Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Eigenschaften des Vasiček-Modells
E[
r ] = r e
t
0
−κt
+ m(1
− e
−κt
2
σ
−2κt
Var(
rt
) = (1 − e )
2κ
2
σ
−2κt
−κh
Cov(
rt
, rt
+ h
) = (1 − e ) e
2κ
−κ
(
1−
e
P(
t,
T ) = exp( A(
t,
T ) −
κ
Anmerkungen
)
1−
e
2
T −t)
r )
t
−2κ
( T −t)
2
2
−κ
( T −t)
2
σ σ
σ
mit A( t,
T ) =
− ( m − )( T − t)
+ ( m + )
2
2
2
κ κ κ
κ κ
2
2
(1) Aus der Formel für den Erwartungswert folgt, dass dieser für t → ∞ gegen den mittleren Zins m strebt und die
2
Varianz gegen die Größe σ / 2κ
. Die Formel für die Kovarianz zeigt, dass die Inkremente der Spot-Rates nicht
unabhängig sind, jedoch für h → ∞ die Verteilungen r t
und r
t + h
nicht mehr korreliert sind.
(2) Da für den Zero-Bond-Preis eine analytische Formel vorliegt, lassen sich die Yield to Maturity und die Forward-Rates
unmittelbar berechnen. Man kann Folgendes zeigen:
2
σ
y0,
T
→ m − < m für T → ∞
2
2κ
2
σ
−κT
2
f (0, T ) = E[
rT
] − (1 − e ) < E[
r ]
2
T
2κ
2
σ
und f (0; T ) → m − für T → ∞
2
2κ
2
Daraus folgt, dass für 2m < σ
2 / κ negative Forward-Rates auftreten. Diese wiederum bedeutet, dass bei
entsprechender Parameterkonstellation der Spotrate-Prozess r t
nach dem Vasiček-Modell zu oft negative Werte
annimmt, was aus ökonomischer Sicht keinen Sinn ergibt bzw. empirisch nicht haltbar scheint.
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 12
1−
e