Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der Finanzökonomie
Diskretes Binomial-Modell: (CRR Modell)
Zwei Titel: Bond B (risikolos) und Stock S (riskant) mit Werten zu den Zeitenpunkten
t = 0,1,
⋅⋅⋅,
T
t
t
= ( 1+
r für r > −1
B )
S
⎧S
= ⎨
⎩S
(1 + a)
t
t + 1
für b
t
(1 + b)
a ≤ :
⎧down
⎨
⎩ up
mit für S
0
= 1
Das Modell ist genau dann arbitragefrei, wenn
eindeutige Martingalmaß, d.h.
r − a
a < r < b gilt. In diesem Fall ist q ≡ Q St+ / St
= (1 + b))
=
b − a
Q
≡ B ist ein Martingal unter dem Maß Q : X E X ] .
t
X
t
St
( 1+
r)
= St
/
t
(
1
das
t
=
t
[
t+ 1
Kontinuierliches Modell:
aus Grenzwertbetrachtung mit
σ T
ln( 1+ a)
≡ rT − ,
N
σ T
1+ b)
≡ rT +
N
ln( und für N → ∞ erhält man für
t
S
lim
N
∑
S
ln(
S
N →∞
i= 1 t−1
t
2
σ 2
) ~ N((
r − ) T,
σ T )
2
das Martingalmaß Q für den kontinuierlichen Prozess S
t
d.h. für
X
t
−rt
Q
≡ Ste
gilt
s
Es
[ X
t
]
X = für 0 ≤ s < t und s t ∈ IR
, .
30.11.2006 kontinuierliche Modelle - Wiederholung 1

Beispiel für einen kontinuierlichen Werteprozess: Aktienmodell nach Black-Scholes
„empirische Befund“ als Grundlage der Kapitalmarktheorie, siehe auch Abschnitt 1.3.2:
S
t
− S
S
∆S
=
S
t+ ∆ t t
σ
t
t
2
~ N(
µ ∆t,
∆t)
und für → 0
∆t schreiben wir
d (ln( S )) =
t
dS
S
t
t
2
d.h. die Logarithmen der Inkremente einer Aktie folgen einer Normalverteilung mit den Parametern ( µ ∆t,
σ ∆t)
:
S
T
2
= S exp( X − X ) mit ( X − X ) ~ N(
( T − t),
σ ( T − t))
t
T
t
T
t
µ für T > t
Exkurs:
Schätzung der Volatilität einer Aktie aus historischen Daten
Zeitreihe: n + 1 Preise S
i
mit
0 ≤ i ≤ n ; definieren tägliche Rendite
i
ln( Si
/ S
1)
u für 1 ≤ i ≤ n
=
i−
2
Statistik: Schätzer m und s für den Mittelwert und die Varianz
m ≡
m
∑u i
i=
1
s
2
1
≡
n −1
n
∑
i=
1
( u i
− m)
2
unverzerrter, erwartungstreuer Schätzer der Varianz
s Schätzer für σ ∆t
, ∆ t Zeitintervall zwischen Stichproben in Jahren
* s
s ≡
Schätzer für die annualisierte Standardabweichung (Volatilität) der Aktie.
∆t
30.11.2006 2.2.4 Parameterschätzung 2

Beispiel: Aktienindex „DJ EURO STOXX 50“, Stichprobe: Werte an 100 Börsentagen ab dem 30.06.2004
3,0%
Zeitreihe für einen Aktienindex
3000
101 beobachtete Preise für den Aktienindex:
2,5%
2,0%
2900
2
für m und s erhält man:
1,5%
1,0%
2800
m = 0,04721
tägliche Rendite
0,5%
0,0%
-0,5%
-1,0%
-1,5%
-2,0%
-2,5%
tägliche Rendite
Aktienkurs
2700
2600
2500
Aktienkurs
s
2 =
0,00679
Annahme: 250 Börsentage im Jahr
erhalte daher annualisierte Werte
für µ : m * 250 = 0,04721* 250 = 11,80%
-3,0%
Zeitintervall in Börsetagen
2400
für σ : s / 1/ 250 = 0,00679 * 250 = 13,03%
*
Schätzfehler: (z.B. von σ ) beträgt näherungsweise s / 2n
Frage : wenn man Stichprobe vergrößert, erhält man dann „bessere“ Schätzwerte für µ und σ ?
reale Ökonomie:
µ und σ zeitlich nicht konstant; Einflüsse: Wirtschaftswachstum, Geldmarktzinsen etc.
30.11.2006 2.2.4 Parameterschätzung 3

