Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

(stochastische) Modellierung der risikolosen Zinsen
Konstruktion: Forward-Rate-Prozess im endlichen zeitdiskreten Modell: siehe Abschnitt 2.1.5 Anmerkung 2
Voraussetzung:
es existiert eine geeignete Handelsstrategie, deren Rückflüsse zustandsunabhängig (risikolos) sind
Postulat: zu jedem Zeitpunkt s gibt es einen Geldmarktzins r s
(spot rate bezeichnet) mit Bt
= exp( rs
ds)
Marktbetrachtung
wobei r s
im Allgemeinen durch einen stochastischen Prozess gegeben ist.
Für risikolose Staatsanleihen unterschiedlicher Laufzeiten zu einem gegebenen Zeitpunkt t ist die durchschnittliche
kontinuierliche Verzinsung y ,
über eine fixe Laufzeit ( T − t)
mit T > t durch die Beziehung
t T
B
y
t,
T
( T − t)
= ln(
B
T
t
)
gegeben, die man auch als Zinsstruktur (engl. Yield Curve) bezeichnet. Die Variable y
t , T
(auch mit Yield to Maturity
bezeichnet) gibt somit den jährlichen Ertrag an, mit der ein der Bonität des Staates vertrauender Investor für die Laufzeit
( T − t) mit Sicherheit rechnen kann.
Die Größe P( t,
T ) ≡ ( B t
/ BT
) bezeichnet man auch als Zero-Bond-Preis. Darunter versteht man den Wert einer Geldeinheit
zum Zeitpunkt t , über die man aber erst zu einem späteren Zeitpunkt T - aber hier mit Sicherheit - verfügen kann.
Wir definieren nun die Forward-Rate f ( t,
T ) für diesen Markt als Ableitung der Bondpreise nach dem Parameter T :
∂
∂
f ( t,
T ) ≡ ( yt, T
( T − t))
= − ln P(
t,
T )
∂T
∂T
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 7
t
∫
0