Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Beispiel für einen Spot-Rate-Prozess mit „mean-reversion“ Eigenschaft: Vasiček-Modell
Gegeben durch die SDE für den Spot-Rate-Prozess r t
:
dr
t
= κ ( m − r ) dt + σ dW
t
t
wobei wir annehmen, dass
m > 0 der langzeitige durchschnittliche Zins
κ > 0 die Stärke des Drifts gegen den mittleren Zins m angibt und
r der Zins zum Zeitpunkt t = 0 ist.
0
> 0
Der Ausdruck σ Wt
stellt den stochastischen Störungsterm dar, ohne den der Spot-Rate-Prozess durch eine gewöhnliche
Differentialgleichung gegeben wäre. Es zeigt sich, dass die Lösung der SDE in der Form
r = r e
t
0
(1
− κt
t
+ m − e
− κ
+
)
e
− κt
σ
t
s
∫ e
− κ
o
dW
s
t
∫ −
geschrieben werden kann. Der Ausdruck t → e
κ s dWs
bezeichnet ein stochastisches Integral, das man durch eine Folge
o
aus Funktionen, welche die Inkremente der Brownschen Bewegung zugrunde legt, etwa wie folgt approximieren kann:
−n
Für t ≥ 0 gegeben und n > 0 bildet man Zeitschritte der Dauer 2 und betrachtet die Inkremente aus der
Brownschen Bewegung W n −W n
j j
für j = 0,1,2 ,⋅⋅ ⋅. Das obige stochastische Intergral kann durch die Folge
( + 1) / 2 / 2
∞
exp( −n
∑ κ j2
) { W
n −W
}
min( ,( 1) / 2 min( , / 2 n für n = 1,2,3 ,⋅⋅ ⋅
t j+
t j
j=
0
angenähert werden. Die Summe ist für jedes n endlich und als Summe von unabhängigen, normalverteilten
Zufallvariablen konvergiert diese Folge für n → ∞ gegen eine Normalverteilung (Zentraler Grenzwertsatz).
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 9