientenregel.
f ′ (x) = z ′ (x) · [n(x)] −1 + z(x) · (−1) · [n(x)] −2 · n ′ (x)
= z′ (x) · [n(x)] − z(x) · n ′ (x)
[n(x)] 2
Satz 3.5 Quotientenregel
Entsteht eine Funktion f(x) als Quotient zweier differenzierbarer Funktionen z(x) und n(x)
f(x) = z(x)
n(x) ,
so ist auch f(x) differenzierbar mit der Ableitungsfunktion
f ′ (x) = z′ (x)·[n(x)]−z(x)·n ′ (x)
[n(x)] 2 .
Wir können auch hierzu ein Beispiel betrachten. Diese Regel wird vor allem auf gebrochenrationale
Funktionen angewendet.
Beispiel 3.7 Zur Funktion
gehört die Ableitungsfunktion
f(x) = x2 +4x
3x 2 −2
f ′ (x) = (2x + 4)(3x2 − 2) − (x 2 + 4x)(6x)
(3x 2 − 2) 2
= (6x3 + 12x 2 − 4x − 8) − (6x 3 + 24x)
(3x 2 − 2) 2
= 12x2 − 28x − 8
(3x 2 − 2) 2
Weitere Übungsaufgaben befinden sich im Buch 21 und auf dem Aufgabenblatt 22 .
21 Elemente der Mathematik S.158
22 25 AB ProduktQuotient
18

3.6 Existenz der Ableitung
Wir sind bisher immer davon ausgegangen, dass die Funktionen, die wir betrachten, auch eine Ableitung
besitzen, d.h. dass diese Funktionen differenzierbar sind. In unserer Defintion der Ableitung
wird aber ein Grenzwert betrachtet, der nicht unbedingt existieren muss. Wir wollen jetzt ein Beispiel
betrachten, welches uns zeigt, dass die Ableitung nicht immer existiert. Wir betrachten die
Funktion
f(x) = |x|.
Hier ist insbesondere die Stelle x 0 = 0 interessant. Links davon gilt:
lim (|x|) = −1,
da die Steigung hier konstant −1 beträgt. Betrachten wir jedoch den rechten Teil des Funktionsgraphen,
so beträgt die Steuigung +1, und wir erhalten:
lim (|x|) = +1.
Das bedeutet aber, dass der Grenzwert nicht eindeutig ist und wir über die Steigung der Tangente
bzw. des Funktonsgraphen an der Stelle x 0 keine Aussage treffen können. Daher exsitiert die Ableitung
an dieser Stelle nicht. Unsere Funktion ist nur differenzierbar für x ≠ 0.
An dieser Stelle sei noch einmal daran erinnert, dass Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist,
d.h. wir können streng genommen immer nur für einen einzelnen x - Wert entscheiden, ob die Funktion
an dieser Stelle differenzierbar ist. Zum Glück sind alle gängigen Funktionen auf fast ihrem
ganzen Defintionsbereich auch differenzierbar. Überall dort, wo die Ableitung exsitiert, können wir
diese mit den von uns erarbeiteten Regeln bestimmen.
Trotzdem sollten wir die Gültigkeit unserer Ableitungsfunktion immer betrachten. So ist z.B. die
Ableitungsfunktion zu einer Wurzelfunktion eine gebrochenrationale Funktion. Diese kann unter
Umständen noch dort definiert sein, wo die Wurzelfunktion gar nicht existiert. Andererseits ist sie
gerade an den Rändern des Defintionsbereiches der Wurzelfunktion nicht definiert, so dass wir nie
die Steigung an diesen Rändern bestimmen können.
Beispiel 3.8 Wir betrachten die Funktion
Ihre Ableitungsfunktion lautet:
f(x) = √ 16 − x 2 .
f ′ 1
(x) =
2 √ · (−2x) = √ −x
.
16−x2 16−x 2
Während die Wurzel bei x = −4 und x = +4 noch definiert ist, wird diese dort aber 0 und damit
ist der Bruch mit der Wurzel im Nenner an diesen Stellen nicht mehr definiert.
Weitere Details und Beispiele finden sich im Lehrbuch 23 .
23 Elemente der Mathematik S.88
19

4 Funktionsuntersuchungen
Jetzt wollen wir die bisher gewonnenen Erkenntnisse über Funktionseigenschaften 24 einerseits und
Ableitungsfunktionen mit ihrer Bedeutung für die Steigung von Funktionsgraphen 25 andererseits
zusammenführen. Dadurch können wir einen guten Überblick über die Eigenschaften von Funktionen
gewinnen. Wir wollen dies zunächst am Beispiel der ganzrationalen Funktionen 26 tun.
4.1 Ganzrationale Funktionen
Zunächst können wir uns mit Hilfe des CAS einen genaueren Überblick über die verschiedenen
Formen ganzrationaler Funktionen verschaffen 27 . Ganzrationale Funktionen streben also ins Unendliche,
falls die x - Werte ins Unendliche streben. Die Richtung hängt dabei vom Vorzeichen der
höchsten Potenz ab. Dies haben wir schon im Abschnitt 2.4 betrachtet. Ferner verläuft der Funktionsgraph
in der Nähe des Ursprungs in Bögen, deren Anzahl vom Grad der Funktion abhängt. Eine
Funktion dritten Grades erzeugt zwei Bögen - einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Mit jeder
Erhöhung des Funktionsgrades kommt auch ein Bogen hinzu. Auch die Funktionen zweiten Grades
- unsere altbekannten quadratischen Funktionen - passen in dieses Bild. Sie besitzen einen Bogen.
Jeder Bogen bildet einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt. Wir sprechen von einem lokalen Maximum
bzw. Minimum. Es handelt sich niemals um absolute Extrema, da die Funktionswerte ja zum
Rand hin noch deutlich in beide Richtungen wachsen. Eine wichtige Besonderheit dieser lokalen
Extrema liegt in der horizontalen Tangente. Die Steigung wird hier 0. Dies werden wir zur Bestimmung
dieser Punkte benutzen 28 .
Zwischen zwei lokalen Extrema wechselt der Funktionsgraph die Krümmungsrichtung - entweder von
einer Links- in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Im Hochpunkt sprechen wir von einer Rechtskurve,
im Tiefpunkt von einer Linkskurve. Der Punkt, der den Übergang bezeichnet, heißt Wendepunkt.
Hier verläuft der Funktionsgraph am steilsten. Daher erreicht die Steigung ein lokales Extremum.
Also muss die zweite Ableitung hier 0 werden. Auch diese Erkenntnis werden wir zur Bestimmung
solcher Punkte ausnutzen.
4.2 Nullstellenbestimmung mit der Polynomdivision
Auch die Anzahl der Nullstellen hängt vom Grad der Funktion ab. Eine quadratische Funktion kann
höchstens zwei Nullstellen besitzen. Entsprechend besitzt eine ganzrationale Funktion vom Grad n
höchstens n Nullstellen. Hier stellt sich jedoch die Frage, wie wir diese Herausfinden. Dabei helfen
uns ein bekannter Satz über Produkte und ein altes Rechenverfahren.
Satz 4.1 Ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
Eine Anwendung zeigt das folgende Beispiel:
Beispiel 4.1 Die Funktion
f(x) = (x − 2)(x + 3)(x − 5)
besitzt die drei Nullstellen -3, 2 und 5, da beim Ersetzen der Variablen x mit einer dieser Zahlen
immer genau eine Klammer - also ein Faktor - 0 wird. Durch Ausmultiplizieren der Klammer
erhalten wir die Darstellung
24 vgl Abschnitt 2.4
25 vgl. Abschnitt 3.2
26 vgl. Def 2.2
27 31 AB Ganzrationale Funktionen Aufg.1
28 vgl. Abschnitt 5.3
20

f(x) = x 3 − 4x 2 − 11x + 30.
Dies ist eine typische ganzrationale Funktion dritten Grades.
Damit stellt sich die Frage, wie kommen wir von einer gegebenen Funktion dritten oder höheren
Grades zu ihrer Produktdarstellung. Die Antwort liegt in der Umkehrung der Multiplikation. Wir
müssen den Funktionsterm durch einen der Linearfaktoren dividieren.
Beispiel 4.2 Polynomdivision
(x 3 − 2x 2 − 5x + 6) : (x + 2) = x 2 − 4x + 3
(x 3 + 2x 2 )
−4x 2 − 5x
−4x 2 − 8x
3x + 6
3x + 6
Die Polynomdiviosn wird wie eine gewöhnliche schriftliche Divison durchgeführt. Anstelle der Ziffern
des Dezimalsystems beachtet man hier in absteigender Folge die Potenzen der Variablen x. Der
Quotient ist jetzt um einen Grad kleiner. So kann man schrittweise durch weitere Divisionen den
ganzen Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegen, vorausgesetzt, das ist überhaupt möglich.
Bleibt die Frage zu klären, wie man den ersten Divisor findet. Hier gibt es kein Rechenverfahren.
Die erste Nullstelle muss geraten bzw. durch Probieren gefunden werden. Einen Hinweis enthält
dabei der konstante Summand am Ende des Funktionsterms. Er entsteht durch Multiplizieren der
Nullstellen, muss also die Nullstellen als Faktor enthalten.
Beispiel 4.3 Vollständige Nullstellenbestimmung
Wir betrachten die Funktion
f(x) = x 3 − 8x 2 + 5x + 14.
Eine Lösung muss ein Teiler von 14 sein, also 1, 2, 7 oder 14 bzw. deren negative Gegenstücke.
Durch Einsetzen erhalten wir die Lösung x 1 = 2. Damit führen wir die Polynomdivision durch:
(x 3 − 8x 2 + 5x + 14) : (x − 2) = x 2 − 6x + 7.
Es bleibt ein quadratischer Term, und unsere Gleichung
wird zu
x 3 − 8x 2 + 5x + 14 = 0
(x − 2) · (x 2 − 6x − 7) = 0.
Jetzt kann noch die zweite Klammer mit dem quadratischen Term 0 werden. Dies führt uns zu der
quadratischen Gleichung
mit den Lösungen
x 2 − 6x − 7 = 0
x 1/2 = 3 ± √ 9 + 7 = 3 ± 4.
Damit haben wir den Funktionsterm vollständig in Linearfaktoren zerlegt
f(x) = x 3 − 8x 2 + 5x + 14 = (x − 2)(x − 7)(x + 1)
21

und haben gleichzeitig alle Nullstellen gefunden:
N 1 (−1|0) N 2 (2|0) N 3 (7|0).
Wir wollen an dieser Stelle festhalten, dass die Polynomdivision ein mögliches Verfahren zur Nullstellenbestimmung
ist. Am Anfang steht immer das Aufstellen der Gleichung aus der Bedingung
f(x N ) = 0. Danach entscheidet sich, mit welchem Verfahren diese Gleichung lösbar ist, z.B. p-q-
Formel oder Substitution oder Ausklammern 29 .
4.3 Vollständige Funktionsuntersuchung
Zu einer vollständigen Funktionsuntersuchung gehören die Feststellung des maximalen Definitionsbereiches,
die Untersuchung auf Symmetrien, eine Betrachtung des Verhaltens im Unendlichen, die
Bestimmung der Nullstellen, die Bestimmung lokaler Extrema und der Wendepunkte. Den Abschluss
bildet eine saubere Skizze des Funktionsgraphen auf der Grundlage der gefundenen Ergebnisse.
Dieses Vollprogramm können wir bei den ganzrationalen Funktionen etwas reduzieren. Definitionsbereich
ist hier immer ganz IR. Ferner streben die Funktionsgraphen für große Beträge der Variablen
x immer ins Unendliche. Daher verzichten wir auf die Untersuchung dieser Punkte.
Zur Bestimmung der Extrema und Wendepunkte fehlen uns noch die Lösungswege. Lokale Extrema
zeichnen sich dadurch aus, dass hier die Steigung des Funktionsgraphen 0 wird. Daher haben wir
die notwendige Bedingung f ′ (x E ) = 0.
Wie bereits erwähnt, erreicht der Funktionsgraph in den Wendepunkten die größte bzw. kleinste
Steigung. Daher muss die erse Ableitung f’(x) ein lokales Extermum besitzen, wo f(x) einen Wendepunkt
besitzt. Das bedeutet aber gerade, dass die zweite Ableitung f”(x) hier 0 wird. Wir erhalten
also für Wendepunkte die notwendige Bedinung f ′′ (x W ) = 0.
Mit diesen Vorgaben können wir jetzt einige Funktionen untersuchen 30 .
Aufgabe 2 betrachtet eine Funktion dritten Grades. Bei der Nullstellenbestimmung kommt hier die
Polynomdivision zum Einsatz. Die Bestimmung der Tangenten soll die Zeichnung erleichtern, da man
mit Hilfe der Tangenten gute Führungslinien für die Funkltionsgraphen erhält. Der Wendepunkt
ist hier auch Nullstelle. Dabei wird seine Bedeutung als Symmetriezentrum des Funktionsgraphen
deutlich. Dies ist kein Zufall. Jeder Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades
ist symmetrisch zu seinem Wendepunkt.
Aufgabe 3 betrachtet eine achsensymmetrische Funktion vierten Grades. Die Symmetrie führt dazu,
dass wir bei der Nullstellenbestimmung über eine Substitution zu einer quadratischen Gleichung
kommen. Polynomdivision ist hier nicht erforderlich. Zusatzaufgaben wie die Berechnung der Dreiecksfläche
kommen bei solchen Aufgaben auch in Klausuren häufig vor.
Aufgabe 4 zeigt eine Funktion vierten Grades ohne Symmetrie. Zur Nullstellenbestimmung ist hier
zweimalige Polynomdivison erforderlich. Auffällig dabei ist die dreifache Nullstelle bei -1. Sie macht
uns mit einer weiteren Besonderheit bekannt, einem Sattelpunkt oder Terrassenpunkt - beide Bezeichnungen
kommen vor. Es handelt sich um einen Punkt mit horizontaler Tangente (Steigung 0),
der gleichzeitig Wendepunkt ist. Dies ist kein lokales Extremum, obwohl die Bedingung f ′ (x E ) = 0
hier erfüllt ist. Diese Bedingung ist also offenbar nicht vollständig. Ein echtes lokales Extremum
liegt nur dann vor, wenn bei horizontaler Steigung nicht gleichzeitg ein Wendepunkt vorliegt. Daher
lautet die vollständige Bedingung:
29 vgl. dazu Abschnitt 2.4.4
30 31 AB Ganzrationale Funktionen Aufg. 2-4
f ′ (x E ) = 0undf ′′ (x E ) ≠ 0.
22

Wir können sogar noch genauer festlegen:
In einem Tiefpunkt (lokales Minimum) ist die zweite Ableitung positiv, da die Steigung (also f’)
zunimmt; in einem Hochpunkt (lokales Maximum) ist die zweite Ableitung negativ, da die Steigung
abnimmt. Wir ergänzen unsere vollständige Funktionsuntersuchung also um den Punkt ’Extremwertentscheid’,
mit dem wir nach der Berechnung möglicher Extremstellen die gefunden Werte durch
einsetzen in die zweite Ableitung überprüfen.
Beispiel 4.4 Wir betrachten die Funktion
Ihre Ableitung lautet:
f(x) = 1 4 x4 + 1 3 x3 − 5 2 x2 + 3x − 2.
f ′ (x) = x 3 + x 2 − 5x + 3.
Für mögliche lokale Extremstellen x E
erhalten wir die Gleichung
muss gelten: f ′ (x E ) = 0 (notwendige Bedingung). Daher
x 3 E + x2 E − 5x E + 3 = 0.
Eine Lösung lautet x E1 = 1. Die Polynomdivision liefert uns:
(x 3 E + x2 E − 5x E + 3) : (x E − 1) = x 2 E + 2x E − 3.
Für die weiteren Lösungen betrachten wir folglich die quadratische Gleichung
mit den Lösungen
x 2 E + 2x E − 3 = 0
x E2/3 = −1 ± √ 1 + 3 = −1 ± 2.
Damit erhalten wir insgesamt zwei mögliche Extremstellen: x E1/2 = 1 als doppelte Lösung und
x E3 = −3 als einfache Lösung. Jetzt überprüfen wir diese Lösungen in der 2. Ableitung:
Dabei erhalten wir:
f ′′ (x) = 3x 2 + 2x − 5.
f ′′ (x E1/2 = 1) = 0 und f ′′ (x E3 = −3) = 16 > 0.
Somit finden wir einen Terrassenpunkt und einen echten Tiefpunkt. Die fehlenden y - Koordinaten
berechnen wir durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion f(x):
y E1/2 = f(x E1/2 = 1) = − 11
12
und y E3 = f(x E3 = −3) = −22 1 4 .
Unser Ergebnis lautet also SP (1| − 11
12 ) und T (−3| − 22 1 4 ).
Damit haben wir für die ganzrationalen Funktionen den letzten Baustein einer vollständigen Funktionsuntersuchung
ergänzt. Wir werden im nächsten Schuljahr für andere Funktionstypen noch einige
Elemente ergänzen müssen.
23

