E05 Elektrische Schwingungen

FachHochschule Lausitz Elektrische Schwingungen Namen:
Matrikel:
Physikalisches Praktikum E 5 Datum:
1 Ziel des Versuches
Elektrische Schwingungen am Serien- und Parallelschwingkreis werden erzeugt und untersucht.
Dabei sollen Unterschiede zwischen den beiden Schaltungen und Gemeinsamkeiten mit
den mechanischen Schwingungen verdeutlicht werden.
2 Grundlagen
2.1 Freie elektrische Schwingungen
Lädt man einen Kondensator der Kapazität C auf die Spannung U 0 und entlädt ihn über eine
parallel geschaltete Spule der Induktivität L, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen am
Kondensator und an der Spule gleich groß sein:
− L I =
Q
(1)
C
Es ist Q = CU die aktuelle Ladung auf einer Kondensatorplatte. Um Q zu eliminieren, wird
die zeitliche Ableitung von (1) gebildet:
1
LI
+ I = 0
C
(2)
Diese Differentialgleichung hat die gleiche Struktur wie die Schwingungsgleichung für einen
mechanischen, harmonischen Oszillator. Die Stromstärke in der beschriebenen Schaltung
vollführt also eine harmonische Schwingung
~ ω
i t
() t I e
0
I
0
= (3)
(dabei ist nur der Realteil I () t Re I ( t)
~
= physikalisch relevant) mit der Eigenfrequenz
ω = 1
0
LC
. (4)
Gleiches gilt auch für die Spannung. Die Parallelschaltung von Spule und Kondensator wird
deshalb als elektrischer Schwingkreis bezeichnet.
Wie beim mechanischen Oszillator tritt auch beim elektrischen Schwingkreis unvermeidlich
eine Dämpfung auf, hier verursacht durch den Ohmschen Widerstand R der Leitungen. Dieser
wirkt, als ob er in Reihe zu den anderen Bauelementen geschaltet ist. In (1) ist nun zusätzlich
der Spannungsabfall an R zu berücksichtigen und man erhält
− L I =
Q
+ RI
(5)
C
Die zeitliche Ableitung von (5) führt wieder zu einer homogenen Differentialgleichung der
Struktur, die auch im mechanischen Fall auftritt.
1
LI + RI
+ I = 0
(6)
C

2
Der Vergleich mit dem mechanischen Fall ergibt für den Dämpfungsfaktor des elektrischen
Schwingkreises
R
δ =
(7)
2L
Das Verhalten des Schwingkreises hängt wie im mechanischen Fall von der Stärke der Dämpfung
ab. Der Versuch beschränkt sich auf den schwach gedämpften Fall (δ < ω 0 ), in dem die
Lösung von (6) eine harmonische Schwingung mit exponentiell abklingender Amplitude ergibt
t i Dt
I t = I e −δ ⋅e ω
(8)
() 0
mit der nun verringerten Eigenfrequenz
ω
2 2
D
= ω 0
− δ . (9)
Die Teilspannungen an jedem der Bauelemente führen ebenfalls harmonische Schwingungen
aus, allerdings mit einer Phasenverschiebung gegenüber dem Strom.
2.2 Erzwungene Schwingungen im Serienschwingkreis
R
Eine Möglichkeit zur Erzeugung erzwungener
elektrischer Schwingungen ist die in Bild1 dargestellte
RLC-Serienschaltung. Bei einer Erregerspannung
~
e i ω a
U t = U
(10)
( )
t
Bild1: Reihenschaltung von R, L und C
ergibt sich die Stromstärke im eingeschwungenen
Zustand gemäß dem ohmschen Gesetz durch Division mit dem komplexen Widerstand
~ ~ ~
1
Z = R + Z + Z = R + i ω L − :
L
C
~
I
() t
U () t
Die Amplitude des Stroms
L
( )
a
C
U C
() t
ωaC
~
= U () t
R + i
(11)
1
( ω L − )
a ωa C
0
I
0
U
0
= (12)
2
1
R + ( ω ) 2
a
L − ω aC
wird maximal, wenn die Erregerfrequenz ω a gleich ist der Eigenfrequenz ω 0 des ungedämpften
Kreises ist:
1
ω
a, I max
= ω
0
=
(13)
LC
Da der Nenner von (11) in diesem Fall reell ist, fließt der Strom in Phase mit der Erregerspannung.
Die Schaltung lässt also bevorzugt Wechselstromsignale einer bestimmten Frequenz
passieren. Man nennt sie deshalb Siebkette.
Die Spannung am Kondensator der Siebkette ist