Definition
Ein stochastischer Prozess S
t
heißt Ito-Prozess, wenn
S
t
= x +
t
∫
∫
µ ds + σ
sdWs
bzw. dSt
µ
tdt
+ σ
tdWt
t
s= 0 s=
0
t
S =
= mit
0
wobei x ∈ IR , W
s
ein standardisierten Wienerprozess sowie µ
s
, σ
s
adaptierte Prozesse sind, welche die
t
t
2
Integrabilitätsbedingungen ∫ µ
s
ds < ∞ , ∫σ s
ds < ∞ erfüllen.
s=
0
s=
0
0
x
d
E t
S
dτ
d
d
vart
τ
[
τ
]
τ = t
= µ
t
Änderung des Preises von
τ
S bezüglich des bedingten Erwartungswertes
2
2
2
( Sτ )
τ = t
= σ
t
Änderung der bedingten Varianz von S
τ
wobei vart
( X ) ≡ Et[
X ] − ( Et[
X ]) .
Black-Scholes:
Ito-Prozess:
µ
t
= St
µ , d.h. der „Drift“ (erwarteter Return) ist proportional zum aktuellen Preis
gesamte Informationen bis zum Zeitpunkt t gehen in den Driftterm ein; analog für σ
t
Ito’s Lemma
Für einen Ito-Prozess
dX
t
= µ dt + σ dW und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion G IR
2 → IR
t
t
t
: gilt, dass
Yt ≡ G( X
t
, t)
ebenfalls ein Ito-Prozess ist, der die folgende partielle stochastische Differentialgleichung erfüllt:
2
⎡ ∂
∂ 1 ∂
2
⎤ ∂
dYt
= ⎢ G(
X
t
, t)
µ
tdt
+ G(
X
t
, t)
+ G(
X
t
, t)
σ
t
dt + G(
X
t
, t)
σ
tdW
2
t
x
t 2 x
⎥
.
⎣∂
∂
∂
⎦ ∂x
30.11.2006 2.2.4 Erweiterung der Zustandsvariablen 4

Anwendung :
1) Preisbestimmung von abgeleiteten Finanztiteln (Derivaten), für welche sich der Werte zu einem späteren
Zeitpunkt aus der gesamten Preisentwicklung einer zugrunde liegenden Securities ergeben kann (Kapitel 2.3).
2) erhalte die Verteilung der infinitesimalen Inkremente des stochastischen (Ito-)Prozesses
Beispiel:
Black-Scholes-Modell für eine Aktie gegeben durch die SDE
dS
t
= µ S dt + σS
dW mit σ
t
t
t
µ, konstant
definieren die Funktion G ( x,
t)
= ln( x)
. Dann ist S ) ein Ito-Prozess und es gilt
ln( t
∂G 1
=
∂x
x
∂ G
∂x
1
x
2
,
2 = −
2
∂G
∂t
und = 0
Daher folgt nach dem Ito-Lemma, dass für den durch G definierten Prozess Y G( S , t)
2
σ
dY = ( µ − ) dt + σ
2
t
dW t
gilt.
Da µ und σ konstant sind, bedeutet dies, dass die infinitesimalen Inkremente von Y = S ) normalverteilt mit
2
2
Mittelwert ( µ − σ / 2)
und Varianz σ sind für einen zukünftigen Zeitpunkt
folgende Verteilung hat:
t
=
t
t
ln( t
T > t die Zufallsvariable ln( S T
)
ln( S
T
) ~ N(
S
t
2
σ
2
+ ( µ − )( T − t),
σ ( T − t))
2
30.11.2006 2.2.4 Erweiterung der Zustandsvariablen 5

