W10 Waermeleitung

FachHochschule Lausitz
Physikalisches Praktikum
Wärmeleitung
W 10
Namen:
Matrikel:
Datum
1 Ziel des Versuches
Es wird die Wärme- und die elektrische Leitfähigkeit zweier Metalle bestimmt und die Proportionalität
dieser Größen nachgewiesen.
2 Grundlagen
2.1 Wärmeleitung
Mikroskopisch gesehen wird Wärme in Metallen, ähnlich dem elektrischen Strom, durch Leitungselektronen
transportiert, in Isolatoren durch Gitterschwingungen (Phononen in der
Quantenmechanik).
Makroskopisch gesehen wird die Ursache für den Transport von Wärmeenergie durch das
Auftreten eines im allgemeinen zeitlich und räumlich veränderlichen Temperaturfeldes
T r
, t
T x
, y,
z,
t, in dem die Wärme stets längs eines Temperaturgefälles in Richtung von
höheren zu tieferen Temperaturen strömt, beschrieben. Die im infinitesimalen Zeitintervall dt
durch eine Fläche A fließende Wärmemenge dQ bestimmt den Vektor des Wärmestroms
th
dQ dt
e
n
mit der Einheit 1Js -1 . e n
ist dabei ein Vektor der Länge 1, der auf der Fläche
A senkrecht steht (Einheits-Normalenvektor) und somit dazu dient, die Orientierung von A im
Raum anzuzeigen.
Das Verhältnis aus dem Wärmestrom und der von ihm durchströmten Fläche definiert den
Vektor der Wärmestromdichte q th
Φ
th
A . Das Fouriersche Gesetz setzt die Wärmestromdichte
proportional zum lokalen Temperaturgradienten (in kartesischen Koordinaten
gleich dem Vektor der Temperatur-Ableitungen):
T
q
q
,
T x th x
th
q
th,
y
*
T
(1)
y
q
th,
z
T
z
Hierbei stellt (= Wm -1 K -1 ) die (u.U. temperaturabhängige) Werkstoffgröße Wärmeleitfähigkeit
dar. Das negative Vorzeichen in (1) berücksichtigt die Richtung des Wärmestromes
von höheren zu tieferen Temperaturen, d.h., der Temperaturgradient ist negativ.
Bild1: Zur Differentialgleichung der Wärmeleitung
In Bild1 ist das vereinfachte Beispiel
eindimensionaler Wärmeleitung
gezeigt, bei der ein Wärmestrom
th in x-Richtung durch die
Fläche A eines Volumenelementes
V der Dicke x eines Festkörpers
fließt. Im Inneren des Volumenelements
sollen keine zusätzlichen
Wärmequellen bzw. -senken die
Wärmebilanz beeinflussen.
Das Temperaturgefälle auf der einen
Seite des Volumenelements beträgt
dT/dx und auf der Gegenseite

2
dT
x
Δ
x
dx
dT
dx
2
d T
2
dx
Δx
...
(Taylorentwicklung nach dem 2.Term abgebrochen).
Die Differenz zwischen der in das Volumenelement hinein- bzw. herausströmenden Wärme
ermittelt man über die Differenz der Wärmestromdichten zu
q
2
d T
qth,2
Δx
. (2)
2
dx
th, 1
Mit der Definition für den Wärmestrom erhält man
2
d T
th
q
th,1
q
th,2
Δ
A
Δ
V . (3)
2
dx
Andererseits muss ein (Netto-) Wärmestrom in oder aus einem Volumenelement mit einer
zeitlichen Temperaturänderung des Volumenelements einhergehen, und zwar nach Maßgabe
seiner Massendichte und spezifischen Wärmekapazität c:
dQ
dT
dT
th
mc
ΔVc
. (4)
dt
dt
dt
Aus der Kombination der Gln. (3) und (4) folgt die Differentialgleichung der Wärmeleitung
(eindimensional):
dT
dt
2
d T
2
c
dx
a
T
2
d T
2
dx
. (5)
wobei die Größe a T mit
a T
c
(6)
als Temperaturleitfähigkeit bezeichnet wird. Sie ist eine Kenngröße für die Beschreibung der
zeitlichen Änderung der Temperatur infolge des Wärmetransports zwischen Orten unterschiedlicher
Temperatur.
