Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Definition
Ein stochastischer Prozess S
t
heißt Ito-Prozess, wenn
S
t
= x +
t
∫
∫
µ ds + σ
sdWs
bzw. dSt
µ
tdt
+ σ
tdWt
t
s= 0 s=
0
t
S =
= mit
0
wobei x ∈ IR , W
s
ein standardisierten Wienerprozess sowie µ
s
, σ
s
adaptierte Prozesse sind, welche die
t
t
2
Integrabilitätsbedingungen ∫ µ
s
ds < ∞ , ∫σ s
ds < ∞ erfüllen.
s=
0
s=
0
0
x
d
E t
S
dτ
d
d
vart
τ
[
τ
]
τ = t
= µ
t
Änderung des Preises von
τ
S bezüglich des bedingten Erwartungswertes
2
2
2
( Sτ )
τ = t
= σ
t
Änderung der bedingten Varianz von S
τ
wobei vart
( X ) ≡ Et[
X ] − ( Et[
X ]) .
Black-Scholes:
Ito-Prozess:
µ
t
= St
µ , d.h. der „Drift“ (erwarteter Return) ist proportional zum aktuellen Preis
gesamte Informationen bis zum Zeitpunkt t gehen in den Driftterm ein; analog für σ
t
Ito’s Lemma
Für einen Ito-Prozess
dX
t
= µ dt + σ dW und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion G IR
2 → IR
t
t
t
: gilt, dass
Yt ≡ G( X
t
, t)
ebenfalls ein Ito-Prozess ist, der die folgende partielle stochastische Differentialgleichung erfüllt:
2
⎡ ∂
∂ 1 ∂
2
⎤ ∂
dYt
= ⎢ G(
X
t
, t)
µ
tdt
+ G(
X
t
, t)
+ G(
X
t
, t)
σ
t
dt + G(
X
t
, t)
σ
tdW
2
t
x
t 2 x
⎥
.
⎣∂
∂
∂
⎦ ∂x
30.11.2006 2.2.4 Erweiterung der Zustandsvariablen 4