Übungsaufgabe
Wir haben mit Hilfe von Ito’s Lemma gezeigt, dass die kontinuierlich zusammengesetzte jährliche Verzinsung der
Black-Scholes-Aktie eine Zufallsvariable η gegeben durch die Beziehung
S
T
= S
η ( T −T )
T
te
bzw. η ln( )
T − t St
=
1
S
2 2
definiert für die gilt: η ~ N ( µ − σ / 2, σ ) . Steht dies im Widerspruch dazu, dass wir angenommen haben, dass der
erwartete Ertrag in jedem kleinen Zeitintervall µ beträgt?
Hinweis:
1) Für ein kleines Zeitintervall haben wir den erwarteten Ertrag durch
S
t
− S
S
t+ ∆ t
= µ
t
∆t
angesetzt und dies entspricht einer linearen Verzinsung. Zeigen Sie, dass sich diese Definitionen auf den
Unterschied zwischen einem geometrischen und einem arithmetischen Mittelwert zurückführen lassen und
bilden Sie den Grenzwert bei Unterteilung in Zeitintervalle mit ∆t → 0 .
2) Vergleichen Sie dies auch mit der Berechnung der Verteilung aus der Brownschen Bewegung als Grenzwert des
Binomial-Modells in Abschnitt 2.2.1. Dort sind wir zu einem analogen Ergebnis bezüglich des Korrekturterms
2
− σ / 2 gekommen.
30.11.2006 2.2.4 Erweiterung der Zustandsvariablen 6

(stochastische) Modellierung der risikolosen Zinsen
Konstruktion: Forward-Rate-Prozess im endlichen zeitdiskreten Modell: siehe Abschnitt 2.1.5 Anmerkung 2
Voraussetzung:
es existiert eine geeignete Handelsstrategie, deren Rückflüsse zustandsunabhängig (risikolos) sind
Postulat: zu jedem Zeitpunkt s gibt es einen Geldmarktzins r s
(spot rate bezeichnet) mit Bt
= exp( rs
ds)
Marktbetrachtung
wobei r s
im Allgemeinen durch einen stochastischen Prozess gegeben ist.
Für risikolose Staatsanleihen unterschiedlicher Laufzeiten zu einem gegebenen Zeitpunkt t ist die durchschnittliche
kontinuierliche Verzinsung y ,
über eine fixe Laufzeit ( T − t)
mit T > t durch die Beziehung
t T
B
y
t,
T
( T − t)
= ln(
B
T
t
)
gegeben, die man auch als Zinsstruktur (engl. Yield Curve) bezeichnet. Die Variable y
t , T
(auch mit Yield to Maturity
bezeichnet) gibt somit den jährlichen Ertrag an, mit der ein der Bonität des Staates vertrauender Investor für die Laufzeit
( T − t) mit Sicherheit rechnen kann.
Die Größe P( t,
T ) ≡ ( B t
/ BT
) bezeichnet man auch als Zero-Bond-Preis. Darunter versteht man den Wert einer Geldeinheit
zum Zeitpunkt t , über die man aber erst zu einem späteren Zeitpunkt T - aber hier mit Sicherheit - verfügen kann.
Wir definieren nun die Forward-Rate f ( t,
T ) für diesen Markt als Ableitung der Bondpreise nach dem Parameter T :
∂
∂
f ( t,
T ) ≡ ( yt, T
( T − t))
= − ln P(
t,
T )
∂T
∂T
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 7
t
∫
0

