Kapitel 3: Fuzzy Systeme

3. Fuzzy-Systeme
3.1 Fuzzy-Logik
3.1.1 Einführung in die Denkweise
1. Unscharfe Mengen (Fuzzy-Sets)
Fuzzy-Systeme kodieren direkt strukturiertes Wissen (Regeln) in numerischer Form.
Die "Fuzzy-Set-Theorie" wurde 1965 von Prof. Zadeh (Uni Berkeley, Kalifornien)
eingeführt. Prof. Zadeh stellte fest: "Herkömmliche (Computer-) Logik kennt keine
Manipulation von Daten, die vage oder subjektive Konzepte repräsentieren. (z.B. Es
ist ziemlich kalt, eine schöne Frau). Die Fuzzy-Set-Theorie geht von der Annahme
aus, daß alle Dinge nur zu einem gewissen Grad zutreffen und reduziert die
herkömmliche Logik auf einen Sonderfall. Gerade der Mangel an Präzision
ermöglicht: Das Treffen von Entscheidungen, selbst in Situationen, in denen
unvollständige oder teilweise widersprüchliche Informationen vorliegen.
Bsp.: Darstellung der Temperatur durch eine Zugehörigkeitsfunktion µ
1. (klassische) scharfe Menge
"1": zugehörig
"0": nicht zugehörig
µ( T)
1.0
10 20 30 40
T
Abb. 3.1-1: Darstellung der Temperatur als scharfe Menge
Werte der Zugehörigkeitsfunktion sind nicht nur Null oder Eins sondern beliebige
Werte zwischen 0 und 1.
1

µ( T)
1.0
10 20 30 40
T
Abb. 3.1-2: Darstellung der Tempeartur als unscharfe Menge
Ein Fuzzy-Set wird durch die Zugehörigkeitsfunktion immer eindeutig dargestellt.
Eine Zugehörigkeitsfunktion kann beliebige Werte zwischen 0 und 1 annehmen.
Dadurch werden beliebig feine Abstufungen zwischen "gehört dazu" und "gehört
definitiv nicht dazu" vorgenommen
2. Funktionstyp
Hinsichtlich des Funktionstyps von Zugehörigkeitsfunktionen haben sich einige
Standardformen herausgbildet: Trapeze und Dreiecke werden am häufigsten
eingesetzt. Für derartige Fuzzy-Sets spricht die geringe Anzahl von Parametern (4
bzw. 3 Punkte sind festzulegen) und der geringe Rechenaufwand (Vorteil bei
zeitkritischen Anwendungen). Daneben gibt es Fuzzy-Sets mit S-kurvenförmigen
Flanken oder in Form der Normalverteilungsfunktion (Einsatz bei Datenanalyse und
Mustererkennung).
Mathematisch läßt sich ein Fuzzy-Set beschreiben als eine geordnete Menge von
Paaren:
A = {(x,µ A
( x)| x ∈ X }
µ A
( x): Zugehörigkeitsfunktion (Untermenge der reellen Zahlen)
3. Operatoren auf Fuzzy-Mengen
Informationen werden gewöhnlich durch "UND" und "ODER" miteinander verknüpft.
Die Verknüpfung zweier unscharfer Informationen durch UND und ODER müssen
auch eine Ableitung auf Fuzzy-Mengen besitzen, wenn eine Fuzzy-Modellierung
einen Sinn haben soll.
Analog zu den Operatoren der Booleschen Algebra UND, ODER und NICHT hat die
"Fuzzy Logik" neue Operatoren entwickelt:
Wahrheitsgrad 2er Aussagen, die durch ODER verknüpft sind
(Maximumoperator für die Vereinigung zweier Fuzzy-Sets C = A∪ B)
2

µ C
( x)=max{µ A
( X), µ B
( X)} x ∈ X
Wahrheitsgrad 2er Aussagen, die durch UND verknüpft sind
(Minimumoperator für den Durchschnitt zweier Fuzzy-Sets C = A∩ B)
µ C
( x)=min{µ A
( X), µ B
( X)} x ∈ X
Wahrheitsgrad der Negation
(Komplement C eines Fuzzy-Set A)
µ C
( x)=1-µ A
( X) x ∈ X
Bsp.: Die folgende Darstellung beschreibt die Fuzzy Sets "Warm" bzw. "Heiss":
µ( T)
1.0 warm heiss
0.5
10 20 30 40
Temperatur [°C]
Abb.: 3.1-3 Darstellung der Fuzzy Sets „Warm“ bzw. „Heiss“
a) Zeichne in die vorstehende Darstellung das Fuzzy-Set "heiss und warm" ein.
b) Zeichne in die vorstehende Darstellung das "Fuzzy-Set "heiss oder warm" ein.
c) Zeichne in die vorstehende Darstellung das Ergebnis der Komplementbildung aus
dem Fuzzy-Set "heiss" (Resultat Fuzzy-Set "nicht heiss") ein.
4. Linguistische Variable
Derartige Variable umfassen Werte, die durch Wörter wie "heiß" oder "kalt"
repräsentiert werden. Die einzelnen Werte einer linguistischen Variable werden
durch Fuzzy-Sets ausgedrückt:
Bsp.: Die linguistische Variable Raumtemperatur
Die Raumtemperatur kann als linguistische Variable mit den Termen kalt, warm und
heiß aufgefaßt werden. Jeder Term wird als Fuzzy-Set modelliert:
3

Zugehörigkeitsgrad
1.0
0.8
kalt warm heiß
0.6
0.4
0.2
10
20
30
Temperatur (°C)
Abb. 3.1-4: Darstellung der linguistischen Variablen Raumtemperatur
5. Fuzzy-Regeln
Zur Formulierung von menschlichem Erfahrungswissen werden Fuzzy-Regeln
verwendet:
Bsp.: Regeln beim Autofahren
- Wenn der Abstand zum vorderen Auto klein ist und die Geschwindigkeit groß, dann
bremse mit großer Kraft
- Wenn der Abstand zum vorderen Auto mittel ist und die Geschwindigkeit groß,
dann bremse mit mittlerer Kraft.
Die linguistischen Variablen Abstand (D), Geschwindigkeit (V) und Bremskraft (F)
lassen sich so darstellen:
µ( T)
1.0
0.0
50
100
[m] [%] [km/h]
50 100 50 100
Abstand Bremskraft Geschwindigkeit
Abb. 3.1-5: Darstellung der Regeln, Abstand, Bremskraft, Geschwindigkeit
4

Für jede linguistische Variable wurden 3 dreieckige Fuzzy-Sets (klein (PS), mittel
(PM) und groß (PL) ) gewählt. Die beiden Regeln sind:
Wenn (D = PS) und (V = PL), dann (F = PL)
Wenn (D = PM) und (V = PL), dann F = PM)
Abstand Geschwindigkeit Bremskraft
Regel 1 PS PL PL
Regel 2 PM PL PM
Regeln können in eine Regeltabelle folgender Gestalt eingetragen werden:
NB
NM
NS
ZR
PS
PM
PB
NB NM NS ZR PS PM PB
Ein unscharfe Variable kann offensichtlich eine Reihe unscharfer Werte annehmen:
NB (Negative Big) bzw. NL (Negative Large)
NM (Negative Medium)
NS (Negative Small)
ZE (Zeroe)
PS (Positive Small)
PM (Positive Medium)
PB (Positive Big) bzw. PL (Positive Large)
Die Regeltabelle zeigt: Fuzzy-Systeme speichern und verarbeiten unscharfe Regeln
parallel. Fuzzy-Systeme assoziieren Ausgangs-Fuzzy-Sets mit Eingangs-Fuzzy-Sets
und verhalten sich wie "quasi" assoziative Speicher.
6. Unscharfe Relationen
Neben unscharfen Mengen sind unscharfe Relationen ein wichtiges Teilgebiet der
Fuzzy-Set-Theorie. Unscharfe Relationen bilden die theoretische Basis für die
Realisierung unscharfer Regler und Expertensystemen.
Eine unscharfe (binäre) Relation über dem Produktraum X
R={(( x, y), µ ( x, y)
|( x, y)
∈ X × Y }
R
5
× Y ist definiert durch
Falls X und Y diskrete Mengen sind, dann können X und Y durch Matrizen definiert
werden, z.B.:

