Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Anwendung :
1) Preisbestimmung von abgeleiteten Finanztiteln (Derivaten), für welche sich der Werte zu einem späteren
Zeitpunkt aus der gesamten Preisentwicklung einer zugrunde liegenden Securities ergeben kann (Kapitel 2.3).
2) erhalte die Verteilung der infinitesimalen Inkremente des stochastischen (Ito-)Prozesses
Beispiel:
Black-Scholes-Modell für eine Aktie gegeben durch die SDE
dS
t
= µ S dt + σS
dW mit σ
t
t
t
µ, konstant
definieren die Funktion G ( x,
t)
= ln( x)
. Dann ist S ) ein Ito-Prozess und es gilt
ln( t
∂G 1
=
∂x
x
∂ G
∂x
1
x
2
,
2 = −
2
∂G
∂t
und = 0
Daher folgt nach dem Ito-Lemma, dass für den durch G definierten Prozess Y G( S , t)
2
σ
dY = ( µ − ) dt + σ
2
t
dW t
gilt.
Da µ und σ konstant sind, bedeutet dies, dass die infinitesimalen Inkremente von Y = S ) normalverteilt mit
2
2
Mittelwert ( µ − σ / 2)
und Varianz σ sind für einen zukünftigen Zeitpunkt
folgende Verteilung hat:
t
=
t
t
ln( t
T > t die Zufallsvariable ln( S T
)
ln( S
T
) ~ N(
S
t
2
σ
2
+ ( µ − )( T − t),
σ ( T − t))
2
30.11.2006 2.2.4 Erweiterung der Zustandsvariablen 5