4.4 Funktionsbestimmung
Wir können jetzt auch aus vorgegebenen Eigenschaften eines Funktionsgraphen die zugehörige Funktion
bestimmen. Der Lösungsweg hängt dabei von den verfügbaren Informationen ab und führt nicht
immer zu einer eindeutigen Lösung. Wir betrachten einige typische Beispiele.
Von unserer ersten Funktion kennen wir genau die notwendige Anzahl von Punkten, durch die der
Funktiosngraph verlaufen soll. Solche Aufgaben haben wir acuh schon bei der Bestimmung von
linearen und quadratischen Funktionen gelöst. Wir setzen einfach die gegebenen Punkte in den
allgemeinen Funktiosnterm ein und lösen das entstehende Gleichungssystem.
Beispiel 4.5 Gesucht ist eine ganzrationale funktion dritten Grades, deren Funktionsgraph durch
die Punkte A(1|−5), B(−1|1), C(2|−14) und D(0|4) verlaufen soll. Die allgemeine Funktion dritten
Grades lautet:
f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d.
Mit unseren vier Punkten können wir also vier Gleichungen zur Bestimmung der vier Parameter a,
b, c und d aufstellen:
−5 = a + b + c + d
1 = −a + b − c + d
−14 = 8a + 4b + 2c + d
4 = 0a + 0b + 0c + d
Die vierte Gleichung liefert sofort d = 4. Damit reduziert sich das Gleichungssystem zu
Addition der ersten beiden Gleichungen liefert:
−9 = a + b + c
−3 = −a + b − c
−18 = 8a + 4b + 2c
−12 = 2b
also b = -6. Damit reduziert sich das Gleichungssystem auf
mit den Lösungsschritten
−9 = a − 6 + c
−18 = 8a − 24 + 2c
−6 = 2a + 2c
6 = 8a + 2c
−12 = −6a
2 = a
c = −5
Damit haben wir die gesuchten Koeffizienten bestimmt: a = 2, b = -6, c = -5 und d = 4. Die
gesuchte Funktion lautet:
24

f(x) = 2x 3 − 6x 2 − 5x + 4.
Einen anderen Lösungswerg könne wir nutzen, wenn uns die Nullstellen gegeben sind. Dann greifen
wir auf die Linearfaktorzerlegung zurück.
Beispiel 4.6 Gesucht ist eine Funktion vierten Grades mit den Nullstellen -5, -3, 7 und 11. Unser
Anstaz lautet jetzt:
f(x) = a(x + 5)(x + 3)(x − 7)(x − 11).
Der Faktor a berücksichtigt dabei eine mögliche Streckung des Funktiosngraphen in y-Richtung.
Durch ausmultiplizieren ergibt sich:
f(x) = a(x 2 + 8x + 15)(x 2 − 18x + 77)
f(x) = a(x 4 − 10x 3 − 52x 2 + 346x + 1155)
Der Streckfaktor ist ohne weitere Informationen nicht bestimmbar. Daher gibt es hier eine ganze
Schar von Lösungen.
Interessant und neu wird die Aufgabe eigentlich erst, wenn wir Informationen über Extrema und
Wendepunkte einfließen lassen.
Beispiel 4.7 Wir suchen eine Funktion dritten Grades mit einem Extrempunkt bei x E = −1, sowie
einem Wendepunkt in W (2|4) mit der Steigung m = −4, 5. Im allgemeinen Ansatz benötigen wir
jetzt neben der Funktion auch ihre erste und zweite Ableitung:
f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
f ′ (x) = 3ax 2 + 2bx + c
f ′′ (x) = 6ax + 2b.
In der Extremstelle muss die erste Ableitung 0 werden:
0 = 3a − 2b + c.
Ferner muss im Wendepunkt die zweite Ableitung 0 werden, die erste Ableitung -4,5 ergeben und
der Funktionswert 4 betragen:
0 = 12a + 2b
−4, 5 = 12a + 4b + c
4 = 8a + 4b + 2c + d.
Aus diesen vier Gleichungen können wir wieder die vier Koeffizienten bestimmen. Die zweite Gleichung
liefert:
b = −6a.
Einsetzen in die erste Gleichung und Auflösen ergibt:
0 = 3a − 2 · (−6a) + c
c = −15a.
25

Das setzen wir jetzt alles in die dritte Gleichung ein und erhalten:
−4, 5 = 12a − 24a − 15a
−4, 5 = −27a
a = 1 6 .
Dieses Zwischenergebnis können wir jetzt einsetzen und erhalten:
b = −6a = −1 und c = −15a = −2, 5.
Jetzt müssen wir diese Werte in die vierte Gleichung einsetzen und erhalten für den letzten Koeffizienten
d:
Unsere gesuchte Funktion lautet also:
d = 4 − 8a − 4b − 2c = 11 2 3 .
f(x) = 1 6 x3 − x 2 − 2, 5x + 11 2 3 .
26

5 Optimierungsprobleme
Eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung liegt in der Optimierung von Messgrößen. Dazu
gehören die Kostenminimierung oder Gewinnmaximierung in der Wirtschaft ebenso wie das Minimieren
von Verpackungen oder das Maximieren von Flächen bei gegebenem Umfang.
Beispiel 5.1 In einem mittelständischen Elektronikunternehmen wurden die Kosten ermittelt, die
entstehen, wenn x Fernsehgeräte am Tag produziert werden. Man erhielt für die Gesamtkosten eines
Produktionstages in Abhängigkeit von der Stückzahl x die Funktion
K(x) = x 2 + 120x + 100.
Der Verkaufspreis pro Apparat wird angesetzt mit p = (400 − 3x). Gesucht ist die tägliche Produktionsmenge
für maximalen Gewinn 31 .
Das Beispiel zeigt ein typisches Anwendungsproblem aus der Wirtschaft. Die tatasächlichen Produktionskosten
setzen sich zusammen aus festen Kosten wie Halenmiete, Heizung usw. (hier repräsentiert
durch ’+100’) und variablen Kosten wie Materialkosten und Energieverbrauch für die
Produktion. Der Verkaufspreis ist marktabhängig. Je mehr Geräte auf den Markt geworfen werden,
umso geringer ist der zu ertzielende Preis. Dies wird durch ’-3x’ im Ansatz für den Einzelpreis
berücksichtigt. Die Lösung der Aufgabe erfolgt in drei Schritten.
Zuerst betsimmen wir die zu optimierende Größe, also in unserem Beispiel den Gewinn. Der Gewinn
ergibt sich als Differenz aus Umsatz und Kosten:
G(x) = U(x) − K(x) = (400 − 3x)x − (x 2 + 120x + 100) = −4x 2 + 280x − 100.
Dies nennen wir die Zielfunktion.
Im zweiten Schritt bestimmen wir das Maximum dieser Größe. Dazu greifen wir auf unsere Kenntnisse
aus der Differentialrechnung zurück und benutzen die erste und zweite Ableitung:
G ′ (x) = −8x + 280;
G ′′ (x) = −8.
Im Maximum muss die erste Ableitung 0 ergeben, und wir erhalten:
−8x max + 280 = 0 x max = 35.
Jetzt überprüfen wir den Wert in der zweiten Ableitung. Da die zweite Ableitung konstant -8, also
negativ ist, muss es sich um ein Maximum handeln.
Im letzten Schritt berechnen wir die fehlenden konkreten Werte und formulieren damit das Endergebnis.
Die optimale Stückzahl beträgt also 35 Geräte am Tag. Dadurch entstehen Kosten von
K(x = 35) = 5525.
Die Einnahmen nach dem Verkauf aller 35 Geräte betragen
Für den Gewinn ergibt sich damit
31 35 AB Extremwertprobleme Aufg.1
U(x) = px = (400 − 3 · 35) · 35 = 295, − · 35 = 10325, −.
G(x = 35) = 4800, −.
27

In vielen Anwendungen ergibt sich als Zielfunktion eine aus dem Sachzusammenhang vorgegebene
Funktion, die auf einer physikalischen Messgröße oder einer geometrischen Formel beruht. Zusätzlich
wird oft eine weitere Bedingung - die Nebenbedingung - benötigt, da die zu optimierende Größe
von mehr als einer Variablen abhängt.
Beispiel 5.2 Ein Schäfer will an einem Flussufer eine Weide für die Nacht für seine Schafe
einzäunen. An der Wasserseite benötigt er keinen Zaun. Er hat in seinem Schuppen noch eine
Rolle mit 100 m Maschendraht und ausreichend Pfähle gefunden. Damit möchte er eine möglichst
große rechteckige Weidefläche einzäunen 32 .
Hier muss natürlich der Flächeninhalt des Rechtecks groß werden. Unsere Zielfunktion lautet also:
A(l, b) = l · b.
Die Größe der Kanten l und b wird begrenzt durch die Länge des Maschendrahtes. Daraus erhalten
wir unsere Nebenbedingung
l + 2b = 100.
Diese Nebenbedingung lösen wir nach l auf und setzen ein die Zielfunktion:
A(b) = (100 − 2b) · b = 100b − 2b 2 .
Jetzt können wir unseren Mechanismus zur Extermwertbestimmung abspulen:
A ′ (b) = 100 − 4b;
A ′′ (b) = −4; 100 − 4b max = 0 b max = 25m;
A ′′ (b = 25) = −4 < 0, daher ein Maximum.
Abschließend berechnen wir wieder alle fehlenden Werte:
l = 100m − 2b = 50m;
A(l = 50m, b = 25m) = 50m · 25m = 1250m 2 .
Gelegentlich sollen Flächen zwischen gerümmten Linien optimiert werden. Dann beschreibt man die
Linien durch entsprechende Funktionsgleichungen.
Beispiel 5.3 Unter dem Graphen der Funktion f(x) = −x 2 + 9 soll ein Rechteck mit möglichst
großem Flächeninhalt einbeschrieben werden 33 .
Die Zielfunktion ist wieder der Flächeninhalt:
A(l, b) = l · b.
Die Nebenbedinung besteht jetzt darin, dass die Eckpunkte auf dem Funktionsgraphen liegen
müssen. Nehmen wir also die x - Koordinate als Länge und die y - Koordinate als Breite des
Rechtecks, so erhalten wir als Nebenbedingung, dass ein Eckpunkt bei P ( l 2
|b) liegen muss. Setzen
wir alles ein, so ergibt sich:
Jetzt läuft wieder unser Mechanismus:
32 35 AB Extremwertprobleme Aufg.2
33 35 AB Extremwertprobleme Aufg.3
l = 2x und b = y = f(x) = f( l 2 ) = − l2 4 + 9.
28

A(l) = l · (− l2 4 + 9) = − l3 4 + 9l;
A ′ (l) = − 3 4 l2 + 9;
A ′′ (l) = − 3 2 l;
− l3 max
4
+ 9l max = 0 l max = ± √ 12 ≈ ±3, 464.
Hier erhalten wir jetzt tatsächlich zwei Lösungen. Wir müssen also unser Ergebnis in der zweiten
Ableitung prüfen:
A ′′ (l = + √ 12) = − 3 2 · √12
< 0;
A ′′ (l = − √ 12) = + 3 2 · √12
> 0.
Die positive Lösung ergibt in der zweiten Ableitung einen negtaiven Wert und führt uns zum
gesuchten maximalen Flächeninhalt. Dies ist auch gut so, da negative Kantenlängen keinen Sinn
ergeben. Mathematisch existiert die Funktion A(l) aber auch für negative l - Werte und besitzt bei
− √ 12 ein Minimum. Als Ergebnis erhalten wir:
b = 6 und A = 6 √ 12 ≈ 20, 78F E.
Als letztes ein Beispiel aus der Physik mit etwas anspruchsvollerem Rechenweg.
Beispiel 5.4 Aus einem Baumstamm mit annähernd rundem Querschnitt und dem Durchmesser
d soll ein Balken maximaler Tragfähigkeit geschnitten werden. Für die Tragfähigkeit gilt T (b, h) =
k · b · h 2 , wobei k eine Konstante ist, welche die Härte des Holzes berücksichtigt 34 .
Die Zielfunktion ist hier vorgegeben. Die Nebenbedinung ergibt sich aus dem kreisförmigen Querschnitt
des Baumstamms. Breite b und Höhe h des Balkens bilden mit dem Durchmesser ein rechtzwinkliges
Dreieck. Daher gilt der Satz des Pythagoras:
d 2 = h 2 + b 2 .
Diese Gleichung lösen wir auf nach h 2 , damit wir eine Wurzel in der Zielfunktion vermeiden, und
setzen ein. Dann bestimmen wir die Ableitngsfunktionen.
T (b) = k · b · (d 2 − b 2 ) = kbd 2 − kb 3 ;
T ′ (b) = kd 2 − 3kb 2 ;
T ′′ (b) = −6kb.
Damit bestimmen wir die optimale Breite des Balkens:
√ √
kd 2 − 3kb 2 d
max = 0 b max = ±
2
3 = ± 1 ˙
3d.
Die negative Lösung liefert wieder ein rechnerisches Minimum, dass für uns nicht relevant ist. Die
positive Lösung liefert ein Maximum, da die zweite Ableitung dort negativ ist. Damit erhalten wir
die Lösung:
h = √ d 2 − b 2 =
√ 2
3 · d.
Hier darf man sich nicht von den ’Variablen’ täuschen lassen. Der Durchmesser d und die Materialkonstante
k sind Konstanten, nur eben nicht mit einem konkreten Wert belegt. Dadurch haben wir
den Vorteil, dass unser Ergebnis übertragbar ist auf Baumstämme beliebigen Durchmessers und
beliebiger Holzart. Solche allgemeinen Lösungen sind viel sinnvoller und ersparen viele unnötige
Mehrfachlösungen des gleichen Problems.
Damit haben wir alle typischen Varianten solcher Optimierungsprobleme kennengelernt. Weitere
Beispiele und Übungsmöglichkeiten liefern das Aufgabenblatt 35 und das Buch 36 .
34 35 AB Extremwertprobleme Aufg.4
35 35 AB Extremwertprobleme
36
29