X = {grün, gelb, rot} beschreibt die Farbe einer Frucht
Y = {unreif, halbreif, reif} beschreibt den Reifegrad einer Frucht.
Die Paare, die zueinander passen, sind dann
R 1 ={(grün,unreif),(gelb,halbreif),(rot,reif)}
und können in einer Tabelle zusammengefaßt werden:
X \ Y unreif halbreif reif
grün 1 0 0
gelb 0 1 0
rot 0 0 1
Die in der Tabelle zusammengestellten Paare entsprechen den folgenden (auf
Erfahrung beruhenden) Regeln:
WENN eine Frucht grün ist DANN ist sie unreif
WENN eine Frucht gelb ist DANN ist sie halbreif
WENN eine Frucht rot ist DANN ist sie reif
Daraus folgt: Relationen eignen sich zur Modellierung von WENN ... DANN ...-
Regeln.
Da die Relationsmatrix nur Nullen und Einsen enthält, handelt es sich noch nicht um
eine wirkliche Fuzzy-Relation. Man weiß aber, daß diese Erfahrungsregeln nur
ungefähr stimmen. Eine Fuzzy-Relation R 2 ist dann:
X \ Y unreif halbreif reif
grün 1 0.5 0
gelb 0.3 1 0.3
rot 0 0.5 1
Fuzzy-Mengen können auf einfachen Grundmengen (G1, G2, ..) durch Operatoren
wie bspw. den min-Operator für die die UND-Verknüpfung zu Fuzzy-Relationen auf
der Kreuzproduktmenge der zugrundliegenden Grundmengen verbunden werden.
Bsp.: Junger UND großer Mann
Gegeben sind die Fuzzy-Mengen für "Junger Mann" und "Großer Mann".
6

µ 1
µ 2
1.0
0.0
15
25
Alter
35 170 180
Groesse
Abb. 3.1-6: Die Fuzzy-Mengen „junger“ bzw. „großer“ Mann
Ein "junger" UND "großer" Mann ist eine Fuzzy-Relation auf den beiden
Grundmengen "Alter" und "Größe":
µ ( Alter , Größe) min( µ ( Alter ), µ ( Größe))
R
= 1 2
Falls die Grundmengen auf 5 äquidistante Stützstellen beschränkt werden, ergibt
sich folgende Tabellendarstellung der Relationsmatrix:
Alter\Größe 170 175 180 185 190
15 0 0 0 0 0
20 0 0.5 0.5 0.5 0.5
25 0 0.5 1 1 1
30 0 0.5 0.5 0.5 0.5
35 0 0 0 0 0
Eine Relation "Junger ODER Großer Mann" kann auf analoge Weise gebildet
werden, indem der min-Operator durch den max-Operator ersetzt wird.
Der Ausdruck µ
R
( x , y ) = min( µ ( x ), µ ( y
1 2
)) heißt Kreuzprodukt oder cartesisches
Produkt der Fuzzy-Mengen.
Auch Fuzzy-Relationen mit derselben Produktmenge lassen sich miteinander
verknüpfen:
Falls R 1 und R 2 zweistellige Fuzzy-Relationen sind, dann gilt für den Durchschnitt
von R 1 und R 2 (UND-Verknüpfung)
µ ( x, y) min( µ ( x, y), µ ( x, y))
R ∩ R
=
R R
1 2 1 2
und für die Vereinigung (ODER-Verknüpfung)
µ ( x, y) max( µ ( x, y), µ ( x, y))
R ∪ R
=
R R
1 2 1 2
7

3.1.2 Verarbeitung in Fuzzy-Systemen: Fuzzy-Inferenz
Fuzzy-Inferenz bedeutet: Fuzzy-logisches Schließen auf unscharfen Informationen.
Eine Inferenz besteht aus einer oder mehreren Regeln (Implikationen), einem
Faktum (aktueller Zustand, aktuelles Ereignis) und einer Schlußfolgerung. Sie
ersetzt das Faktum unter Berücksichtigung der Implikation(en) durch ein neues
Faktum.
1. Ein einführendes Beispiel
Grundlage der Verarbeitung unscharfer Mengen mit Fuzzy Logik ist die
Produktionsregel.
Ein einführendes Beispiel aus der Prozeßregeltechnik umfaßt die folgenden Regeln:
Regel (1)
WENN Temperatur = sehr hoch
ODER Kammerdruck = übernormal
DANN Ventil gedrosselt
Regel (2)
WENN Temperatur = hoch
UND Kammerdruck = normal
DANN Ventil = halb offen.
Die Abarbeitung derartiger Regeln (linguistische Regeln) unterscheidet sich
allerdings von der Regelbehandlung in einem Expertensystem. In einem
Expertensystem könnte man den Zusammenhang von Regel (1) so beschrieben:
"WENN Temperatur >= 870°C und Kammerdruck >= 40 bar DANN Ventil = 0.3".
Diese Produktionsregel entspricht nicht genau der linguistischen Regel. Die
Definition einer festen (scharf definierten) Schwelle, ab der eine Temperatur als sehr
hoch angesehen wird, ist willkürlich. Die Vorbedingung der Regel ist genau dann
erfüllt, wenn die Bedingungen für Temperatur und Druck gleichzeitig erfüllt sind.
Die Abarbeitung linguistischer Regeln zeigen die folgende Arbeitsschritte, die zur
Beantwortung der Frage " Wie ist die erforderliche Stellung eines Ventils bei einer
Temperatur von 910°C und einem Kammerdruck von 40.7 bar?" anfallen:
Fuzzyfizierung
Darunter versteht man: Die linguistische Interpretation technischer Größen
Die technische Größe "Temperatur" wird so interpretiert:
8

Zugehörigkeitsgrad
1.0
0.0
400 500 600 700 800 900 1000
Abb. 3.1-7: Temperatur in der Kammer
Im vorliegenden Fall gilt bspw. für die Tempeartur 910°C:
sehr hoch 0.8
hoch 0.3
mittel 0.0
niedrig 0.0
Die technische Größe "Druck" wird so interpretiert:
Zugehörigkeitsgrad
Temperatur (°C)
1.0
0.0
39 40
41
Druck (bar)
Abb. 3.1-8: Druck in der Kammer
9

Im vorliegenden Fall gilt für den Druck 40.5 bar:
unter normal 0.0
normal 0.5
über normal 0.5
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für Vorbedingungen zu Regeln
Die Vorbedingungen zu Regel (1) bzw. Regel(2) des einführenden Beispiels lassen
sich berechnen:
Regel (1): max(0.8, 0.3) = 0.8
Regel (2): min(0.3, 0.5) = 0.3
10