Für
T = t erhalten wir
( und es gilt weiters die Beziehung B B exp( f ( t,
s)
ds)
f t,
t)
= r
t
T
t
T
∫
= .
Diese Definition von f ( t,
T ) überträgt den uns bereits bekannten Begriff des Forward-Rate-Prozesses aus dem
zeitdiskreten endlichen Modell auf das kontinuierliche Modell.
Ohne näher auf die genaue Ableitung der Zinsstruktur und ihrer wirtschaftlichen Bedeutung einzugehen ist jedoch
anzumerken, dass sich die Form der Zinskurve als Variable von t ändert. Die folgende Grafik zeigt die Zinsstrukturkurve
der Deutschen Bundesanleihen zu vier unterschiedlichen Stichtagen:
t
Beispiele für „einfache“ Modelle in dem Sinn, dass die
gesamte Zinskurve ausschließlich von einer stochastischen
Zinsstrukturkurve von Bundesanleihen (Quelle: Bundesbank)
Null - Kupon - Anleihen mit Laufzeiten 1 bis 10 Jahre
Variablen - dem Spot-Rate-Prozess ( r t
) - abhängt:
6,0%
Spot-Rate-Prozess nach der Brownschen Bewegung:
r = r + σ mit
t
W t
r > 0 Konstante
σ ≥ 0 Fluktuationsmaß für die Abweichung von r
W
t
standardisierter Wiener-Prozess
d.h. Spot-Rates sind normalverteilt mit dem konstanten
Durchschnittliche Verzinsung
5,0%
4,0%
3,0%
2,0%
1,0%
29.Dez.2000
31.Mär.2005
30.Dez.2003
30.Jun.2006
2
Mittelwert r und mit der Varianz σ t . Damit können nur
„flache“ Zinskurven modelliert werden, jedoch haben
volatile Zinsen Einfluss auf arbitragefreie Preise!
0,0%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Laufzeit in Jahren
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 8

Beispiel für einen Spot-Rate-Prozess mit „mean-reversion“ Eigenschaft: Vasiček-Modell
Gegeben durch die SDE für den Spot-Rate-Prozess r t
:
dr
t
= κ ( m − r ) dt + σ dW
t
t
wobei wir annehmen, dass
m > 0 der langzeitige durchschnittliche Zins
κ > 0 die Stärke des Drifts gegen den mittleren Zins m angibt und
r der Zins zum Zeitpunkt t = 0 ist.
0
> 0
Der Ausdruck σ Wt
stellt den stochastischen Störungsterm dar, ohne den der Spot-Rate-Prozess durch eine gewöhnliche
Differentialgleichung gegeben wäre. Es zeigt sich, dass die Lösung der SDE in der Form
r = r e
t
0
(1
− κt
t
+ m − e
− κ
+
)
e
− κt
σ
t
s
∫ e
− κ
o
dW
s
t
∫ −
geschrieben werden kann. Der Ausdruck t → e
κ s dWs
bezeichnet ein stochastisches Integral, das man durch eine Folge
o
aus Funktionen, welche die Inkremente der Brownschen Bewegung zugrunde legt, etwa wie folgt approximieren kann:
−n
Für t ≥ 0 gegeben und n > 0 bildet man Zeitschritte der Dauer 2 und betrachtet die Inkremente aus der
Brownschen Bewegung W n −W n
j j
für j = 0,1,2 ,⋅⋅ ⋅. Das obige stochastische Intergral kann durch die Folge
( + 1) / 2 / 2
∞
exp( −n
∑ κ j2
) { W
n −W
}
min( ,( 1) / 2 min( , / 2 n für n = 1,2,3 ,⋅⋅ ⋅
t j+
t j
j=
0
angenähert werden. Die Summe ist für jedes n endlich und als Summe von unabhängigen, normalverteilten
Zufallvariablen konvergiert diese Folge für n → ∞ gegen eine Normalverteilung (Zentraler Grenzwertsatz).
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 9

