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DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II
Vorlesungsnotizen
Patrick Ghanaat
Universität Karlsruhe (TH), Juli 2000
Inhalt
1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
2. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Tangentialvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Ableitungen und Tangentialbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6. Tensorfelder und Faserbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. Vektorfelder und Flüsse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
8. Partitionen der Eins und ihre Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9. Kurven im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10. Innere Geometrie der Flächen im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11. Gaußabbildung und zweite Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12. Die Krümmungen einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
13. Eiflächen und Satz von Cohn–Vossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
14. Kovariante Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
15. Parallelverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
16. Krümmung und Flachheit von Zusammenhängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
17. Geodätische und Exponentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
18. Erste Variation der Bogenlänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
19. Vollständigkeit, konvexe Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
20. Krümmung Riemannscher Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
21. Zweite Variation der Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
22. Riemannsche Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
23. Jacobifelder und Indexlemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
24. Vergleichssatz von Rauch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
In diesem Abschnitt führen wir den für das Weitere grundlegenden Begriff der differenzierbaren
Mannigfaltigkeit und den der differenzierbaren Abbildung zwischen
solchen Mannigfaltigkeiten ein.
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind spezielle topologische Räume, auf denen
sich Differentialrechnung betreiben lässt. Beispiele sind die Einheitskreislinie S 1 =
{(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1} in der Ebene, die Standard–2–Sphäre S 2 = {(x, y, z) ∈
R 3 | x 2 + y 2 + z 2 = 1} und allgemeinere Flächen in R 3 . Weitere wichtige Beispiele
sind die Konfigurationsräume und Phasenräume der klassischen Mechanik. Eine
gemeinsame Eigenschaft dieser Gebilde M ist, dass jeder Punkt p ∈ M eine Umgebung
U besitzt, die zu einer offenen Teilmenge V ⊆ R n homöomorph ist. Indem
man q ∈ U die Koordinaten des entsprechenden Punktes in V zuordnet, kann man
ein lokales Koordinatensystem auf U einführen. Das ist aber im allgemeinen nicht
auf ganz M möglich, weil M nicht zu R n homöomorph sein muß, und es gibt meistens
auch kein für alle Zwecke bestes Koordinatensystem auf U.
Als Beispiel betrachte man etwa S 1 , aufgefasst als Konfigurationsraum (also der
Raum der möglichen Positionen) eines ebenen Pendels. In geeigneten Teilmengen
von S 1 kann man die Höhe h = y oder den Auslenkwinkel θ als lokale Koordinate
wählen. Je nach Anwendung ist das eine oder das andere günstiger. Das eigentlich
interessierende Objekt ist der Konfigurationsraum S 1 selbst. Durch Einführen
lokaler Koordinaten wie θ oder h identifiziert man Teile von S 1 mit Teilmengen
der reellen Geraden R und ist dadurch in der Lage, die Infinitesimalrechnung zur
Lösung von das Pendel betreffenden Aufgaben einzusetzen.
1.1. Definition. Ein topologischer Raum M heißt eine n–dimensionale topologische
Mannigfaltigkeit, wenn gilt
(a) M ist ein Hausdorff–Raum mit abzählbarer Basis für die Topologie und
(b) M ist lokal homöomorph zu R n , d.h. zu jedem p ∈ M existieren eine offene
Umgebung U von p und ein Homöomorphismus ϕ : U → V , wobei V ⊆ R n offen
ist.
Jedes solche Paar (ϕ, U) heißt eine Karte oder ein lokales Koordinatensystem am
Punkt p.
Bemerkung. Man kann zeigen, dass die Zahl n durch M eindeutig bestimmt
ist: Ein nichtleerer Raum M kann nicht zugleich eine m–dimensionale und eine n–
dimensionale topologische Mannigfaltigkeit sein, wenn m ≠ n ist. Der Beweis ergibt
sich leicht aus dem Satz von der Invarianz der Dimension der Topologie: Sind zwei
nichtleere offene Teilmengen U ⊆ R m und V ⊆ R n homöomorph, dann ist m = n.
Version: 18. Februar 2000
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1.2. Definition. Sei M eine topologische Mannigfaltigkeit. Ein Atlas für M ist
eine Menge A = {(ϕ α , U α ) | α ∈ Λ} von Karten ϕ α : U α → R n , so dass M =
⋃
α∈Λ U α.
1.3. Definition. Sei M topologische Mannigfaltigkeit. Ein Atlas A = {(ϕ α , U α ) |
α ∈ Λ} für M heißt differenzierbar von der Klasse C k (oder ein C k –Atlas), wenn
für alle α, β ∈ Λ mit U α ∩ U β ≠ ∅ der Kartenwechsel
ϕ β ◦ ϕ −1
α : ϕ α(U α ∩ U β ) → ϕ β (U α ∩ U β )
eine C k –Abbildung ist, d.h. k–mal stetig differenzierbar (k = 0, 1, 2, . . . oder k =
∞).
Man kann sich anschaulich vorstellen, dass M durch “Verkleben” offener Teilmengen
von R n entsteht, wobei die “Klebeabbildungen” ϕ β ◦ ϕ −1
α von der Klasse C k sind.
Bemerkungen. (a) Die Teilmenge ϕ α (U α ∩ U β ) ist offen in R n , so dass man ohne
weiteres von C k –Abbildungen auf ϕ α (U α ∩ U β ) sprechen kann.
Beweis. Da U β offen in M ist, ist U α ∩ U β offen in U α bezüglich der Unterraumtopologie.
Da ϕ α : U α → ϕ α (U α ) ein Homöomorphismus ist, ist ϕ α (U α ∩ U β ) offen
in ϕ α (U α ). Und weil ϕ α (U α ) offen in R n ist, ist ϕ α (U α ∩ U β ) offen in R n . QED
(b) Ein C 0 –Atlas ist dasselbe wie ein Atlas im Sinne von (1.2).
(c) Jeder nur aus einer Karte bestehende Atlas ist ein C ∞ –Atlas, weil ϕ ◦ ϕ −1 =
id ∈ C ∞ ist.
1.4. Definition. Sei M eine topologische Mannigfaltigkeit und A = {(ϕ α , U α ) | α ∈
Λ} ein C k –Atlas. Eine Karte (ϕ, U) von M heißt mit A verträglich, wenn A ∪
{(ϕ, U)} ebenfalls ein C k –Atlas ist. Ein C k –Atlas A heißt ein maximaler C k –Atlas
(oder eine differenzierbare Struktur der Klasse C k , kurz C k –Struktur), wenn A
alle mit A verträglichen Karten enthält. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
Klasse C k (kurz: C k –Mannigfaltigkeit) ist ein Paar (M, A), bestehend aus einer
topologischen Mannigfaltigkeit M und einer C k –Struktur A auf M.
Es ist üblich, in etwas ungenauer Sprechweise von der “C k –Mannigfaltigkeit M” zu
sprechen, wenn aus dem Zusammenhang zweifelsfrei klar ist, welche C k –Struktur
A auf M gemeint ist.
1.4.1. Lemma. Sei A ein C k –Atlas auf einer topologischen Mannigfaltigkeit M.
Dann existiert genau ein maximaler C k –Atlas A ′ mit A ⊆ A ′ . Jeder C k –Atlas
bestimmt also eine eindeutige C k –Struktur.
Beweis. Der Atlas A ′ := {(ϕ, U) | (ϕ, U) ist eine mit A verträgliche Karte} ist, wie
man mit Hilfe der Kettenregel überprüft, ein C k –Atlas und maximal. QED
1.5. Man kann zeigen, dass jeder maximale C 1 –Atlas einen C ∞ –Atlas enthält
(siehe M. W. Hirsch, Differential Topology, Springer–Verlag). Andererseits gibt es
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topologische Mannigfaltigkeiten, auf denen kein C 1 –Atlas existiert (M. Kervaire,
Comment. Math. Helv. 34(1960), 257–270).