Zurückführung der Resultate der Regeln
Auch für die Stellung des Ventils wird eine linguistische Variable eingeführt:
Zugehörigkeitsgrad
1.0
0.0
4 8 12
Durchfluß
Abb. 3.1-9: Ventil
Die linguistische Variable Ventil beschreibt die einem Brennofen zuzuführende
Menge an Brennstoffen (als Reaktion auf den in einer Brennkammer herrschenden
Druck und Temperatur).
Zur Zurückführung der Resultate der Regeln auf deren Definition gibt es in der
Fuzzy-Logik 2 alternative Methoden:
- die Max-Min-Inferenz
- die Max-Prod-Inferenz
Max-Min-Inferenz
Die unscharfe Menge der Terme der linguistischen Variablen "Ventil" werden jeweils
auf den Wahrheitsgrad der Vorbedingung begrenzt (Minimum). Die so erhaltenen
Mengen werden zu einer einzigen zusammengefaßt (Maximum). Diese unscharfe
Menge ist das Resultat der Inferenz.
11

Zugehörigkeitsgrad
1.0
0.0
4 8 12
Durchfluß
Abb. 3.1-10: Max-Min-Inferenz
Max-Prod-Inferenz
Es wird ein Produkt aus unscharfer Menge des Terms der Schlußfolgerung und des
Wahrheitsgrads der Vorbedingung gebildet.
Zugehörigkeitsgrad
1.0
0.0
4 8 12
Durchfluß
Abb. 3.1-11: Max-Prod-Inferenz
Als Ergebnis erhält man für die Stellung des Methanventils der beiden Methoden
eine unscharfe Menge.
12

Defuzzifizierung
Es gibt hierfür verschiedene Methoden. Am häufigsten wird benutzt: Berechnung der
technischen Größe aus dem Flächenschwerpunkt der unscharfen Menge.
Zugehörigkeitsgrad
1.0
0.0
4 8 12
Durchfluß
Abb. 3.1-12: Ermitteln des Flächenschwerpunkts
Im angegebenen Beispiel ergibt sich die Stellung des Ventils zu 2.7 m 3 /h
2. Fuzzy-Inferenzschema
Eine Fuzzy-Inferenz ist eine Verarbeitungsvorschrift für WENN.. DANN.. -Regeln
bzw, für ganze Gruppen von Regeln für unscharfe Aussagen. In der Fuzzy-Linguistik
kann zur Modellierung von WENN.. DANN.. -Regeln der min-Operator benutzt
werden.
Bsp.: Erhitzen von Wasser
Regel: WENN Temperatur T = niedrig DANN Wärmezufuhr hoch
Zugehörigkeitsfunktion für die linguistische Terme Tempeartur und Wärmezufuhr:
13

Zugehörigkeitsgrad
Zugehörigkeitsgrad
µ T
niedrig
µ W
hoch
1.0
1.0
0.0
10 30
50
T (°C)
0.0
50
60 80
100
Relationsmatrix (ermittelt über das Kreuzprodukt): µ ( T, W) = min( µ ( T), µ ( W))
W 60 70 80 90 100
T
10 0 0 0 0 0
20 0 0.5 0.5 0.5 0
30 0 0.5 1 0.5 0
40 0 0.5 0.5 0.5 0
50 0 0 0 0 0
R T W
W (%)
Die gebräuchlichste Art einer Inferenz 1 ist die Max-Min-Komposition. So ergibt sich
bspw. für das aktuelle Faktum T = 20°C das folgende Inferenzergebnis:
µ
Whoch' ( W) = µ
R
( T = 20° C, W) = min( µ
Tniedrig( 20°
C), µ
Whoch
( W))
µ R
ist die über das Kreuzprodukt von Prämissen- und Konklusions-Fuzzy-Mengen
gewonnene Fuzzy-Relation der Regel.
Aus der Relationsmatrix kann abgelesen werden: µ Whoch'
( W) = ( 0, 0. 5, 0. 5, 0. 5, 0)
Grafisch kann der Inferenzvorgang so dargestellt werden:
Zugehörigkeitsgrad
Zugehörigkeitsgrad
µ W
µ T
niedrig
0.5
hoch
1.0
1.0
0.5
µ W hoch'
0.0
0.0
10 30
50
T (°C)
50
60 80
100
W (%)
Abb. 3.1-16: Darstellung des Inferenzvorgangs
Die Eingangsgröße ist ein scharfer Temperaturwert von 20°C und somit als
Singleton µ Whoch'
auf der Grundmenge G 1 = {10,20,30,40,50} der Temperatur
1 Eine Inferenz ist eine Verarbeitungsvorschrift für WENN... DANN... Regeln unter Berücksichtigung eines
aktuellen Faktums (Ereignisses). Sie hat eine Schlußfolgerung als Ergebnis
14

darstellbar. Das Inferenzergebnis erhält man dann auch über die Relationsmatrix
durch:
⎛0 0 0 0 0⎞
⎜
⎟
⎜0 05 . 05 . 05 . 0⎟
µ Whoch'
= ⋅
⎜
⎟
0 05 . 05 . 05 . 0
⎜
⎟
⎝0 0 0 0 0⎠
( 0 1 0 0 0) ⎜0 05 . 1 05 . 0⎟
= ( 0 05 . 05 . 05 . 0)
Verarbeitungsvorschrift zur Ermittlung der Fuzzy-Ergebnismenge
Das Max-Min-Inferenzschema liefert bei einer Regel WENN A DANN B mit dem
linguistischen Term µ A
( x) in der Prämisse und dem Term µ B
( y) in der Konklusion
bei Vorliegen einer scharfen Eingangsgröße x' eine Ergebnis-Fuzzy-Menge µ ( B '
y ).
Diese kann in der zu x' zugehörgen Zeile µ R
( x', y) der über das Kreuzprodukt
gebildeten Relationsmatrix der Regel unmittelbar abgelesen oder grafisch ermittelt
werden, indem man die Fuzzy-Menge µ B
( y) der Konklusion in der Höhe des
Erfüllungsgrads µ A
( x') abschneidet.
Verhalten bei mehreren Regeln
Für jede weitere Regel kommt eine entsprechende Relationsmatrix hinzu. Die
Regeln innerhalb des Systems von Regeln sind i.a. ODER verknüpft. Die
Relationsmatrizen werden daher über den "Max"-Operator verbunden. Ergebnis ist
eine einzige Relationsmatrix, die alle Regeln enthält und wie im Falle einer Regel
ausgewertet werden kann. Alternativ dazu kann man die Regeln zunächst getrennt
voneinander auswerten und im Abschluß daran deren Ergebnis-Fuzzy-Mengen mit
dem Max-Operator überlagern.
Bsp.: Erhitzen von Wasser
Regelbasis
R 1 : WENN T = sehr_niedrig DANN W = sehr_hoch
R 2 : WENN T = niedrig DANN W = hoch
R 3 : WENN T = mittel DANN W = mittel
R 4 : WENNT = hoch DANN W = niedrig
R 5 : WENN T = sehr_hoch DANN W = sehr_niedrig
Linguistische Variable für Temperatur T und Wärmezufuhr W
15

Zugehörigkeitsgrad
µ T
1.0
sehr niedrig niedrig mittel hoch sehr hoch
0.75
0.25
0.0
10 30
50 70
100
T(°C)
Zugehörigkeitsgrad
µ W
1.0
sehr niedrig niedrig mittel hoch sehr hoch
0.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Abb. 3.1-18: Linguistische Terme für Temperatur und Wärmezufuhr
W(%)
Ziel: Ermitteln einer geeigneten Wärmezufur für einen scharfen Temperaturwert T =
45°C.
Lösungsschema:
1) Fuzzifizierung der scharfen Eingangsgröße
⎛µ
⎜
⎜ µ
⎜ µ
⎜
⎜ µ
⎜
⎝ µ
Tsehr _ niedrig
Tniedrig
Tmittel
Thoch
Tsehr _ hoch
( T)
⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
( T)
⎟ ⎜0.
25⎟
( T)
⎟ = ⎜0.
75⎟
⎟ ⎜ ⎟
( T)
⎟
0
( T)
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ 0 ⎠
16

