Stellenwertsystem

Prof. Dr. Bernd Hafenrichter, Einführung in Stellenwertsysteme
Stellenwertsystem
Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, welches mit einer geringen Zahl von Symbolen
zur Darstellung von Zahlen auskommt, wobei die Stellung/Position eines Symbols einen
wichtigen Einfluss auf die Wertigkeit hat.
In einem Stellenwertsystem werden Zahlen durch eine Folge von vordefinierten Symbolen
dargestellt:
z n , z n-1 , … , z 0 z.B. 1245,45
Dieser Zahlenfolge wird ein Wert zugeordnet, in dem das nachfolgende Rechenschema
Anwendung findet:
Wert = z n * Basis n , z n-1 * Basis N-1 , … , z 0
n
Wert = z i * Basis i
i = 0
Stellenwertsysteme arbeiten immer zu einer gegebenen Basis b. Dies hat für die Darstellung
von Zahlen zwei wichtige Konsequenzen:
Für die Darstellung der einzelnen Ziffern stehen genau b verschiedene
Symbole zur Verfügung, welchen jeweils ein Wert zwischen 0 und b-1
zugeordnet ist
Die Wertigkeit einer Zahl wird durch die Position und Basis b wie folgt
definiert:
z i * Basis i
Ein Beispiel für einen Stellenwert ist das Dezimalsystem. Als Symbole können die Ziffern 0 –
9 zur Basis 10 verwendet werden.
Binärdarstellung von Zahlen
Bei dem Binärsystem/Dualsystem handelt es sich um ein Stellenwertsystem zur Basis 2,
wobei nur die Ziffern 0 bzw. 1 zur Darstellung verwendet werden dürfen.
Beispiel: Gegeben sei folgende Zahl im Binärsystem
1100111,11 (2)
Soll der Wert dieser Zahl errechnet werden, so ergibt sich unter Anwendung der obigen
Formal der nachfolgend dargestellte Rechenwert:
Wert = 1 * 2 6 + 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 + 1 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 1* 2 -2 = 103,75 (10)
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Umwandlung von Dezimal nach Dual
Die Umwandlung einer Zahl im Dezimalsystem in das Binärsystem erfolgt mit Hilfe der sog.
Divisionsmethode (Modulomethode). Die Grundidee besteht darin, einen gegeben Zahl
fortlaufen durch die Basis 2 zu teilen, wobei die bei der Division entstehenden Reste den
Ziffern im Binärsystem entsprechen. Der Algorithmus endet wenn der entstehende
Ganzzahlquotient den Wert 0 annimmt.
Beispiel: Darstellung der Zahl 50 als Binärzahl
50 : 2 = 25 Rest 0
25 : 2 = 12 Rest 1
12 : 2 = 6 Rest 0
6 : 2 = 3 Rest 0
3 : 2 = 1 Rest 1
1 : 2 = 0 Rest 1 Ende der Umrechung.
Aus den durch die Berechnung ermittelten Resten lässt sich nur direkt der Wert der
gewünschten Binärzahl ablesen. Hierzu werden die berechneten Reste in umgekehrter
Reihenfolge übernommen und daraus direkt die Binärzahl gebildet.
Ergebnis: 110010 (2)
Die Modulomethode kann für die Umwandlung in beliebige Stellenwertsysteme verwendet
werden. Bei der fortlaufenden Division ist anstelle der Basis 2 die Basis des geforderten
Stellenwertsystems zu verwenden. Ansonsten bleibt die Methode unverändert.
Hexadezimalsystem
Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 16. Für die Darstellung von
Zahlen stehen neben Ziffern 0-9 noch die Symbole A-F zur Verfügung. In der nachfolgenden
Tabelle ist die Zuordnung der einzelnen Symbole zu den Werten im Dezimal und Binärsystem
gegeben.
Hexadezimale Wert im Dezimalsystem Wert im Binärsystem
Symbole
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
A 10 1010
B 11 1011
C 12 1100
D 13 1101
E 14 1110
F 15 1111
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Beispiel:
F0A (16) = F * 16 2 + 0 * 16 1 + A * 16 0
= 15 * 256 + 0 * 16 + 10
= 3850
Das Hexadezimalsystem findet in der Informatik eine besondere Bedeutung, da die Basis 16
ein Vielfaches zur Basis 2 (des Dualsystems) darstellt. Aufgrund dieser Tatsache kann
zwischen dem Hexadezimalsystem und dem Dualsystem sehr einfach umgerechnet werden,
indem jeweils 4 Bit einer Binärzahl durch ein Symbol des Hexadezimalsystems dargestellt
werden.