Für dreidimensionale Betrachtungen ergibt sich die allgemeine Wärmeleitungsgleichung als
partielle Differentialgleichung der vier Variablen x,y,z,t. Ihre Lösung hängt entscheidend von
den durch die Aufgabenstellung vorgegebenen Anfangs- und Randbedingungen ab.
Bei vielen praktischen Anwendungen und auch im vorliegenden Versuch realisiert man ein
zeitlich konstantes Temperaturfeld T x
, y,
z, in dem eine stationäre Wärmeübertragung vorliegt
und nur noch die Randbedingungen von Bedeutung sind. In Tab.1 sind zwei Beispiele
für die eindimensionale stationäre Wärmeleitung in isotropen, homogenen Festkörpern unterschiedlicher
geometrischer Form angeführt.
Im Versuch wird die Wärmeleitfähigkeit metallischer Rundstäbe untersucht, deren Enden
durch zwei Wärmereservoire (kochendes Wasser, Eiswasser) zunächst auf zeitlich konstante
Temperaturen gebracht werden (Bild3 bei Versuchsdurchführung). Somit fließt ein überall
gleich großer Wärmestrom vom kochenden Wasser (Index Res1) über den Stab ins Eiswasser
(Index Res2):
th
, Res1
th,
Stab
th,Re
s2
th
, (7)

3
führt dort zum Schmelzen des Eises und danach zum Temperaturanstieg in Wasser und Stab.
Gemessen werden nun nach Entfernen des Eises einmal der momentane Temperaturgradient
d
T
d
T
im Stab und der zeitliche Temperaturanstieg des Kalorimeterwassers.
d
z
Stab
d
t
Re s2
Damit ergibt sich unter Verwendung der Gleichung aus Tab.1, (4) und (7) die Wärmeleitfähigkeit
des Stabes zu
c
m
K
dT
/ dtRe
s
2
πr
dT
/ dz Stab
th,
Stab
th,Re
s2
2
(8)
2
2
πr
dT
/ dzStab
πr
dT
/ dzStab
c ist die spezifische Wärmekapazität des Wassers (c=4,19kJkg -1 K -1 ) und m die Masse des
erwärmten Wassers. Die Materialeigenschaften des Kalorimeters wird in Form seiner Wärmekapazität
K (K= JK -1 ) berücksichtigt.
Tab.1: Beispiele stationärer Wärmeleitung
2.2 Elektrische Leitfähigkeit
Nach dem klassischen Modell freier Elektronen bilden die Leitungselektronen in einem Metal
ein „Elektronengas“, in dem sie analog der Bewegung von Teilchen in einem idealen Gas
ungeordnete thermische Bewegungen ausführen. Legt man an die Enden eines Metallstabes
(Bild2) eine elektrische Spannung U, werden die Elektronen durch die Feldkraft F E
eE
beschleunigt. Bei den Zusammenstößen mit Gitterstörungen des Metalls wird kinetische Energie
der beschleunigten Elektronen in zusätzliche Schwingungsenergie des Gitters umgewandelt.
Die Leitungselektronen erhalten dabei im Mittel nur eine konstante (mittlere) Driftgeschwindigkeit
v in Richtung von E
. Die mittlere Driftgeschwindigkeit kann analog zur
laminaren Flüssigkeitsströmung auf das Gleichgewicht zwischen der elektrischen Feldkraft
F E
und einer geschwindigkeitsproportionalen
Reibungskraft F R
r v
mit r als Reibungsfaktor zurückgeführt
werden. Mit dem Kräftegleichgewicht
F ergibt sich
R
F E
e
v E
E . (9)
r
Bild2: Zur Elektronentheorie der elektrischen Leitung
Darin stellt die Beweglichkeit der Ladungsträger
dar.
Die Stärke des Ladungsträgerstromes wird

4
makroskopisch durch den Vektor der Stromdichte J
x , y,
zbeschrieben. Wenn auf einer
Querschnittsfläche A durch einen Leiter überall die gleiche Stromstärke auftritt (Bild2), so ist
der Betrag der Stromdichte in allen Punkten von A
I
J bzw. I J A
(10)
A
Gl.(10) stellt nur einen Sonderfall dar, bei dem die Fläche A eine senkrecht durch den Leiter
gelegte Ebene ist und bei dem J überall auf der Fläche senkrecht steht und konstant ist.