2) Ermitteln der aktiven Regeln
Eine Überprüfung der Regelbasis zeigt, daß lediglich die Regeln R 2 und R 3 aktiv
sind, d.h. einen Erfüllungsgrad größer als Null besitzen:
- Der WENN-Teil von R 2 ist zu µ Tniedrig
( T) = 0.
25 erfüllt
- Der WENN-Teil von R 3 ist zu µ Tmittel
( T) = 0.
75 erfüllt
bzw.
- R 2 besitzt den Erfüllungsgrad H 2 =0.25
- R 3 besitzt den Erfüllungsgrad H 3 =0.75
3) Ermittlung der einzeln Ausgangs-Fuzzy-Mengen
Die Anwendung jeder aktiven Regel liefert auf der Basis des Inferenzschemas die
resultierende Ausgangs-Fuzzy-Menge, indem man den Erfüllungsgrad der Regel auf
die jeweilige Fuzzy-Menge in der Schlußfolgerung überträgt. Dazu wird das
Minimum von Erfüllungsgrad und Ausgangs-Fuzzy-Menge min( H , µ ( W))
gebildet,
d.h. Die Ausgangs-Fuzzy-Menge in der Höhe H i abgeschnitten.
i
W i
Zugehörigkeitsgrad
µ
T
Zugehörigkeitsgrad
µ W
hoch
1.0
niedrig
1.0
H 2
0.0
0.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
T(°C)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
W(%)
Zugehörigkeitsgrad
Zugehörigkeitsgrad
µ W
µ T
mittel
1.0
1.0
mittel
0.0
0.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
T(°C)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
W(%)
Abb. 3.1-19: Auswertung der Regeln
4) Überlagerung der einzelnen Ausgangs-Fuzzy-Mengen
Da die einzelnen Regeln implizit ODER-Verknüpfungen sind, müssen die
zugehörigen Ergebnis-Fuzzy-Mengen über den Max-Operator zur resultierenden
Ausgangs-Fuzzy-Menge µ ( W) = max(min( H , µ ( W)))
vereinigt werden.
Wres i W
i
17

Zugehörigkeitsgrad
µ W
1.0
0.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
W(%)
Abb. 3.1-20: Überlagerung der Fuzzy-Mengen
5) Defuzzifizierung
Aus der resultierenden Ergebnis-Fuzzy-Menge muß in den meisten Fällen ein
scharfer Ausgangswert bestimmt werden.
3. Anwendung
Aufgabe: Ein Fahrzeug ist auf dem Gipfel eines Berges zu halten.
Problem: Durch die Schwerkraft wird das Fahrzeug immer bestrebt sein. den Berg
auf der anderen Seite hinabzurollen. Zusätzlich können Störkräfte (Rauschkomponenten)
und Handsteuerkräfte vom Bediener (über Cursor-Tasten simuliert)
vorkommen.
Hangabtriebskraft
Rauschkraft
Handsteuerkraft
Bewegungssimulation
des Fuzzy-Mobils
v
x
Fuzzy-Kraft
Fuzzy-Steuerung
Abb. 3.1-21: Block-Diagramm der Fuzzy-Steuerung
18

Lösung: Zur Lösung des Problems wird ein Prozeß simuliert, der als Meßwerte die
aktuelle Geschwindigkeit v → und Position x → liefert und der durch eine Anzahl von
Kraftkomponenten beeinflußt wird, die als Stör- und Steuergrößen wirken. das
Simulationsprogramm muß Bewegungssimulation und Fuzzy-Steuerung realisieren 2 .
physikalisches Grundwissen:
→
(1) K = m⋅ b = m⋅ d v ≈ m⋅ ∆v dt ∆t
→
Falls die Zeitdifferenz klein genug gewählt wird und die Kraft sich im betrachteten
Zeitraum nicht oder nur unwesentlich ändert, kann man die Differentiale durch
Differenzen ersetzen und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t berechnen.
→
→
K( t)
→
(2) v( t + 1) = v( t)
+ ⋅∆
t − v( t)
⋅ k R
m
→
In (2) ist noch eine geschwindigkeitsabhängige Kraftkomponente mit dem
Reibungskoeffizienten k R eingeführt.
Die Geschwindigkeit ist die 1. Ableitung des Weges →
x nach der Zeit. Man kann die
neue Position zum Zeitpunkt t+1 aus der Position zum Zeitpunkt t berechnen:
→ → →
(3) x( t + 1) = x( t) + v( t)
⋅∆
t
Zur Berechnung der Bewegung fehlt in (2) noch die Kraft. Sie setzt sich zusammen
→
aus der Hangabtriebskraft K H , Rauschkraft KR , Handsteuerkraft KS
→
:
→ → → → →
Steuerkraft K F
(4) K( t) = K ( t) + K ( t) + K ( t) + K ( t)
H R S F
→
→
und der Fuzzy-
Die Handsteuerkraft wird durch Tastenbetätigung festgelegt, die Rauschkraft wird
als Zufallswert zwischen 0 und einer definierten Maximalkraft bestimmt.
α
Geländefunktion P(x)
→
K
G
→
K
H
Abb. 3.1-22: Kräfte in Abhängigkeit vom Bodenprofil
2 Auch in der Praxis wird so verfahren: Zuerst möglichst exakte Prozeßsimulation, danach Kopplung mit
Fuzzy-Steuerung und Test
19

In Abhängigkeit vom Winkel des Gefälles zerlegt sich die Gewichtskraft K G
→
→
in K H
(läuft parallel zum Hintergrund) und eine zu K H
rechtwinklige Komponente. Die
Bewegung ist im wesentlichen eindimensional. Auf die Vektordarstellung kann daher
verzichtet werden. Unter Anwendnung einiger geometrischer Beziehungen ergibt
sich folgende Gleichung:
→
(5) K H ( x) = − K G⋅
sin α( x)
→
Der Winkel hängt vom Bodenprofil ab. Für die Berechnung des Winkels gilt die
Gleichung:
(6) α( x) = arctan( P'( x))
Ersetzt man α in Gleichung (5) durch Gleichung (6) erhält man:
P'( x)
(7) − KG
=
2
1+
( P'( x))
Mit Gleichung (7) wird die Hangabtriebskraft berechnet und mit mit den
verbleibenden Kräften zur Gesamtkraft überlagert. Mit dieser Kraft und Gleichung (2)
wird die Änderung der Geschwindigkeit berechnet. Über Gleichung (3) wird die neue
Position ermittelt.
Regeln: Das Fuzzy-System erhält vom Simulationsmodell die Daten der
momentanen Geschwindigkeit v und der Position x. Das Steuersystem hat die
Zielvorgabe, das Fahrzeug bei der Position x=0 mit der Geschwingkeit v=0 zu
halten. Sieben Fuzzy-Regeln 3 mit den Ausgangspunkten Betrag und Richtung der
Geschwindigkeit und der Position sollen eine linguistische Verknüpfung mit der
Steuerkraft erreichen:
(A) Wenn die Position positiv mittel (PM) ist, und die Geschwindikeit ist nahezu Null
(ZR), dann ist die Kraft negativ mittel (NM).
(B) Wenn die Position positiv klein (PS) ist, und die Geschwindigkeit ist positiv klein
(PS), dann ist die Kraft negativ klein (NS).
(C) Wenn die Position positiv klein (PS) ist, und die Geschwindigkeit ist negativ klein
(NS), dann ist die Kraft nahezu Null (ZR).
(D) Wenn die Position negativ mittel (NM) ist, und die Geschwindigkeit ist nahezu
Null (ZR), dann ist die Kraft positiv mittel (PM).
(E) Wenn die Position negativ klein (NS) ist, und die Geschwindigkeit ist negativ
klein (PS), dann ist die Kraft positiv klein (PS).
(F) Wenn die Position negativ klein (PS) ist, und die Geschwindigkeit ist positiv klein
(NS), dann ist die Kraft nahezu Null (ZR).
(G) Wenn die Position nahezu Null (ZR) ist, und die Geschwindigkeit ist nahezu Null
(ZR), dann ist die Kraft nahezu Null (ZR).
→
Geschw.
Position
NB
NM NS ZR PS PM
3 Die Regeln werden aus dem Wissen über den Prozeß festgelegt
20