Der durch das Vasiček-Modell beschriebene stochastische Prozess der Spot-Rates ist daher normalverteilt. Für Parameter
dieser Verteilung, die Bondpreise, die Yield-Curve und die Forward-Rates erhält man sogar eine geschlossene Formel.
Bevor wir diese Formel jedoch angeben, wollen wir uns diesen Prozess über eine sehr einfache Simulationsrechnungen
verdeutlichen. Dazu benötigen wir ein Sample von normalverteilten Zufallsvariablen und legen folgende Parameter fest:
m = 3% als langzeitigen durchschnittlichen Zins
κ = 0,5 die Stärke des Drifts gegen den mittleren Zins m angibt
r als Zins zum Zeitpunkt t = 0 und
0
= 5%
σ = 1% als Maß für die Volatilität.
Wir betrachten nun Pfade für den Spot-Rate-Prozess und legen für das diskrete Zeitmodell Schritte von ∆t = 1/ 100 Jahre
fest. Da W
t
ein Wiener-Prozess ist, wissen wir, dass die Inkremente im diskreten Modell normalverteilt sind mit dem
Mittelwert 0 und der Standardabweichung ∆ t . Da die Inkremente unabhängig sind, genügt es, Samples ε von
standardisierten normalverteilten Zufallsvariablen zu erzeugen. Wir betrachten den Zeitraum von 10 Jahren und setzen
daher T = 10 . Für eine Simulation benötigen wir daher Samples der Größe 1000. Der Prozess nach dem Vasiček-Modell
im diskreten Analogon wird nun wie folgt beschrieben:
r
= r + κ ( m − t ) ∆t
+ σ
t+ ∆t
t
t
ε
∆t
wobei wir hier die Notation sinngemäß übertragen. Wenn wir σ = 0 setzen, erhalten wir einen deterministischen Verlauf
des Prozesses. Es ist wohl einsichtig, dass dies der Erwartungswert nach dem subjektiven Wahrscheinlichkeitsmaß ist.
Wir generieren 3 Samples ε von je 1000 Zufallsvariablen und berechnen Pfade nach der obigen Differenzengleichung.
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 10

Das Ergebnis zeigt die folgende Grafik:
7,0%
Zinspfade nach dem diskreten Vasicek-Modell
6,0%
5,0%
Spotrate
4,0%
3,0%
2,0%
ErwWert
Pfad 1
Pfad 2
Pfad 3
1,0%
0,0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit in Jahren
Charakterisierung der Verteilungen von r t
im kontinuierlichen Modell:
Wir definieren den Zero-Bond-Preis zum Zeitpunkt t über den bedingten Erwartungswert des diskontierten payoffs:
P t,
T ) ≡ E[exp(
−∫ r s
ds)
I ].
(
t
T
t
Die Definitionen der Yield-Curve und der Forward-Rate lassen sich analog für die stochastischen Spot-Rates anwenden.
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 11

Eigenschaften des Vasiček-Modells
E[
r ] = r e
t
0
−κt
+ m(1
− e
−κt
2
σ
−2κt
Var(
rt
) = (1 − e )
2κ
2
σ
−2κt
−κh
Cov(
rt
, rt
+ h
) = (1 − e ) e
2κ
−κ
(
1−
e
P(
t,
T ) = exp( A(
t,
T ) −
κ
Anmerkungen
)
1−
e
2
T −t)
r )
t
−2κ
( T −t)
2
2
−κ
( T −t)
2
σ σ
σ
mit A( t,
T ) =
− ( m − )( T − t)
+ ( m + )
2
2
2
κ κ κ
κ κ
2
2
(1) Aus der Formel für den Erwartungswert folgt, dass dieser für t → ∞ gegen den mittleren Zins m strebt und die
2
Varianz gegen die Größe σ / 2κ
. Die Formel für die Kovarianz zeigt, dass die Inkremente der Spot-Rates nicht
unabhängig sind, jedoch für h → ∞ die Verteilungen r t
und r
t + h
nicht mehr korreliert sind.
(2) Da für den Zero-Bond-Preis eine analytische Formel vorliegt, lassen sich die Yield to Maturity und die Forward-Rates
unmittelbar berechnen. Man kann Folgendes zeigen:
2
σ
y0,
T
→ m − < m für T → ∞
2
2κ
2
σ
−κT
2
f (0, T ) = E[
rT
] − (1 − e ) < E[
r ]
2
T
2κ
2
σ
und f (0; T ) → m − für T → ∞
2
2κ
2
Daraus folgt, dass für 2m < σ
2 / κ negative Forward-Rates auftreten. Diese wiederum bedeutet, dass bei
entsprechender Parameterkonstellation der Spotrate-Prozess r t
nach dem Vasiček-Modell zu oft negative Werte
annimmt, was aus ökonomischer Sicht keinen Sinn ergibt bzw. empirisch nicht haltbar scheint.
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 12
1−
e