Man kann nun die Driftgeschwindigkeit der Elektronen aus der Stromdichte J bestimmen. In
Bild2 bewegen sich die Elektronen mit v=konst. nach links. Die Zahl der Ladungsträger ist
durch nV gegeben, wobei ΔV
AΔx
das Volumenelement des Leiterstücks und n die Elektronendichte
ist (n = N/V, N Anzahl freier Elektronen im Volumenelement V). Durch die
Fläche fließt eine Ladung vom Betrag ΔQ
nAΔx
e in einer Zeit t=x/v, und mit I=Q/t
folgt für die Stromstärke
I
n e v A.
(11)
Unter Berücksichtigung von (10) und (9) und mit E=U/l erhält man
U
J n
e v n e E
n
e
. (12)
l
Aus (12) folgt das Ohmsche Gesetz in der Darstellung
J E
(13)
mit der Leitfähigkeit
n e
, ohne den im allgemeinen vektoriellen Charakter der Feldstärke
und der Stromdichte zu betrachten.
Mit dem im Versuch vorliegenden Messaufbau werden als Messgrößen die anliegende Spannung
U, und der Stromfluss I durch einen runden Metallstab der Länge l bestimmt. Mit diesen
Messwerten ergibt sich die Leitfähigkeit nach vorigem aus
l I . (14)
A U
Der Nachweis dieser Gleichung ist in der Versuchsvorbereitung zu erbringen!
2.3 Zusammenhang zwischen elektr. und Wärmeleitfähigkeit in Metallen
Substanzen mit guter elektrischer Leitfähigkeit sind in der Regel auch gute Wärmeleiter. Bei
nicht zu tiefen Temperaturen gilt das Wiedemann-Franz-Gesetz:
konst.
T
L
(15)
T ist dabei die absolute Temperatur des Stoffes, L wird als Lorenzsche Zahl bezeichnet und
8
2 2
hat für alle Metalle annähernd denselben Wert L 2.45
10
V K . Dies lässt den Schluss
zu, dass die hohe Wärmeleitfähigkeit der Metalle und ihre hohe elektrische Leitfähigkeit auf
demselben mikroskopischen Transportmechanismus beruhen: dem der freien Leitungselektronen.

5
3 Versuch
3.1 Verwendete Geräte
Thermische Leitfähigkeit: 2Kalorimetertöpfe 500ml (K=70JK -1 ), Cu-Wärmeleitstab, Al-
Wärmeleitstab, Stativmaterial, Tauchsieder mit Leistungsstellgerät, Magnetrührer, Wärmeleitpaste,
Gazebeutel zur Eisaufnahme, 2Temperaturmessgeräte, Temperatur-Tauchsonde,
Temperatur-Oberflächenfühler, Stoppuhr
Elektrische Leitfähigkeit: Netzgerät 0–36V/40A, Messverstärker, Multimeter, Verbindungsleitungen
3.2 Aufgabenstellung
1.Aufgabe: In einem Metallstab wird durch zwei Wärmereservoire (kochendes Wasser und
Eiswasser) zunächst ein konstantes Temperaturgefälle eingestellt.
Nach Herausnehmen der Eisstücke wird die Erwärmung des kalten Wassers in Abhängigkeit
von der Zeit gemessen und die Wärmeleitfähigkeit des Metallstabes berechnet.
- Der Versuch ist für zwei Stäbe unterschiedlichen Metalls durchzuführen.
- Die Messunsicherheit für die ermittelten Wärmeleitfähigkeiten ist zu bestimmen.
2.Aufgabe: Die elektrische Leitfähigkeit der beiden Metallstäbe wird durch Aufnahme
einer Strom-Spannungs-Kennlinie bestimmt.
- Die Messunsicherheit für die ermittelten elektrischen Leitfähigkeiten ist zu bestimmen.
3.Aufgabe: Die Aussage des Wiedemann-Franz-Gesetzes (15) ist mit den erhaltenen
Messwerten zu prüfen und zu diskutieren.
3.3 Hinweise zur Versuchsdurchführung
Messstellen
100°C
Wärmeleitstab
Bild3:
Versuchsanordnung
zur 1.Aufgabe: Die Apparatur zur Messung der Wärmeleitfähigkeit
besteht aus zwei Kalorimetertöpfen, die als Wärmespeicher mit
Eiswasser (unten) und siedenden Wasser (oben) gefüllt sind.