NM
(D) PM
NS (E) PS (F) ZR
ZR
(G) ZR
PS (C) ZR (B) NS
PM
(A) NM
PB
Zugehörigkeitsfunktionen: Diese Funktionen für Position, Geschwindigkeit und Kraft
sind einfache lineare Funktionen .
Regel (E)
Wegverteilung
Geschwindigkeitswert
Kraftverteilung
NM
NS
1.0
PS
PM
NS
1.0
ZR
PS
NM
NS
PS PM
-2
0.0 2 -1
0.0
1
-400
0.0
400
Regel (G)
Wegverteilung
Geschwindigkeitswert
Kraftverteilung
NM
NS
1.0
PS
PM
NS
1.0
ZR
PS
NM
NS
PS PM
-2
0.0 2 -1
0.0
1
-400
0.0
400
Wegverteilung
Geschwindigkeitswert
Kraftverteilung
NM
NS
1.0
PS
PM
1.0
NM NS
PS PM
ZR
-2
0.0 2 -1
0.0
1
-400
400
21

Abb. 3.1-23: Darstellung zur Ermittling der Kraftverteilung
Ermittlung der Fuzzy-Kraft: Das Steuersystem soll bspw. vom Prozeß den
Geschwindigkeitswert v = -0.6 (m/s) und die Position x = -0.2 (m) übergeben. Mit
Hilfe der Fuzzy-Regeln und den Zugehörigkeitsfunktionen sind dann die
Wahrheitswerte für Geschwindigkeit und Position auszurechnen.
Berechnung des Schwerpunkts: Generell gilt für diese Berechnung einer beliebigen
Funktion in x-Richtung:
(8) S
x
=
∫
∫
dx⋅ x⋅
f ( x(
dx ⋅ f ( x)
Da die vorliegende Fläche aus mehreren Teilstücken besteht, müssen die
Einzelstücke getrennt aufsummiert werden:
(9) S
x
=
∑
k
∑
k
∫
dx⋅ x ⋅ f
∫
dx ⋅ f
k
k
( x)
( x)
Die Fläche setzt sich aus linearen Funktionsabschnitten zusammen (, die der
Beziehung f(x) = ax + b entsprechen). Das führt, in (9) eingesetzt, zu:
(10) S
x
=
∑
k
∫
∑
k
2
dx ⋅ ( a ⋅ x + b ⋅ x)
∫
k
dx ⋅ ( a ⋅ x + b)
k
k
Die Integration dieses Ausdrucks und Eingabe der Grenzen für die einzelnen
Funktionsabschnitte (, dabei soll für das Teilstück f k (x) der Anfangspunkt (P Ak (x Ak ,y Ak )
und der Endpunkt P Ek (X Ek ,y Ek ) gelten,) führt zu:
(11) S
x
=
∑
k
∑
k
⎧ 2 ⎛ b
k ⎞
x
Ek ⎜a k
⋅ x
Ek
+ x
Ak
a
k
⎝ ⎠
⎟ − 2
⋅ ⎛
⎨ / 3
⎜ / 3
⎩
3 ⎝
+
⎧ ⎛
b
k ⎞
x
Ek⎜a k
⋅ x
Ek
+ x
Ak
a
k
⎝ ⎠
⎟ − 2 ⎛
⎨ / 2
⎜ / 3
⎩
2 ⎝
+
b
k ⎞⎫
⎟⎬
2 ⎠⎭
b
k ⎞⎫
⎟⎬
2 ⎠⎭
In (11) fehlen noch die Koeffizienten ak und bk für die einzelnen Funktionsabschnitte
(Berechnung aus den Anfangs- und Endpunkten der einzelnen Teilstücke):
a
k
=
y
x
Ek
Ek
−
−
y
x
Ak
Ak
b
k
= y
Ak
− a
k
⋅ x
Ak
22

3.1.3 Regelbasierte Systeme
1. Fuzzy-Logik regelbasierter Systeme
Ein regelbasiertes System besteht aus einem System von Inferenzregeln und einem
Inferenzschema, das die Verarbeitungsvorschrift enthält, nach der (scharfe)
Eingangsgrößen x i mit Hilfe der Inferenzregeln zu (scharfen) Ausgangsgrößen y j
verarbeitet werden.
x
1
......
x
n
Regelbasiertes
System
y
Abb. 3.1-25: Regelbasiertes System mit n Eingangsgrößen und einer Ausgangsgröße:
Regelbasis:
R 1 : WENN x 1 = A 11 ... UND x i = A 1i ... UND x n = A 1n DANN y = B 1
...
R j : WENN x 1 = A j1 ... UND x i = A ji ... UND x n = A jn DANN y = B j
R m : WENN x 1 = A m1 ... UND x i = A mi ... UND x n = A mn DANN y = B m
x 1 , x 2 , ... , x n : Eingangsfrößen
A 1i , A 2i , A 3i , ... , A mi : linguistische Terme der Eingangsgröße x i
y: Ausgangsgröße
B 1 , B 2 , ... , B m : linguistische Terme der Ausgangsgröße
resultierede Fuzzy-Menge
Einem aktuellen Satz von Eingangsgrößen wird mit Hilfe des Inferenzschemas (unter
Beachtung der Regelbasis) eine Fuzzy-Menge zugeordnet, die aus den Ergebnissen
aller Regeln zusammnegesetzt ist:
'
'
R 1 : min( µ ( x ),..., µ ( x ), µ ( y)) = µ ( y)
.......
11 1 1n n B1 B'
1
'
'
R j : min( µ ( x ),..., µ ( x ), µ ( y)) µ ( y)
.......
j1 1 jn n Bj
=
B'
j
'
'
R m : min( µ ( x ),..., µ ( x ), µ ( y)) µ ( y)
m1 1 mn n Bm
=
B'
m
23

Verbunden durch den ODER-Operator max entsteht die resultierende Fuzzy-Menge:
µ = max( µ ( y),..., µ ( y))
res B'
i B'
m
Aufgabe der Fuzzy-Control (Defuzzifizierung) ist das Finden einer scharfen
Ausgangsgröße y:
x
1
......
x
n
Fuzzifizierer
Regelbasis
Inferenzschema
Defuzzifizierer
y
Abb.3.1-26: Komponenten eines regelbasierten System
2. Defuzzifizierung
a) Maximum-Methode
Nur die Regel mit dem höchsten Erfüllungsgrad bei einer vorgegebenen
Eingangsgröße wird betrachtet. Das Maximum der zugehörigen Ausgangs-Fuzzy-
Menge bestimmt die scharfe Ausgangsgröße. Die Maximum-Methode wird bei der
Fuzzy-Modellierung am besten dadurch vorbereitet, daß die Ausgangsmenge jeder
Regel einzeln vorgegeben wird. Es muß bei der Modellierung darauf geachtet
werden, daß immer mindestens eine Regel aktiv ist, da sonst keine Entscheidung
gefällt wird.
Die Methode ist besonders geeignet für Probleme der Mustererkennung.
b) Maximum-Mittel-Methode
Sie gleicht zunächst der Maximum-Methode. Falls mehr als eine Regel maximalen
Erfüllungsgrad hat, werden zu dieser Regel gehörende scharfe Ausgangsgrößen
arithmetisch gemittelt.
c) Akkumulationsmethode
Auch hier wird zunächst ein Inferenzverfahren nach der unter a) beschriebenen
Mustererkennungsmethode gebildet. Zu jeder Regel wird in Gestalt eines Singletons
ein scharfer Ausgangswert angegeben, der von einem vorhandenen (aktuellen) Wert
abzuziehen ist oder zu ihm hinzuaddiert werden muß, falls die Regel maximalen
Erfüllungsgrad hat.
d) Schwerpunktmethode
Der Flächenschwerpunkt der aus allen Ergebnis-Fuzzy-Mengen von Regeln nach
dem Inferenzschema resultierenden Ausgangs-Fuzzy-Menge wird über der
Ausgangsgröße gebildet und seine Abszisse als scharfe Ausgangsgröße y res
bestimmt:
24