Teil II
Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen
im IR 3
Die Analytische Geometrie beschäftigt sich mit der Beschreibung von Geraden, Ebenen und anderen
Objekten im dreidimensionalen Raum IR 3 sowie der Bestimmung von Schnittpunkten und Schnittwinkeln
zwischen diesen Objekten. Wir verwenden Vektoren als Hilfsmittel zur mathematischen
Darstellung der Objekte.
6 Vektoren im Raum
6.1 Positionsbestimmung durch Vektoren
Wir beginnen mit einer Einstiegsaufgabe 37 , die uns zunächst mit den neuen Begriffen vertraut
machen soll.
Zur Beschreibung von Positionen und Bewegungen benötigen wir einen festen Bezugspunkt und
einen Maßstab. Daher verwenden wir ein Koordinatensystem. Der Ursprung O(0|0) ist unser fester
Bezugspunkt. Durch die Wahl der Achseneinteilung legen wir einen Darstellungsmaßstab fest, z.B.
2 Kästchen (= 1 cm) für 1 Länegeneinheit (LE), die in der Realität einem Meter oder auch einem
Kilometer entsprechen kann. In der Aufgabe entspricht 1 LE einer Seemeile (sm), der Bezugspunkt
ist der Leuchtturm an der Flussmündung.
Die Postion der Schiffe beschreiben wir durch einen Punkt im Koordinatensystem, also z.B. A(1|−2)
als Ankerpunkt der Burckhardt. Die Geschwindigkeit der Schiffe können wir durch Betrag und
Richtungswinkel angeben:
v C = √ 20kn bei Kurs Ost, 26,57 ◦ Nord.
v B = 15kn bei Kurs Nord, 45 ◦ West.
In der Zeichnung können wir diese Geschwindigkeit durch einen Pfeil darstellen, dessen Länge den
Betrag der Geschwindigkeit wiederspiegelt. Diesen Pfeil können wir ebenfalls mit Hilfe von Koordinaten
beschreiben, wobei wir zur Unterscheidung von Punkten die Koordinaten untereinander
schreiben:
( ) 4
2
⃗v C =
⃗v B =
( −2
2
Genau genommen beschreiben diese Pfeile die Verschiebung der Schiffe innerhalb einer Stunde. Nun
gibt es auf dem Meer viele Schiffe, und manche fahren parallel zueinander mit gleicher Geschwindigkeit,
z.B. bei einer Flottenbewegung. Dann besitzt zwar jedes Schiff seinen eigenen Verschiebungspfeil,
aber es gibt nur eine Geschwindigkeit, die von allen gefahren wird. Damit kommen wir zum
Begriff des Vektors:
Definition 6.1 Eine gerichtete Verbindung P ⃗ Q von einem Punkt P zu einem Punkt Q nennen wir
einen Pfeil.
Bündeln wir alle Pfeile gleicher Länge, gleicher Richtung und gleicher Orientierung zu einer Menge,
37 51 AB Positionsbestimmungen Aufgabe 1
;
)
.
30

so erhalten wir einen Vektor. Jeden Pfeil aus diesem Vektor können wir als Repräsentant des Vektors
verwenden.
Der Begriff ’Orientierung’ berücksichtigt, dass gleich lange und parallele Pfeile auch gegeneinander
gerichtete Bewegungen beschreiben können. Vektoren können wir verwenden zur Beschreibung von
allen Größen, die neben einem Zahlenwert auch eine Richtung beinhalten. Dazu gehören:
• Verschiebungen;
• Geschwindigkeiten;
• Kräfte;
• Impulse.
Für weitere Berechnungen wollen wir auch die Punkte im Koordinatensystem mit Hilfe von Vektoren
beschreiben. Dazu verwenden wir Ortsvektoren.
Definition 6.2 Derjenige Repräsentant eines Vektors, der im Ursprung des Koordinatensystems
beginnt, zeigt eindeutig auf einen Punkt A im Koordinatensystem. Wir nennen ihn daher den Ortsvektor
⃗a = 0A ⃗ zum Punkt A.
Dann können wir die Positionen des Kutters ’Carl’ in Abhängigkeit von der Zeit t schreiben in der
Form
( ) ( )
−2 4
⃗x = + t .
1 2
Wir haben unsere Überlegungen bisher in einem zweidimensionalen Raum angestellt. Diese lassen
sich jetzt aber problemlos in den dreidimensionalen Raum übertragen. Wir ergänzen einfach eine
dritte Koordinate (z - Koordinate) für die Höhe 38 .
Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich aus dem Verbindungsvektor zweier Positionen und der Zeit,
die für den Positionswechsel benötigt wurde. Wir benötigen also häufiger Verbindungsvektoren
zwischen zwei Punkten. Diese ergeben sich aus der Differenz der Koordinaten der Punkte. Für das
Flugzeug in Aufgabe 2 schreiben wir mit Hilfe der Ortsvektoren:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
AB ⃗ = 0B ⃗ − 0A ⃗ =
200 50 150
⎝ 150 ⎠ − ⎝ 50 ⎠ = ⎝ 100 ⎠.
50 20 30
Daraus erhalten wir dann die Geschwindigkeit,
⎛
indem
⎞
wir jede Koordinate durch die benötigte Zeit
60
AB
dividieren, hier also durch 2,5h: ⃗v = ⃗
∆t = ⎝ 40 ⎠. Allgemein gilt also:
12
Satz 6.1 Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten P und Q in einem Koordinatensystem ist
gleich der Differenz der Ortsvektoren von Zielpunkt Q und Startpunkt P:
P⃗
Q = 0Q ⃗ − 0P ⃗ = ⃗q − ⃗p.
Aus diesem Verbindungsvektor können wir auch den Abstand der Punkte voneinander bestimmen.
Ziehen wir im zweidimensionalen Fall durch die Positionen S und P des Kutters parallele Geraden
zu den Koordinatenachsen, so entsteht ein Rechteck. Die Fahrtstrecke ist dann die Diagonale des
Rechtecks, so dass sich deren Länge mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ergibt:
38 51 AB Positionsbestimmungen Aufgabe 2
31

∣SP
⃗
∣ =
√
(13 − 1) 2 + (4 + 2) 2 = √ 180 ≈ 13, 42sm.
Im dreidimensionalen Fall entsteht durch die Parallelen ein Quader, dessen Raumdiagonale D mit der
Flächendiagonale d ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Zweimalige Anwendung des Satzes
von Pythagoras ergibt dann
D =
√
d 2 + (z B − z A ) 2 =
√
(x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2 .
Weitere Beispiele zur Nutzung von Vektoren befinden sich im Buch 39 .
6.2 Rechnen mit Vektoren
Wir haben jetzt am Beispiel von Bewegungen den Begriff des Vektors kennen gelernt. Jetzt wollen
wir lernen, mit Vektoren zu rechnen. Als Einstieg hierzu eignet sich die Aufgabe 1 im Buch auf
Seite 337. Dort wird beschrieben, wie wir die Hintereinanderausführung zweier Bewegungen durch
eine einzige ersetzen können. Die Gesamtbewegung wird dabei durch den Vektor beschrieben, den
wir erhalten, wenn wir die Vektoren der Einzelbewegungen addieren:
P⃗
R = P ⃗ Q + QR ⃗ =
⃗ P Q =
⃗ QR =
⎛
⎝
10
2
−25
Vektoren werden also Koordinatenweise addiert.
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
10
2 ⎠;
−25
⎞
−5
15, 5 ⎠;
−2, 5
⎞ ⎛
⎠ + ⎝
−5
15, 5
−2, 5
⎞
⎛
⎠ = ⎝
5
17, 5
−27, 5
Definition 6.3 Addition ⎛ ⎞und Subtraktion ⎛ ⎞
x a
Zwei Vektoren ⃗a = ⎝ y a ⎠ und ⃗ x b
b = ⎝ y b
⎠ werden koordinatenweise addiert und subtrahiert. Wir
z a z b
nennen den Vektor
⎛ ⎞
⃗s = ⃗a + ⃗ x a + x b
b = ⎝ y a + y b
⎠
z a + z b
die Summe der Vektoren ⃗a und ⃗ b. Wir nennen den Vektor
⎛ ⎞
⃗d = ⃗a − ⃗ x a − x b
b = ⎝ y a − y b
⎠
z a − z b
die Differenz der Vektoren ⃗a und ⃗ b.
Beispiel 6.1 Wir betrachten die Vektoren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
13
⃗a = ⎝ −5 ⎠ und ⃗ −7
b = ⎝ 18 ⎠
11
5
39 Elemente der Mathematik SII: Seite 335 - 336, Aufgabe 2 - 4
⎞
⎠.
32

Dann erhalten wir die Summe
und die Differenz
⎛
⃗s = ⃗a + ⃗ b = ⎝
⎛
⃗d = ⃗a − ⃗ b = ⎝
⎞ ⎛
13 + (−7)
−5 + 18 ⎠ = ⎝
11 + 5
⎞ ⎛
13 − (−7)
−5 − 18 ⎠ = ⎝
11 − 5
Diese Definiton führt zu zwei wichtigen Folgerungen. Zum einen gilt für drei beliebige Punkte X,
Y, Z immer
XY ⃗ + Y ⃗ Z = XZ. ⃗
Wir nennen dies die Dreiecksregel, da die drei Verbindungspfeile ein Dreieck mit den Eckpunkten
X, Y, Z bilden. Ferner erhalten wir als Summe eines Ortsvektors 0P ⃗ und eines Verbindungsvektors
P⃗
Q stets einen neuen Ortsvektor:
0P ⃗ + P ⃗ Q = 0Q. ⃗
Daraus ergibt sich aber auch, dass jeder Verbindunsgvektor zwischen zwei Punkten P und Q immer
die Differenz der beiden Ortsvektoren ist. Meistens kennen wir die Punkte bzw. ihre Koordinaten.
Diese sind aber identisch mit den Koordinaten der Ortsvektoren. Daraus erhalten wir jetzt als
Differenz benötigte Verbindungsvektoren.
Beispiel 6.2 Wir suchen eine Verbindung zwischen den Punkten M(3|7|11) und N(12|−4|6). Dann
ergibt sich für den Verbindungsvektor:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
12 − 3 9
MN ⃗ = ⎝ −4 − 7 ⎠ = ⎝ −11 ⎠.
6 − 11 −5
Weitere Übungsaufgaben befinden sich im Buch 40 . Zu einer weiteren Rechenoperation mit Vektoren
führt uns die Einstiegsaufgabe im Buch auf Seite 340. Hier geht es um die Vervielfachung eines
Vektors. Der Verschiebungsvektor, der die Bewegung des U-Bootes in der ersten Stunde beschreibt
ist gerade der Geschwindigkeitsvektor:
⎛ ⎞
5016
⃗v = ⃗p − ⃗o = ⎝ 2524 ⎠.
−12
Durch Multiplikation dieses Vektors, d.h. jede seiner Koordinaten mit 2 erhalten wir die doppelte
Verschiebung, also die Strecke, die das U-Boot in zwei Stunden bewältigt. Durch einen Faktor wird
also der Vektor vervielfacht, die darstellenden Pfeile entsprechend gestreckt. Ähnlich sind wir schon
bei der Bestimmung der Positionen des Kutters ’Carl’ und des Flugzeugs ’Carl 1’ vorgegangen.
Auch dort haben wir einen Faktor t verwendet, der die Zeit beschreibt.
Definition 6.4
⎛
S - Multiplikation
⎞
x a
Ein Vektor ⃗a = ⎝ y a ⎠ wird mit einer reellen Zahl λ multipliziert, indem wir jede Koordinate mit
z a
dieser Zahl λ multiplizieren:
40 Elemente der Mathematik SII: Seite 339, Aufgabe 4 - 8
6
13
16
20
−23
6
⎞
⎠
⎞
⎠.
33

⎛ ⎞
λx a
λ⃗a = ⎝ λy a
⎠.
λz a
Durch Multiplikation mit -1 erhalten wir den Gegenvektor
⎛ ⎞
−x a
−⃗a = (−1)⃗a = ⎝ −y a
⎠.
−z a
Die Pfeile zu einem Vektor ⃗a und zu seinem Gegenvektor −⃗a haben gleiche Länge und Richtung,
aber entgegengesetzte Orientierung.
Wir trainieren die neuen Rechenoperationen an einigen Übungsaufgaben 41 . Zu Rechenoperationen
gehören immer auch Rechengesetze. Wir wollen die Gültigkeit der üblichen Rechengesetze für unsere
Vektoren überprüfen 42 .
Der Nachweis solcher Rechengesetze erfolgt immer durch Rückgriff auf Gültigkeit der Rechengesetze
für relle Zahlen. Als Beispiel wollen wir das Assoziativgesetz beweisen. Wir beginnen, indem wir die
Vektoren mit ihren Koordinaten ausschreiben:
(
⃗a + ⃗ )
b + ⃗c =
⎛⎛
⎞ ⎛ ⎞⎞
⎛ ⎞
x a x b x c
⎝⎝
y a ⎠ + ⎝ y b
⎠⎠ + ⎝ y c
⎠.
z a z b z c
Jetzt benutzen wir die Definition der Rechenoperation:
⎛⎛
⎞ ⎛ ⎞⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
x a x b x c x a + x b x c (x a + x b ) + x c
⎝⎝
y a ⎠ + ⎝ y b
⎠⎠ + ⎝ y c ⎠ = ⎝ y a + y b
⎠ + ⎝ y c ⎠ = ⎝ (y a + y b ) + y c
⎠.
z a z b z c z a + z b z c (z a + z b ) + z c
Dann wenden wir die Rechengesetze auf die rellen Zahlen an:
⎛
⎞ ⎛
⎞
(x a + x b ) + x c x a + (x b + x c )
⎝ (y a + y b ) + y c ⎠ = ⎝ y a + (y b + y c ) ⎠.
(z a + z b ) + z c z a + (z b + z c )
Nun gehen wir den Weg über die Definition der Addition zurück zu den Einzelvektoren:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎛
⎞ ⎛ ⎞⎞
x a + (x b + x c ) x a x b + x c x a x b x c
( )
⎝ y a + (y b + y c ) ⎠ = ⎝ y a ⎠ + ⎝ y b + y c ⎠ = ⎝ y a ⎠ + ⎝⎝
y b
⎠ + ⎝ y c ⎠⎠ = ⃗a + ⃗b + ⃗c .
z a + (z b + z c ) z a z b + z c z a z b z c
Auf diesem Weg sind auch das Kommutativgesetz und die distributiven Gesetze nachweisbar.
Die restlichen Aufgaben beschäftigen sich mit Ortsvektoren und Rechenübungen zum Umgang mit
den Rechenregeln für Vektoren.
41 52 AB Rechnen mit Vektoren; Elemente der Mathematik Seite 343-344 Aufgabe 3 - 9
42 52 AB Rechnen mit Vektoren Aufgabe 3
34

7 Lineare Abhängigkeit
Wir wollen drei Schiffe betrachten, die auf der Ostsee fahren. Ihre Postionen werden beschrieben
durch die Gleichungen
( ) ( )
2 5
⃗s 1 (t) = + t ;
(
4
) (
−12
)
3 −15
⃗s 2 (t) = + t ;
(
2
) (
36
)
5 12, 5
⃗s 3 (t) = + t .
1 −27
Offenbar, fährt das zweite Schiff dem ersten genau entgegen, und dass mit dreifacher Geschwindigkeit.
Es gilt:
( ) ( )
−15
5
= −3 .
36 −12
Das dritte Schiff fährt nicht ganz auf Parallelkurs zum ersten, da sich kein Faktor finden lässt, so
dass der dritte Geschwindigkeistvektor ein Vielfaches des ersten ist. Die Richtungen der Repräsentanten
dieser Vektoren sind nicht gleich, sie verlaufen nicht parallel zueinander.
Bewegung in der gleichen Richtung oder parallele Kanten und Flächen treten oft auf und kennzeichnen
immer eine besondere Situation. Wir wollen daher Begriffe für solche Vektoren einführen.
Definition 7.1 Kollinearität und Komplanarität
Vektoren heißen kollinear, falls ihre Repräsentanten parallel zueinander liegen.
Vektoren heißen komplanar, falls ihre Repräsentanten parallel zu einer gemeinsamen Ebene liegen.
Zwei beliebige Vektoren ⃗a und ⃗ b sind also genau dann kollinear, wenn der eine ein Vielfaches des
anderen ist, d.h. es gibt eine reelle Zahl s, so dass gilt:
⃗a = s ⃗ b.
Komplanar sind zwei Vektoren immer, da die Ebene, zu der beide parallel liegen, ja gerade erst
durch die Richtung der beiden Vektoren bzw. ihrer Repräsentanten festgelgt wird. Die Frage wird
erst interessant, wenn wir mindestens drei Vektoren ⃗a, ⃗ b und ⃗c betrachten. Deren Repräsentanten
liegen genau dann parallel zu einer gemeinsamen Ebene, wenn man einen der Vektoren als
Linearkombination der beiden anderen schreiben kann, d.h. es gibt reelle Zahlen s und t, so dass
gilt:
⃗c = s⃗a + t ⃗ b.
Ein gute Vorstellung von der Bedeutung dieser Begriffe bekommen wir durch die betrachtung der
Kanten eines Körpers 43 .
Diese stark von der geometrischen Vorstellung der Parallelität geprägten Begriffe hängen eng zusammen
mit einem allgemeineren Begrif, der allerdings auch etwas abstrakter ist.
Definition 7.2 Lineare Abhängigkeit
Eine Anzahl von n Vektoren ⃗a 1 , ⃗a 1 , ... ⃗a n heißt linear abhängig, falls es n relle Zahlen s 1 , s 2 , ... s n
gibt, die nicht alle 0 sind, so dass gilt:
43 53 AB Lineare Abhängigkeit Aufgabe 1
s 1 ⃗a 1 + s 2 ⃗a 2 + ...s n ⃗a n = ⃗0.
35

Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind.
Mit anderen Vektoren: Die n Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor
als echte Linearkombination aus ihnen darstellen lässt.
Beispiel 7.1 Wir betrachten die Vektoren
⎛ ⎞
3
⎛
4
⎞ ⎛ ⎞
5
⃗a = ⎝ 5 ⎠, ⃗ b = ⎝ −2 ⎠ und ⃗c = ⎝ 1 ⎠.
2 3
7
Um herauszufinden, ob es Zahlen s 1 , s 2 , s 3 gibt, die die Bedingung in der Definition erfüllen, versuchen
wir diese Zahlne zu bestimmen:
s 1 ⃗a + s 2
⃗
⎛ ⎞ ⎛ b +
⎞ s3 ⃗c =
⎛
⃗0;
⎞
3 6 −9
s 1 ⎝ 5 ⎠ + s 2 ⎝ −2 ⎠ + s 3 ⎝ 21 ⎠ = ⃗0.
2 3 −3
Diese Vektorgleichung ist genau dann erfüllt, wenn sie in jeder Koordinate erfüllt ist. Daher entsteht
folgendes Gleichungssystem:
3s 1 + 6s 2 − 9s 3 = 0
5s 1 − 2s 2 + 21s 3 = 0
2s 1 + 3s 2 − 3s 3 = 0
Diese Gleichungssystem besitzt mindestens eine Lösung: s 1 = s 2 = s 3 = 0. Wir müssen herausfinden,
ob es eine weitere besitzt. Dazu wenden wir den Gauß-Algortihmus an:
1s 1 + 2s 2 − 3s 3 = 0
0s 1 + 12s 2 − 36s 3 = 0
0s 1 + 1s 2 − 3s 3 = 0
Im nächsten Schritt tauschen wir die zweite und die dritte Gleichung:
1s 1 + 2s 2 − 3s 3 = 0
0s 1 + 1s 2 − 3s 3 = 0
0s 1 + 0s 2 + 0s 3 = 0
Die letzte Zeile sagt uns, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Somit gibt
es Zahlen s 1 , s 2 , s 3 , die nicht alle 0 sind und die Bedingung erfüllen. Ein Möglichkeit wäre
s 1 = −3; s 2 = 3; s 3 = 1.
36

8 Geraden im IR 3
Im dreidimensionalen Raum IR 2 können wir jeden Punkt X auf einer Geraden g erreichen, indem
wir zunächst über einen Vektor ⃗a = 0A ⃗ zu einem beliebigen Punkt A auf der Geraden g gehen und
dann ein Vielfaches eines Vektors, der in die Richtung der Geraden zeigt, addieren. Diesen zweiten
Vektor nennen wir einen Richtungsvektor ⃗u der Geraden g.
Definition 8.1 Parameterform der Geradengleichung
Eine Gerade g durch einen Punkt A parallel zu den Repräsentanten eines Vektors ⃗u wird beschrieben
durch die Gleichung
g : ⃗x = ⃗a + t⃗u.
⃗a = ⃗ 0A heißt Stützvektor zum Aufpunkt A. ⃗u heißt Richtungvektor der Geraden. Für jeden Wert
des Parameters t ∈ IR erreichen wir genau einen Punkt auf der Geraden g.
Beispiel 8.1 Eine Gerade g verläuft durch den Punkt A(2|5|7) und parallel zur Winkelhalbierenden
in der y-z-Ebene. Damit haben wir einen Stützvektor und einen Richtunsgvektor:
⎛ ⎞
2
⃗a = ⎝ 5 ⎠ und
⎛ ⎞
0
⃗u = ⎝ 1 ⎠.
7
1
Daraus ergibt sich die Gleichung der Geraden g:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0
g : ⃗x = ⎝ 5 ⎠ + t ⎝ 1 ⎠.
7 1
Mit t = 1 erreichen wir dann den Punkt B(2|6|8):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0B ⃗ = ⃗ 2 0 2
b = ⎝ 5 ⎠ + 1 ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 6 ⎠.
7 1 8
Mit t = -3 erreichen wir dann den Punkt C(2|2|4):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0 2
0C ⃗ = ⃗c = ⎝ 5 ⎠ − 3 ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 2 ⎠.
7 1 4
Der Richtungsvektor ist nicht eindeutig. Wir können auch einen anderen Vektor ⃗v als Richtungsvektor
verwenden, der zu ⃗u kollinear ist. Ebenso können wir den Aufpunkt verändern: Auch die
gefundenen Punkte B und C eignen sich, da sie auf g liegen. Dann ergeben sich allerdings andere
Werte für den Parameter, so dass wir besser einen anderen Buchstaben verwenden.
Beispiel 8.2 Fortsetzung von
⎛
Beispiel
⎞
8.1:
0
Mit B als Aufpunkt und ⃗v = ⎝ −2 ⎠ = −2⃗u erhalten wir mit dem Parameter s:
−2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0
g : ⃗x = ⎝ 6 ⎠ + s ⎝ −2 ⎠.
8 −2
37

Den Punkt C erreichen wir jetzt mit s = 2:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0 2
0C ⃗ = ⃗c = ⎝ 6 ⎠ + 2 ⎝ −2 ⎠ = ⎝ 2 ⎠.
8 −2 4
Eine Gerade ist eindeutig festgelegt durch zwei Punkte. Oftmals werden deshalb zwei Punkte P
und Q angegeben, um die Gerade zu definieren. Dann müssen wir uns den Richtungsvektor erst
beschaffen. Dies ist der Verbindungsvektor zwischen den Punkten P und Q: ⃗u = P ⃗ Q.
Beispiel 8.3 Gerade aus zwei Punkten
Gegeben sind die Punkte P (−3|7|2) und Q(3| − 4|9). Wir erhalten den Richtungsvektor
⎛ ⎞
⃗u = 0Q ⃗ − 0P ⃗
6
= ⎝ −11 ⎠
7
und mit P als Aufpunkt die Geradengleichung
⎛ ⎞
−3
⎛
6
⎞
g : ⃗x = ⎝ 7
2
⎠ + ⎝ −11 ⎠.
7
Eine andere Form der Geradengleichung ist die Koordinatenform wie sie aus der Mittelstufe bekannt
ist. Sie ist nur im IR 2 verfügbar. Da wir eine entsprechende Gleichung für Ebenen im IR 3 betrachten
werden, wollen wir hier auch auf diese Form der Gleichung eingehen. Wir wandeln dazu zuächst
eine Parametergleichung in eine Koordinatengleichung um. Dazu eliminieren wir den Parameter t
vor dem Richtungsvektor aus dme zugehörigen Gleichngssystem.
Beispiel 8.4 Wir betrachten die Gerade mit der Gleichung
( ) ( )
3 2
g : ⃗x = + t .
12 4
Ersetzen wir den Vektor ⃗x durch seine Koordinaten x und y, so erhalten wir das zugehörige Gleichungssystem:
Elimination von t führt zu
Dies entspricht der bekannten Gleichung
x = 3 + 2t
y = 12 + 4t
x = 3 + 2t
y − 2x = 6
y = 2x + 6
Definition 8.2 Eine Gleichung der Form ax + by = c mit reellen Koeffizienten a, b und c bezeichnen
wir als Koordinatenform der Geradengleichung.
Normieren wir die Gleichung auf c = 1, so erhalten wir die Achsenabschnittsform.
38

Definition 8.3 Eine Gleichung der Form x x 0
+ y y 0
= 1 heißt Achsenabschnittsform. Die Zahlen x 0
und y 0 bezeichnen darin die Achsenschnittpunkte (x 0 |0) und (0|y 0 ).
In unserem Beispiel 8.4 ergibt sich damit:
x
−3 + y 6 = 1
mit den Achsenschnittpunkten (−3|0) und (0|6).
Weitere Beispiele und Übungen zum Umgang mit der Geradengleichung befinden sich auf dem
Aufgabenblatt 44 und im Buch 45 .
44 55 AB Geraden
45 Elemente der Mathematik SII Seite 349 - 350 Aufgaben 8 - 18
39

9 Ebenen im IR 3
Analog zu Geraden können wir auch Ebenen im dreidimensionalen Raum durch eine Parametergleichung
beschreiben. Da Ebenen in zwei Richtungen (Dimensionen) verlaufen, benötigen wir dabei
allerdings zwei Richtungsvektoren und entsprechend zwei Parameter.
Definition 9.1 Parameterform der Ebenengleichung
Eine Ebene E durch einen Punkt A parallel zu den Repräsentanten zweier Vektoren ⃗u und ⃗v wird
beschrieben durch die Gleichung
E : ⃗x = ⃗a + s⃗u + t⃗v.
⃗a = 0A ⃗ heißt Stützvektor zum Aufpunkt A. Die Vektoren ⃗u und ⃗v heißen Richtungvektoren der
Ebene. Für jede Kombination von Werten der Parameter s, t ∈ IR erreichen wir genau einen
Punkt auf der Ebene E.
Beispiel 9.1 Eine Ebene E verläuft durch den Punkt A(4| − 5|3) und parallel zu den Vektoren
⎛ ⎞
⎛ ⎞
3
−2
⃗u = ⎝ −1 ⎠ und ⃗v = ⎝ 4 ⎠. Damit haben wir einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren:
1
1
Daraus ergibt sich die Gleichung der Ebene E:
⎛
4
⎞ ⎛
3
⎞ ⎛ ⎞
−2
E : ⃗x = ⎝ −5 ⎠ + s ⎝ −1 ⎠ + t ⎝ 4 ⎠.
3 1 1
Wir suchen eine Gleichung für eine Ebene F, die parallel zu E durch den Punkt B (17|3| − 8) verläuft.
Dazu müssen wir nur den Stützvektor ersetzen:
⎛ ⎞
17
⎛
3
⎞ ⎛ ⎞
−2
F : ⃗x = ⎝ 3
−8
⎠ + s ⎝ −1 ⎠ + t ⎝
1
4
1
⎠.
Ferner können wir prüfen ob der Punkt P (6|7|6) auf der Ebene E liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten
von P in die Ebenengleichung ein und suchen nach einer möglichen Lösung für die Parameter
s und t:
6 = 4 − 5s − 2t
7 = −5 − s + 4t
6 = 3 + s + t
Die Addition der beiden letzten Gleichungen liefert t = 3. Dies setzen wir ein in die erste und in
die zweite Gleichung:
6 = 4 − 5s − 6
7 = −5 − s + 12
Es ergeben sich für den Parameter s die Werte s 1 = 1, 6 und s 2 = 0. Diese sind verschieden, daher
liegt P nicht in der Ebene.
40

Im letzten Beispiel ist es wichtig, alle drei Gleichungen zu betrachten. Da in dem Gleichungssystem
ur zwei Unbekante - die Parmeter s und t - auftreten, benötigen wir tzum Lösen des Gleichungssystems
auch nur zwei der drei Gleichungen. Der Punkt liegt aber nur dann auf der Ebene, wenn diese
Lösung auch die dritte - in der Rechnung nicht verwndete - Gleichung erfüllt. In dem Beispiel ist
das die erste Gleichung, daher müssen wir die für t gefundene Lösung in eine der beiden benutzten
Gleichungen und in die erste, nicht verwendete Gleichung einsetzen.
Wir können ebenso wie bei Geraden eine Ebenengleichung auch aus gegebenen Punkten aufstellen.
Eine Ebene ist stets durch drei Punkte definiert. Sind also drei Punkte A, B und C gegeben, so
nehmen wir einen davon als Aufpunkt (z.B. A) und bilden die Richtungsvektoren als Verbindungsvektoren
⃗u = AB ⃗ und ⃗v = AC. ⃗
Beispiel 9.2 Gegeben sind die Punkte A (5| − 6|8), B (7|2| − 1) und C (1|4|5). Dann lautet eine
Gleichung der Ebene:
⎛
5
⎞ ⎛
2
⎞ ⎛ ⎞
−4
E : ⃗x = ⎝ −6 ⎠ + s ⎝
8
8
−9
⎠ + t ⎝ 10 ⎠.
−3
bei den geradengleichungen haben wir zusätzlich eine Koordinatenform und die Achsenabschnittsform
betrachtet.
Definition 9.2 Eine Gleichung der Form ax + by + cz = d mit reellen Koeffizienten a, b, c und d
nennen wir eine Koordinatenform einert Ebenengleichung im IR 3 .
Eine Gleichung der Form x x 0
+ y y 0
+ z z 0
= 1 nennen wir Achsenabschnittsform.
Die Umwandlung einer Parameterform in eine Koordinatenform erfolgt wie bei den Geraden durch
Elimination der Parameter.
Beispiel 9.3 Wir betrachten die Ebene
⎛
E : ⃗x = ⎝
⎞
−3
4
7
⎛
⎠ + s ⎝
⎞
−3
4
0
⎛
⎠ + t ⎝
⎞
−3
0 ⎠.
7
Ersetzen wir den Vektor ⃗x durch seine Koordinaten x, y und z, so ergibt sich das Gleichungssystem
x = −3 − 3s − 3t
y = 4 + 4s
z = 7 + 7t
Wir lösen die zweite Gleichung nach s und die dritte nach t auf und erhalten:
s = y 4 − 1 und t = z 7 − 1.
Dies setzen wir in die erste Gleichung ein:
( ) ( )
y z
x = −3 − 3 ·
4 − 1 − 3 ·
7 − 1
28x + 21y + 12z = 84
Daraus ergibt sich die Achsenabschnittsform
28x = −84 − 21y + 84 − 12z + 84
41

x
3 + y 4 + z 7 = 1.
Die Ebene schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten X (3|0|0), Y (0|4|0) und Z (0|0|7).
Ebenengleichungen werden z.B. bei der Beschreibung von Dachflächen in der Architektur verwendet.
Insbesondere gängige Architektenprogramme für Computer verwenden eine Vektorgrafik
zur Beschreibung der Punkte, Linien und Flächen.
Weitere Beispiele und Übungen zum Umgang mit der Ebenengleichung befinden sich auf dem Aufgabenblatt
46 und im Buch 47 .
46 56 AB Ebenen
47 Elemente der Mathematik SII Seite 377 - 378 Aufgaben 5 - 14
42

10 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Wir wollen jetzt untersuchen, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen können. Sicher besteht
die Möglichkeit, dass die beiden Geraden sich schneiden. Außerdem können sie parallel zueinander
verlaufen. Diese beiden Möglichkeiten kennen wir aus der Geometrie in der Ebene. Da die Gleichung
einr Geraden in der Vektordarstellung aber nicht eindeutig ist, kann es uns passieren, dass wir zwei
Geradengleichungen haben, die zur gleichen Gerdaen gehören. Die Geraden könnten also sogar
identisch sein. Im IR 3 gibt es noch eine vierte Möglichkeit: Die Geraden können ohne Schnittpunkt
aneinander vorbei laufen, obwohl sie nicht parallel zueinander verlaufen. Wir nennen diese Geraden
dann windschief zueinander. Insgesamt erhalten wir also folgende vier Möglichkeiten für die Lage
zweier Geraden g und h zueinander:
• g und h sind identisch.
• g und h verlaufen parallel zueinander.
• g und h schneiden sich in einem Punkt S.
• g und h liegen windschief zueinander.
Es gibt zwei Methoden, die jeweilige Lage zu bestimmen.
10.1 Analyse der Lagebeziehung über Kollinearitätsbedingungen
Wir können unsere vier Fälle in zwei Gruppen einteilen: Parallele und identische Geraden müssen
durch kollineare Richtungsvektoren beschrieben werden, sich schneidende oder windschiefe Geraden
dagegen können keine kollinearen Richtungsvektoren besitzen. Daher können wir zunächst die
Richtungsvektoren unserer Geraden g und h auf Kollinearität prüfen.
Sind die Richtunsgvektoren kollinear, so müssen die Geraden zumindest parallel verlaufen. Jetzt
prüfen wir, ob der Aufpunkt der einen Geraden auf der anderen geraden liegt, bzw. ob der Verbindungsvektor
A g
⃗A h kollinear zu den beiden Richtungsvektoren ist. Liegt A g auf h, dann liegt auch
A h auf g und der Verbindungsvektor ist kollinear zu den Richtungsvektoren. In diesem Fall sind die
Geraden identisch. Sind g und h verschieden voneinander, verlaufen sie also echt parallel zueinander,
so kann A g nicht auf h liegen. Dann liegt aber auch A h nicht auf g und der Verbindungsvektor ist
nicht kollinear zu den Richtungsvektoren.
Beispiel 10.1 Kollinearitätsprüfung
Wir betrachten die Geraden
⎛ ⎞
−1
⎛
2
⎞
g : ⃗x = ⎝ −11 ⎠ + s ⎝
6
8
−5
⎠
und
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5 −1
h : ⃗x = ⎝ 13 ⎠ + t ⎝ −4 ⎠.
−8 2, 5
Die Richtungsvektoren sind kollinear, denn es gilt:
⎛
2
⎞ ⎛ ⎞
−1
⎝ 8
−5
⎠ = −2 ⎝ −4 ⎠.
2, 5
43