(3) Ausgehend vom Vasiček-Modell lassen sich einfache stochastische Zinsmodelle bilden, die einerseits das Auftreten
von negativen Zinsen (bis auf Mengen vom Maß Null) ausschließen und/oder eine bestehende Zinsstruktur auch
zweckmäßiger abbilden können. Wir wollen hier nur zwei Modelle kurz anführen und verweisen bezüglich einer
ausführlichen Abhandlung auf [Duffie].
Das Modell von Cox, Ingersoll und Ross für den Spotrate-Prozess r t
(kurz CIR-Modell) ist durch die folgende SDE
gegeben:
dr
t
= κ ( m − r ) dt + σ
t
r dW
t
t
wobei die Parameter die gleiche Bedeutung wie im Vasiček-Modell haben. Auch für diese Differenzialgleichung gibt es
eine explizite Lösung, und die Formeln für die Bondpreise lassen sich in analytischer Form angeben. Im Gegensatz
zum Vasiček-Modell liefert das CIR-Modell jedoch für alle Parameter κ , m > 0 und σ ≥ 0 positive Werte für die Yield
to Maturity und die Forward-Rates.
Eine weitere Klasse von Zinsmodellen wird durch die sogenannten „affinen Zinsstrukturen“ beschrieben, bei denen
sich die Zero-Bondpreise in der Form
P t,
T ) = exp( A(
t,
T ) − B(
t,
T ) r )
(
t
mit deterministischen Funktionen A und B und einem Spot-Rate-Prozess r t
darstellen lassen.
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 13

Wie man aus der Formel für den Zero-Bondpreis für das Vasiček-Modell sieht, ist das Vasiček-Modell selbst ein
affines Zinsmodell mit A wie in der Formel angegeben und mit
−κ
( T −t)
B = B(
t,
T ) = (1 − e ) / κ .
Für einen allgemeinen Spot-Rate-Prozess gegeben durch die SDE
dr = µ ( r , t)
dt + σ ( r , t)
dW
t
t
t
t
mit Funktionen µ ,σ : IR x [0, T ] → IR kann man zeigen, dass der Spot-Rate-Prozess r t
genau dann eine affine
2
Zinsstruktur im obigen Sinn ergibt, wenn µ und σ selbst affine Funktionen in der ersten Variablen sind, d.h. sich in
der Form x , t → a(
t)
+ b(
t)
x für entsprechend reguläre Funktionen a, b in der Variablen t darstellen lassen.
Übungsaufgaben
(a) Beweisen Sie die in Anmerkung 2 angeführten Behauptungen für das Vasiček-Modell!
(b) Geben Sie die Formel für den arbitragefreien Preis eines Bonds nach dem Vasiček-Modell an! (Hinweis: Verwenden
Sie das Martingalmaß für die Brownsche Bewegung aus Abschnitt 2.2.1)
(c) Liefert das CIR-Modell eine affine Zinsstruktur?
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 14

