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Der Beweis sollte aber durchgemacht werden, da man anhand dessen lernt, viel aus einer Skizze abzulesen, und mehrere Gegebenheiten miteinander zu verknüpfen. Auch das Umformen einer Gleichung wird geübt. Aus puren Zeitgründen schlagen wir aber vor, den Beweis nur in einem der beiden Fälle(spitzwinkelig und stumpfwinkeligen) Fall zu betrachten. Unser Vorschlag hierfür wäre folgender: Da man beim Beweis des Sinussatzes auch zwischen diesen beiden Fällen unterscheiden muss, empfehlen wir, insgesamt beide Fälle zu behandeln und zwar den einen Fall beim Sinussatz und den anderen beim Cosinussatz – dies macht deshalb Sinn, weil die zwei Fälle prinzipiell gleich zu behandeln sind, nur die Höhe einmal im und einmal außerhalb des Dreiecks liegt. So werden den SchülerInnen alle Methoden in die Hand gegeben, um die Herleitung verstehen zu können. Die Beweise müssen auch nicht exakt wiedergegeben werden bei Lehrzielkontrollen oder Schularbeiten, jedoch die Grundstruktur des Gedankenganges sollte klar sein. Bei der Herleitung kann man sich gut am Lehrbuch orientieren (S. 155), wobei man eigentlich nur Punkt 2 machen muss (und auch hierbei eben nur einen Fall herausgreift). Zum Beweis des Sinussatzes: Bei der Herleitung des Sinussatzes beginnen wir mit einer anwendungsorientierten Textaufgabe. Der mathematische Kerninhalt zur Berechnung läuft dabei auf ein (nicht rechtwinkeliges) Dreieck ABC hinaus, bei dem entweder a, α, und β, oder a, b und α oder a, b und β oder b, α und β gegeben sind. α und β sind dabei kleiner als 90 Grad. Zuvor sollten zumindest Berechnungen in gleichschenkeligen und auch allgemeinen Dreiecken durchgeführt werden, wo man die Methode des Teilens eines Dreieckes in zwei Dreiecke verwendet. Ist dies aber bekannt, können SchülerInnen die Höhe (auf c) des Dreieckes berechnen und sollten daher eigentlich keine gröberen Probleme beim Lösen der Aufgabe haben, auch wenn es eine etwas längere Rechnerei wird. Eventuell kann man auch solch ein Beispiel zuerst an der Tafel vorrechnen und dann die SchülerInnen selbst rechnen lassen. Anschließend wird das Beispiel dann rein abstrakt und mathematisch (ohne Anwendungseinkleidung) nocheinmal durchgerechnet (ausschließlich mit Variablen und ohne Zahlenangaben für das Dreieck also). Man kann sich wiederum entscheiden, ob man dies gemeinsam macht, oder die SchülerInnen auf sich allein gestellt bleiben, oder auch in Gruppen gearbeitet wird – die ganz konkrete Umsetzung muss sich natürlich der Klasse anpassen, der didaktische Grundschritt bleibt der gleiche. Was haben wir nun damit erreicht? Zumindest einmal wurde die grundliegenden Anwendungen von Sinus und Cosinus einmal eintrainiert und ein zielführendes Bedenken der Rechnung auf Zwischenschritte hin (Berechnung der Höhe) geübt. Auf (scheinbar) ganz natürlichem Weg ist man dabei auch zu einem Ausschnitt des Sinussatzes gelangt. Man hat den Sinussatz also in dem Sinne gar nicht bewiesen, sondern eigentlich einmal nur seine Verwendung und Gültigkeit motiviert. Sies erachten wir als nötig. Desweiteren kann man nun natürlich thematisieren, was man nun genau gewonnen hat, für welche Sachverhalte man den Sinussatz eigentlich noch nicht anwenden dürfte: Was wäre, wenn man zum Beispiel a, α und c gegeben hätte? Oder wie sieht es aus in einem stumpfwinkeligen Dreieck – dieser Fall wäre auch besonders lohnend zu behandeln, da man hierfür das Verhalten des Sinus am Einheitskreis im Kopf haben muss. Sollte man also genügend Zeit übrig haben, wäre dieser Fall auch noch zu zeigen, dass der Satz für alle drei Seiten gilt, ist dann eigentlich durch angemessenes Drehen des Dreieckes schnell gezeigt. Das Buch schlägt gesamt gesehen einen Weg über sieben Schritte vor: 1. Berechnen eines Dreiecks im Falle WSW, SWW uns SsW 2. Herleitung des Sinussatzes (2 Fälle) 3. Sinus im Bereich von 90 bis 180 Grad 4. Geometrische Interpretation dieser Definition 5. Verallgemeinerung des Sinussatzes auf stumpfwinkelige Dreiecke 6. Verwenden des Taschenrechners bei stumpfen Winkeln 7. Beispiel für die Berechnung eines Dreiecks mithilfe des Sinussatzes Dieses Vorgehen scheint uns zu zeitaufwendig (drei ganze Buchseiten), gewissermaßen beginnen wir auch von Hinten, da wir mit einem Beispiel beginnen und das Verwenden des Taschenrechners schon
klar sein sollte – das Buch geht hier wieder von einer puren Tastenangabe aus, was schon problematisiert worden ist. Daher schlagen wir vor, keinen umfassenden Beweis vorzulegen, sondern, wie wir auch glauben, es umgesetzt zu haben, die wichtigsten Gedankengänge, die diesen Beweis prägen, verständlich zu machen. Höhen und Tiefenwinkel -‐ Textaufgaben Im Zuge der Textaufgaben wird man wahrscheinlich zu typischen Vermessungsaufgaben kommen. Oftmals kommen dabei die Begriffe Höhenwinkel, Tiefenwinkel und Sehwinkel vor. Wir schlagen vor, diese Begriffe exakt zu definieren, da es hierbei erfahrungsgemäß oft zu Unklarheiten kommt. Wir plädieren weiters dafür, Aufgaben, zu deren Berechnung man den Sinussatz oder den Cosinussatz benötigt, zu verbinden mit Aufgabenstellungen zu Polarkoordinaten, da diese in vielen Schulbüchern ein isoliertes Themenfeld bilden. Die behandelte Planung lässt sich insgesamt leicht anhand sämtlicher Lehrbücher vollführen, mit Ausnahme genannter Beispiele, die Polarkoordinaten mit Sinussatz und Cosinussatz verbinden. In Hinblick auf Grundkompetenzen kommt dem gesamten hier behandelten Abschnitt eher weniger Bedeutung zu. Sinussatz und Cosinussatz zählen nicht zu den Grundkompetenzen der Zentralmatura. Sämtliche hierfür relevante Kenntnisse entfallen also eher auf die Einleitung.
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