Folglich sind die beiden Geraden g und h zumindest parallel. Jetzt setzen wir den Stützvektor des
Aufpunktes von g in die Gleichung von h ein:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−2 5 −1
⎝ −11 ⎠ = ⎝ 13 ⎠ + t ⎝ −4 ⎠;
4 8 2, 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−6 −1
⎝ −24 ⎠ = t ⎝ −4 ⎠.
14 2, 5
In den ersten beiden Koordinaten wird diese Gleichung erfüllt für t = 6. Aber in der dritten Gleichung
ergibt sich t = 28 5 ≠ 6. Daher liegt der Aufpunkt von g nicht auf h. Die Geraden verlaufen
echt parallel.
Sind nach der ersten Prüfung die Richtunsgvektoren nicht kollinear, so können die Geraden g
und h nur noch windschief sein oder sich in einem Punkt S schneiden. Dies können wir mit einem
Ansatz zur Bestimmung eines möglichen Schnittpunktes untersuchen. Existiert der Schnittpunkt
nicht, dann müssen die Geraden windschief sein.
10.2 Analyse eines Schnittpunktansatzes
Im zweiten Verfahren vermuten wir die Existenz eines Schnittpunktes. Mit dem Gleichsetzungsverfahren
können wir diesen Schnittpunkt bestimmen. Erhalten wir eine eindeutige Lösung, so
gibt es einen Schnittpunkt, und wir haben diesen auch gleich bestimmt. Gibt es dagegen unendlich
viele Lösungen, so müssen die Geraden identisch sein. Gibt es keinen Schnittpunkt, so verlaufen die
Geraden parallel zueinander oder windschief aneinander vorbei.
Beispiel 10.2 Lageuntersuchung mit einem Schnittpunktansatz
Wir betrachten die Geraden
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−3 3
g : ⃗x = ⎝ −4 ⎠ + s ⎝ 1 ⎠
−6 4
und
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
7 4
h : ⃗x = ⎝ 1 ⎠ + t ⎝ 3 ⎠.
4 2
Für einen möglichen Schnittpunkt muss es Parameterwerte für t und s geben, so dass beide rechten
Terme der geradengleichungnen zum gleichen Ortsvektor führen:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−3 3 7 4
⎝ −4 ⎠ + s ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ + t ⎝ 3 ⎠.
−6 4 4 2
Gibt es für diese Gleichung Lösungen für die Parameter s und t, so führen sie zum gesuchten
Schnittpunkt. Wir stellen das zugehörige Gleichungssystem auf:
−3 + 3s = 7 + 4t
−4 + s = 1 + 3t
−6 + 4s = 4 + 2t
44

Ordnen ergibt:
3s − 4t = 10
s − 3t = 5
4s − 2t = 10
Mit dem Gaußalgorithmus und durch vorziehen der zweiten Gleichung nach oben ergibt sich:
und dann
s − 3t = 5
5t = −5
10t = −10
s − 3t = 5
t = −1
0 = 0
Hier wird eine besondere Stärke des Gaußalgorithmus sichtbar. Die letzte Gleichung sagt uns sofort,
dass ein Schnittpunkt existiert. Also müssen wir nur noch den Wert für t in die erste Gleichung
einsetzen und erhalten:
s = 5 + 3t = 5 − 3 = 2.
Jetzt können wir s = 2 in die Gleichung von g oder t = −1 in die Gleichung von h einsetze. In
beiden Fällen müssne wir zum gleichen Schnittpunkt gelangen:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−3 3 3
g : ⃗x = ⎝ −4 ⎠ + 2 ⎝ 1 ⎠ = ⎝ −2 ⎠.
−6 4 2
Der Schnittpunkt liegt also in S (3| − 2|2).
Wir können die vier Fälle, wie zwei Geraden zueinander liegen können, an der Gestalt des Gleichungssystems
nach der Umformung mit dem Gaußalgorithmus erkennen. Zu jedem der vier Fälle
passt genau eine Gestalt. Eine eindeutige Lösung und damit einen Schnittpunkt erhalten wir, falls
die Lösung aussieht wie im Beispiel:
a 1 · s + b 1 · t = c 1
0 + b 2 · t = c 2
0 = 0
Dabei dürfen die Koeffizienten a 1 , b 1 und b 2 nicht null werden. Wird c 2 null, so ist eben t = 0 eine der
gesuchten Lösungen. Auch c 1 darf null werden. Bei parallelen Geraden nimmt das Gleichungssystem
folgende Form an.
a 1 · s + b 1 · t = c 1
0 · t = 0
0 = c 3
45

Die zweite Gleichung gaukelt uns vor, dass es unendliche viele Schnittpunkte gibt. Die Probe in
der dritten Gleichung schlägt aber fehl. Es kann acuh sein, dass die letzten beiden Gleichungen in
vetauschter Reihenfolge auftreten. Im Fall identischer Geraden fällt auch die dritte Gleichung in
sich zusammen:
a 1 · s + b 1 · t = c 1
0 · t = 0
0 = 0
Bei windschiefen Geraden liefern die beiden ersten Gleichungen zunächst eine Lösung, die dann aber
in der dritten Gleichung nicht aufgeht. Dadurch entsteht folgende Struktur:
a 1 · s + b 1 · t = c 1
0 · t = c 2
0 = c 3
Somit können wir aus dem Schnittpunktansatz heraus mit Hilfe des Gaußalgorithmus über die letzte
Gestalt des Gleichungssystems alle vier möglichen Lagen von zwei geraden im Raum unterscheiden.
Geeignete Übungsaufgaben befinden sich auf dem Aufgabenblatt 48 und im Buch 49 .
Vektorgleichungen von Geraden eignen sich besonders zur Darstellung von Bewegungen im Raum.
Daraus ergeben sich eine ganze Reihe von Anwendungsaufgaben mit Flugbewegungen oder Schiffsbewegungen
50 .
10.3 Lage von Geraden und Ebenen
Die Situation zwischen einer Geraden und einer Ebene ist erheblich einfacher. Eine Gerade kann
• eine Ebene schneiden - eindeutige Lösung.
• in der Ebene liegen - unendlich viele Lösungen.
• parallel zur Ebene verlaufen - keine Lösung.
Dies drückt sich auch darin aus, dass der Schnittpunktansatz mit dem Gleichungsverfahren zu einem
Gleichungsysstem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten führt.
Beispiel 10.3 Schnittpunkt von Gerade und Ebene
Wir betrachten die Gerade
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1
g : ⃗x = ⎝ 0 ⎠ + s ⎝ 2 ⎠
2 1
und die Ebene E
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 4 3
E : ⃗x = ⎝ 3 ⎠ + p ⎝ 2 ⎠ + q ⎝ 1 ⎠.
1 9 6
Mit dem Gleichsetzungsverfahren ergibt sich zunächst die Vektorgleichung
48 56 AB Lage von Geraden
49 Elemente der Mathematik SII Seite 377 - 378 Aufgaben 5 - 14
50 58 AB Geradenanwendung
46

Daraus entwickeln wir das Gleichungssystem
Ordnen ergibt:
Mit dem Gaußalgorithmus erhalten wir:
sowie
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 2 4 3
⎝ 0 ⎠ + s ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 3 ⎠ + p ⎝ 2 ⎠ + q ⎝ 1 ⎠.
2 1 1 9 6
1 + s = 2 + 4p + 3q
2s = 3 + 2p + q
2 + s = 1 + 9p + 6q
s − 4p − 3q = 1
2s − 2p − q = 3
s − 9p − 6q = −1
s − 4p − 3q = 1
6p + 5q = 1
−5p − 3q = −2
s − 4p − 3q = 1
1p + 5 6 q = 1 6
7
6 q = −7 6
Damit erhalten wir q = −1 und durch Einsetzen in die vorhergehenden Gleichungen p = 1 und
s = 2. Diese Werte können wir jetzt soowohl in die Gleichung der Geraden g als auch in diejenige
der Ebene E einsetzen und erhalten jeweils den Schnittpunkt:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 3
⃗s = ⎝ 0 ⎠ + 2 ⎝ 2 ⎠ = ⎝ 4 ⎠.
2 1 4
Der Schnittpunkt liegt also in (3|4|4).
Ergibt das Gleichungssystem keine oder unendlich viele Lösungen, so verläuft die Gerade parallel
zur Ebene bzw. in der Ebene. In beiden Fällen ist eine konkrete Berechnung eines Schnittpunkts
nicht möglich.
10.4 Lage zweier Ebenen
Auch bei zwei Ebenen gibt es nur drei mögliche Lagebeziehungen:
• die Ebenen schneiden sich in einer Geraden.
• die Ebenen verlaufen ohne gemeinsamen Punkt parallel zueinander.
• die Ebenen sind identisch.
47

Das Problem liegt hier darin, dass sich im Falle des Schnitts als Lösung eine Schnittgerade mit
unendlich vielen gemeinsamen Punkten ergibt. Das zugehörige Gleichungssystem besitzt bei vier
Unbekannten nur drei Gleichungen, so dass wir bestenfalls eine eindeutige Beziehung zwischen zwei
der Parameter erhalten.
Beispiel 10.4 Schnittgerade zweier Ebenen
Wir betrachten die Ebenen
⎛
4
⎞ ⎛
4
⎞ ⎛ ⎞
−2
E : ⃗x = ⎝ 0
−3
⎠ + s ⎝ −1 ⎠ + t ⎝
−5
0
3
⎠
und
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−2 2 2
F : ⃗x = ⎝ 3 ⎠ + p ⎝ −1 ⎠ + q ⎝ −1 ⎠.
−1 2 6
Mit dem Gleichsetzungsverfahren ergibt sich zunächst die Vektorgleichung
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4 4 −2 −2 2 2
⎝ 0 ⎠ + s ⎝ −1 ⎠ + t ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 3 ⎠ + p ⎝ −1 ⎠ + q ⎝ −1 ⎠.
−3 −5 3 −1 2 6
Daraus erhalten wir das Gleichungssystem
Ordnen ergibt:
4 + 4s − 2t = −2 + 2p + 2q
−s = 3 − p − q
−3 − 5s + 3t = −1 + 2p + 6q
4s − 2t − 2p − 2q = −6
−s + p + q = 3
−5s + 3t − 2p − 6q = 2
Jetzt müssen wir zwei Parameter eliminieren, die aus derselben Ebenengleichung stammen. Dazu
verwenden wir wieder den Gaußalgorithmus:
und dann:
t − 2s + p + q = 3
s − p − q = −3
s − 5p − 9q = −7
t − 2s + p + q = 3
s − p − q = −3
−4p − 8q = −4
Die letzte Gleichung können wir jetzt nach p auflösen:
−4p = −4 + 8q
p = 1 − 2q
48

und in die Gleichung der Ebene F einsetzen. Dadurch eine entsteht eine Geradengleichung für die
Schnittgerade s:
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−2
2 2
s : ⃗x = ⎝ 3 ⎠ + (1 − 2q) ⎝ −1 ⎠ + q ⎝ −1 ⎠.
−1
2 6
Jetzt lösen wir die Klammer auf, ordnen und fassen zusammen:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
−2 2
2 2
s : ⃗x = ⎝ 3 ⎠ + 1 ⎝ −1 ⎠ − 2q ⎝ −1 ⎠ + q ⎝ −1
−1 2
2 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0
s : ⃗x = ⎝ ⎠ + q ⎝ ⎠;
2
1
Dabei müssen wir darauf achten, dass die beiden Parameter derselben Ebenegleichung entstammen,
denn sonst reduziert sich am Ende die Gleichung nicht zu einer Geradengleichung. Sind die Ebenen
identisch, so erhalten wir anstelle der Beziehung zwischen den Parametern eine allgemingültige Gleichung
in der Form 0 = 0. Bei parallelen Geraden kann das Gleichungsystem keine Lösung besitzen,
was sich in einer nicht erfüllbaren Aussage der Form 0 = c ausdrückt, wobei die Zahl c eben nicht
null sein kann.
Ebenen als Hauswände oder Dachflächen von Gebäuden spielen in der Architektur eine Rolle. Zusammen
mit Geraden als Firstlinie oder Hauskante ergeben sich verschiedene Anwendungen der
Vektorrechnung 51 .
−2
1
2
⎞
⎠;
51 60 AB Ebenenanwendung
49

Teil III
Stochastik - Wahrscheinlichkeitstheorie
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung bildet neben der Algebra, der Geometrie und der Analysis das
vierte große Teilgebiet der Mathematik. Wir untersuchen hier Strukturen, die sich durch die Betrachtung
einer großen Anzahl von Ereignissen ergeben, obwohl für ein einzelnes Ereignis keine
Aussage über den Ausgang möglich ist, da es dem Zufall unterliegt. Das Widersprüchliche aber
auch Faszinierende darin liegt in der Tatsache, dass Ereignisse, die zufällig geschehen im großen
betrachtet dennoch berechenbar sind. Die Ergebnisse solcher Berechnungen spielen eine große Rolle
in der Wirtschaft und in der Wissenschaft. Versicherungen z.B. kalkulieren mit der Häufigkeit von
Schadensereignissen ihre Beiträge.
11 Zufallsexeperimente und Wahrscheinlichkeitsdefinition
11.1 Zufallsexperimente
Grundlage aller Betrschtungen ist das Zufallsexperiment. Wir beginnen mit einer Gruppenarbeit 52 .
Die Beispiele aus der Gruppenarbeit zeigen verschiedene Varianten von Zufallsexperimenten. Allen
gemeinsam ist, dass der konkrete Ausgang einer einzelnen Versuchsdurchführung nicht vorhersagbar
ist. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung liefert mathematische Modelle zur Beschreibung realer
Vorgänge, für die es mehrere bekannte Ausgänge gibt, von denen einer mit Sicherheit eintritt, aber
nicht vorhersehbar ist, welcher.
Definition 11.1 Experiment und Zufall
Ein Experiment ist ein Vorgang, der unter gleich bleibenden Bedingungen beliebig oft zu verschiedenen
Zeitpunkten und an verschiedenen Orten wiederholt werden kann (Reproduzierbarkeit).
Ein Versuch ist eine einzelne einmalige Durchführung eines Experiments.
Diese Definition passt auf alle Experimente. Sie gilt in den Naturwissenschaften genau so wie in der
Mathematik oder bei Felduntersuchungen in der Pädagogik oder Psychologie. Wir unterscheiden
dabei zwischen dem planbaren Experiment an sich, dass durch die Rahmenbedingungen und den
Ablauf genau festgelgt un damit einmalig ist, und der Durchführung, die beliebig oft wiuederholt
werden kann.
Definition 11.2 Zufallsexperimente
Ein Experiment mit vorhersehbarem Ausgang heißt determiniert.
Ein Experiment mit mehreren bekannten möglichen Ausgängen, von denen einer mit Sicherheit
eintritt, aber nicht vorhersehbar ist, welcher, nennen wir Zufallsexperiment.
Damit wird der Unterschied zwischen einem naturwissenschasftlichen Experiemnt und einem Zufallsexperiment
deutlich. In der Naturwissenschaft führt jeder Versuch des gleichen Experiments -
egal wer das Experiment an welchem Ort durchführt - zum gleichen Ergebnis. Bei einem Zufallsexperiment
führt jede Durchführung, d.h. jeder konkrete Versuch zu einem anderen Ausgang.
Bei jedem Zufallsexperiment ist aber die Menge der möglichen Versuchsausgänge begrenzt. Die konkrete
Zusammenstellung der Möglichkeiten hängt dabei nicht nur vom Experiment ab sondern auch
von der mit dem Experiment verbundenen Fragestellung.
52 60 G Zufallsexperimente
50

