Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Mathematik * Jahrgangsstufe 8 * Aufgaben zum linearen Gleichungssystem
1. Zahlenaufgaben
Bestimme jeweils die gesuchten Zahlen!
a) Die Differenz zweier Zahlen beträgt 5, die Summe der beiden Zahlen hat den Wert 59.
b) Die Summe zweier Zahlen beträgt 77. Das Doppelte der
kleineren Zahl ist um 19 größer als die größere Zahl.
c) Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 9. Vertauscht man
die beiden Ziffern der Zahl, so erhält man eine um 45 größere Zahl.
d) Die Differenz zweier Zahlen hat den Wert 102. Das Doppelte der
kleineren Zahl ist um 18 größer als die größere Zahl.
e) Die Quersumme einer zweistelligen Zahl hat den Wert 11. Verdoppelt man die Zehnerziffer
und halbiert die Einerziffer, dann vergrößert sich der Wert der Zahl um 26.
2. Geometrieaufgaben
Bestimme jeweils die gesuchten Streckenlängen oder Winkel!
a) Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist einer der spitzen Winkel
um 24 o größer als das Doppelte des anderen spitzen Winkels.
b) Bei einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel um
18 o kleiner als der Winkel an der Spitze.
c) Bei einem Dreieck ist der größte Winkel doppelt so groß wie
der kleinste. Der mittlere Winkel ist um 12 o größer als der kleinste.
d) Ein Rechteck hat den Umfang 40cm. Verlängert man die größere Seite um 2cm und
verkürzt gleichzeitig die kürzere Seite um 1cm, so vergrößert sich der Flächeninhalt um
genau 2 cm 2 .
e) Bei einem Rechteck mit dem Umfang 74cm ist eine Seite um 1cm länger als das Doppelte
der anderen Seite.
3. Altersaufgaben
Bestimme jeweils das aktuelle Alter aller Personen!
a) Anna ist um 5 Jahre älter als ihre Schwester Berta.
In 11 Jahren wird Anna dreimal so alt wie Berta heute sein.
b) Claus und Dieter sind zusammen 34 Jahre alt.
Im nächsten Jahr wird Claus doppelt so alt wie Dieter sein.
c) Erika und ihr Opa sind zusammen 100 Jahre alt.
Vor 10 Jahren war Opa genau 7-mal so alt wie seine Enkelin.
d) Franz, Gerd und Hans sind zusammen 32 Jahre alt.
Gerd ist doppelt so alt wie Hans und um zwei Jahre jünger als Franz.
e) Erichs Papa ist 5mal so alt wie sein Sohn. In 24 Jahren wird Papa nur noch doppelt so alt
wie Erich sein.

Mathematik * Jahrgangsstufe 8 * Aufgaben zum linearen Gleichungssystem
Lösungen
1. a) gesuchte Zahlen: x und y ; es gilt dann: (I) x − y = 5 (II) x + y = 59
(I) x = 5 + y (II) x = 59 − y gleichsetzen 5 + y = 59 − y
2y = 54 y = 27 und x = 5 + 27 = 32
Die Zahlen lauten 32 und 27.
b) gesuchte Zahlen: x und y ; es gilt dann: (I) x + y = 77 (II) 2x = y + 19
(I) y = 77 − x (II) y = 2x − 19 gleichsetzen 77 − x = 2x − 19
96 = 3x x = 32 und y = 77 − 32 = 45
Die Zahlen lauten 32 und 45.
c) gesuchte Zahl lautet z = 10⋅ x + y wobei x die Zehner und y die Einer angibt.
(I) x + y = 9 (II) x + y ⋅ 10 = 45 + x ⋅ 10 + y 9y = 45 + 9x
(I) y = 9 − x (II) y = 5 + x gleichsetzen 9 − x = 5+ x 4 = 2x x = 2
und y = 9 − x = 9 − 2 = 7
Die Zahl lautet also 27.
d) gesuchte Zahlen: x und y ; es gilt dann: (I) x − y = 102 (II) 2y = x + 18
(I) x = 102 + y (II) x = 2y − 18 gleichsetzen 102 + y = 2y − 18
120 = y und x = 102 + 120 = 222
Die Zahlen lauten also 120 und 222.
e) gesuchte Zahl lautet z = 10⋅ x + y wobei x die Zehner und y die Einer angibt.
