Zur Grobplanung:

Zur Grobplanung:
Wir haben versucht, jeweils zwei verschiedene Zugänge zu wählen, Sinus, Cosinus und Tangens
einzuführen. An diese verschiedenen Einführungen sollte sich dann eine einheitliche Planung des
folgenden Unterrichtes anschließen.
Wir haben erkannt, dass ein einheitlicher Anschluss an die beiden Wege aber nicht gelungen ist.
Trotzdem werde ich nun einen groben Verlauf darstellen, der in etwa eine Verwirklichung unserer
Planung darstellen würde. Eventuell kann es dabei thematisch zu Wiederholungen hinsichtlich der
vorgestellten Einführungen kommen. Dennoch kann dieser Teil nicht entfallen, da wenigstens
erwähnt werden sollte, welchen Inhalt man in der Schule durchmachen sollte.
Nun soll also der in der PowerPoint-­‐Präsentation skizzierte Teil noch etwas erläutert und
ausformuliert werden:
Nach der Einführung sollten folgende inhaltlichen Schwerpunkte gemacht werden:
1. Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck
2. Berechnungen im allgemeinen Dreieck
3. Sinussatz (Aufgaben)
4. Cosinussatz (Aufgaben)
5. Höhen und Tiefenwinkel, Textaufgaben
6. Allgemeine Anwendungen
7. Schularbeit
Die Berechnungen im rechtwinkeligen Dreieck können hier ausgeklammert werden, da sie im Zuge
der Polarkoordinaten bereits erfolgten. Nun einige Vorschläge, die genannten Punkte zu gestalten:
Berechnungen in allgemeinen Dreiecken
Bei Berechnungen im gleichschenkeligen Dreieck ist den SchülerInnen natürlich die Methodik des
Teilens eines Dreieckes in zwei rechtwinkelige Dreiecke nahezubringen, da diese ein gutes Werkzeug
ist, um Berechnungen durchzuführen. Weiters wird auch bei der Herleitung des Sinussatzes und
Cosinussatzes darauf zurückgegriffen. Zuerst kann man diese Methodik an gleichschenkeligen
Dreiecken anwenden, da sich die Rechnungen dort meist leichter gestalten. Danach kann man
bestimmte gleichmäßige geometrische Figuren behandeln (Deltoid) und schon in Hinblick auf den
Sinussatz Berechnungen in beliebigen Dreiecken anstellen, somit kommen auch mehr geometrische
Figuren in Frage, anhand denen man Fragestellungen entwickeln kann. Besonders wichtig ist, dass
nicht nur rein abstrakte Aufgaben gestellt werden, sondern durchgehend Textaufgaben gestellt
werden. Somit soll nicht rein mechanisches Anwenden von Formeln im Mittelpunkt stehen, sondern
hauptsächlich das Interpretieren eines Textes und dessen Darstellung in mathematischen
Ausdrücken/Gleichungen.
Sinussatz und Cosinussatz: Nach der Herleitung sollen jeweils kurze Aufgaben zur Einübung der
Anwendung erfolgen. Ein Schwerpunkt sollte in einer Übungsstunde auf gemischte (Text)aufgaben
gelegt werden, da das wohl wichtigste ist, unterscheiden zu können, wann welcher Satz angewendet
werden kann, beziehungsweise deren Verwendung auch nicht sinnvoll ist, da es einfacher geht.
Zum Beweis (Beweis wird im Folgenden als Synonym für Herleitung gebraucht) des Cosinussatzes:
Der Cosinussatz wird zur Berechnung in allgemeinen Dreiecken angewendet, wenn zwei Seiten und
der eingeschlossene Winkel, oder drei Seiten gegeben sind. Beim Beweis des Cosinussatzes kann man
ganz analog wie beim Beweis des Sinussatzes vorgehen. Im Lehrbuch Elemente der Mathematik 5,
wird vorangehend zum Beweis ein konkretes Beispiel berechnet. Unserer Meinung nach ist der
Zusammenhang zwischen Beweis und Beispiel aber zu wenig betont. Zu beachten ist aber, dass die
Herleitung des Cosinussatzes wesentlich mehr Zeit in Anspruch nehmen wird – daher meinen wir,
man könnte das vorangehende (auch zeitaufwendige) Beispiel auch weglassen, und nur den Beweis
machen.