Definition 11.3 Ergebnisse
Ein mögliches Einzelresultat bei der Durchführung eines Zufallsexperiments nennen wir ein Ergebnis
ω zu diesem Experiment. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnismenge Ω.
Beispiele dafür haben wir in der Gruppenarbeit kennen gelernt. Wir wollen sie hier sprachlich
präzisieren.
Beispiel 11.1 Ergebnismengen
Werfen eines Würfels:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Augensumme zweier Würfel:
Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Farbe beim Roulette:
Ω = {schwarz, rot, grün}
Ziehen einer Lottokugel:
Ω = {1, 2, 3, , ...47, 48, 49}
Ziehung der Lottozahlen:
Ω = {(1, 2, 3, 4, 5, 6), (1, 2, 3, 4, 5, 7), ...(2, 3, 5, 8, 13, 21)...(44, 45, 46, 47, 48, 49)}
Die konkrete Fragestellung führt oft dazu, dass mehrere Ergebnisse gewünscht sind, andere
unerwünscht. Wir suchen nach einem bestimmten Ereignis.
Definition 11.4 Ereignisse
Jede Teilmenge E der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments beschreibt ein bestimmtes Ereignis.
Die Teilmengen mit nur einem Element nennen wir Elementarereignisse, die leere Menge
heißt unmögliches Ereignis, die Gesamtmenge E = Ω ist das sichere Ereignis.
Fassen wir alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments zusammen, so erhalten wir eine Menge,
den Ereignisraum ℘(Ω).
Die Menge Ē = Ω\E enthält genau diejenigen Ergebnisse, die nicht in E enthalten sind, beschreibt
also das Gegenereignis zum Ereignis E.
Ein Ereignis ist eingetreten, falls eines der Elemente der Menge erschienen ist. Daher kann die leere
Menge nicht eintreten, sie ist also unmöglich, irgendein Element der Menge der Ω wird erscheinen,
so dass Ω sicher eintritt. Auch hier können wir für einige Beispiele auf unsere Gruppenarbeit
zurückgreifen.
Beispiel 11.2 Ereignisse
Pasch beim Werfen zweier Würfel:
E 1 = {11, 22, 33, 44, 55, 66}
Impair beim Roulette:
Ω = {1, 3, 5, 7, ...31, 33, 35}
Fibonacci-Folge bei der Ziehung der Lottozahlen:
Ω = {(1, 2, 3, 5, 8, 13), (2, 3, 5, 8, 13, 21), (3, 5, 8, 13, 21, 34)}
Weitere Aufgaben befinden sich auf dem Aufgabenblatt 53 .
Die eingeführten Grundbegriffe sind auf einem Informationsblatt 54 zusammen gestellt.
53 61 AB Ereignisräume
54 60 Info Grundbegriffe
51

11.2 Wahrscheinlichkeiten
Als nächstes wollen wir die Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse berechenbar machen. Dazu müssen
wir festlegen, was wir unter einer Wahrscheinlichkeit verstehen wollen. Zumindest müssen wir jedem
Ereignis eindeutig eine Zahl zuordnen, die dann auch noch einige Bedingungen erfüllen muss. Diese
Zuordnung erfüllt die Kriterien für eine Funktion.
Definition 11.5 Wahrscheinlichkeitsfunktion
Eine auf einem Ereignisraum ℘(Ω) definierte Funktion P mit reellen Funktionswerten heißt Wahrscheinlichkeit
oder Wahrscheinlichkeitsfunktion, falls sie folgende drei Eigenschaften besitzt (Kolmogorov
- Axiome):
K1: Für jedes Ereignis E ⊆ Ω gilt 0 ≤ P (E).
K2: P(Ω) = 1
K3: Für zwei disjunkte Ereignisse E und F gilt: P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ).
Aus diesen Axiomen ergibt sich zunächst, dass jede Wahrscheinlichkeit kleiner als 1 ist, denn jedes
Ereignis E ergibt zusammen mit seinem Gegenereignis Ē die Ergebnismenge Ω, wobei die Mengen
disjunkt sind. Also gilt:
1 = P (Ω) = P (E ∪ Ē) = P (E) + P (Ē).
Zusammen mit dem Axiom K1 bedeutet das, alle Wahrscheinlichkeiten liegen im Intervall [0; 1].
Damit ergibt sich jetzt sofort die Wahrscheinlichkeit für das unmögliche Ereignis:
P (Ω ∪ {}) = P (Ω) + P ({}) = 1 + P ({})
P ({}) = 0.
Außerdem können wir festhalten: Für ein Gegenereignis ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
P (Ē) = 1 − P (E).
Im dritten Axiom wird eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer Vereinigungsmenge
getroffen. Wir wollen uns hier kurz die Bedeutung von Schnitt- und Vereinigungsmengen
im Rahmen der Bescheribung von Ereignissen klar machen. Grundsätzlich ist es so, dass das
Ereignis ’E und F’ eintritt, wenn das konkrete Ergebnis sowohl E als auch F erfüllt, d.h. in beiden
Mengen, also in der Schnittmenge E ∩ F liegt. Das Ereignis ’E oder F’ tritt ein, wenn entweder E
oder F oder beide erfüllt sind, d.h. das Ergebnis liegt in mindestens einer der beiden Mengen, also
in der Vereinigungsmenge E ∪ F .
Wir benötigen noch eine wichtige Erweiterung dieses dritten Axioms K3 für den Fall, dass die
Ereignisse nicht disjunkt sind. Dann gilt:
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F ).
Der Nachweis ergibt sich aus einer disjunkten Zerlegung der Vereinigungsmenge:
Folglich gilt nach K3:
Für das Ereignis E gilt:
E ∪ F = (E\F ) ∪ (E ∩ F ) ∪ (F \E).
P (E ∪ F ) = P (E\F ) + P (E ∩ F ) + P (F \E).
E = (E\F ) ∪ (E ∩ F );
P (E) = P (E\F ) + P (E ∩ F ).
52

Daraus ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten für die Differenzmengen:
Setzen wir dies ein, so folgt:
P (E\F ) = P (E) − P (E ∩ F )
P (F \E) = P (F ) − P (E ∩ F )
P (E ∪ F ) = P (E) − P (E ∩ F ) + P (E ∩ F ) + P (F ) − P (E ∩ F );
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F ).
Jetzt können wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ’E oder F’ jederzeit
berechnen aus den Wahrscheinlichkeiten der beteiligten Einzelereignisse E und F.
11.3 Laplace-Experimente
Es gibt durchaus verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen, die diese Bedingungen erfüllen. Einige
davon werden wir als Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennen lernen, z.B. die Binomialverteilung
oder die Gaußverteilung. Zunächst wollen wir als einfachstes und einsichtigstes Beispiel diejenige
Verteilung betrachten, die z.B. das Verhalten eines Würfels oder das Roulettespiel korrekt beschreibt.
Definition 11.6 Laplace - Verteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, nennen
wir ein Laplace - Experiment. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion nennen wir Laplace
- Verteilung.
Betrachten wir also ein Roulettespiel. Jede der 37 Zahlen erscheint mit der gleichen Wahrscheinlichkeit.
Sie beträgt dann zwangsläufig
P (Zahl) = 1
37 ,
denn wir können die Ergebnismenge in 37 disjunkte Elementarereignisse zerlegen, die zusammen
die Wahrscheinlichekit 1 besitzen müssen. Für solche Laplace - Verteilungen gilt offenbar immer:
Satz 11.1 Jedes Elementarereignis ω i als Teilmenge der Ergebnismenge Ω = ω 1 , ...ω n eines Laplace
- Experiments tritt mit der Wahrscheinlichkeit P (ω i ) = 1 n auf.
Allgemein lässt sich dann für die Ereignisse eines Laplace - Experiments die Wahrscheinlichkeit
berechnen aus der Anzahl der Elemente des Ereignis.
Definition 11.7 Mächtigkeit
Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt Mächtigkeit |M| der Menge M.
Mit diesem Begriff können wir unsere Erkenntnis jetzt präzise formulieren:
Satz 11.2 Laplace-Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis E zu einem Laplace - Experiment beträgt P (E) = |E|
|Ω| .
Wir wollen einige Beispiele betrachten.
Beispiel 11.3 Münzwurf
Ergebnisraum: Ω = {W appen, Zahl} = {w, z}.
Werfen wir jetzt drei Münzen gleichzeitig, so sind die Ergebnisse www, wwz, wzz und zzz denkbar.
Es ist jedoch ungünstig, damit zu rechnen, da diese Ergebnisse nicht gleichberechtigt sind, wir haben
53

kein Laplace-Experiment.
Wir tun einmal so, als ob wir die Münzen nacheinander werfen würden. Dann erhalten wir den Ergebnsiraum
Ω = {www, wwz, wzw, zww, wzz, zwz, zzw, zzz}. Hier sind jetzt alle Ergebnisse gleichberechtigt,
treten also mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein. Dann können wir aber auch die
Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen.
P (2W appen) = P (wwz, wzw, zww) = |wwz,wzw,zww|
|Ω|
= 3 8
= 0, 125.
Ähnlich gelingt die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei zwei oder mehr Würfeln. Unabhängig
davon, ob die Würfel gleichzeitig oder nacheinander geworfen werden, ob es gleiche oder unterscheidbare
Würfel sind, wir denken und rechnen immer so, als seien die Würfel verschieden und
nacheinander gefallen. Dadurch erhalten wir ein Laplace-Experiment, und nur dann können wir die
Wahrscheinlichkeiten korrekt bestimmen.
Beispiel 11.4 Roulette
Beim Roulette müssen wir also von den 37 Zahlen als Elementarereignisse ausgehen:
Ω = {0, 1, 2, 3, 4, ...35, 36}.
Betrachten wir jetzt eine der Farben, z.B. ’rot’, so besteht das zugehörige Ereignis aus der Menge
aller Zahlen, die rot sind: E = . Für die Wahrscheinlichkeit ist nur die Anzahl dieser Zahlen von
Bedeutung. Wir erhalten:
P (rot) = P (E) = P () = |E|
|Ω| = 18
37
≈ 0, 4865.
Weitere Aufgaben befinden sich auf dem Aufgabenblatt 55 .
Nicht immer lassen sich die Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen so einfach bestimmen.
Oft werden Wahrscheinlichkeiten durch Auszählen nach zahlreicher Wiederholung des Experiments
gewonnen. Dann spricht man von der empirischen Wahrscheinlichkeit. Diese beruht auf Erfahrungswerten.
Definition 11.8 Empirische Wahrscheinlichkeit
Führt man ein Zufallsexperiment N - fach durch, und tritt dabei das Ereignis E mit der absoluten
Häufigkeit H(E) auf, so heißt der Anteil h(E) = H(E)
N
relative Häufigkeit des Ereignisses E. Ist die
Anzahl N der Versuchsdurchführung ausreichend groß, so nähert sich die relative Häufigkeit einem
festen Wert p(E), den wir empirische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E nennen:
.
p(E) =
lim
N→∞ h(E).
Weitere Aufgaben befinden sich auf dem Aufgabenblatt 56 .
12 Kombinatorik und Urnenemodelle - Simulationen
Die Kombinatorik stellt Abzählregeln zur Ermittlung der Anzahl von Kombinationsmöglichkeiten
zur Verfügung. Wir benötigen diese bei der Bestimmung der Mächtigkeit von Ereignissen. Wir
stellen zunächst die Grundformen zusammen, die aus der Mittelstufe bekannt sein sollten.
Grundaufgabe 1:
Sortierungen von n verschiedenen Objekten (n-Permutationen):
Es gibt
55 62 AB Laplace-Wahrscheinlichkeiten
56 63 AB Empirische Wahrscheinlichkeiten
54

∏
n! = n i = n · (n − 1) · ... · 1
i=1
Anordnungen von n verschiedenen Objekten.
Grundaufgabe 2:
Auswahl mit Wiederholungen mit Reihenfolge (mWmR - k-Tupel mit Wiederholungen)
Es gibt
n k
Möglichkeiten, k Elemente aus n Objekten auszuwählen und der Reihe nach anzuordnen, wenn
Wiederholungen möglich sind.
Grundaufgabe 3:
Auswahl ohne Wiederholungen mit Reihenfolge (oWmR - k-Tupel ohne Wiederholungen)
Es gibt
P n (k) = n!
(n−k)!
Möglichkeiten, k Elemente aus n Objekten auszuwählen und der Reihe nach anzuordnen, wenn
Wiederholungen nicht möglich sind.
Grundaufgabe 4:
Auswahl ohne Wiederholungen ohne Reihenfolge (oWoR - k-Teilmengen)
Es gibt
C n (k) = ( n) k =
n!
(nk)!·k!
Möglichkeiten, k Elemente aus n Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, wenn
Wiederholungen nicht möglich sind.
Grundaufgabe 5:
Auswahl mit Wiederholungen ohne Reihenfolge (mWoR - k-Variationen)
Es gibt
V n (k) = ( n+k−1) k =
(n+k−1)!
(n−1)!·k!
Möglichkeiten, k Elemente aus n Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, wenn
Wiederholungen möglich sind.
Kommt es auf die Reihenfolge an, so sprechen wir von Tupeln, sonst von Teilmengen oder
Variationen, die aus der Grundgesamtheit von n Objekten gebildet werden. beispiele zu den ersten
vier Fällen finden sich in den Übungsaufgaben 57 . Zum letzten Fall, wollen wir gemeinsam ein beispiel
betrachten.
Beispiel 12.1 Ein Glücksrad mit vier gleich großen Sektoren ist mit den Zahlen ’1’ bis ’4’ beschriftet.
Dreimaliges Drehen liefert, wenn wir der Reihenfolge der Zahlen keine Beachtung schenken, die
in der Tabelle dargestellten Kombinationsmöglichkeiten.
Im ersten Block stehen 10 Kombinationen, dann folgen 6 und 3 und 1. In der Summe ergeben sich
also 20 Kombinationen. Diese Anzahl erhalten wir auch mit der Berechnung
V 4 (3) = ( 4+3−1) 3 =
6!
3!·3! = 720
6·6 = 20.
57 64 AB Kombinatorik
55

111 122 133 144
112 123 134
113 124
114
222 233 244
223 234
224
333 344
334
444
Tabelle 1: Kombinationsmöglichkeiten beim Glücksrad
Diese einfachen Abzählverfahren müssen wir etwas ausbauen, sobald wir nur nach einer Eigenschaft
E fragen, die mehrere unserer Objekte besitzen. Betrachten wir folgende Alltagssituation:
Ein Lehrer betritt eine Klasse mit 30 Schülerinnen und Schülern, von denen 8 keine Hausaufgaben
gemacht haben. Er sammelt willkürlich 5 Hefte ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Sünder
zu erwischen?
Grundsätzlich ist dies ein k-Teilmengen-Problem. Der Lehrer wählt ohne Wiederholungsmöglichkeit
und ohne Beachtung der Reihenfolge. Es geht nur um die Frage: ’Hausaufgaben oder nicht?’ Die
Anzahl der Auswahlmöglichkeiten beträgt
|Ω| = ( N
n) =
( 30
5
) = 142506.
Für die Auswahl von 3 der 8 Sünder ergibt sich entsprechend
|E 1 | = ( M) (
k = 8 )
3 = 56.
Das Ereignis E: ’Genau drei Sünder’ bedeutet aber gleichzeitg: ’Genau 2 Engel’. Daher müssen wir
noch berücksichtigen:
|E 2 | = ( N−M) (
n−k = 22 )
2 = 231.
Beachten wir, dass die Anzahl der Kombinationen zweier Teilereignisse sich durch Mulktiplikation
der Anzahlen der Teilereignisse ergibt, so erhalten wir letztlich:
P (E) = P (X = k) = (8 3)·( 30−8
5−3 )
( 30
5 )
= 56·231
142506
≈ 0, 0908.
Da man solche Situationen gut mit Hilfe eines Modells simulieren kann, in dem sich N Kugeln
von zwei Arten in einer Urne befinden, sprechen wir im Folgenden von den Urnenmodellen. Dabei
unterscheiden wir die Fälle ’ohne Zurücklegen’, wie in unserem Beispiel - jeder Schüler kann nur
einmal gewählt werden - und ’mit Zurücklegeng’.
Satz 12.1 Urnenmodell I: Ziehen mit Zurücklegen
Befinden sich in einer Urne N Kugeln, von denen M eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, und Ziehen
wir aus dieser Urne nacheinander n Kugeln mit Zurücklegen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit
P (X = k), dass sich unter den n gezogenen Kugeln k mit der Eigenschaft E befinden
P (X = k) = ( n
k) ·
( M
N
) k
·
( ) n−k
N−M
N
56