y
res
=
∞
∫
y ⋅µ
0
∞
∫
0
µ
res
res
( y)
dy
( y)
dy
3. Anwendung
Aufgabe: Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Stab, der über ein Pendelgelenk
auf einem Wagen befestigt ist. Durch Vor- und Rückbewegen des Wagens soll der
Stab aufrechtstehend gehalten werden.
K Z
2L
Θ : Winkel
M g : Gewicht des Wagens
Θ
m : Gewicht des Pendels
g
m g x : Gewicht des Pendels
K V
2L : Länge des Pendels
KH
K : vertikale Kraft am Gelenk
V
M g K
H
: horizontale Kraft am Gelenk
K : ziehende Kraft am Wagen
K
V
g
I
Z
: Fallbeschleunigung
: Trägheitsmoment des Stabs
.
Abb. 3.1-26: Modell des kopstehenden Pendels
Mathematisches Modell: Die Steuerung der Bewegungsrichtung und der Richtung
des Wagens kann über das folgende Differentialgleichungssystem beschrieben
werden:
(1) I ⋅ Θ'' = KV
⋅ sin Θ − KH
⋅ L⋅
cosΘ
(2) K − m ⋅ V
g = − m ⋅ L ⋅ ( Θ '' ⋅ sin Θ + Θ ' 2 ⋅ cos Θ )
(3) K = m ⋅ H
x'' + m ⋅ L( Θ '' ⋅ cos Θ − Θ ' 2 ⋅ sin Θ )
(4) KZ
− KH
= M ⋅ x''
Θ : Winkel, 2⋅L: Länge des Pendel, x: Position des Wagens,m: Masse des Pendels,
M: Masse des Wagens, x: Position des Wagen, K V
: vertikale Kraft am Gelenk, K H
:
m
horizontale Kraft am Gelenk, K Z
: ziehende Kraft am Wagen, g = 9.
81
s 2
25

Fallbeschleunigung, I
Drehgelenk
1
= ⋅ m⋅
L
2 : Trägheitsmoment des Stabs in Bezug auf das
3
Lösungsmöglichkeiten:
1. Man könnte dieses Differentialgleichungssystem in ein Differenzengleichungssystem
verwandeln und für die jeweils gegebenen Anfangsbedingungen
die Lösung mit Computerberechnung bestimmen. Dieses Verfahren ist aber sehr
rechenaufwendig und daher nicht in der Lage, die zur Steuerung des Wagens
benötigten Ergebnisse rechtzeitig zu liefern..
2. Man vereinfacht das Problem durch Annahme zusätzlicher Restriktionen.
Yamakawa 4 schlägt die Annahme Θ

Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0
PS
PM
PL
ZR
0.0
Abb. 3.1-30: Darstelling der linguistischen Ausprägungen Θ , Θ' und x'
Wird eine konkrete Situation betrachtet, so muß überprüft werden, ob die
beobachtete Situation mit einer oder mehreren in dem Regelblock beschriebenen
Situationen übereinstimmt. Aus den Erfüllungsgraden für die einzelnen
Zustandsvariablen wird dann mit Hilfe des Minimumoperators der Erfüllungsgrad der
Regel bestimmt. Treffen mehrere Regeln für eine konkrete Situation zu, dann
bezeichnet man über die Max-Min-Inferenz die unscharfe Vereinigungsmenge aller
unscharfen Aktionen. Eine konkret ausführbare Aktion bestimmt man im
Defuzzifizierungsschritt aus dem Flächenschwerpunktverfahren.
27

A
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
ZR
ZR
ZR
0.0
0.0
0.0
B
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
ZR
ZR
ZR
0.0
0.0
0.0
C
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
ZR
ZR
ZR
0.0
0.0
0.0
G
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
ZR
ZR
ZR
0.0
0.0
0.0
F
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
ZR
ZR
ZR
0.0
0.0
0.0
E
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
ZR
ZR
ZR
0.0
0.0
0.0
D
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
Zugehörigkeitsgrad
NL NM NS 1.0 PS
PM
PL
ZR
ZR
ZR
0.0
Θ
0.0
Θ'
0.0
x'
Abb. 3.1-31: Bestimmen des Grads der Erfüllung für eine konkrete Situation
28

3.2 Regelungssysteme
3.2.1 Klassische Regelungssysteme
1. Begriffe aus der Regelungstechnik
Aufbau eines Regelkreises
Ein Regelkreis besteht aus einer Regeleinrichtung und einer Regelstrecke
Störgrößen
Führungsgröße
w
Regelabweichung
x w
= x-w
Regler- und
Steuereinrichtung
y
Strecke
Regelgröße
gemessene Regelgröße
Meßeinrichtung
Abb. 3.2-1:
Die Aufgabe eines Regelkreises ist: Der Ausgangswert (Istwert) soll dynamisch
möglichst genau, schnell und schwingungsfrei dem Eingangswert (Sollwert) folgen.
Die Eingangsgröße ist die Führungsgröße des Regelkreises, die Ausgangsgröße
ist die Regelgröße. Zur Anpassung der Regelgröße an die Führungsgröße wird ein
Istwert gemessen und mit dem Sollwert verglichen. Die Differenz ist der
Eingangswert der Regeleinrichtung. Sie wird durch den Regler beeinflußt und am
Reglerausgang der Strecke als Stellgröße zur Verfügung gestellt.
Wesentliches Merkmal einer Regelung im Unterschied zu einer Steuerung ( oder
einem Stellglied) ist ein geschlossener Wirkungskreislauf, der ein automatisches
Nachführen des Istwerts gemäß dem Sollwert ermöglicht.
Kaskadenregelkreise (unterlagerte Regelkreise)
Es liegen hier ineinander geschachtelte Regelkreise vor, die jeweils einen Teil der in
geeigneter Weise aufgesplitteten Regelkreis beinhalten.
29

Regelstrecke
Regler 1
- -
-
Regler 2 Teilstrecke 1
Teilstrecke 2
Abb. 3.2-2: Kaskadenregelkreis
Zustandsregler
Ihnen stehen mehrere, im Idealfall alle Zustandsgrößen der Regelstrecke zur
Verfügung. Hierdurch kann u.a. ein wesentlich verbesserte Regelverhalten erzielt
werden. Der Preis dafür ist der erhöhte Meßaufwand für die Ermittlung der
Zustandsgrößen.
Bsp.: Das sog. "Inverse Pendel"
m
Θ, Θ '
l
i
M
Abb. 3.2-3: Inverses Pendel
Es besteht aus einem fest montierten Motor der bei Aufprägung eines Ankerstroms i
ein Drehmoment M auf das Pendel mit der Masse m ausübt. Das System besitzt 2
Zustandsgrößen: Die Winkelauslegung Θ und die Winkelgeschwindigkeit Θ'.
Die Regelungsaufgabe besteht darin, das Pendel in seiner Ruhelage zu halten bzw.
dorthin zurückzuführen, wenn es durch eine äußere Störung ausgelenkt wird.
Die Regelungsaufgabe besteht darin, das Pendel in seiner Ruhelage zu halten bzw.
dorthin zurückzuführen, wenn es durch eine äußere Störung ausgelenkt wird.
30