1.6. Erste Beispiele. (a) Die leere Menge ∅ mit dem leeren Atlas ist eine n–
dimensionale C ∞ –Mannigfaltigkeit für jedes n. Dieses Beispiel ist nützlich, um bei
der Formulierung von Aussagen Sonderfälle mit einzuschließen.
(b) Nulldimensionale topologische Mannigfaltigkeiten sind abzählbare Mengen M
mit der diskreten Topologie (jede Teilmenge von M ist offen).
(c) Beispiele für eindimensionale topologische Mannigfaltigkeiten sind die Einheitskreislinie
(oder 1–Sphäre) S 1 , offene Intervalle (a, b) ⊆ R und die disjunkte Vereinigung
S 1 ˙∪S 1 . Disjunkte Vereinigungen abzählbar vieler C k –Mannigfaltigkeiten
derselben Dimension sind offenbar wieder C k –Mannigfaltigkeiten.
(d) R n mit dem Atlas {(id, R n )}. Allgemeiner hat jeder endlichdimensionale reelle
Vektorraum E eine Standard–C ∞ –Struktur: Sei e 1 . . . e n eine Basis von E und sei
ϕ : E → R n definiert durch
ϕ ( ∑
n λ i )
e i = (λ 1 , . . . , λ n ).
i=1
Die durch den Atlas {(ϕ, E)} bestimmte C ∞ –Struktur hängt offenbar nicht von der
Wahl der Basis e 1 . . . e n ab.
(e) Für die n–Sphäre S n = {x ∈ R n+1 | (x 1 ) 2 + · · · + (x n+1 ) 2 = 1} gibt es
einen aus zwei Karten bestehenden C ∞ –Atlas. Seien dazu U 1 = S n \{(0, 0 . . . 0, 1)}
und U 2 = S n \{(0, 0 . . . 0, −1)}. Wir definieren ϕ 1 : U 1 → R n , die stereographische
Projektion vom “Nordpol” (0, . . . , 0, 1) aus, und ϕ 2 : U 2 → R n , die stereographische
Projektion vom “Südpol” (0, . . . , 0, −1), durch
(
x 1
ϕ 1 (x) =
1 − x n+1 , . . . , x n )
1 − x n+1
(
x 1
ϕ 2 (x) =
1 + x n+1 , . . . , x n )
1 + x n+1 ,
wobei x = (x 1 , . . . , x n+1 ). Es ist ϕ 1 (U 1 ∩ U 2 ) = ϕ 2 (U 1 ∩ U 2 ) = R n \{0}, und man
berechnet ( ∑
für den Kartenwechsel ϕ 1 ◦ ϕ −1
2 (y) = ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 (y) = y/||y||2 , wobei ||y|| =
n
j=1 (yj ) ) 2 1/2 die euklidische Norm im R n ist. Die durch diesen Atlas definierte
C ∞ –Struktur der Sphäre bezeichnet man auch als die “Standardstruktur”.
1.7. Bemerkung. (Produkte von C k –Mannigfaltigkeiten sind C k –Mannigfaltigkeiten.)
Seien (M, A) und (N, B) zwei C k –Mannigfaltigkeiten. Dann ist
{(ϕ × ψ, U × V ) | (ϕ, U) ∈ A und (ψ, V ) ∈ B}
offensichtlich ein C k –Atlas für M × N mit der Produkttopologie. Dabei bezeichnet
ϕ × ψ : U × V → R m × R n ≃ R m+n die Abbildung (ϕ × ψ)(p, q) = (ϕ(p), ψ(q)).
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1.8. Bemerkung. (Offene Teilmengen von C k –Mannigfaltigkeiten sind C k –Mannigfaltigkeiten).
Sei (M, A) eine C k –Mannigfaltigkeit, und sei V ⊆ M offen. Dann
ist offensichtlich
{(ϕ| U∩V , U ∩ V ) | (ϕ, U) ∈ A}
ein C k –Atlas für V , versehen mit der Unterraumtopologie. Dabei bezeichnet ϕ| U∩V
die Restriktion von ϕ auf U ∩ V ⊆ U.
1.9. Definition. Seien (M, A) eine n–dimensionale C k –Mannigfaltigkeit, (M ′ , A ′ )
eine C k′ –Mannigfaltigkeit und l ≤ min(k, k ′ ). Eine stetige Abbildung f : M → M ′
heißt differenzierbar von der Klasse C l (oder eine C l –Abbildung), wenn gilt: Für
jedes (ϕ, U) ∈ A und (ϕ ′ , U ′ ) ∈ A ′ mit f(U) ∩ U ′ ≠ ∅ ist
ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1 : ϕ ( U ∩ f −1 (U ′ ) ) → ϕ ′ (f(U) ∩ U ′ ) ⊆ R n′
eine C l –Abbildung im üblichen Sinne des R n . Ist speziell (M ′ , A ′ ) die reelle Gerade,
versehen mit der Standardstruktur (1.6(d)), dann heißt f eine C l –Funktion.
Wir bemerken, dass die Teilmenge U ∩ f −1 (U ′ ) eine offene Teilmenge von U ist, da
f stetig ist und U ′ ⊆ M ′ offen. Also ist ϕ(U ∩ f −1 (U ′ )) offen in ϕ(U) und daher
in R n , da ϕ(U) offen in R n ist. Damit macht der Begriff der C l –Abbildung mit
Definitionsbereich ϕ(U ∩ f −1 (U ′ )) ⊆ R n ohne weiteres Sinn. Wir werden in 1.10
sehen, dass man die Bedingung der Differenzierbarkeit von ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1 nicht für
alle Karten in A und A ′ nachprüfen muss.
1.9.1. Bezeichnungen. Wir bezeichnen mit C l (M, N) die Menge der C l –Abbildungen
f : M → N. Diese Notation ist etwas ungenau, weil C l (M, N) von den
differenzierbaren Strukturen A und A ′ abhängt. Im Fall N = R schreiben wir
C l (M) := C l (M, R).
1.10. Lemma. In den Bezeichnungen von 1.9.1 gilt: f ∈ C l (M, M ′ ) genau dann,
wenn zu jedem p ∈ M Karten (ϕ, U) ∈ A an p und (ϕ ′ , U ′ ) ∈ A ′ an f(p) existieren,
so dass ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1 : ϕ ( U ∩ f −1 (U ′ ) ) → R n′ eine C l –Abbildung ist. Insbesondere
gilt für reellwertige Funktionen f ∈ C l (M) genau dann, wenn f ◦ ϕ −1 ∈ C l (ϕ(U))
ist für alle Karten (ϕ, U) eines beliebigen Atlas A 1 ⊆ A.
Beweis. Eine Implikation ist klar nach Definition von C l (M, M ′ ). Zum Beweis der
Umkehrung seien (ϕ 1 , U 1 ) ∈ A und (ϕ ′ 1, U ′ 1) ∈ A ′ beliebige Karten mit f(U 1 )∩U ′ 1 ≠
∅. Wir müssen zeigen, dass die Abbildung
ϕ ′ 1 ◦ f ◦ ϕ −1
1 : ϕ 1 (U 1 ∩ f −1 (U ′ 1)) → R n′
von der Klasse C l ist. Sei dazu x ∈ ϕ 1 (U 1 ∩ f −1 (U 1 ′ )). Dann gibt es Karten
(ϕ, U) mit p = ϕ −1
1 (x) ∈ U und (ϕ′ , U ′ ) mit f(p) ∈ U ′ , so dass ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1 eine
C l –Abbildung ist. Es ist
ϕ ′ 1 ◦ f ◦ ϕ−1 1 = ( ϕ ′ 1 ◦ (ϕ′ ) −1) ◦ ( ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1) ◦ ( ϕ ◦ ϕ −1 )
1
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auf dem Definitionsbereich der rechten Seite. Von den drei Faktoren der rechten
Seite ist der erste ein Kartenwechsel von der Klasse C k′ , der zweite eine C l –
Abbildung und der letzte C k . Wegen l ≤ min(k, k ′ ) ist nach der Kettenregel die
zusammengesetzte Abbildung von der Klasse C l in einer Umgebung von x. Da
x ∈ ϕ 1 (U 1 ∩ f −1 (U 1)) ′ beliebig war, folgt die Behauptung. QED
1.10.1. Beispiel. Seien (M, A) eine C k –Mannigfaltigkeit und (ϕ, U) ∈ A. Dann
ist ϕ ∈ C k (U, R n ). Das folgt aus dem Kriterium 1.10 und aus ϕ ◦ ϕ −1 = id.