~
U
Sie hat die Amplitude
C
~
() t = I () t
1
iω
C
a
~
U
=
iω
RC −
a
3
( t)
2
( ω LC −1)
a
(14)
U
C,0
~
= U
C
=
ω R
2
a
2
C
2
U
+
0
2
( ω LC −1) 2
a
(15)
Um zu bestimmen, für welche Erregerfrequenz die Spannung maximal wird (Spannungsresonanz),
wird die Ableitung des Nenners von (15) gleich 0 gesetzt und es ergibt sich:
ω
R
2L
2
2
2 2
a , U
= ω
0
− = ω
2 0
− 2δ
(16)
max
Die Phasendifferenz α zwischen der Erregerspannung und der Spannung am Kondensator
ergibt sich aus der Darstellung der Teilspannungen in der komplexen Ebene. Es ist
R
tan α = 1
(17)
−ω
L
ωaC
a
Ein wichtiges Maß für die Trennschärfe eines Schwingkreises ist die Halbwertsbreite der
Resonanzkurve. Man versteht darunter den Abstand Δω der beiden Frequenzen, bei denen
die Amplitude auf das 1 2 -fache ihres Maximalwertes abgesunken ist. Der Quotient
Q = ω
(18)
Δω
heißt Güte des Schwingkreises.
2.3 Erzwungene Schwingungen im Parallelschwingkreis
R
U () t
U () t
V
L
Bild2: Schaltung eines Parallelschwingkreises
C
Von Bedeutung für technische Anwendungen ist
noch der Parallelschwingkreis (Bild2). Die Stromstärke
in den Zuleitungen zu dem Schwingkreis ist
abhängig von der Frequenz der Erregerspannung
(10). Für den komplexen Ersatzwiderstand der
Schaltung gilt
1
~ = ~ 1 + ~ 1
Z Z
C
Z
L
+ R
~
mit Z
C
=
i
ω C
a
~
Z
Der Betrag des Ersatzwiderstandes ist:
L
= −iω
L . (19)
a
~
Z
=
ω R
2
a
2
R
C
2
2
+ ω L
+
2
a
2
2
( ω LC −1) 2
a
(20)
Setzt man R

4
ω = ω = 1
a 0
LC
(21)
d.h., wenn die Frequenz der von außen angelegten Spannung gleich der Eigenfrequenz des
ungedämpften Kreises ist. In diesem Fall ist der Strom in den Zuleitungen minimal. Aus diesem
Grund wird der Parallelschwingkreis auch Sperrkreis genannt.
Bei nicht vernachlässigbarem R ist die Resonanzfrequenz wieder zu kleineren Frequenzen
verschoben.
3 Versuch
3.1 Verwendete Geräte
Funktionsgenerator und Zähler in einem Gehäuse, Oszilloskop, Vielfachmessinstrument,
Kondensatoren, Spulen, Widerstände, Aufbauplatte
3.2 Aufgabenstellung
1.Aufgabe: Freie Schwingungen
Die freie schwach gedämpfte Schwingung eines Schwingkreises soll am Oszilloskop dargestellt
werden. Aus dem Schwingungsverlauf ist bei gegebener Kapazität C die Induktivität L
und der Ohmsche Widerstand R L der Spule zu bestimmen.
2.Aufgabe: Erzwungene Schwingungen am Serienschwingkreis
Für verschiedene Dämpfungen soll die Spannungs-Resonanzkurve beim Serienschwingkreis
aufgenommen und die Güte bestimmt werden.
3.Aufgabe: Erzwungene Schwingungen am Parallelschwingkreis
Man untersuche die Frequenzabhängigkeit der Stromstärke in den Zuleitungen zu einem Parallelschwingkreis.
3.3 Hinweise zur Versuchsdurchführung
Bedienungsanleitungen für alle benötigten Messgeräte befinden sich am Arbeitsplatz.
Zur 1.Aufgabe:
Y-Eingang
200Hz
68nF
Toleranz 5%
Oszilloskop: Triggerung durch Generator
Generator: max. Amplitude
900Wdg
500Wdg
Kopplung: Spulen nebeneinander aufbauen
Bild3: Versuchsaufbau zur 1.Aufgabe
Bei Aufgabe1 verwendet man zur periodischen Anregung des Schwingkreises einen
Impulsgenerator (Rechteckgenerator, f = 200Hz), der induktiv an die Schwingkreisspule
angekoppelt wird (Bild3). Die Frequenz dieser Anregung muß klein sein gegen die
Eigenfrequenz des Schwingkreises (warum?).