2. Beschreibungsmöglichkeiten (für dynamische Systeme)
a) Beschreibung im Zeitbereich (in Form einer Differentialgleichung)
Bsp.: Einfaches RC-Netzwerk
u ( t )
e u ( t )
a
Abb. 3.2-4:
Ein Widerstand und ein Kondensator sind in Reihe geschaltet und an beide
Bauelemente eine Eingangsspannung ue ( t) gelegt. Die Ausgangsspannung u ( t)
a
läßt sich als Funktion der Eingangsspannung beschreiben:
u
e
( t) = R ⋅ i( t) + u
a
( t)
du
a
( t)
1
= ⋅
dt C i ( t )
Durch Einsetzen erhält man eine Differentialgleichung erster Ordnung:
R C du t a
( )
⋅ + u
a
( t) = u
e
( t)
dt
Für diese Differentialgleichung ist die Lösung mit den Randbedingungen
u ( e
t < 0)
= 0 und u ( t ≥ 0)
= u :
e 0
− t/
R⋅
C
u ( t) = u ⋅ ( − e )
a
0
1
Vorgegeben wird eine sprunghafte Anregung der Höhe u 0
. Das Verhalten der
Ausgangsgröße ist die Sprungantwort.
u(t)
u e
(t)
u a (t)
t
Abb. 3.2-5:
31

Darstellung des Zeitverhaltens durch die Übergangsfunktion
Die übliche grafische Darstellung eines Regelungsblocks in einem Strukturbild ist
eine skizzierte Abbildung seiner Sprungantwort in einem Rechteck
u e (t)
t
u e (t)
u a (t)
u a (t)
t
Abb. 3.2-6:
Den Verlauf, den die Ausgangsgröße nach einer sprungartigen Eingangsänderung
hat, bezeichnet man als Übergangsfunktion.
Kennzeichnung von Regelstrecken
Es gilt: Die Regelstrecke hat als Eingangsgröße die Stellgliedanordnung y(t) und als
Ausgangsgröße die Regelgröße x(t). Für lineare Übertrager kann man das
Zeitverhalten einer Regelstrecke durch die allgemeine Differentialgleichung
2
n
'''
''
' dx '' d x
Sn
⋅ x + ... + S3 ⋅ x + S2 ⋅ x + S1 ⋅ x + S0 ⋅ x = y mit x = , x = , usw. beschreiben.
2
dt dt
Die höchste Ableitung der beschreibenden Gleichung kennzeichnet die Ordnung der
Regelstrecke. Man spricht von einer Regelstrecke n-ter Ordnung, wenn ihr
Zeitverhalten exakt oder wenigstens mit guter Näherung durch eine
Differentialgleichung n-ter Ordnung dargestellt werden kann.
Weiterhin unterscheidet man
- Regelstrecken mit Ausgleich
- Regelstrecken ohne Ausgleich
Regelstrecken mit Ausgleich: Hier strebt die Regelgröße nach z.B. sprungartiger
Stellgliedsverstellung für t → ∞ einen neuen Beharrungszustand an. Für t → ∞
32

verschwinden alle Ableitungen x’, x ’, ... und der Endwert ist die Größe x = 1 . Der
S0
einfachste Fall ist eine Strecke der Ordnung 0 mit der Gleichung S ⋅ 0
x = y .
Die meisten Regelstrecken zeigen Verzögerungen, d.h. die Ausgangsgröße folgt
nicht unmittelbar einer sprungartigen Eingangsgröße, sondern mit einer zeitlichen
Verzögerung. Die einfachste verzögerte Regelstrecke ist die Regelstrecke 1.
S
Ordnung mit der Gleichung S1 ⋅ x' + S0
⋅ x = y bzw. TS
⋅ x' + x = VS
⋅ y mit T und
S
S = 1 0
V = 1 S
S0
. Die Lösung dieser Gleichung bei einer Sprungfunktion ist bekanntlich:
− t/
T
x = V ⋅ ( 1−
e S
)
S
x
T S
V S
t
Abb. 3.2-7:
Eine Regelstrecke 2. Ordnung wird durch die Differentialgleichung
S ⋅ x''
+ S ⋅ x'
+ S ⋅ x = y
2 1 0
beschrieben. Das ist die bekannte Schwingungsgleichung, die bspw. in der
Mechanik das Verhalten eines Feder-Masse-Systems mit Dämpfung beschreibt. Die
Übergangsfunktion eines solchen Systems zeigt ein oszillatorisches Verhalten
Regelstrecken ohne Ausgleich: Bei einer sprungartigen Änderung der
Eingangsgröße wird die Ausgangsgröße vom vorliegenden Beharrunszustand
weglaufen, ohne wieder einen neuen Beharrungszustand in dem Bereich der
Ausgangsgröße anzunehmen.
b) Beschreibung im Frequenzgangbereich
Führt man aufwendigere Regelstrukturen auf Differentialgleichungen im Zeitbereich
zurück, so sind diese sehr schnell unhandlich und unübersichtlich. Deshalb ist es
günstiger, eine Transformation in den Frequenzbereich vorzunehmen (sog. Laplace-
Transformation). Speist man ein Übertragungsglied mit einer sinusförmigen
Eingangsgröße, so ist das Übertragungsverhalten als Funktion der Frequenz die
j t
Darstellung im Frequenzbereich. Ist bspw. u ( t) = U ⋅ e
ω , dann gilt:
a
0
33

du
a
( t) =
j t
j ⋅ω
⋅ U ⋅
ω
0
e
dt
Wählt man für die Spannung die komplexe Darstellung mit der abkürzenden
Schreibweise jω = p , so ergibt sich für das Beispiel des RC-Netzwerks:
p⋅ T⋅ u ( p) + u ⋅ ( p) = u ( p) mit T=RC)
oder
a a e
u
a
( p) = F( p) ⋅ u
e
( p)
mit F ( p ) = 1
1 + T ⋅ p
Definition des Frequenzgangs
Der Frequenzgang eines Übertragers ist eine Funktion, die das
Amplitudenverhältnis und die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der
Frequenz beschreibt. Ein Übertrager wird durch die allgemeine Differentialgleichung
m
a ⋅ x + ... + a ⋅ x'' + a ⋅ x' + a ⋅ x = e ⋅ x + e ⋅ x ' + ... + e ⋅ x
m
( ) ( n)
2 1 0 a 0 e 1 e n
in seinem Zeitverhalten beschrieben. Ist die Eingangsgröße eine Sinusschwingung
mit der Amplitude x e0 , so kann diese in komplexer Schreibweise in der Form
x = x ⋅ e
e
e0
jwt
dargestellt werden. Im eingeschwungenen Zustand ist die Ausgangsgröße eine
Schwingung gleicher Frequenz, jedoch mit einer Phasenverschiebung .
x = x ⋅ e
a
a0
Dann ist:
j( ωt+
α)
jwt
x '= jω ⋅ x
0
⋅ e
x '= j ⋅ x ⋅ e
e
e
a
ω
jwt
a0
ω 2 a0
ω 3 a0
jwt
x '' = ( jω)
2 ⋅ x
0
⋅ e x '' = ( j ) ⋅ x ⋅ e
e
e
jwt
x
e
''' = ( jω)
3 ⋅ x
e0 ⋅ e x
a
''' = ( j ) ⋅ x ⋅ e
..... .....
( n)
n
jwt
( m)
m
x = ( jω)
⋅ x
0
⋅ e x = ( j ) ⋅ x ⋅ e
e
e
a
a
ω
a0
Durch Einsetzen in die allgemeine Differentialgleichung, die das Zeitverhalten eines
Übertragers beschreibt, ergibt sich:
jwt
jwt
jwt
m
2
j t
n
{ m
( ω) ... ( ω) 1
ω
0} e0 { n
( ω) ...
1
ω
0}
j t
x ⋅ e ( ω + α )
ω
⋅ a ⋅ j + + a ⋅ j + a ⋅ j + a = x ⋅ e e ⋅ j + + e ⋅ j + e
a0 2
Der Frequenzgang F() erhält man, indem man das Verhältnis Ausgangsgröße zu
Eingangsgröße bildet:
34