1.11. Kettenregel. Seien f ∈ C k (M, N) und g ∈ C l (N, P ). Dann ist g ◦ f ∈
C s (M, P ), wobei s = min{k, l}.
Beweis. Wir verwenden das Kriterium 1.10. Sei p ∈ M. Wir wählen Karten (ϕ, U)
an p, (ϕ ′ , U ′ ) an f(p) und (ϕ ′′ , U ′′ ) an g(f(p)). Zu zeigen ist, dass ϕ ′′ ◦ (g ◦ f) ◦ ϕ −1
eine C s –Abbildung auf einer Umgebung von p ist. Nun ist
ϕ ′′ ◦ (g ◦ f) ◦ ϕ −1 = ( ϕ ′′ ◦ g ◦ (ϕ ′ ) −1) ◦ ( ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1) .
Der erste Faktor auf der rechten Seite ist von der Klasse C l , der zweite C k , und die
Kettenregel der Differentialrechnung im R n ergibt die Behauptung. QED
1.12. Definition. Seien M und N zwei C k –Mannigfaltigkeiten und 0 < l ≤ k.
Eine Abbildung f : M → N heißt ein C l –Diffeomorphismus, wenn f bijektiv ist,
f ∈ C l (M, N) und f −1 ∈ C l (N, M). Die Mannigfaltigkeiten M und N heißen C l –
diffeomorph, wenn es einen C l –Diffeomorphismus f : M → N gibt. Mit Diff l (M) =
bezeichnen wir die Menge der C l –Diffeomorphismen von M auf sich selbst. Diff l (M)
ist nach 1.11 eine Gruppe bezüglich der Komposition von Abbildungen, die C l –
Diffeomorphismengruppe von M.
1.13. Beispiel. Wir betrachten die aus je einer Karte bestehenden Atlanten
von R, Ā 1 = {(ϕ 1 , R)} und Ā2 = {ϕ 2 , R)} mit ϕ 1 (x) = x und ϕ 2 (x) = x 3 .
Seien A 1 und A 2 die entsprechenden maximalen C ∞ –Atlanten. Dann ist A 1 ≠ A 2 ,
weil ϕ −1
2 ◦ ϕ 1 /∈ C ∞ (R) ist. Also sind (R, A 1 ) und (R, A 2 ) verschiedene C ∞ –
Mannigfaltigkeiten. Sie sind jedoch diffeomorph. Ein C ∞ –Diffeomorphismus f :
(R, A 1 ) → (R, A 2 ) ist gegeben durch f(x) = x 1/3 . Es ist nämlich ϕ 2 ◦f ◦ϕ −1
1 (x) = x
und ϕ 1 ◦ f −1 ◦ ϕ −1
2 (x) = x.
Man kann leicht zeigen, dass alle C ∞ –Strukturen auf R C ∞ –diffeomorph sind, insbesondere
C ∞ –diffeomorph zur von der Karte (id, R) bestimmten Standardstruktur.
Gleiches gilt (mit schwierigerem Beweis) für R n , wenn n ≠ 4. Auf R 4 hingegen
gibt es, wie man seit 1983 weiß, “exotische” C ∞ –Strukturen A, für die (R 4 , A) nicht
C ∞ –diffeomorph zum Standard–R 4 ist.
1.14. Bemerkungen.
(a) Sind M und N zwei C k –Mannigfaltigkeiten (k ∈ {1, 2, . . . , ∞}) und sind M und
N C l –diffeomorph für ein l ∈ {1, . . . , k}, dann existiert auch ein C k –Diffeomorphismus
M → N. Ein Beweis findet sich im zweiten Kapitel von M. W. Hirsch, Differential
Topology, Springer–Verlag.
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(b) Es gibt C ∞ –Mannigfaltigkeiten, die zwar homöomorph zur 7–Sphäre S 7 sind,
aber nicht C ∞ –diffeomorph zu S 7 mit der Standard–C ∞ –Struktur aus Beispiel
1.6(e). Diese exotische Sphären wurden von J. Milnor 1956 entdeckt (Ann. Math.
64(1956), 399–405). Sie können also nach (a) nicht einmal C 1 –diffeomorph zur
Standard–S 7 sein.
Wegen 1.5 und 1.14(a) ist es für viele Zwecke keine wesentliche Einschränkung, wenn
man sich bei den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten auf C ∞ –Mannigfaltigkeiten
und C ∞ –Abbildungen beschränkt. Wir werden das im folgenden der Einfachheit
halber oft tun. Fast alle Definitionen und Resultate haben aber offensichtliche
Analoga, wenn man C ∞ durch C k mit jeweils hinreichend großem k ersetzt.
Aufgaben
1. Differenzierbarkeit. Erklären Sie, warum in Definition 1.9 vorausgesetzt
wurde, dass l ≤ min(k, k ′ ) gilt.
2. Sphäre. Wir definieren einen C ∞ –Atlas auf der Sphäre S n
A ′ = { (ϕ + i , U + i ), (ϕ− i , U − i ) | i = 1, . . . , n + 1 }
wie folgt. Es ist U i + = {x ∈ S n | x i > 0} und Ui − = {x ∈ S n | x i < 0}, und
ϕ +−
i : U +−
i → R n bezeichnet die Projektion
ϕ +−
i (x 1 , . . . , x n+1 ) = (x 1 , . . . , ̂x i , . . . , x n+1 ),
welche die i–te Komponente x i von x fortlässt. Zeigen Sie, dass A ′ ein C ∞ –Atlas
ist, der dieselbe C ∞ –Struktur auf S n definiert wie der Atlas aus Beispiel 1.6(e).
3. Atlanten. Sei D n der offene Einheitsball D n = {x ∈ R n | ‖x‖ < 1} mit der
euklidischen Norm ‖x‖ = ( ∑ n
j=1 (xj ) 2) 1/2 .
(a) Finden Sie einen einen C ∞ –Diffeomorphismus von D n auf R n .
(b) Sei M eine n–dimensionale C k –Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass die C k –
Struktur von M einen C k –Atlas {(ϕ α , U α ) | α ∈ Λ} enthält mit der Eigenschaft
ϕ α (U α ) = R n für alle α ∈ Λ.
4. Beispiele. Welche der folgenden topologischen Räume sind topologische Mannigfaltigkeiten?
X 1 = {(x, y) ∈ R 2 | xy = 0}
X 2 = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ∈ Q\{0}},
jeweils versehen mit der von R 2 induzierten Unterraumtopologie;
X 3 = {(x, y) ∈ R 2 | y = 0 oder (x, y) = (0, 1)}
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versehen mit der kleinsten Topologie, die folgende Mengen enthält: alle offenen
Teilmengen der x–Achse im üblichen Sinne und alle Mengen der Gestalt {(x, y) ∈
X 3 | 0 < |x| < ɛ} für ɛ > 0;
X 4 = R × A
mit der Produkttopologie, wobei R mit der üblichen Topologie versehen ist und
A = R mit der diskreten Topologie. Wir nennen diese Produkttopologie die “horizontale”
Topologie des R 2 . Wie sehen ihre offenen Mengen aus?
