Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen in der ...

Der durch das Vasiček-Modell beschriebene stochastische Prozess der Spot-Rates ist daher normalverteilt. Für Parameter
dieser Verteilung, die Bondpreise, die Yield-Curve und die Forward-Rates erhält man sogar eine geschlossene Formel.
Bevor wir diese Formel jedoch angeben, wollen wir uns diesen Prozess über eine sehr einfache Simulationsrechnungen
verdeutlichen. Dazu benötigen wir ein Sample von normalverteilten Zufallsvariablen und legen folgende Parameter fest:
m = 3% als langzeitigen durchschnittlichen Zins
κ = 0,5 die Stärke des Drifts gegen den mittleren Zins m angibt
r als Zins zum Zeitpunkt t = 0 und
0
= 5%
σ = 1% als Maß für die Volatilität.
Wir betrachten nun Pfade für den Spot-Rate-Prozess und legen für das diskrete Zeitmodell Schritte von ∆t = 1/ 100 Jahre
fest. Da W
t
ein Wiener-Prozess ist, wissen wir, dass die Inkremente im diskreten Modell normalverteilt sind mit dem
Mittelwert 0 und der Standardabweichung ∆ t . Da die Inkremente unabhängig sind, genügt es, Samples ε von
standardisierten normalverteilten Zufallsvariablen zu erzeugen. Wir betrachten den Zeitraum von 10 Jahren und setzen
daher T = 10 . Für eine Simulation benötigen wir daher Samples der Größe 1000. Der Prozess nach dem Vasiček-Modell
im diskreten Analogon wird nun wie folgt beschrieben:
r
= r + κ ( m − t ) ∆t
+ σ
t+ ∆t
t
t
ε
∆t
wobei wir hier die Notation sinngemäß übertragen. Wenn wir σ = 0 setzen, erhalten wir einen deterministischen Verlauf
des Prozesses. Es ist wohl einsichtig, dass dies der Erwartungswert nach dem subjektiven Wahrscheinlichkeitsmaß ist.
Wir generieren 3 Samples ε von je 1000 Zufallsvariablen und berechnen Pfade nach der obigen Differenzengleichung.
30.11.2006 2.2.3 Zinsmodellierung 10