5
Am Oszilloskop ist zunächst die Schwingungsdauer T des Schwingkreises unter
Verwendung der kalibrierten Zeitbasiseinstellung abzulesen (zur Bestimmung von f D und ω D ).
Die auftretende Abweichung ist abzuschätzen.
Danach ist die Amplitude in Abhängigkeit von t = t/T zu bestimmen. Dazu sind die
Spannungswerte Spitze-Spitze (U SS ) entsprechend der Eingangseinstellung des Oszilloskops
für die ersten 15-20 Perioden abzulesen.
Diese Abhängigkeit ist auf halblogarithmischen Papier als Funktion U SS = f (n) darzustellen
(U SS logarithmisch).
Aus dem Anstieg der Kurve ist die Dämpfungskonstante δ zu berechnen. Die Gleichung dazu
(mit z.B. n = 1 und n = 20) lautet (Diese Gleichung ist aus (8) herleitbar):
U 20 −δ
19 T
U
1
= e
(22)
Unter Verwendung von (9), (7) und (4) sind ω 0 (Abweichung ω 0 zu ω D in % ebenfalls
angeben), L und R L zu berechnen.
Die jeweiligen maximalen Messunsicherheiten sind unter Verwendung festzulegender Fehlerbalken
in der Darstellung U SS = f (n) abzuschätzen.
Zur 2.Aufgabe:
1...8kHz
TTL
Zähler ~
500Wdg
R
0 bzw. 56Ω
Generator: max. Amplitude
Bild4: Versuchsaufbau zu Aufgabe 2
die Resonanzfrequenz so genau wie möglich zu messen.
L
900Wdg
C
100nF
V
U eff
Bei den Messungen zu den
erzwungenen Schwingungen
wird eine sinusförmige
gerspannung mit konstanter
Amplitude verwendet.
Die Frequenz wird mit dem
Digitalzähler gemessen und
ist in Schritten von 1kHz im
vorgegebenen Bereich zu variieren.
In der Nähe der Resonanz
ist die Schrittweite auf
500Hz zu verringern und auch
Die sich ergebende Resonanzkurve für U eff (t) (gemessen mit einem Multimeter) sind für
R = 0Ω und R = 56Ω aufzunehmen und mit Angabe von Resonanzfrequenz und Halbwertsbreite
grafisch darzustellen. Die sich ergebende Güte (18) der Schwingkreise ist zu berechnen.
Die Ergebnisse, insbesondere die gemessenen Resonanzfrequenzen, sind in ihren Abhängigkeiten
zu diskutieren.
Zur 3.Aufgabe:
Um eine Rückwirkung des Schwingkreises auf die Ausgangsamplitude und auf die Wellenform
des Funktionsgenerators weitgehend zu verhindern, wird hier zur Strombegrenzung der
Widerstand R V verwendet (Aufbau siehe Bild5).

6
Zähler
Generator:
max. Amplitude
3...6kHz
~
R V
Bild 5: Versuchsaufbau zu Aufgabe 3
L
900Wdg
3,3kΩ
C
V
100nF
U RV
Die Resonanzkurve ist ebenfalls grafisch darzustellen (
4 Ergänzungen
Der Strom in den Zuleitungen zum
rallelschwingkreis kann über den Spannungsabfall
an R V bestimmt werden
(Vielfachmessinstrument verwenden).
Die Frequenz ist im angegebenen Bereich
zu variieren: 3,0kHz, 3,5kHz,
4,0kHz, in 100Hz-Schritten bis 5,0kHz,
5,5kHz, 6,0kHz.
Die Resonanzfrequenz ist gesondert zu
bestimmen.
U
V
( f )
R
= f ) und zu diskutieren.
Welche Zustände eines Parallelschwingkreises entsprechen den verschiedenen Zuständen
eines schwingenden Faden- oder Federpendels mit äußerer Anregung?
Man leite aus Gl.(15) ab, dass die Spannungsüberhöhung im Resonanzfall
U C ,0 ω
0
=
U 2δ
0
(23)
ist und sich bei kleinen Dämpfungsfaktoren die Halbwertsbreite der Resonanzkurve zu
Δω
≈ 2δ
(24)
ergibt.