5. Atlanten für Mengen. Diese Aufgabe zeigt, wie man auf Mengen die Struktur
einer Mannigfaltigkeit definieren kann, ohne zuerst die Topologie festzulegen. Seien
M eine Menge und n eine natürliche Zahl. Ein n–dimensionaler Atlas für M ist
eine Menge von Paaren A = {(ϕ α , U α ) | α ∈ Λ}, wobei U α ⊂ M und M = ⋃ α∈Λ U α
ist, mit den folgenden Eigenschaften: Für alle α, β ∈ Λ gilt
(i) ϕ α ist eine injektive Abbildung von U α nach R n ,
(ii) ϕ α (U α ) ist offen in R n , ebenso ϕ α (U α ∩ U β ), und
(iii) ϕ β ◦ ϕ α −1 : ϕ α (U α ∩ U β ) → ϕ β (U α ∩ U β ) ist ein Homöomorphismus.
Zeigen Sie, dass durch die Festlegung
U ⊂ M offen :⇔ ϕ α (U α ∩ U) ⊂ R n ist offen für alle α ∈ Λ
eine Topologie auf M definiert wird. Wenn diese Topologie hausdorffsch ist und
der Atlas abzählbar (d.h. die Indexmenge Λ abzählbar), so wird M zu einer topologischen
Mannigfaltigkeit und A zu einem Atlas im Sinne von Definition 1.2 der
Vorlesung.
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2. Untermannigfaltigkeiten
In diesem Abschnitt führen wir zunächst eine besonders wichtige Klasse differenzierbarer
Mannigfaltigkeiten ein, die der Untermannigfaltigkeiten von R n . Danach
werden Untermannigfaltigkeiten beliebiger Mannigfaltigkeiten behandelt.
2.1. Differentialrechnung im R n . Sei f : R n → R m differenzierbar. Die
Ableitung von f an der Stelle x ∈ R n ist eine lineare Abbildung Df(x) : R n → R m ,
definiert durch
1
Df(x)v = lim
t→0 t (f(x + tv) − f(x)) = d dt∣ f(x + tv).
0
Ist f selbst linear, dann ist offensichtlich Df(x) = f für alle x ∈ R n . Bezüglich der
Standardbasen in R n und R m entspricht Df(x) die Jacobimatrix (oder Funktionalmatrix)
Jf(x) =
( ∂f
i
∂x j (x) )
i=1,...,m
j=1,...,n
=
⎛
⎜
⎝
∂f 1
∂x 1 (x) · · ·
.
∂f m
∂x
(x) · · ·
1
∂f 1
∂x n (x)
.
∂f m
∂x
(x) n
Es gilt die Kettenregel: Sind f : R n → R m und g : R m → R l differenzierbar, dann
ist auch g ◦ f differenzierbar, und es ist
D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) ◦ Df(x).
Die Jacobimatrix J(g ◦ f) erhält man daher als Matrixprodukt J(g ◦ f)(x) =
Jg(f(x)) · Jf(x).
Seien U, V ⊆ R n offen. Eine Abbildung f : U → V heißt ein C k –Diffeomorphismus
von U auf V , wenn f bijektiv ist und sowohl f als auch f −1 C k –Abbildungen sind.
Diese Definition stimmt offenbar mit der in 1.12 gegebenen überein, wenn man die
offenen Mengen V und W wie in 1.8 als Mannigfaltigkeiten betrachtet. Aus der
Infinitesimalrechnung bekannt ist der
Satz über inverse Funktionen. Seien U, V ⊆ R n offen, f : U → V eine C k –
Abbildung (k ≥ 1) und x 0 ∈ U. Ist Df(x 0 ) ein Vektorraumisomorphismus, dann
existieren offene Umgebungen U ′ ⊆ U von x 0 und V ′ ⊆ V von f(x 0 ) dergestalt,
dass die Einschränkung f| U ′ ein C k –Diffeomorphismus von U ′ auf V ′ ist.
2.2. Satz (Äquivalente Definitionen einer Untermannigfaltigkeit von Rn+l ). Für
Teilmengen M ⊆ R n+l und k ∈ {1, 2, 3, . . . , ∞} sind folgende Aussagen äquivalent:
Version: 18. Februar 2000
8
⎞
⎟
⎠

(a) Zu jedem x 0 ∈ M gibt es eine offene Umgebung U von x 0 in R n+l und eine
C k –Abbildung f : U → R l mit Rang (Df(x)) = l für alle x ∈ U dergestalt, dass
U ∩ M = f −1 (0) := {x ∈ U | f(x) = 0}.
(b) Zu jedem x 0 ∈ M gibt es eine offene Umgebung U von x 0 in R n+l und eine
Abbildung ϕ : U → R n+l mit folgenden Eigenschaften: ϕ(U) ⊆ R n+l ist offen, ϕ
ist ein C k –Diffeomorphismus von U auf ϕ(U), und
ϕ(U ∩ M) = ϕ(U) ∩ (R n × {0})
= {(y 1 , . . . , y n+l ) ∈ ϕ(U) | y n+1 = · · · = y n+l = 0}.
(c) Zu jedem x 0 ∈ M gibt es eine offene Umgebung U von x 0 in R n+l , eine offene
Teilmenge W ⊆ R n und eine C k –Abbildung ψ : W → U mit den Eigenschaften
(1) ψ ist ein Homöomorphismus von W auf U ∩ M und
(2) die Ableitung Dψ(w) ist injektiv für alle w ∈ W .
Jedes solche ψ heißt eine lokale Parametrisierung von M.
Die Eigenschaften (a), (b) und (c) kann man etwa wie folgt zusammenfassen. Die
Bedingung in (a) besagt, dass U ∩ M durch l unabhängige (im Sinne der Rangbedingung)
Gleichungen f 1 (x) = 0, . . . , f l (x) = 0 definiert ist, die in (b), dass U ∩ M
nach Anwendung eines Diffeomorphismus ϕ wie eine offene Teilmenge eines linearen
Unterraums von R n+l aussieht. Bedingung (c) schließlich besagt, dass M
lokal parametrisiert werden kann.
2.3. Definitionen. Wenn M ⊆ R n+l eine (und damit jede) der Bedingungen
(a), (b) und (c) aus Satz 2.2 erfüllt, dann heißt M eine n–dimensionale C k –
Untermannigfaltigkeit von R n+l . Die Zahl l heißt die Kodimension von M. Für
n = 2 und l = 1 heißt M eine Fläche im R 3 . Für beliebiges n und l = 1 heißt M
eine Hyperfläche im R n+1 .
Wir werden in Satz 2.4 sehen, dass C k –Untermannigfaltigkeiten des R n+l selbst
C k –Mannigfaltigkeiten sind, geben aber zunächst den Beweis von Satz 2.2.
(a)⇒(b) Seien U und f wie in (a), f 1 , . . . , f l die Komponenten von f. Nach
eventuellem Umnummerieren der Koordinaten kann man annehmen, dass die (l×l)–
Matrix (∂f i /∂x n+j ) i,j=1,...,l an der Stelle x 0 invertierbar ist. Sei ϕ : U → R n+l
die Abbildung ϕ(x) = (x 1 , . . . , x n , f 1 (x), . . . , f l (x)). Dann hat die Jacobimatrix
Jϕ(x 0 ) die Gestalt
Jϕ(x 0 ) =
( )
In×n
( 0 )
. . . ∂f
i ,
∂x
(x n+j 0 )
wobei I n×n die (n × n)–Einheitsmatrix bezeichnet. Insbesondere ist die Determinante
( ) ∂f
i
det Jϕ(x 0 ) = det
∂x n+j (x 0) ≠ 0.
9
i,j=1,...,l

Nach dem Satz über inverse Funktionen existieren Umgebungen U ′ ⊆ U von x 0 und
V ′ = ϕ(U ′ ) von ϕ(x 0 ) dergestalt, dass ϕ| U ′ : U ′ → V ′ ein C k –Diffeomorphismus
ist. Wir zeigen
ϕ(U ′ ∩ M) = { (y 1 , . . . , y n+l ) ∈ ϕ(U ′ ) | y n+1 = · · · = y n+l = 0 } .