Urnenmodell II: Ziehen ohne Zurücklegen
Befinden sich in einer Urne N Kugeln, von denen M eine bestimmte Eigenschaft E besitzen, und
Ziehen wir aus dieser Urne nacheinander n Kugeln ohne Zurücklegen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit
P (X = k), dass sich unter den n gezogenen Kugeln k mit der Eigenschaft E befinden.
P (X = k) = (M k )·( N−M
n−k )
( N n)
Weitere Übungsaufgaben befinden sich auf dem Aufgabenblatt 58 .
13 Baumdiagramme
Ein wichtiges Hilfsmittel zur Behandlung mehrstufiger Zufallsexperimente sind Baumdiagramme.
Wir wollen verschiedene Varianten anhand von vier Beispielaufgaben betrachten 59 . Entscheidend
ist, dass wir uns jedes dieser Experimente als eine Abfolge von Einzelexperiemnten vorstellen. Der
Baum erhält für jedes Einzelexperiment eine eigene Stufe. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten innerhalb
der ersten Stufe muss 1 ergeben. In der zweiten Stufe ergibt die Summe in jedem Teilzweig
1 usw.
In Aufgabe 1 betrachten wir die Münzen als nacheinander geworfen oder als durchnummeriert.
Dann gehört zu jeder Münze eine Stufe des Baums. Jede Münze zeigt entweder Kopf (K) oder Zahl
(Z) mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 2
. Der Baum erhält also vier Stufen, wobei sich in jeder Stufe
die Anzahl der Zweige verdoppelt. Am Ende erhalten wir 2 4 = 16 Zweige. Wir können jetzt die
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
E : Es fällt viermal Kopf
ermitteln. Dazu müssen wir nur die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades miteinander multiplizieren:
P (E) = 1 2 · 1
2 · 1
2 · 1
2 = 1
16 .
Damit haben wir bereits eine Regel für das Arbeiten mit Baumdiagrammen gefunden:
Satz 13.1 Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit P(E) für ein Ereignis E, dass von einem Pfad in einem Baumdiagramm
beschrieben wird, erhalten wir, indem wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multiplizieren.
Jetzt betrachten wir das Ereignis
F : Es fällt zweimal Kopf.
Dann gibt es mehrere Pfade, die zu diesem Ereignis führen, nämlich KKZZ, KZKZ, KZZK, ZKKZ,
ZKZK, ZZKK. Für jeden dieser Pfade erhalten wir mit der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit
P (P fad mit 2 K) = 1 2 · 1
2 · 1
2 · 1
2 = 1
16 .
Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses F müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade
addieren:
P (F ) = P (KKZZ) + (KZKZ) + (KZZK) + (ZKKZ) + (ZKZK) + (ZZKK) = 6
16 = 3 8 .
Damit haben wir die zweite Regel gefunden.
58 64 AB Kombinatorik
59 65 AB Baumdiagramme
57

Satz 13.2 Additionssatz
Führen mehrere Pfade eines Baumdiagramms zum gleichen Ereignis E, so erhalten wir doie Wahrscheinlichkeit
P(E) durch Addition der Pfadwahrscheinlichkeiten aller am Ereignis E beteiligten
Pfade.
Innerhalb des Baumes ergibt die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die aus der gleichen
Zweigstelle abzweigen stets 1. Ebenso ergibt die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten für die
vollständigen Pfade 1. Diese Kenntnisse helfen uns bei der Lösung der weiteren Aufgaben. Entscheidend
ist dabei, dass wir den Buam richtig beginnen. In der ersten Stufe dürfen nur Möglichkeiten
nebeneinander stehen, die sich gegenseitig ausschließen.
Da ein Porzellangefäß auch zwei Fehler gleichzeitig haben kann, macht es also in Aufgabe 2 keinen
Sinn, die Möglichkeiten ’Formfehler’, Farbfehler’, ’Oberflächenfehler’ und ’fehlerfrei’ nebeneinander
zu stellen. Es kann nur gelingen, wenn wir die einzelnen Fehlertypen als drei Baumstufen - etwa
als nacheinader erfogte Kontrolle - betrachten. Dann gibt es in jeder Stufe die Optionen ’Fehler
entdeckt’ und Fehler nicht entdeckt’. Das Ereignis
E : Fehlerfreies Gefäß bzw. I. Wahl
finden wir dann in dem Pfad, in dem in jeder Stufe ’fehlerfrei’ steht:
P (I.W ahl) = 0, 75 · 0, 85 · 0, 8 = 0, 51 = 51%.
Entsprechend können wir die weiteren Ereignisse bearbeiten und auch die Aufgaben 3 und 4 lösen.
Viele Aufgaben, die wir mit einem Baumdiagramm lösen können, lassen sich auch durch Anwendung
der Regeln für die Kombinatorik in Verbindung mit der Lapalce-Wahrscheinlichkeit lösen.
Das Zeichnen des Baumes ist umständlich bis unmöglich, wenn in jeder Stufe viele Zweige oder
viele Stufen notwendig werden. Dann ist der Weg über die Rechnung übersichtlicher und einfacher.
Dennoch kann ein teilweise entwickelter Baum helfen, den Rechenweg zu finden. Es gibt aber auch
Situationen, in denen unsere Kombinatorikformeln nicht passen. Dann bleibt nur der Weg über den
Baum.
14 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wir haben Situationen kennen gelernt, in denen sich die Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe eines
Baumdiagramms nicht verändern, d.h. für die zweite Durchführung gelten die gleichen Bedingungen
wie für die erste (Ziehen mit Zurücklegen). Andererseits gibst es auch Situationen, in denen
die Wahrscheinlichkeiten sich verändern (Ziehen ohen Zurücklegen). Dies galt z.B. bei der Aufgabe
mit den Porzellangefäßen. Wir wollen uns jetzt mit solchen Situationen genauer besachäftigen, in
denen die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Phase vom Ausgang der ersten Phase abhängen. Wir
sprechen dann von ’Bedingten Wahrscheinlichkeiten’ 60 .
In Aufgabe 1 bestimmen wir zunächst verschiedene Anteile in Bezug auf unterschiedliche Grundmenge.
Wir interpretieren diese gleich als Wahrscheinlichkeiten P für die Ereignisse N, K, A, B. Dazu
benötigen wir eine neue Schreibweise. Für den Anteil der Autofahrer an allen Befragten schrteiben
wir wie üblich
P (A) = 907
1536
≈ 0, 5905.
Für den Anteil der Autofahrer unter den Nordseeurlaubern schreiben wir jetzt
60 66 AB Bedingte Wahrscheinlichkeiten
P N (A) = 332
556
≈ 0, 5971.
58

Der Index ’N’ stellt den Bezug zur Grundmenge ’Nordseeurlauber’ her. Entsprechend erhalten wir
P A (N) = 332
907
≈ 0, 3660;
P (N) = 556
1536
≈ 0, 3620.
Wir können feststellen, dass die Anteile der Autofahrer insgesamt und unter den Nordseeurlaubern
identisch sind. Gleiches gilt für den Anteil der Nordseeurlauber insgesamt bzw. an den Autoreisenden.
Es spielt also keine Rolle, ob wir die Frage nach dem Anreiseweg allen stellen oder nur
den Nordseeurlaubern. Wir sagen, die beiden Ereignisse ’Nordseeurlauber’ und ’Autoreisender’ sind
stochastisch unabhängig.
Jetzt betrachten wir in Teilaufgabe c) die Bayern und die Familien mit Kndern. Wir erhalten:
P B (N) = 93
333
≈ 0, 2793;
P K (N) = 413
848
≈ 0, 4870.
Hier unterscheiden sich die Ergebnisse erheblich von dem Anteil der Nordseeurlauber an allen Befragten
P(N). Daher hängt das Ergebnis von der Herkunft bzw. der Familiensituation. Die Ereignisse
’Nordseeurlaub’ und ’Kommt aus Bayern’ sind stochastisch abhängig.
Definition 14.1 Stochastische Abhängigkeit
Ein Ereignis A ist stochastisch unabhängig von einem anderen Ereignis B, wenn die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten von A nicht davon abhängt, ob B eintritt.
Zur mathematischen Formulierung verwenden wir den Begriff der bedingten Wahrscheinblichkeit.
Definition 14.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sind A und B zwei Ereignisse im Ergebnisraum Ω, so ist
P B (A) = |A∩B|
|B|
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A bezogen auf B, d.h. die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten
von A unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist.
Danach sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, falls gilt
P (A) = P B (A) = P ¯B(A).
Die absolute Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist dabei gleichzeitig immer auch die bedingte
Wahrscheinlichkeit bezogen auf die Ereignismenge:
P (A) = P Ω (A).
Wir können die Unabhängigkeit dann auch an einem Mengenbild veranschaulichen. A und B sind
unabhängig, wenn der Anteil von A ∩ B an B genau so groß ist wie der von A an Ω. Gleichzeitg ist
dann auch der Anteil von A ∩ B an A genau so groß ist wie der von B an Ω.
Satz 14.1 Für zwei stochastisch unabhängige Ereignisse A und B gilt:
|A∩B|
|B|
= |A|
|Ω| ; |A∩B|
|A|
= |B|
|Ω| .
Weitere Aufgaben befinden sich auf dem Aufgabenblatt 61 und im Buch 62 .
61 AB 66 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
62 Elemente der Mathematik SII Seite 475 Aufg. 3 - 6, Seite 479/80 Aufg. 5 - 9
59

Teil IV
Grundlagen aus der Mittelstufe
15 Gleichungen
15.1 Lineare Gleichungen und Bruchgleichungen
15.2 Quadratische Gleichungen und verwandte Gleichungen
15.3 Exponential- und Lograithmusgleichungen
15.4 Trigonometrische Gleichungen
16 Lineare Gleichungssysteme
Unter einem linearen Gleichungsystem verstehen wir eine Folge von Gleichungen mit zwei oder mehr
Variablen. Lösung eines solchen Systems ist ein Tupel aus Zahlen, das jeder Variablen des Systems
einen Wert zuordnet. Ein günstiger Lösungsweg hängt oft von der Wahl des geeigneten Lösungsverfahrens
ab. Ein Standardvefahren für die meisten linearen Gleichungssysteme ist der Gauß -
Algorithmus.
Alle Verfahren - mit Ausnahme des Determinantenverfahrens - zielen darauf ab, zunäöchst die Zahl
der Variablen und der Gleichungen zu reduzieren, um an Ende aus einer Gleichung mit einer Variablen
die erste Teillösung zu bestimmen. Durch rückwärtiges Einsetzen in die Zwischengleichungen
werden dann die fehlenden Lösungesteile bestimmt.
16.1 Verhältnisgleichungen - Einsetzungsverfahren
Wir betrachten das Gleichungsystem
x
y
= 4 7
x
z
= 2 5
x + y + z = 63.
Die ersten beiden Gleichungen lassen sich nach y und z auflösen:
y = 7 4 · x
z = 5 2 · x.
Setzen wir die gefunden Terme für y und z in die dritte Gleichung ein, so ergibt sich:
x + 7 4 · x + 5 2 · x = 63 .
Diese Gleichung lässt sich vereinfachen und nach x auflösen:
21
4 · x = 63
x = 12
Dieses Teilergebnis setzen wir ein in die Bestimmungsgleichungen für y und z:
60

y = 7 4 · 12 = 21
z = 5 2 · 12 = 30.
Damit lautet die vollständige Lösung des Gleichungssystems:
(x|y|z) = (12|21|30).
Das Einsetzungsverfahren lässt sich auch für ’normale’ Gleichungssysteme verwenden. Wir betrachten:
3x + 9y = 51
7x + 5y = 55
Die erste Gleichung lässt sich gut nach x auflösen:
x = 17 − 3y
und das Ergebnis dann in die zweite Gleichung einsetzen:
7 · (17 − 3y) + 5y = 55.
Diese Gleichung können wir vereinfachen und nach y auflösen:
Durch Einsetzen erhalten wir für die Variable x:
Die vollständie Lösung lautet also:
16.2 Das Additionsverfahren
119 − 21y + 5y = 55
64 = 16y
y = 4
x = 17 − 3 · 4 = 5.
(x|y) = (5|4).
Das Additionsverfahren (auch Subtraktionsverfahren) gehört zu den Standardverfahren für Systeme
mit zwei Variablen nd zwei Gleichungen. Es wird unhandlich bei größeren Systemen. Wir betrachten
das Gleichungssystem
3x + 11y = 13
5x − 7y = −29.
Um hier jetzt die Zhal der Variablen zu reduzieren, müssen zuerst in beiden Gleichung an einer
Variablen gleiche Zahlenfaktoren stehen. Dies gelingt durch Erweitern der Gleichungen:
21x + 77y = 91
55x − 77y = −319
Jetzt können wir die Gleichungen addieren, so dass die Variable y dabei eliminiert wird:
76x = −228
x = −3.
61

Einsetzen liefert:
Unsere vollständige Lösung lautet also:
3 · (−3) + 11y = 13
−9 + 11y = 13
11y = 22
y = 2
(x|y) = (−3|2).
Wichtig bei diesem Verfahren ist nur, dass bei der Erweiterung ein gleicher Zahlenfaktor erreicht
wird. Sind die Vorzeichen an diesem Faktor gleich, so werden die Gleichungen subtrahiert, bei
verschiedenen Vorzeichen addiert, immer mit dem Ziel, die Variable zu eliminieren.
Wir betrachten noch ein System mit drei Variablen.
(1) 3x + 5y − 4z = 1
(2) 2x − 2y + 4z = 10
(3) −x + 3y − z = 2
Jetzt müpssen wir in einem ersten Schritt zwei Gleichungen mit zwei Variablen erzeugen. Offenbar
ist es leicht, die dritte Gleichung so zu erweizern, dass an der Variabblrn x gleiche Faktoren wie in
den anderen Gleichungen stehen. Daher erweitern wir die Gleichung (3) einmal mit 3 und addieren
sie zu (1):
(1) 3x + 5y − 4z = 1
(3) · 3 = (4) −3x + 9y − 3z = 6
(1) + (4) = (5) 14y − 7z = 7
Dann erweitern wir (3) mit 2 und addieren sie zu (2):
(2) 2x − 2y + 4z = 10
(3) · 2 = (6) −2x + 6y − 2z = 4
(2) + (6) = (7) 4y + 2z = 14
Jetzt können wir die Gleichungen (5) und (7) so erweitern, dass die Variable y eliminierbar wird:
(5) · 2 = (8) 28y − 14z = 14
(7) · 7 = (9) 28y + 14z = 98
(8) − (9) = (10) − 28z = −84
Diese letzte Gleichung lässt sich jetzt sofort nach z auflösen, nd wir erhalten:
Einsetzen in (7) liefert:
Einsetzen in (3) liefert:
z = 3.
(7) 4y + 2 · 3 = 14
(7) 4y = 8
(7) y = 2
.
.
.
62

