Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

(3) Ausgehend vom Vasiček-Modell lassen sich einfache stochastische Zinsmodelle bilden, die einerseits das Auftreten
von negativen Zinsen (bis auf Mengen vom Maß Null) ausschließen und/oder eine bestehende Zinsstruktur auch
zweckmäßiger abbilden können. Wir wollen hier nur zwei Modelle kurz anführen und verweisen bezüglich einer
ausführlichen Abhandlung auf [Duffie].
Das Modell von Cox, Ingersoll und Ross für den Spotrate-Prozess r t
(kurz CIR-Modell) ist durch die folgende SDE
gegeben:
dr
t
= κ ( m − r ) dt + σ
t
r dW
t
t
wobei die Parameter die gleiche Bedeutung wie im Vasiček-Modell haben. Auch für diese Differenzialgleichung gibt es
eine explizite Lösung, und die Formeln für die Bondpreise lassen sich in analytischer Form angeben. Im Gegensatz
zum Vasiček-Modell liefert das CIR-Modell jedoch für alle Parameter κ , m > 0 und σ ≥ 0 positive Werte für die Yield
to Maturity und die Forward-Rates.
Eine weitere Klasse von Zinsmodellen wird durch die sogenannten „affinen Zinsstrukturen“ beschrieben, bei denen
sich die Zero-Bondpreise in der Form
P t,
T ) = exp( A(
t,
T ) − B(
t,
T ) r )
(
t
mit deterministischen Funktionen A und B und einem Spot-Rate-Prozess r t
darstellen lassen.
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 13