Die Inklusion “⊆” ist klar nach Definition von ϕ. Ist umgekehrt y ein Element der
rechten Seite, dann existiert x ∈ U ′ mit y = ϕ(x) und f(x) = 0. Da x ∈ U ist und
f(x) = 0, folgt x ∈ U ∩ M. Also ist x ∈ U ′ ∩ M und y ∈ ϕ(U ′ ∩ M).
(b)⇒(c) Seien U und ϕ wie in (b). Sei π : R n+l = R n × R l → R n die Projektion
und sei i : R n → R n+l die Abbildung
π(x 1 , . . . , x n+l ) = (x 1 , . . . , x n ),
i(x 1 , . . . , x n ) = (x 1 , . . . , x n , 0, . . . , 0).
Wir setzen W = π(ϕ(U ∩ M)) und definieren ψ : W → U als ψ = ϕ −1 ◦ i. Dann
ist W offen. Die Abbildung ψ ist ein Homöomorphismus von W auf U ∩ M, da i
ein Homöomorphismus von W auf ϕ(U ∩ M) und ϕ −1 ein Homöomorphismus von
ϕ(U ∩ M) auf U ∩ M ist. Nach der Kettenregel gilt für w ∈ W :
Dψ(w) = D(ϕ −1 )(i(w)) ◦ Di(w) = (Dϕ(ψ(w))) −1 ◦ i,
da i eine lineare Abbildung ist. Also ist Dψ(w) injektiv.
(c)⇒(a) Seien ψ, W und U wie in (c). Sei ψ(w 0 ) = x 0 . Wegen Rang (Dψ(w 0 )) = n
kann man nach eventuellem Umnummerieren der Koordinaten annehmen, dass die
(n × n) Matrix
( ∂ψ
i )
∂w j (w 0)
i,j=1,...,n
invertierbar ist. Wir definieren g : W × R l → R n+l durch g(w, y) = ψ(w) + (0, y),
das heißt also
g(w 1 , . . . , w n ,y 1 , . . . , y l ) =
(
ψ 1 (w), . . . , ψ n (w), ψ n+1 (w) + y 1 , . . . , ψ n+l (w) + y l) .
Dann ist die Jacobimatrix
Jg(w 0 , 0) =
( (
∂ψ i /∂w j (w 0 ) ) )
0
i,j=1,...,n
. . . I l×l
invertierbar. Also existieren Umgebungen V ⊆ W × R l von (w 0 , 0) und U ′ von
g(w 0 , 0) = x 0 so, dass g : V → U ′ ein C k –Diffeomorphismus ist. Indem man V
nötigenfalls verkleinert, kann man annehmen, dass U ′ ⊆ U ist.
10

Die Menge {w ∈ W | (w, 0) ∈ V } ist offen in W , und da ψ nach Voraussetzung ein
Homöomorphismus von W auf ψ(W ) ist, ist ihr Bild {ψ(w) | (w, 0) ∈ V } offen in
ψ(W ). Nach Definition der Unterraumtopologie gibt es daher eine offene Teilmenge
U ′′ ⊆ R n+l so, dass {ψ(w) | (w, 0) ∈ V } = U ′′ ∩ ψ(W ). Wegen ψ(w) = g(w, 0) ist
dies gleichbedeutend mit
U ′′ ∩ ψ(W ) = g(V ∩ (W × {0})).
Sei schließlich Ũ = U ′ ∩ U ′′ und Ṽ = (g| V ) −1 (Ũ) = g−1 (Ũ) ∩ V . Dann ist g| Ṽ
C k –Diffeomorphismus von Ṽ auf Ũ. Wir behaupten, dass gilt
Ũ ∩ M = g(Ṽ ∩ (Rn × {0})).
(∗)
ein
(∗∗)
Nach (∗) ist U ′′ ∩ ψ(W ) ⊆ g(V ) = U ′ , also Ũ ∩ ψ(W ) = g(V ∩ (W × {0}). Wegen
ψ(W ) = U ∩ M und
folgt die Behauptung (∗∗).
V ∩ (W × {0}) = V ∩ (R n × {0}) = Ṽ ∩ (Rn × {0})
Ist nun π : R n+l → R l die Projektion auf die letzten l Komponenten, dann erfüllt
f := π ◦ (g|Ṽ ) −1 : Ũ → Rl die Bedingungen von (a). QED
2.4. Satz. Sei M ⊆ R n eine n–dimensionale C k –Untermannigfaltigkeit, versehen
mit der Unterraumtopologie. Sei {ψ α : W α → U α ∩ M | α ∈ Λ} eine Menge lokaler
Parametrisierungen (siehe 2.1(c)) dergestalt, dass M ⊆ ⋃ α∈Λ U α. Dann ist
ein C k –Atlas für M.
A = {(ψ −1
α , U α ∩ M) | α ∈ Λ}
Bemerkung. Die Unterraumtopologie auf M ist hausdorffsch und hat eine abzählbare
Basis, da sie diese Eigenschaften von R n+l erbt. Also ist M eine C k –Mannigfaltigkeit.
Beweis von Satz 2.4. Dass A ein Atlas ist (Definition 1.2), folgt unmittelbar aus der
Definition der lokalen Parametrisierung. Wir zeigen: Für (U α ∩ M) ∩ (U β ∩ M) ≠ ∅
ist der Kartenwechsel
ψ −1
β
◦ ψ α : ψα
−1 (U α ∩ U β ∩ M) → ψ −1
β (U α ∩ U β ∩ M)
eine C k –Abbildung. Da ψ −1
β
nicht auf einer offenen Teilmenge von R n+l definiert
ist, ist die Kettenregel nicht unmittelbar anwendbar, und wir müssen etwas anders
argumentieren. Sei x ∈ ψα
−1 (U α ∩U β ∩M). Wir zeigen, dass ψ −1
β
in einer Umgebung
von x differenzierbar von der Klasse C k ist. Nach 2.2(b) gibt es eine Umgebung
11

U ⊆ U α ∩ U β von ψ α (x) ∈ M in R n+l und einen C k –Diffeomorphismus ϕ : U →
ϕ(U) ⊆ R n+l dergestalt, dass gilt
ϕ(M ∩ U) = ϕ(U) ∩ (R n × {0}).
Sei π : R n+l ≃ R n × R l → R n die Projektion auf die ersten n Komponenten und
sei i : R n → R n+l die Inklusion i(x) = (x, 0). Auf ϕ(M ∩ U) ⊆ R n × {0} ist i ◦ π
die Identität. Daher ist auf ψα −1 (U ∩ M)
ψ −1
β
◦ ψ α = ψ −1
β
◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ ψ α = (ψ −1
β ◦ ϕ−1 ◦ i) ◦ (π ◦ ϕ ◦ ψ α ).
Nun sind sowohl ψ −1
β
◦ ϕ−1 ◦ i = (π ◦ ϕ ◦ ψ β ) −1 als auch π ◦ ϕ ◦ ψ α C k –Abbildungen
zwischen offenen Teilmengen von R n , also auch ihre Zusammensetzung ψ −1
β ◦ ψ α.
QED
2.5. Spezialfälle. Wichtige Spezialfälle von 2.2 sind Niveaumengen und (global)
parametrisierte Untermannigfaltigkeiten im R n .
(a) Niveaumengen. Seien V ⊆ R n+l eine offene Teilmenge, f : V → R l eine
C k –Abbildung und c ∈ R l . Es gelte Rang (Df(x)) = l in jedem Punkt x der
Niveaumenge
f −1 (c) = {x ∈ V | f(x) = c}.
Dann ist f −1 (c) eine n–dimensionale C k –Untermannigfaltigkeit von R n+l .