Damit erhalten wir die vollständige Lösung
(3) −x + 3 · 2 − 3 = 2
(3) −x = −1
(3) x = 1
(x|y|z) = (1|2|3).
Dieses Verfahren ist umständlich und ab vier Gleichungen kaum noch sinnvoll aufzuschreiben. Man
muss vor allem auf eine saubere Nummerierung der Gleichungen achten und sehr übersichtlich
arbeiten.
16.3 Lösung durch Substitution
Es gibt verschiedene Situationen, in denen eine Substitution die Lösung des Gleichungssystems
erleichtern kann. Dies ist z.B. dann der Fall, wenn die Variable in einem Kehrbruch oder einer
trigonometrischen Funktion eingeschlossen ist. Wir betrachten zunächst ein Gleichungssystem mit
Kehrbrüchen.
Jetzt ersetzen wir die Brüche:
und erhalten
(1)
1
x
+ 3 y
= 5 6
(2)
5
x
+ 1 y
= 11 6
u = 1 x und v = 1 y
(1) u + 3v = 5 6
(2) 5u + v = 11 6
Dieses Gleichungssystem lösen wir jetzt mit einem der bekannten Verfahren, etwa mit dem Additionsverfahren:
Aus der letzten Zeile ergibt sich:
Einsetzen in (2) liefert:
5
(1) u + 3v =
6
11
3 · (2) 15u + 3v =
2
(1) − 3 · (2) −14u = − 14 3
u = 1 3 .
v = 11 6 − 5u = 1 6 .
Die Rücksubstitution ergibt jetzt die Lösungen für die gesuchten Variablen x und y:
x = 3 und y = 6.
Dieses Verfahren ist auch anwendbar, falls Terme wie cos(x) oder y 3 in den Gleichungen enthalten
sind 63 .
63 40 AB Gleichungssysteme Aufgabe 3
.
63

16.4 Der Gauß - Algorithmus
Der Gauß - Algorithmus basiert auf dem Additionsverfahren. Er schematisiert dieses Verfahren.
Dadurch wird bessere Übersichtlich bei gleichzeitig deutlich reduziertem Schreibaufwand erreicht.
Der Presi dafür ist ein erhebliche Anteil an Kopfrechenleistung.
Wir betrachten gleich ein System mit vier Variablen.
(1) 7x + 14y + 21z − 28u = 126
(2) 2x + 3y − 4z + 5u = 10
(3) 3x − 4y + 5z + 6u = 2
(4) −4x + 5y + 6z + 7u = −6
Bei diesem Verfahren erzeugt man im ersten Schritt in der ersten Gleichung einen Faktor ’1’ an
der ersten Variablen. Dann wird die dadurch entstandene Gleichung (1’) mit dem Faktor der ersten
Varibalen aus der zweiten Gleichung multiplizeirt un die beiden Gleichungen subtrahiert (oder
addiert), so dass in der neuen Gleichung (2’) diese Variable eliminert ist. Entsprechend verfährt
man mit den Gleichungen (3) und (4):
(1) : 7 = (1 ′ ) x + 2y + 3z − 4u = 18
(1 ′ ) · 2 − (2) = (2 ′ ) − y − 10z + 13u = −26
(1 ′ ) · 3 − (3) = (3 ′ ) − 10y − 4z + 18u = −52
(1 ′ ) · 4 + (4) = (4 ′ ) + 13y + 18z − 9u = 66
Von jetzt an wird die erste Gleichung nur noch mitgeführt. In Gleicug n wird (2’) wird jetzt de
Faktor ’1’ an der vorderen Varaibel (hier: y) erzeugt. Dan wird diese Variable analog zu x aus den
Gleichungen (3’) und (4’) eliminert:
(1 ′ ) = (1 ′′ ) x + 2y + 3z − 4u = 18
(2 ′ ) · (−1) = (2 ′′ ) y + 10z − 13u = 26
(2 ′′ ) · 10 + (3 ′ ) = (3 ′′ ) 96z − 112u = 208
(2 ′′ ) · (−13) + (4 ′ ) = (4 ′′ ) − 112z + 160u = −272
Jetzt wenden wir die beschriebenen Schritte noch auf die letzten beiden Gleichungen an: In gleichung
(3”9 entsteht der Faktor ’1’ am z, dann wird z aus (4”) eliminiert:
(1 ′′ ) = (1 ′′′ ) x + 2y + 3z − 4u = 18
(2 ′′ ) = (2 ′′′ ) y + 10z − 13u = 26
(3 ′′ ) : 96 = (3 ′′′ 7
) z −
6 u = 13
6
(3 ′′′ ) · 112
96 + (4′′ ) = (4 ′′′ ) 29 1 3 u = −29 1 3
Die letzte Gleichung liefert uns jetzt die Lösung für u. Danach könne wir die Gleichungen (3”’) nach
z, (2”’) nach y und (1”’) nach x auflösen und die Vraiblken in dieser Reihefolge berechnen.
(4 ′′′ ) u = −1
(3 ′′′ ) z = 13 6
+ − 7 6 u = 1
(2 ′′′ ) y = 26 − 10z + 13u = 3
(1 ′′′ ) x = 18 − 2y − 3z + 4u = 5
Am Ende erhalten wir die vollständige Lösung
(x|y|z|u) = (5|3|1| − 1)
64

x y z u Konstante
(1) 1 2 3 -4 18
(2) 2 3 -4 5 10
(3) 3 -4 5 6 2
(4) -4 5 6 7 -6
(1’) 1 2 3 -4 18
(2’) 0 -1 -10 13 -26
(3’) 0 -10 -4 18 -52
(4’) 0 13 18 -9 66
(1”) 1 2 3 -4 18
(2”) 0 1 10 -13 26
(3”) 0 0 96 -112 208
(4”) 0 0 -112 160 -272
(1”’) 1 2 3 -4 18
(2”’) 0 1 10 -13 26
(3”’) 0 0 1 − 7 6
(4”’) 0 0 0 29 1 3
−29 1 3
13
6
Der Gaußalgorithmus lässt sich sehr übersichtlich darstellen. Eine weitere Verkürzung in der Schreibweise
wird erreicht, wenn man die Variablen weglässt und nur die beteiligten Koeffizienten in einem
Zahlenschema - einer Matrix - darstellt. Auch die Nummerierung kann reduzeirt werden, wenn
man auf die Beschreibung des Rechenwegs verzichtet. Unser Lösungsweg erhält dann eine einfache
Tabllenform:
Beginnend mit der letzten Gleichung erhalten wir die Lösungen wie oben
(x|y|z|u) = (5|3|1| − 1)
Der Gauß-Algorithmus eignet sich auch für Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen
nicht mit der Anzahl der Variablen übereinstimmen. Dies ist sein besondere Stärke und
zeichnet ihn vor den anderen Lösungsverfahren aus. Wir werden darauf zurückgreifen, wenn wir in
der Vektorgeometrie auf entsprechende Gleichungssysteme stoßen.
16.5 Das Determinantenverfahren
Determinanten sind eine Rechenoperation auf Matrizen, d.h. auf Zahlenschemata aus bestimmten
Anzahl von Spalten und Zeilen. Die Determinante ei ner Matrix liefert einen Zahlenwert, stellt also
so etwas ähnliches wie eine Betragsbildung dar.
Beispiel 16.1 Matrix und Determinante Wir betrachten die Matrix
⎛
3 5
⎞
−4
M = ⎝ 2 1 3 ⎠.
−3 7 1
Die Determinante erhalten wir durch Multiplikation der Zahlen auf einer Diagonalen und Addition
der Produkte:
3 5 −4
D = det(M) =
2 1 3
= (3 − 45 − 56) − (12 + 63 + 10) = −183.
∣ −3 7 1 ∣
65

Diese Rechenoperation können wir auf die Zahlen eines linearen Gleichungssystems anwenden und
damit die Lösungen berechnen. Wir betrachten dazu das Gleichungssystem
(1) 5x + 4y + 2z = 25
(2) 2x + 3y − 4z = 8
(3) 7x − 3y + 6z = 21
Wir schreiben jetzt von der linken Seite der Gleichungen die Koeffizienten an den Variablen in eine
Matrix und bilden davon die Determinante:
5 4 2
D =
2 3 −4
= (90 − 112 − 12) − (42 + 60 + 48) = −184.
∣ 7 −3 6 ∣
Jetzt ersetzen wir die Koeffizienten der Variablen x in der ersten Spalte durch die Zahlen der rechten
Seite der Gleichungen und bilden eine Determinaten für die Variable x:
25 4 2
D x =
8 3 −4
= (450 − 336 − 48) − (126 + 300 + 192) = −552.
∣ 21 −3 6 ∣
Daraus erhalten wir die Lösung für die Variable x:
x = Dx
D
= −552
−184 = 3.
Entsprechend erhalten wir die Lösungen für die Variablen y und z:
5 25 2
D y =
2 8 −4
= (240 − 700 + 84) − (112 − 420 + 300) = −368;
∣ 7 21 6 ∣ 5 4 25
D z =
2 3 8
= (315 + 224 − 150) − (525 − 120 + 168) = −184.
∣ 7 −3 21 ∣
y = Dy
D
= −368
Dz
−184
= 2 und z =
D
= −184
−184 = 1.
Das Verfahren eignet sich auch für Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen. In jedem Fall
können eine oder mehrere Determinanten 0 werden. Wird D x = 0 und gleichzeitig D ≠ 0, dann
ergibt sich x = 0 und entsprechend für die anderen Variablen. Wird nur D = 0, da nn besitzt das
System keine Lösung. Falls alle Detereminanten 0 werden, ergeben sich unendlich viele Lösungen.
16.6 Nichtlineare Systeme
Einen Sonderfall stellen Gleichungssysteme dar, in denen nichtlineare Terme auftreten. Einen solchen
Fall haben wir bereits bei der Substitution betrachtet. Häufig kann man hier auch auf das
Einsetzungsverfahren zurückgreifen, wobei sich dann meist quadratische Gleichungen ergeben.
Betrachten wir das System
(1) 7xy − 4y = −30
(2) 2x + 3xy = −14 .
Jetzt könne wir eine der Gleichungen auflösen, etwa die Gleichung (1) nach x:
7xy = 4y − 30
x = 4y−30
7y
.
66

Dieses Ergebnis setzen wir in die andere Gleichung ein, also hier in (2) anstelle der Variablen x:
Damit erhalten die Lösungen
2 · 4y−30
7y
+ 3 · 4y−30
7y
y = −14
2 · (4y − 30) + 3 · (4y − 30)y = −98y
8y − 60 + 12y 2 − 90y = −98y
y 2 + 4 3 y − 5 = 0
y 1/2 = − 2 3 ± √ 4
9 + 5 = − 2 3 ± 7 3
y 1 = 5 3
und y 2 = −3.
Zu beiden Lösungen gibt es je einen passenden x - Wert, den wir erhalten, wenn wir den y - Wert
in die nach x aufgelöste Gleichung einsetzen:
x 1 = 4· 5
3 −30
= −2 und x
7· 5
2 = 4·(−3)−30
7·(−3)
= +2
3
{(
) )}
∣
Damit erhalten wir die Lösungsmenge L = −2 ; (+2| − 3 .
16.7 Lösungsmanigfaltigkeiten
∣ 5 3
67

Teil V
Anhang
17 Objekte der Mathematik
Wir könnten uns zum Einstieg in den Mathematikunterricht der Oberstufe die Frage stellen ’Was
ist Mathematik?’. Diese Frage ist jedoch sehr abstrakt und schwierig zu beantworten. Mehr erfahren
wir, wenn wir uns überlegen, mit welchen Objekten und Themen sich die Mathematik beschäftigt.
Viele dieser Aspekte der Mathematik sind uns aus der Mittelstufe bekannt:
Zahlen, Gleichungen, Funktionen, Prozentrechnung, Geraden, Kreise, Koordinatensystem, Nullstelle,
Wahrscheinlichkeiten, Definitionsbereich, Mittelwert, ...
An diesen wenigen Begriffen wird bereits eine gewisse Vielfalt der Themen deutlich, und wir können
versuchen, diese Begriffe in Gruppen zu ordnen:
1. Gruppe: Zahlen, Gleichungen
2. Gruppe: Gerade, Kreis, Koordinatensystem
3. Gruppe: Funktionen, Nullstelle, Definitionsbereich
4. Gruppe: Wahrscheinlichkeiten und Statistik
Die Liste ist noch unvollständig. Unsere vier Gruppen entsprechen vier Teilgebieten der Mathematik.
Daneben gibt es noch zwei weitere große Bereiche:
1. Algebra: Lehre von Zahlen und Gleichungen und ihren Eigenschaften
2. Geometrie: Lehre von den Linien, Flächen und Körpern und ihren Eigenschaften
3. Analysis: Lehre von den Funktionen und ihren Eigenschaften
4. Stochastik: Lehre von den Zufällen und ihrer Berechenbarkeit
5. Logik: Lehre von Aussagen und Schlussfolgerungen und ihren Eigenschaften
6. Algorithmik: Lehre von Lösungsverfahren und ihren Eigenschaften
Diese Gliederung lässt sich grafisch darstellen:
68

Abbildung 1: Inhalte der Mathematik
Damit haben wir einen guten Überblick über die Inhalte der Mathematik gefunden, ohne jeden
der Bereiche in allen Feinheiten zu kennen. Aber Mathematik ist noch mehr. Es geht um besondere
Denkstrukturen und Arbeitsmethoden. Auch hierzu fallen uns spontan einige Begriffe ein:
Sorgfalt, Genauigkeit, richtiges Rechnen, sauberes Zeichnen, logisches Denken, Kreativität, ...
Hinter diesen Begriffen verstecken sich Eigenschaften, die wir in unserer Persönlichkeit entwickeln
können und die uns im Alltag behilflich sein können. In der Schulung dieser Eigenschaften liegt ein
Wert des Mathematikunterrichts für die Allgemeinbildung, der oft unterschätzt wird.
• Vollständige Lösungen von Gleichungen findet man nur mit Aufmerksamkeit, Ausdauer und
Überblick über die Möglichkeiten. Dabei müssen aber auch Regeln eingehalten und kreativ
Lösungstratgien entwickelt werden.
• Gute Konstruktionen in der Geometrie erforden Konzentration, Sorgfalt und gepflegtes Zeichenwerkzeug.
Gleichzeitig ist auch hier oft Kreativität gefragt, um den richtigen Weg zu
finden.
• Die Methoden der Analysis lehren uns, wie wir komplexe zeitliche Abläufe und Zusammenhänge
beschreiben und ihre weitere Entwicklung vorhersagen können.
• Wahrscheinlichkeitsabschätzungen helfen uns Entscheidungen zu treffen, wenn es um nicht
eindeutig vorhersagbare Ereignisse geht.
• Logische Schlussfolgerungen und kausal begründete Gedankengänge sind für überzeugende
Argumentationen wichtig.
• Algorithmen zeigen uns, wie wichtig es ist, Sonderfälle zu beachten und die notwendigen
Fallunterscheidungen vollständig zu führen.
Wir haben die eingangs gestellte Frage jetzt in zweierlei Hinsicht beantwortet, nämlich bezüglich
der Inhalte und bezüglich der Persönlichkeitsentwicklung. Implizit sind dabei auch Arbeitsmethoden
der Mathematik angesprochen worden. Damit haben wir die Frage sicherlich noch nicht erschöpfend
beantwortet, aber vielleicht ist deutlich geworden, das Mathematik wesentlich mehr ist, als nur
einfaches Rechnen und somit einen wichtigen Beitrag leisten kann für unsere persönliche Bildung
und Entwicklung, auch wenn wir nicht Mathematik studieren wollen.
Wir wollen diese Überlegungen mit einem Text vertiefen, der uns dann doch die Frage benatworten
69

kann: ’Was ist Mathematik?’ 64 .
Als Ergebnis dieser Aufgabe erhalten wir, dass Mathematik aus heutiger Sicht deutlich mehr ist als
nur die Beschäftigung mit Zahlen und Rechenverfahren. Die Beschreibung als ”
Wissenscgaft von
den Mustern“ ist eine gute Beschreibung, falls wir unter Muster wiederkehrende Strukturen und
Zusammenhänge verstehen wollen. Solche allgemeinen Zusammenhänge sind kennzeichnend für die
Mathematik.
Wichtige Grundlage für die Arbeit in der Matehmatik ist der sichere Umgang mit Gleichungen und
die Beherrschung der Lösungsverfahren. Hilfestellung dazu bietet der Anhang 65 .
64 0-01 AB Mathematik
65 siehe Teil IV
70