Der Beweis sollte aber durchgemacht werden, da man anhand dessen lernt, viel aus einer Skizze
abzulesen, und mehrere Gegebenheiten miteinander zu verknüpfen. Auch das Umformen einer
Gleichung wird geübt. Aus puren Zeitgründen schlagen wir aber vor, den Beweis nur in einem der
beiden Fälle(spitzwinkelig und stumpfwinkeligen) Fall zu betrachten. Unser Vorschlag hierfür wäre
folgender:
Da man beim Beweis des Sinussatzes auch zwischen diesen beiden Fällen unterscheiden muss,
empfehlen wir, insgesamt beide Fälle zu behandeln und zwar den einen Fall beim Sinussatz und den
anderen beim Cosinussatz – dies macht deshalb Sinn, weil die zwei Fälle prinzipiell gleich zu
behandeln sind, nur die Höhe einmal im und einmal außerhalb des Dreiecks liegt. So werden den
SchülerInnen alle Methoden in die Hand gegeben, um die Herleitung verstehen zu können. Die
Beweise müssen auch nicht exakt wiedergegeben werden bei Lehrzielkontrollen oder Schularbeiten,
jedoch die Grundstruktur des Gedankenganges sollte klar sein.
Bei der Herleitung kann man sich gut am Lehrbuch orientieren (S. 155), wobei man eigentlich nur
Punkt 2 machen muss (und auch hierbei eben nur einen Fall herausgreift).
Zum Beweis des Sinussatzes: Bei der Herleitung des Sinussatzes beginnen wir mit einer
anwendungsorientierten Textaufgabe. Der mathematische Kerninhalt zur Berechnung läuft dabei auf
ein (nicht rechtwinkeliges) Dreieck ABC hinaus, bei dem entweder a, α, und β, oder a, b und α oder
a, b und β oder b, α und β gegeben sind. α und β sind dabei kleiner als 90 Grad. Zuvor sollten
zumindest Berechnungen in gleichschenkeligen und auch allgemeinen Dreiecken durchgeführt
werden, wo man die Methode des Teilens eines Dreieckes in zwei Dreiecke verwendet. Ist dies aber
bekannt, können SchülerInnen die Höhe (auf c) des Dreieckes berechnen und sollten daher eigentlich
keine gröberen Probleme beim Lösen der Aufgabe haben, auch wenn es eine etwas längere
Rechnerei wird. Eventuell kann man auch solch ein Beispiel zuerst an der Tafel vorrechnen und dann
die SchülerInnen selbst rechnen lassen.
Anschließend wird das Beispiel dann rein abstrakt und mathematisch (ohne Anwendungseinkleidung)
nocheinmal durchgerechnet (ausschließlich mit Variablen und ohne Zahlenangaben für das Dreieck
also). Man kann sich wiederum entscheiden, ob man dies gemeinsam macht, oder die SchülerInnen
auf sich allein gestellt bleiben, oder auch in Gruppen gearbeitet wird – die ganz konkrete Umsetzung
muss sich natürlich der Klasse anpassen, der didaktische Grundschritt bleibt der gleiche.
Was haben wir nun damit erreicht? Zumindest einmal wurde die grundliegenden Anwendungen von
Sinus und Cosinus einmal eintrainiert und ein zielführendes Bedenken der Rechnung auf
Zwischenschritte hin (Berechnung der Höhe) geübt. Auf (scheinbar) ganz natürlichem Weg ist man
dabei auch zu einem Ausschnitt des Sinussatzes gelangt. Man hat den Sinussatz also in dem Sinne gar
nicht bewiesen, sondern eigentlich einmal nur seine Verwendung und Gültigkeit motiviert.
Sies erachten wir als nötig.
Desweiteren kann man nun natürlich thematisieren, was man nun genau gewonnen hat, für welche
Sachverhalte man den Sinussatz eigentlich noch nicht anwenden dürfte: Was wäre, wenn man zum
Beispiel a, α und c gegeben hätte? Oder wie sieht es aus in einem stumpfwinkeligen Dreieck – dieser
Fall wäre auch besonders lohnend zu behandeln, da man hierfür das Verhalten des Sinus am
Einheitskreis im Kopf haben muss. Sollte man also genügend Zeit übrig haben, wäre dieser Fall auch
noch zu zeigen, dass der Satz für alle drei Seiten gilt, ist dann eigentlich durch angemessenes Drehen
des Dreieckes schnell gezeigt.
Das Buch schlägt gesamt gesehen einen Weg über sieben Schritte vor:
1. Berechnen eines Dreiecks im Falle WSW, SWW uns SsW
2. Herleitung des Sinussatzes (2 Fälle)
3. Sinus im Bereich von 90 bis 180 Grad
4. Geometrische Interpretation dieser Definition
5. Verallgemeinerung des Sinussatzes auf stumpfwinkelige Dreiecke
6. Verwenden des Taschenrechners bei stumpfen Winkeln
7. Beispiel für die Berechnung eines Dreiecks mithilfe des Sinussatzes
Dieses Vorgehen scheint uns zu zeitaufwendig (drei ganze Buchseiten), gewissermaßen beginnen wir
auch von Hinten, da wir mit einem Beispiel beginnen und das Verwenden des Taschenrechners schon

klar sein sollte – das Buch geht hier wieder von einer puren Tastenangabe aus, was schon
problematisiert worden ist. Daher schlagen wir vor, keinen umfassenden Beweis vorzulegen,
sondern, wie wir auch glauben, es umgesetzt zu haben, die wichtigsten Gedankengänge, die diesen
Beweis prägen, verständlich zu machen.
Höhen und Tiefenwinkel -­‐ Textaufgaben
Im Zuge der Textaufgaben wird man wahrscheinlich zu typischen Vermessungsaufgaben kommen.
Oftmals kommen dabei die Begriffe Höhenwinkel, Tiefenwinkel und Sehwinkel vor. Wir schlagen vor,
diese Begriffe exakt zu definieren, da es hierbei erfahrungsgemäß oft zu Unklarheiten kommt.
Wir plädieren weiters dafür, Aufgaben, zu deren Berechnung man den Sinussatz oder den
Cosinussatz benötigt, zu verbinden mit Aufgabenstellungen zu Polarkoordinaten, da diese in vielen
Schulbüchern ein isoliertes Themenfeld bilden.
Die behandelte Planung lässt sich insgesamt leicht anhand sämtlicher Lehrbücher vollführen, mit
Ausnahme genannter Beispiele, die Polarkoordinaten mit Sinussatz und Cosinussatz verbinden. In
Hinblick auf Grundkompetenzen kommt dem gesamten hier behandelten Abschnitt eher weniger
Bedeutung zu. Sinussatz und Cosinussatz zählen nicht zu den Grundkompetenzen der Zentralmatura.
Sämtliche hierfür relevante Kenntnisse entfallen also eher auf die Einleitung.