Beweis. Die Aussage folgt aus Kriterium 2.2(a), angewandt auf die Abbildung
f − c : x ↦→ f(x) − c. Es bleibt nur zu zeigen, dass Rang Df(x) = l auf einer
Umgebung U von f −1 (c) gilt, nicht nur auf der Niveaumenge selbst. Dazu sei
x 0 ∈ f −1 (c). Da Rang Df(x 0 ) = l ist, existiert eine (l × l)–Unterdeterminante A(x)
von det(Df(x)) mit A(x 0 ) ≠ 0. Die Funktion x ↦→ A(x) ist stetig, weil f ∈ C 1
ist. Daher ist A(x) ≠ 0 auf einer Umgebung U(x 0 ) des Punktes x 0 . Es folgt
Rang Df(x) = l auf U(x 0 ). Wir setzen U = ⋃ x 0∈f −1 (c) U(x 0). QED
Derartige Niveaumengen sind also “global” durch im Sinne einer Rangbedingung
unabhängige Gleichungen
definierte Untermannigfaltigkeiten.
f 1 (x) = 0, . . . , f l (x) = 0
(b) Parametrisierte Untermannigfaltigkeiten. Sei W ⊆ R n offen, und sei
ψ : W → R n+l eine C k –Abbildung mit Rang Dψ(w) = n für alle w ∈ W . Wir
setzen voraus, dass ψ ein Homöomorphismus von W auf ψ(W ) ist. Dann ist ψ(W )
eine C k –Untermannigfaltigkeit von R n+l . Dies folgt nach Kriterium 2.2(c) mit
U = R n+l . Im Spezialfall n = 2 und l = 1 nennt man ψ(W ) eine parametrisierte
Fläche im R 3 .
2.5.1. Rotationsflächen. Eine Klasse von Beispielen zu 2.5(b) liefern parametrisierte
Rotationsflächen (oder Drehflächen) im R 3 . Wir rotieren etwa die Kurve
12

x = a cos u + b, z = a sin u (0 < u < 2π) in der xz–Ebene (wobei a < b Konstanten
sind) um die z–Achse:
⎛
⎝ x y
z
⎞ ⎛
⎞ ⎛
cos v − sin v 0
⎠ = ⎝ sin v cos v 0 ⎠
0 0 1
Dann definiert ϕ : (0, 2π) × (0, 2π) → R 3 ,
⎝ a cos u + b
0
a sin u
⎛
⎞
(a cos u + b) cos v
ϕ(u, v) = ⎝ (a cos u + b) sin v ⎠
a sin u
⎞ ⎛
⎞
(a cos u + b) cos v
⎠ = ⎝ (a cos u + b) sin v ⎠ .
a sin u
eine parametrisierte Fläche: Die Torusfläche, aus der die Kreise u = 0 und v = 0
entfernt sind.
2.5.2. Wir erläutern die Voraussetzungen in 2.5(b) an einfachen Beispielen.
(a) Sei ψ : R → R 2 die Abbildung ψ(t) = (t 3 , t 3 ). Dann hat Dψ(0) = (0, 0) T den
Rang 0. Dennoch ist das Bild ψ(R) eine C ∞ –Untermannigfaltigkeit von R 2 .
(b) Nun sei ψ : R → R 2 definiert als ψ(t) = (t 2 , t 3 ). Hier ist ebenfalls Dψ(0) =
(0, 0) T . In diesem Fall ist aber ψ(R) keine C 1 –Untermannigfaltigkeit von R 2 .
(c) Die durch ψ(t) = (sin(t), sin(2t)) definierte Abbildung ψ : (0, 2π) → R 2 ist
stetig und injektiv, und es gilt
Rang Dψ(t) = Rang
( )
cos(t)
= 1
2 cos(2t)
für alle t ∈ (0, 2π). Die Abbildung ψ ist aber kein Homöomorphismus von (0, 2π)
auf das Bild ψ((0, 2π)), denn im Gegensatz zu (0, 2π) ist ψ((0, 2π)) kompakt. Das
Bild ψ((0, 2π)) ist keine topologische Mannigfaltigkeit, daher auch keine Untermannigfaltigkeit
von R 2 .
2.6. Lemma (Ein Kriterium für Differenzierbarkeit).
(a) Sei M ⊆ R n eine C k –Untermannigfaltigkeit, N eine beliebige C k′ –Mannigfaltigkeit.
Sei f ∈ C s (R n , N). Dann ist die Einschränkung f| M ∈ C s (M, N).
(b) Sei M eine C k –Mannigfaltigkeit, N ⊆ R n eine C k′ –Untermannigfaltigkeit. Sei
f ∈ C s (M, R n ) mit f(M) ⊆ N. Dann ist f ∈ C s (M, N).
Wir werden den Beweis in 2.11 in allgemeinerem Rahmen nachholen. Mit Hilfe des
Lemmas lässt sich die Differenzierbarkeit von Abbildungen oft unmittelbar einsehen,
leichter als unter Verwendung von 1.9 oder 1.10. Ist etwa f : R 3 → R die Abbildung
( )
xy
f(x, y, z) = arctan
1 + e cos z ,
13

dann ist f| S 2 eine C ∞ –Funktion auf S 2 bezüglich der durch 1.6 gegebenen Standard-C
∞ –Struktur auf der 2–Sphäre S 2 ⊆ R 3 .
2.7. Beispiel. Der Zylinder M = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 +y 2 = 1} ist als Niveaumenge
von f(x, y, z) = x 2 + y 2 eine C ∞ –Untermannigfaltigkeit von R 3 (siehe 2.4(a)). Die
punktierte Ebene N = R 2 \ {0} ist als offene Teilmenge der C ∞ – Mannigfaltigkeit
R 2 ebenfalls eine C ∞ –Mannigfaltigkeit. Sei ϕ : M → N die Abbildung ϕ(x, y, z) =
(e z x, e z y). Dann ist ϕ bijektiv, ϕ ∈ C ∞ (M, N) nach 2.6(a) und man berechnet
(
ϕ −1 u
(u, v) = √
u2 + v , v
√ 2 u2 + v , 1 )
2 2 ln(u2 + v 2 ) .
Nach 2.6(b) ist also auch ϕ −1 ∈ C ∞ (N, M). Daher ist ϕ ein C ∞ –Diffeomorphismus
des Zylinders auf die punktierte Ebene.
Wir betrachten nun Untermannigfaltigkeiten beliebiger Mannigfaltigkeiten.
2.8. Definition. Sei (N, A) eine C k –Mannigfaltigkeit der Dimension n. Eine
Teilmenge M ⊆ N heißt eine m–dimensionale Untermannigfaltigkeit von N wenn
folgendes gilt: Zu jedem p ∈ M existiert eine Karte (ϕ, U) ∈ A mit p ∈ U und mit
der Eigenschaft
ϕ(U ∩ M) = ϕ(U) ∩ (R m × {0}).
Jede solche Karte (ϕ, U) heißt eine an M angepasste Karte.
2.9. Bemerkungen. (a) Für N = R n mit der üblichen C k –Struktur ist das die
Definition aus 2.2(b).
(b) Man kann die Definition noch erweitern, indem man für k ≤ l ≤ ∞ den Begriff
der C k –Untermannigfaltigkeit einer C l –Mannigfaltigkeit einführt. Mit 2.2.(b)
haben wir das im Spezialfall l = ∞, N = R n bereits getan, und diese Definition
(mit Hilfe von C k –Diffeomorphismen ϕ) lässt sich in naheliegender Weise verallgemeinern.
(c) Jede offene Teilmenge U ⊆ N ist eine n–dimensionale Untermannigfaltigkeit von
N. Jede Einpunktmenge {p} mit p ∈ N, oder allgemeiner jede diskrete Teilmenge
von N ist eine 0–dimensionale Untermannigfaltigkeit von N.
(d) Seien (N, A) und (N ′ , A ′ ) zwei C k –Mannigfaltigkeiten und sei f : N → N ′ ein
C k –Diffeomorphismus. Eine Teilmenge M ⊆ N ist genau dann eine Untermannigfaltigkeit
von N, wenn ihr Bild f(M) eine Untermannigfaltigkeit von N ′ ist. Ist
nämlich (ϕ, U) eine an M angepasste Karte, dann ist (ϕ◦f −1 , f(U)) eine an das Bild
f(M) angepasste Karte. Diffeomorphismen bilden also Untermannigfaltigkeiten auf
Untermannigfaltigkeiten ab.
