Unterlagen-Mathe 11

Der Index ’N’ stellt den Bezug zur Grundmenge ’Nordseeurlauber’ her. Entsprechend erhalten wir
P A (N) = 332
907
≈ 0, 3660;
P (N) = 556
1536
≈ 0, 3620.
Wir können feststellen, dass die Anteile der Autofahrer insgesamt und unter den Nordseeurlaubern
identisch sind. Gleiches gilt für den Anteil der Nordseeurlauber insgesamt bzw. an den Autoreisenden.
Es spielt also keine Rolle, ob wir die Frage nach dem Anreiseweg allen stellen oder nur
den Nordseeurlaubern. Wir sagen, die beiden Ereignisse ’Nordseeurlauber’ und ’Autoreisender’ sind
stochastisch unabhängig.
Jetzt betrachten wir in Teilaufgabe c) die Bayern und die Familien mit Kndern. Wir erhalten:
P B (N) = 93
333
≈ 0, 2793;
P K (N) = 413
848
≈ 0, 4870.
Hier unterscheiden sich die Ergebnisse erheblich von dem Anteil der Nordseeurlauber an allen Befragten
P(N). Daher hängt das Ergebnis von der Herkunft bzw. der Familiensituation. Die Ereignisse
’Nordseeurlaub’ und ’Kommt aus Bayern’ sind stochastisch abhängig.
Definition 14.1 Stochastische Abhängigkeit
Ein Ereignis A ist stochastisch unabhängig von einem anderen Ereignis B, wenn die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten von A nicht davon abhängt, ob B eintritt.
Zur mathematischen Formulierung verwenden wir den Begriff der bedingten Wahrscheinblichkeit.
Definition 14.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sind A und B zwei Ereignisse im Ergebnisraum Ω, so ist
P B (A) = |A∩B|
|B|
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A bezogen auf B, d.h. die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten
von A unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist.
Danach sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, falls gilt
P (A) = P B (A) = P ¯B(A).
Die absolute Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist dabei gleichzeitig immer auch die bedingte
Wahrscheinlichkeit bezogen auf die Ereignismenge:
P (A) = P Ω (A).
Wir können die Unabhängigkeit dann auch an einem Mengenbild veranschaulichen. A und B sind
unabhängig, wenn der Anteil von A ∩ B an B genau so groß ist wie der von A an Ω. Gleichzeitg ist
dann auch der Anteil von A ∩ B an A genau so groß ist wie der von B an Ω.
Satz 14.1 Für zwei stochastisch unabhängige Ereignisse A und B gilt:
|A∩B|
|B|
= |A|
|Ω| ; |A∩B|
|A|
= |B|
|Ω| .
Weitere Aufgaben befinden sich auf dem Aufgabenblatt 61 und im Buch 62 .
61 AB 66 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
62 Elemente der Mathematik SII Seite 475 Aufg. 3 - 6, Seite 479/80 Aufg. 5 - 9
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