(I) x + y = 11 (II) 2⋅ x ⋅ 10 + y : 2 = x ⋅ 10 + y + 26 10x = 0,5y + 26
(I) x = 11− y einsetzen in (II) 10 ⋅(11− y) = 0,5y + 26
110 − 10y = 0,5y + 26 84 = 10,5 y y = 8 und x = 11 − 8 = 3
Die Zahl lautet demnach 38.
2. a)
b)
c)
o
o
(I) α + β = 90 (II) α = 2⋅β + 24 eingesetzt in (I)
2⋅β + 24 + β = 90 3⋅β = 66 β = 22 und α = 90 − 22 = 68
Die beiden Winkel sind 68 o und 22 o groß.
o o o o o o o
α =β ⋅α + γ = α = γ −
o
o
(I) 2 180 (II) 18 eingesetzt in (I)
( )
2⋅ γ − 18 + γ = 180 3⋅ γ − 36 = 180 3⋅ γ = 216
o o o o o
γ = α = β =
o
o
72 und 54
α = ⋅β γ = β + ⋅β +β+ γ = γ
o
o
2 (I) 12 (II) 2 180 aus (I) eingesetzt in (II)
o o o
2⋅β +β + β + 12 = 180 4⋅β = 168 β = 42 und
o o o o
γ = 42 + 12 = 54 und α = 2⋅β = 84
d) Die Rechteckseiten sind a und b.
(I) 2⋅ a + 2⋅ b = 40cm (II) (a + 2cm) ⋅(b − 1cm) = a ⋅ b + 2cm
2 2
(I) b = 20cm − a (II) a ⋅b − a ⋅ 1cm + 2cm ⋅ b − 2cm = a ⋅ b + 2cm
2
(I) b = 20cm − a (II) − a ⋅ 1cm + 2cm ⋅ b = 4cm −+ a 2b = 4cm
(I) eingesetzt in (II) − a + 2⋅( 20cm − a)
= 4cm − a + 40cm − 2a = 4cm
36cm = 3a a = 12cm und b = 20cm − a = 8cm
2

e) Die Rechteckseiten sind a und b.
(I) 2⋅ a + 2⋅ b = 74cm (II) a = 2⋅ b + 1cm
(I) a = 37cm − b (II) a = 2⋅ b + 1cm gleichsetzen 37cm − b = 2⋅ b + 1cm
36cm = 3⋅ b b = 12cm und a = 37cm − b = 25cm
3. a) Aktuelles Alter von Anna ist x.
Aktuelles Alter von Berta ist y.
(I) x = y + 5 (II) x + 11 = 3⋅ y x = 3y − 11 gleichsetzen
y + 5 = 3y − 11 16 = 2y y = 8 und x = y + 5 = 13
Anna ist 13 Jahre alt, Berta 8 Jahre.
b) Aktuelles Alter von Claus ist x.
Aktuelles Alter von Dieter ist y.
(I) x + y = 34 (II) x + 1 = 2 ⋅ (y + 1) (I) x = 34 − y und (II) x = 2y + 2 − 1
gleichsetzen 34 − y = 2y + 2 − 1 33 = 3y y = 11 und x = 34 − 11 = 23
Claus ist 23 und Dieter ist 11 Jahre alt.
c) Aktuelles Alter von Erika ist x.
Aktuelles Alter von Opa ist y.
(I) x + y = 100 (II) y − 10 = 7 ⋅(x − 10)
(I) y = 100 − x (II) y = 7x − 70 + 10 gleichsetzen
100 − x = 7x − 60 160 = 8x x = 20 und y = 100 − 20 = 80
Erika ist jetzt 20 und Opa jetzt 80 Jahre alt.
d) Aktuelles Alter von Franz ist x.
Aktuelles Alter von Gerd ist y = 2z = x – 2
Aktuelles Alter von Hans ist z.
(I) x + y + z = 32 x + 2z + z = 32 x = 32 − 3z
(II) 2⋅ z = y = x − 2 x = 2z + 2 gleichsetzen
32 − 3z = 2z + 2 30 = 5z z = 6 und y = 2⋅ 6 = 12 und x = 12 + 2 = 14
Franz ist 14, Gerd 12 und Hans 6 Jahre alt.
e) Aktuelles Alter von Erich ist x.
Aktuelles Alter von Papa ist y.
(I) y = 5⋅ x (II) y + 24 = 2 ⋅ (x + 24) y = 2x + 48 − 24 gleichsetzen
5x = 2x + 24 3x = 24 x = 8 und y = 5⋅ 8 = 40
Erich ist jetzt 8 und sein Papa jetzt 40 Jahre alt.