2.10. Lemma. (Untermannigfaltigkeiten von C k –Mannigfaltigkeiten sind selbst
C k –Mannigfaltigkeiten). Seien (N, A) eine n–dimensionale C k –Mannigfaltigkeit
14

und M ⊆ N eine m–dimensionale Untermannigfaltigkeit von N. Sei π : R n → R m
die Projektion π(x 1 , . . . , x n ) = (x 1 , . . . , x m ). Dann ist
{ (π ◦ ϕ| U∩M , U ∩ M) | (ϕ, U) ∈ A an M angepasste Karte }
ein C k –Atlas. Damit wird M selbst zu einer C k –Mannigfaltigkeit.
Beweis. Sei i : R m → R n die Inklusion i(x) = (x, 0). Sind (ϕ 1 , U 1 ) und (ϕ 2 , U 2 ) an
M angepasste Karten, dann ist
(π ◦ ϕ 2 ) ◦ (π ◦ ϕ 1 ) −1 = π ◦ ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 ◦ i
eine C k –Abbildung, weil der Kartenwechsel ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 eine C k –Abbildung ist. QED
2.11. Lemma. Seien M 1 ⊆ N 1 und M 2 ⊆ N 2 Untermannigfaltigkeiten der C k –
Mannigfaltigkeiten N 1 und N 2 , und sei f ∈ C k (N 1 , N 2 ). Es gelte f(M 1 ) ⊆ M 2 .
Dann ist f| M1 ∈ C k (M 1 , M 2 ), wobei M 1 und M 2 mit den durch 2.10 gegebenen
C k –Strukturen versehen sind.
Beweis. Sei p ∈ M 1 und sei (ϕ 1 , U 1 ) eine an M 1 angepasste Karte mit p ∈ U 1 ,
(ϕ 2 , U 2 ) eine an M 2 angepasste Karte mit f(p) ∈ U 2 . Seien π und i wie im Beweis
von 2.10. Dann gilt auf (π ◦ ϕ 1 )(U 1 ∩ f −1 (U 2 ))
(π ◦ ϕ 2 ) ◦ f ◦ (π ◦ ϕ 1 ) −1 = π ◦ (ϕ 2 ◦ f ◦ ϕ −1
1 ) ◦ i
Nach Voraussetzung ist ϕ 2 ◦ f ◦ ϕ −1
1 eine C k –Abbildung. Lemma 1.10 impliziert die
Behauptung. QED
Aufgaben
1. Niveaumengen. Sei f : R 3 → R die Funktion f(x, y, z) = x 2 + y 2 + az 2 . Für
a = 0, a = 1 und a = −1 skizziere man die Niveaumengen f −1 (c) = {(x, y, z) ∈
R 3 | f(x, y, z) = c} mit c ∈ R. Welche sind Untermannigfaltigkeiten von R 3 ?
Welche enthalten kritische Punkte von f?
2. Torus. (a) Sei T der Quotientenraum R 2 /Z 2 , versehen mit der Quotiententopologie.
Dann existiert genau eine C ∞ -Struktur auf T mit der Eigenschaft, dass
die kanonische Projektion pr : R 2 → T ein lokaler C ∞ –Diffeomorphismus ist: Jeder
Punkt p ∈ R 2 hat eine offene Umgebung U, die durch die Einschränkung pr| U diffeomorph
auf eine offene Teilmenge von T abgebildet wird.
(b) Zeigen Sie, dass
S 1 × S 1 = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) | x 2 1 + x2 2 = 1 und x2 3 + x2 4 = 1}
eine C ∞ –Untermannigfaltigkeit von R 4 ist.
15

(c) Finden Sie einen C ∞ –Diffeomorphismus von T auf S 1 × S 1 .
(d) Finden Sie einen C ∞ –Diffeomorphismus von T auf den Rotationstorus M ⊆ R 3 ,
der (mit a > r) definiert ist durch
M = { (x, y, z) | z 2 + ( √ x 2 + y 2 − a) 2 = r 2 }.
(e) Sei L ⊆ T das Bild der Geraden {(x, y) ∈ R 2 | y = ax + b} unter der Projektion
pr. Dann gilt : L ist dicht in T genau dann, wenn a irrational ist.
3. Liegruppen. (a) Zeigen Sie, dass folgende Gruppen C ∞ –Untermannigfaltigkeiten
des Raumes R n×n der rellen (n × n)–Matrizen sind:
GL(n, R) = {A ∈ R n×n | A invertierbar}
SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R) | det(A) = 1}
O(n) = {A ∈ GL(n, R) | AA t = E}
Hinweis zu O(n): Betrachten Sie die durch f(A) = AA t definierte Abbildung f :
R n×n → R n(n+1)/2 in den Vektorraum Sym(n, R) ∼ = R n(n+1)/2 der symmetrischen
(n × n)–Matrizen.
(b) Für G wie in (a) sind die Matrixmultiplikation µ : G×G → G und die Inversion
ι : G → G, ι(A) = A −1 C ∞ –Abbildungen.
Definition. Ein Tripel (G, µ, A), bestehend aus einer C ∞ –Mannigfaltigkeit (G, A)
mit einer Gruppenstruktur µ : G × G → G, heißt eine Liegruppe, wenn µ und die
Inversion ι : G → G C ∞ –Abbildungen sind.
4. Untermannigfaltigkeiten von R 2 . Sei M = {(x, y) ∈ R 2 | y 2 = x 3 },
versehen mit der von R 2 definierten Unterraumtopologie.
(a) M ist keine C 1 –Untermannigfaltigkeit von R 2 (mit der üblichen C ∞ –Struktur).
(b) Finden Sie einen Homöomorphismus von M auf R. Verwenden Sie diesen, um
auf M die Struktur einer C ∞ –Mannigfaltigkeit zu definieren.
(c) Finden Sie eine C ∞ –Struktur A auf R 2 (versehen mit der üblichen Topologie)
dergestalt, dass M zu einer C ∞ –Untermannigfaltigkeit von (R 2 , A) wird. Hinweis:
Es genügt ein aus einer Karte ϕ : R 2 → R 2 bestehender Atlas.
16

3. Tangentialvektoren
Dass sich die anschaulichen Begriffe des Tangentialvektors und der Tangentialebene
an eine Fläche im dreidimensionalen Raum auf abstrakte Mannigfaltigkeiten übertragen
lassen, die nicht in einen euklidischen Raum eingebettet sind, ist zunächst
alles andere als offensichtlich. Der Begriff des Tangentialvektors an eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit lässt sich aber auf verschiedene Arten einführen. Dieser
Abschnitt enthält einige dieser Definitionen und erklärt, in welchem Sinne sie äquivalent
sind. Wir beschränken uns im Folgenden der Einfachheit halber auf C ∞ –
Mannigfaltigkeiten. Differenzierbarkeit bedeutet also Differenzierbarkeit von der
Klasse C ∞ , soweit nichts anderes festgelegt wird.
3.1. Untermannigfaltigkeiten von R k . Sei M ⊆ R k eine n–dimensionale
differenzierbare Untermannigfaltigkeit, und sei p ∈ M. Wir definieren provisorisch
den Tangentialraum T p M von M im Punkt p als die Menge aller Paare (p, v) ∈
M × R k mit folgender Eigenschaft:
Es existieren eine Zahl ε > 0 und eine C ∞ –Kurve c : (−ε, ε) → M mit
c(0) = p und (dc/dt)(0) = v.
Jedes solche Paar nennen wir einen Tangentialvektor in p. Tangentialvektoren in
p sind also, grob gesprochen, Geschwindigkeitsvektoren von Kurven, die in M verlaufen
und zum Zeitpunkt t = 0 durch den Punkt p gehen. Man stellt sich ein
Element (p, v) ∈ T p M als einen Vektor (Pfeil) mit Fußpunkt p vor. Diese anschaulich
naheliegende Definition der Tangentialräume hat den Nachteil, dass sie
sich nicht unmittelbar auf beliebige C ∞ –Mannigfaltigkeiten verallgemeinern lässt.