Derivative Finanzinstrumente
Finanzinstrument, das vom Wert einer anderen („underlying“) Security abhängt. Wir betrachten somit einen bedingten
Anspruch (engl. contingent claim), wobei sich die Höhe und der Zeitpunkt des Anspruchs aus dem beobachtbaren Wert
anderer ökonomischen Größen ableiten.
Das Underlying eines Derivats kann z.B. ein gehandelter Vermögenstitel sein (eine Aktie oder eine Anleihe), aber es gibt
eine Vielzahl von abgeleiteten Finanztiteln, die sich auf eine ökonomische Variable beziehen, die man selbst nicht kaufen
oder verkaufen kann (z.B. Geldmarktzinsen zu einem zukünftigen Zeitpunkt oder das Ausmaß von Sturmkatastrophen in
einer bestimmten Region). In diesem Sinne kann man sogar einen Versicherungsvertrag als Derivat z.B. auf das Leben
einer Person oder auf den Schadensfall bei einer Kfz-Versicherung subsumieren.
In einer fundamental-ökonomischen Betrachtung ist jedes Wirtschaftsgut ein bedingter Anspruch - abhängig
vom Zustand der Welt, der durch alle wirtschaft relevanten Einflussfaktoren bestimmt ist.
Derivative Finanzinstrumente spielen in der Finanzökonomie eine bedeutende Rolle, weil man diese Verträge einerseits
zur Absicherung einer Vermögensposition (engl. hedging) verwenden kann, anderseits kann durch den Abschluss des
Vertrages zu einem vergleichsweise geringen Preis die Chance auf einen hohen Gegenwert entstehen (also eine Art
Spekulation).
30.11.2006 2.3.1 Preismodell für den Forwardkontrakt 15

Wir betrachten das sehr einfache derivative Finanzinstrument eines Forward-Kontrakts.
Definition
Man sagt, dass die Vertragspartei, die sich dazu verpflichtet, den Vermögenstitel zu einem definierten Zeitpunkt um den
vereinbarten Preis (Lieferpreis) zu kaufen die long position hält, während die andere Vertragspartei, die sich zum Verkauf
verpflichtet, die short position innehat.
Der Lieferpreis K wird so festgelegt, dass der Preis für den Abschluss des Vertrages zum Zeitpunkt t = 0 Null ergibt.
Bezeichne S
T
den Wert des zugrunde liegenden Vermögenstitels zum Zeitpunkt der Fälligkeit, dann beträgt der Wert des
Kontrakts zum Zeitpunkt T für den
Vertragspartner mit der long position:
Vertragspartner mit der short position:
S T
− K
K − ST
Annahmen: S zahlt innerhalb der Vertragsdauer ( 0, T ) keine Dividenden aus und es existiert ein konstanter risikoloser
Zins r , d.h. ein Finanztitel B dessen Wert sich aus der kontinuierlichen Verzinsung mit Sicherheit ergibt.
Dann bestimmt sich der arbitragefreie Lieferpreis K aus der Gleichung
K = e rT So
30.11.2006 2.3.1 Preismodell für den Forwardkontrakt 16

Zu diesem Schluss sind wir bereits in unserem Beispiel in Abschnitt 2.1.1 gekommen: jeder andere Lieferpreis würde eine
Arbitragemöglichkeit eröffnen. Wir wiederholen kurz das Argument für den Fall, dass der Lieferpreis K > wäre. Ein
Arbitrageur wählt folgende Handelsstrategie in den zur Verfügung stehenden Securities:
Portfolio zum Zeitpunkt t = 0 : Anteile in B : S0
Anteile in :
Preis
− − S0
S + S0
+ S0
short position im Forward-Kontrakt 0
e rT So
Portfolio zum Zeitpunkt
t = T : Anteile in B : S0
−
rT
− S 0
e
Anteile in :
S + S0
+ ST
short position im Forward-Kontrakt
K − ST
Der Arbitrageur hat zum Zeitpunkt t = 0 kein Kapital eingesetzt und zum Zeitpunkt t = T folgenden Erlös aus der
Handelsstrategie:
− S
rT
rT
0
e + ST
+ K − ST
= K −S
0e
>
0
Das bedeutet, dass diese sich selbst finanzierende Handelsstrategie einen zum Zeitpunkt T risikolosen, strikt positiven
Ertrag liefert und somit eine Arbitragemöglichkeit darstellt.
30.11.2006 2.3.1 Preismodell für den Forwardkontrakt 17

