Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Übungsaufgabe
Wir haben mit Hilfe von Ito’s Lemma gezeigt, dass die kontinuierlich zusammengesetzte jährliche Verzinsung der
Black-Scholes-Aktie eine Zufallsvariable η gegeben durch die Beziehung
S
T
= S
η ( T −T )
T
te
bzw. η ln( )
T − t St
=
1
S
2 2
definiert für die gilt: η ~ N ( µ − σ / 2, σ ) . Steht dies im Widerspruch dazu, dass wir angenommen haben, dass der
erwartete Ertrag in jedem kleinen Zeitintervall µ beträgt?
Hinweis:
1) Für ein kleines Zeitintervall haben wir den erwarteten Ertrag durch
S
t
− S
S
t+ ∆ t
= µ
t
∆t
angesetzt und dies entspricht einer linearen Verzinsung. Zeigen Sie, dass sich diese Definitionen auf den
Unterschied zwischen einem geometrischen und einem arithmetischen Mittelwert zurückführen lassen und
bilden Sie den Grenzwert bei Unterteilung in Zeitintervalle mit ∆t → 0 .
2) Vergleichen Sie dies auch mit der Berechnung der Verteilung aus der Brownschen Bewegung als Grenzwert des
Binomial-Modells in Abschnitt 2.2.1. Dort sind wir zu einem analogen Ergebnis bezüglich des Korrekturterms
2
− σ / 2 gekommen.
30.11.2006 2.2.4 Erweiterung der Zustandsvariablen 6