Kapitel 3: Fuzzy Systeme

du
a
( t) =
j t
j ⋅ω
⋅ U ⋅
ω
0
e
dt
Wählt man für die Spannung die komplexe Darstellung mit der abkürzenden
Schreibweise jω = p , so ergibt sich für das Beispiel des RC-Netzwerks:
p⋅ T⋅ u ( p) + u ⋅ ( p) = u ( p) mit T=RC)
oder
a a e
u
a
( p) = F( p) ⋅ u
e
( p)
mit F ( p ) = 1
1 + T ⋅ p
Definition des Frequenzgangs
Der Frequenzgang eines Übertragers ist eine Funktion, die das
Amplitudenverhältnis und die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der
Frequenz beschreibt. Ein Übertrager wird durch die allgemeine Differentialgleichung
m
a ⋅ x + ... + a ⋅ x'' + a ⋅ x' + a ⋅ x = e ⋅ x + e ⋅ x ' + ... + e ⋅ x
m
( ) ( n)
2 1 0 a 0 e 1 e n
in seinem Zeitverhalten beschrieben. Ist die Eingangsgröße eine Sinusschwingung
mit der Amplitude x e0 , so kann diese in komplexer Schreibweise in der Form
x = x ⋅ e
e
e0
jwt
dargestellt werden. Im eingeschwungenen Zustand ist die Ausgangsgröße eine
Schwingung gleicher Frequenz, jedoch mit einer Phasenverschiebung .
x = x ⋅ e
a
a0
Dann ist:
j( ωt+
α)
jwt
x '= jω ⋅ x
0
⋅ e
x '= j ⋅ x ⋅ e
e
e
a
ω
jwt
a0
ω 2 a0
ω 3 a0
jwt
x '' = ( jω)
2 ⋅ x
0
⋅ e x '' = ( j ) ⋅ x ⋅ e
e
e
jwt
x
e
''' = ( jω)
3 ⋅ x
e0 ⋅ e x
a
''' = ( j ) ⋅ x ⋅ e
..... .....
( n)
n
jwt
( m)
m
x = ( jω)
⋅ x
0
⋅ e x = ( j ) ⋅ x ⋅ e
e
e
a
a
ω
a0
Durch Einsetzen in die allgemeine Differentialgleichung, die das Zeitverhalten eines
Übertragers beschreibt, ergibt sich:
jwt
jwt
jwt
m
2
j t
n
{ m
( ω) ... ( ω) 1
ω
0} e0 { n
( ω) ...
1
ω
0}
j t
x ⋅ e ( ω + α )
ω
⋅ a ⋅ j + + a ⋅ j + a ⋅ j + a = x ⋅ e e ⋅ j + + e ⋅ j + e
a0 2
Der Frequenzgang F() erhält man, indem man das Verhältnis Ausgangsgröße zu
Eingangsgröße bildet:
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