F( jω)
=
j
x
a0
⋅ e
x ⋅ e
e0
⋅ ( ωt+
α)
jωt
x
a0
jα
= ⋅ e =
x
e0
n
e
n
⋅ ( jω) + ... + e ⋅ jω
+ e
m
a ( jω) + ... + a ⋅ jω
+ a
m
1 0
1 0
Man kann den Frequenzgang unmittelbar aus der gegebenen Differentialgleichung
heraus berechnen, z.B.:
2
T ⋅ x''
+ T ⋅ x'
+ x = y
2
1
2 2
2
x( p)( T ⋅ p + T1 ⋅ p + 1) = y( p)
x( p)
1
F( p)
= =
y( p)
+ T ⋅ p + T ⋅ p
2 2
1
1 2
3. Wichtige lineare Übertragungsglieder der Regelungstechnik
Glied 1. Ordnung
Ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (Tiefpaß) ist das im vorstehenden Beispiel
behandelte RC-Netzwerk
Proportionalglied
Wird der Kondensator in das RC-Netzwerk durch einen ohmschen Widerstand
ersetzt, so ergibt sich das Übertragungsverhalten eines Proportionalglieds, d.h.: Die
Ausgangsgröße ist nicht mehr frequenzabhängig und direkt proportional zur
Eingangsgröße. Das Verhältnis zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße ist der
Verstärkungsfaktor oder Proportional-Beiwert.
Integralglied
Die Ausgangsgröße ist das Integral der Eingangsgröße über der Zeit. Umgekehrt
könnte man auch sagen: Das Eingangssignal ist die Ableitung (Steigung) des
Ausgangssignals. Ist der Wert der Eingangsgröße 0, so ändert sich der
Ausgangswert des Integrators nicht. Wurde ein konstanter Wert ungleich 0 angelegt,
ändert sich die Ausgangsgröße mit konstanter Steigung (also linear). Vergrößert
man den Eingangswert gleichförmig, so ändert sich der Ausgangswert immer
schneller. In der Elektrotechnik kann damit das Verhalten eines Spannungsabfalls
über einem Kondensator als Funktion seines Ladestroms beschrieben werden. In
der Mechanik ist es bspw. der zurückgelegte Weg eines Körpers als Funktion seiner
geschwindigkeit.
35

P
Symbol Übertragungsfunktion Realisierungsbeispiel
I
D
PT1
PT1
PT2
F( p) =
T p
2 2
V
+ 2DTp
+ 1
36

3.2.2 Fuzzy-Regelungssysteme
1. Struktur
Analog zum konventionellen Regler kann ein Fuzzy-Controller interpretiert werden.
Es ist ein Übertragungsverhalten mit Eingangsgrößen, die die über den Zustand des
Prozesses bzw. der Regelstrecke zur Verfügung stehenden Informationen
darstellen, sowie die Ausgangsgrößen für den Prozeß.
X 1
Y
1
Fuzzy-Controller
...
X n
Y
m
Abb.: Fuzzy-Controller mit den Eingangsgrößen X i und der Stellgröße Y j
Von außen betrachtet, zeigt der Regler keinerlei Unschärfe, d.h.: Sowohl Eingangsals
auch Ausgangsgrößen sind scharfe Werte. Die Unschärfe liegt im Innenleben
des Reglers.
Eingangsgrößen
X
...
1
WENN ... UND ...
DANN ...
WENN ... UND ...
DANN ...
WENN ... UND ...
DANN ...
...
...
Stellgröße
Y
X n
Fuzzyfizierung Inferenz Defuzzifizierung
Abb.: Logische Struktur eines Fuzzy-Controllers
Eingangs- und Stellgrößen sind linguistische Variable und durch Fuzzy-Mengen
charakterisiert. Durch Fuzzifizierung werden die scharfen Eingangsgrößen in
unscharfe Größen überführt. Die Inferenzmaschine generiert im 2. Schritt mit Hilfe
des vorgegebenen Regelwerks an den fuzzifizierten Eingangsgrößen eine unscharfe
37

Stellgröße. Diese wird schließlich durch Defuzzufizierung wieder in ein scharfes
Signal zurückverwandelt.
Die Umsetzung der 3 Arbeitsschritte kann in der on line Berechnung der Stellgröße
für die aktuelle Kombination der Eingangsgrößen bestehen. Dazu geht am
folgendermaßen vor:
(1) Bestimmen des Erfüllungsgrads jeder Regel
- Ermitteln des Erfüllungsgrads für die einzelnen Prämissen (WENN-Teile) der
Regeln
- Verknüpfen der einzelnen Erfüllungsgrade über den UND- oder ODER-
Operator (z.B. MIN- bzw. MAX-Operator)
(2) Ermitteln der zugehörigen Stellgrößen-Fuzzy-Mengen für alle aktiven Regeln
(3) Ermitteln der resultierenden Fuzzy-Menge durch Überladen aller Stellgrößen-
Fuzzy-Sets
(4) Ermitteln der scharfen Stellgröße durch Defuzzifizierung
Bsp.: Fuzzy-Controller mit den Eingangsgrößen x 1 (= 0.25) und x 2 (= -0.3). 2 Regeln
sind aktiv
R 1 : WENN x 1 = PS UND x 2 = ZR DANN y = PS
- 1
0 1 - 1 0 1
- 1
0
1
R 2 : WENN x 1 = ZR UND x 2 = NS DANN y = ZR
0 1 - 1 0 1 - 1 0
1
x 1 = 0.25 x 2 = -0.3
- 1
1
y (Stellgröße)
Abb.:
38

Fuzzy-Regelungssysteme zeigen die gleichen Strukturen wie klassische Regelungssysteme:
Regelbasis
-
Fuzzifizierung
Inferenzmechanismus
Defuzzyfizierung
Strecke
FC
Abb.: Einschleifiger Regelkreis mit Fuzzy-Controller
2. Fuzzy-Entwurfsschritte
(1) Wahl der Meßgrößen mit den daraus abgeleiteten Größen als Eingangsgrößen
des Fuzzy-Controller sowie der Stellgröße als Ausgangsgröße
(2) Festlegung der möglichen Wertebereiche für die Ein- und Ausgangsgrößen
(Skalierung der linguistischen Variablen)
(3) Definition der linguistischen Terme und ihre Zugehörigkeitsfunktionen (Fuzzy
Sets) für alle linguistischen Variablen
(4) Aufstellen der Regelbasis
(5) Festlegen der Inferenzmaschine (Operatoren, Inferenzmethode, Datentyp,
Defuzzifizierungsmethode)
(6) Simulation des Regelkreises, falls ein Modell der Regelstrecke vorhanden ist.
Das Modell muß nicht ein exaktes Modell sein, sondern kann ebenfalls mit einem
Fuzzy-System verbal beschrieben werden.
(7) Optimierung
(8) Stabilitätsanalyse über offline- oder online-Prüfverfahren oder über
mathematische Verfahren
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