Umwandlung einer HEX-Zahl in das Binärsystem: Ersetze jedes Symbol aus dem
Hexadezimalsystem durch die entsprechende Folge von Binärziffern.
F 0 A
1111 0000 1010
F0A (16) = 1111 0000 1010 (2) = 3850 (10)
Der umgekehrte Weg zur Darstellung einer Binärzahl als Hexadezimal ist analog. Es wird
jeweils eine Folge von 4 Bits durch ein Symbol aus dem Hex-System ersetzt. Falls notwendig,
werden führende 0 angefügt, so dass die Anzahl der Stellen einem Vielfachen von 4
entspricht.
1011001101 (2)
0010 1100 1101
0010 1100 1101
2 C D
Oktalsystem
1011001101 (2) = 2CD (16) = 717 (10)
Das Oktalsystem ist ein Stellenwertsystem, welches zur Basis 8 arbeitet. Als Symbole stehen
die Ziffern von 0 – 7 zur Verfügung. Wie bereits beim Hexadezimalsystem gezeigt, ist auch
dieses System sehr einfach in die Binärdarstellung umzurechnen, da die Basis 8 ebenfalls ein
Vielfaches zur Basis 2 darstellt. D.h. für Oktalzahlen gilt: Fasse jeweils drei Binärziffern
zusammen und stelle sie als Zahl im Oktalsystem dar. Der Umgekehrte Weg gilt analog.
241 (8) = 010 100 001 (8) = A1 (16) = 161 (10)
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Darstellung negativer Zahlen
Auch innerhalb des Binärsystems besteht die Notwendigkeit negative Zahlen darzustellen.
Hierbei verwendet man zur Darstellung von negativen Binärzahlen das so genannte 2-er
Komplement. Dieses wird wie folgt gebildet:
Gegeben sei die folgende Binärzahl: 0 0 0 0 1 1 0 0 ( 12 )
Soll diese Zahl negiert werden (-12), so sind folgende Schritte durchzuführen:
1.) Invertiere die einzelnen Bits ( Vertausche 0 mit 1 und 1 mit 0 )
2.) Addiere 1 zum dem Ergebnis aus Schritt 1
0 0 0 0 1 1 0 0
1.) 1 1 1 1 0 0 1 1
2.) +1
=====================
1 1 1 1 0 1 0 0
Wie man bereits an diesem Beispiel sieht, nimmt das höchstwertige Bit die Rolle des
Vorzeichens ein. Ist das höchstwertige Bit = 0, so handelt es sich um eine positive Binärzahl.
Ist es hingegen 1, so handelt es sich um eine negative Zahl in Zweierkomplement Darstellung.
Rechnen mit Zahlen im Zweierkomplement
Folgende Rechenaufgabe soll im Binärsystem durchgeführt werden:
24 – 12
Hierbei gehen wir davon aus, dass die Zahlen durch den Datentyp Byte dargestellt werden,
d.h. wir haben 8-Bit Platz zur Darstellung der Binärzahlen. Im ersten Schritt werden beide
Zahlen in die entsprechende Binärdarstellung überführt, wobei die Zahl -12 im
Zweierkomplement dargestellt wird.
0 0 0 1 1 0 0 0
+ 1 1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 (übertrag)
=====================
1 0 0 0 0 1 1 0 0
Bei dieser Addition entsteht an der 9. Stelle ein Übertrag. Dieser wird jedoch ignoriert, da nur
die unteren 8 Bits durch ein Byte dargestellt werden können. D.h. das Ergebnis der
Rechenoperation ist die Binärzahl 0 0 0 0 1 1 0 0, welcher dem dezimalen Ergebnis +12
entspricht.
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Im Folgenden soll nun die Rechnung 12 – 24 durchgeführt werden.
0 0 0 0 1 1 0 0 (+12)
1 1 1 0 1 0 0 0 (-24 als Binärzahl im Zweierkomplement)
================
1 1 1 1 0 1 0 0
In diesem Fall ist das höchstwertige Bit (Vorzeichen) auf 1 gesetzt. D.h. es handelt sich um
eine negative Zahl, welche im 2-er-Komplement vorliegt. Die Ermittlung des
Gesamtergebnisses erfolgt hierbei gleich wie bei der Bildung des 2-er Komplements.
1 1 1 1 0 1 0 0 (Vorzeichen = - )
1. Invertiere die bits) 0 0 0 0 1 0 1 1
2. Addiere 1) 1
=============
0 0 0 0 1 1 0 0 12 (10) -12 (10)
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