Die Wärmeleitstäbe bestehen aus massiven Kupfer bzw. Aluminium
und sind mit glasklarem Kunststoff ummantelt, um die seitlichen Wärmeverluste
zu vermindern.
- Beim Aufbau für guten Wärmekontakt zwischen dem oberen Kalorimetertopf
und der Stirnfläche des Wärmeleitstabes durch Verwendung
von Wärmeleitpaste zu sorgen.
- Im unteren Kalorimetertopf Wasser mit in Gazebeutel befindlichen
Eisstücken nahe 0°C halten (Rühren), Tauchfühler zur Temperaturmessung
verwenden.
- Im oberen Topf Wasser mit dem Tauchsieder (über einen Leistungssteller
angeschlossen) zum Sieden bringen und am Sieden halten.
- Ca. 5-10min. nach einsetzen des Siedens mit dem Oberflächenfühler
zügig die 10 Messstellen am Stab abtasten. Die Messwerte sind sofort in ein Diagramm
-Messwerte als Funktion der Messstelle- einzutragen. Liegen die Messwerte
nicht annähernd auf einer Geraden, ist der stationäre Zustand noch nicht erreicht und die
Messung (einschließlich Diagrammeintragung) muss wiederholt werden.
- Nach Erreichen des stationären Zustandes Eisstückchen im Gazebeutel aus dem unteren
Kalorimetertopf entfernen. Unter ständigem Rühren (Magnetrührer in Betrieb) den Temperaturanstieg
T während eines genau gemessenen Zeitraumes t (z.B. 5min) im unteren
0°C

6
Kalorimetertopf messen. Dazu sind die Temperaturwerte aller 30s zu notieren und in einem
Temperatur-Zeit-Diagramm darzustellen.
- Beenden des Experimentes durch Ausschalten des Tauchsieders, Messen des Durchmessers
d, des Abstandes l zwischen den beiden äußeren Messstellen des Wärmeleitstabes
und der Masse m des Wassers im unteren Kalorimetertopf.
Die Messung ist nach Umbau für den zweiten Wärmeleitstab in gleicher Weise durchzuführen,
Hinweise zum Aufbau befinden sich am Praktikumplatz!
Zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit ergibt sich der Temperaturgradient
d
T 10
1
aus Temperaturdifferenz 10 - 1 (Dem Diagramm nach linearer Regression
entnehmen!) und Abstand l. Das aufgenommene Erwärmungsdiagramm ergibt den Tem-
d
z Stab
l
d
T
peraturanstieg . Die weitere Berechnung erfolgt entsprechend (8).
d
t
Re s2
Zur Bestimmung der Messunsicherheit ist eine Abschätzung der Abweichung aller quantitativ
erfassten Messwerte heranzuziehen (Fehlerbalken in den Diagrammen nutzen!).
zur 2.Aufgabe:
Netzgerät
mit Stromanzeige
0-36V/40A
Die Messschaltung entsprechend Bild3 ist aufzubauen.
Messbereich 1V DC
V
Wärmeleitstab als Widerstand
Messverstärker
Verstärkung 10 4
Bild3: Messschaltung zur Bestimmung der elektrischen Leitfähigkeit
Der Spannungsabfall U ist als Funktion des Stromes I aufzunehmen; dabei ist der Strom in
Schritten von ca.2A bis 40A am Netzgerät einzustellen. Dazu Grob- bzw. Feinregler der
Spannungseinstellung nutzen.
Die eingestellten Stromwerte werden direkt von der LCD-Anzeige des Netzgerätes übernommen.
Vorsicht bei der Stromeinstellung, Überlastung sehr schnell möglich!
Die jeweils dazugehörige Spannung ist am Voltmeter unter Berücksichtigung des am Verstärker
eingestellten Verstärkungsfaktors abzulesen.
Zur Auswertung ist ein Strom-Spannungs-Diagramm aus den Messwerten zu erstellen und der
Anstieg der Kurve in diesem Diagramm zur Berechnung der elektrischen Leitfähigkeit nach
(14) zu nutzen.
Die Messunsicherheit ist unter Verwendung im Diagramm festgelegter Fehlerbalken zu bestimmen.