Wir bezeichnen mit
F
t
r( T −t)
= e St
den Wert des Forward-Kontrakts zum Zeitpunkt t .
Es gilt: F
T
= ST
F = K
0
.
Diese Definition ergibt auch für F
t
mit
0 < t < T einen arbitragefreien Preis für einen handelbaren Kontrakt dieser Art
und beschreibt den Forward ( F
t)
als stochastischen Prozess bezüglich des zugrunde liegenden Werteprozesses ( t
)
Angenommen S
t
ist ein Ito-Prozess der Form
S .
dS
t
= µ S dt + σS
dW mit σ
t
t
t
µ, konstant
r(
T −t)
Die Funktion F : IR x [0, T ] → IR definiert durch F(
S,
t)
= Se ist eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, daher
r( t)
ist der Prozess ( F t
) mit F S e
T −
= ebenfalls ein Ito-Prozess und es gilt:
t
t
dF
t
∂Ft
= (
∂S
t
µ S
t
∂Ft
+
∂t
+
1
2
∂ F 2
σ S
∂
2
t
2
St
2
t
∂Ft
) dt + σStdWt
∂S
t
= ( e
r(
T −t)
µ S
t
− rS e
t
r(
T −t)
) dt + e
r(
T −t)
σS
dW
t
t
= ( µ − r)
F dt + σF dW
t
t
t
Daraus folgt, dass auch F
t
log-normalverteilt ist: mit der gleichen Volatilität σ wie S
t
, aber mit dem Drift ( µ − r)
.
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Anmerkungen
(1) Forward-Kontrakte werden ausschließlich zwischen Finanzinstitutionen abgeschlossen und nicht an Börsen gehandelt.
Um das Risiko der Zahlungsunfähigkeit der Vertragspartner bei vergleichbaren Kontrakten zu beschränken, werden
von einer Börse Sicherheiten (sog. margin accounts) eingefordert. Diese Kontrakte bezeichnet man dann als Futures,
wobei die während der Laufzeit entstehenden Preisdifferenzen vom jeweiligen Vertragspartner unmittelbar zu
begleichen sind. Damit wird das Ausfallsrisiko („Kreditrisiko“) minimiert und die Verträge können auch während der
Laufzeit grundsätzlich wieder verkauft werden. Die mathematischen Modellierungen für Future- und Forward-
Kontrakte unterscheidet sich jedoch nicht wesentlich voneinander.
(2) Futures- und Forward-Kontrakte werden hauptsächlich für Rohstoffe, Währungen oder Zinssätze abgeschlossen. Der
Beweggrund kann hierbei die Absicherung eines Verlustes aus der zukünftigen Preisänderung sein. Als klassisches
Beispiel sei ein Landwirt genannt, der bereits im Frühjahr für das anzubauende Getreide mit einen fixen Abnahmepreis
im Herbst rechnen will und daher eine long position in einem Futures-Kontrakt eingehen möchte. Dieser Vertrag
könnte dann beispielsweise mit einem Bäcker zustande kommen, der für seine betriebswirtschaftliche Kalkulation das
Risiko eines Preisanstieges beim Getreide im Herbst nicht eingehen möchte. In diesem Fall ist die Interessenslage für
das Zustandekommen des Vertrages in der Natur des Wirtschaftsgutes begründet und beide Vertragspartner können
sich gegen die entsprechenden Risiken absichern.
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(3) Futures- und Forward-Kontrakte eignen sich aber auch für Spekulationsgeschäfte. Wenn man z.B. darauf setzt, dass
z.B. der Weizenpreis im Herbst über den vom Markt erwarteten Lieferpreis steigt, dann wird der Spekulant einen
Forward-Kontrakt zu diesem Preis verkaufen (long position). Tritt der Fall ein, dann macht der Spekulant zum
Lieferzeitpunkt einen Gewinn, indem er den Weizen zu dem geringeren Preis kauft und dann unmittelbar zum
höheren Marktwert wieder verkauft. Setzt er umgekehrt auf fallende Weizenpreise wird er einen Forward-Kontrakt
kaufen (short position).
Übungsaufgabe
Zeigen Sie, dass der für einen Lieferpreis K im Forward-Kontrakt mit
geben Sie die entsprechende Handelsstrategie an.
K < e rT So
eine Arbitragemöglichkeit besteht und
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