Wir werden sie deshalb durch eine andere, allgemein verwendbare Definition ersetzen,
die aber für den Fall von Untermannigfaltigkeiten M ⊆ R k im Wesentlichen
dasselbe ergibt wie T p M. Zunächst aber zeigen wir, dass T p M ein Vektorraum ist.
Lemma. Seien M ⊆ R k eine n–dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit
und p ∈ M. Dann gilt für jede lokale Parametrisierung ψ : W → U ⊆ M mit
ψ(w) = p
T p M = {p} × Dψ(w)(R n ).
Insbesondere ist also T p M ein n–dimensionaler Vektorraum mit den Operationen
λ 1 (p, v) + λ 2 (p, v 2 ) = (p 1 λ 1 v 1 + λ 2 v 2 )
für Skalare λ i ∈ R und Vektoren (p, v i ) ∈ T p M.
Beweis. Sei zunächst (p, v) ∈ T p M. Zu zeigen ist, dass ein ξ ∈ R n existiert mit
v = Dψ(w)ξ. Dazu wählen wir eine differenzierbare Kurve c : (−ε, ε) → M mit
Version: 18. Februar 2000
17

c(0) = p und dc/dt(0) = v. Nach Verkleinerung von ε kann man annehmen, dass
c((−ε, ε)) ⊆ ψ(W ) gilt. Dann ist ψ −1 ◦ c ∈ C ∞ ((−ε, ε), W ). Dies folgt aus der
Kettenregel 1.11, da wegen 2.4 ψ −1 eine Karte, also C ∞ –differenzierbar ist. Damit
ist
v = dc
dt (0) = d dt∣ (ψ ◦ ψ −1 ◦ c) = Dψ(w) d 0
dt ∣ (ψ −1 ◦ c).
0
Umgekehrt sei nun ξ ∈ R n gegeben. Dann gilt für die Kurve c(t) = ψ(w + tξ)
und daher (p, Dψ(w)ξ) ∈ T p M. QED
Dψ(w)ξ = d dt∣ ψ(w + tξ) = dc
0
dt (0),
3.2. Definition (geometrische Definition der Tangentialräume). Sei M eine differenzierbare
Mannigfaltigkeit, und seien c i = (−ε i , ε i ) → M (ε i > 0, i = 1, 2) zwei
differenzierbare Kurven mit c 1 (0) = c 2 (0) = p ∈ M. Die Kurven c 1 und c 2 heißen
äquivalent (Schreibweise: c 1 ∼ c 2 ), wenn eine Karte (ϕ, U) mit p ∈ U existiert, so
dass
d(ϕ ◦ c 1 )
dt
(0) = d(ϕ ◦ c 2)
(0). (∗)
dt
Wir werden gleich sehen, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge der C ∞ -
Kurven c mit c(0) = p ist. Jede Äquivalenzklasse [c] heißt ein (geometrischer)
Tangentialvektor an M im Punkt p. Die Menge Tp
geo M aller Tangentialvektoren in
p heißt der (geometrische) Tangentialraum von M in p.
Bemerkung. Wenn die Bedingung (∗) für eine Karte (ϕ, U) an p gilt, dann für
jede. Ist nämlich (ϕ 1 , U 1 ) eine weitere Karte an p, dann gilt
d(ϕ 1 ◦ c 1 )
dt
(0) = d dt∣ (ϕ 1 ◦ ϕ −1 ◦ ϕ ◦ c 1 )
0
= D(ϕ 1 ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) d(ϕ ◦ c 1)
(0)
dt
= D(ϕ 1 ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) d(ϕ ◦ c 2)
(0)
dt
= d(ϕ 1 ◦ c 2 )
(0).
dt
Aus dieser Bemerkung folgt unmittelbar, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
3.3. Vektorraumstruktur auf Tp
geo M. In den Bezeichnungen von 3.2 sei nun
(ϕ, U) eine Karte an p. Dann ist die Abbildung
A : T geo
p M → R n , A([c]) :=
18
d(ϕ ◦ c)
(0)
dt

ijektiv und es gilt A −1 (v) = [c], wobei c(t) = ϕ −1 (ϕ(p) + tv). Zum Beweis dieser
Aussage verifiziert man, dass AA −1 = id R n und A −1 A = id T
geo
p M gelten. Insbesondere
erhält die Menge Tp
geo M von R n die Struktur eines n–dimensionalen
reellen Vektorraumes durch “Strukturübertragung”: Für λ i ∈ R und [c i ] ∈ Tp
geo M
definieren wir
λ 1 [c 1 ] + λ 2 [c 2 ] = A −1 ( λ 1 A[c 1 ] + λ 2 A[c 2 ] ).
Explizit lassen sich die Vektorraumoperationen in Tp
geo M so beschreiben: Es ist
wobei c die Kurve
mit v i = d(ϕ ◦ c i )/dt (0) bezeichnet.
λ 1 [c 1 ] + λ 2 [c 2 ] = [c],
c(t) = ϕ −1( ϕ(p) + t(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) )
Lemma. Die so definierte Vektorraumstruktur auf Tp
geo M ist unabhängig von der
Wahl der Karte (ϕ, U) an p.
Beweis. Ist (ψ, V ) eine andere Karte an p, und bezeichnet B : Tp
geo M → R n die
Abbildung
d(ψ ◦ c)
B([c]) = (0),
dt
dann ist
AB −1 (v) = d dt∣ ϕ ◦ ψ −1 (ψ(p) + tv) = D(ϕ ◦ ψ −1 )(ψ(p)) v.
0
Also ist AB −1 : R n → R n linear. Damit folgt
B −1 (λ 1 B[c 1 ] + λ 2 B[c 2 ]) = A −1 (AB −1 )(λ 1 B[c 1 ] + λ 2 B[c 2 ])
= A −1 (λ 1 (AB −1 )B[c 1 ] + λ 2 (AB −1 )B[c 2 ])
= A −1 (λ 1 A[c 1 ] + λ 2 A[c 2 ]). QED
Ist speziell M eine C ∞ –Untermannigfaltigkeit des R k , dann ist nach 2.4 M selbst
eine C ∞ –Mannigfaltigkeit. Neben dem Tangentialraum T p M aus 3.1 gibt es dann
denjenigen Tp
geo M aus 3.2. Ihre Beziehung klärt die folgende
3.4. Proposition. Sei M ⊆ R k eine n–dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit
von R k und p ∈ M. Dann ist die durch
Ψ p ([c]) =
(
p, dc
dt (0) )
definierte Abbildung Ψ p : Tp
geo M → T p M ein Vektorraumisomorphismus.
19

Die Notation dc/dt macht Sinn, indem man c : (−ε, ε) → M ⊆ R k als R k -wertige
Abbildung auffasst. Genau genommen wäre stattdessen zu schreiben d(i ◦ c)/dt,
wobei i : M → R k die Inklusionsabbildung i(p) = p bezeichnet. Den Beweis der
Proposition überlassen wir als einfache Übung.
Wir kommen nun zu einer zweiten allgemein anwendbaren Art, Tangentialvektoren
an eine Mannigfaltigkeit zu definieren, nämlich als reellwertige Derivationen des
Ringes C ∞ (M). Derivationen sind weniger anschaulich als Äquivalenzklassen von
Kurven, aber oft einfacher zu handhaben. Wir erklären zunächst, was Derivationen
in einem Punkt p ∈ M sind, und dann, warum der Raum T p M dieser Derivationen
kanonisch isomorph ist zum geometrischen Tangentialraum Tp geo M.
3.5. Definition. Sei M eine C ∞ –Mannigfaltigkeit, p ∈ M. Eine Derivation an p
ist eine R–lineare Abbildung X : C ∞ (M) → R mit folgender Eigenschaft: Für alle
f, g ∈ C ∞ (M) gilt die Produktregel
X(f · g) = g(p) Xf + f(p) Xg.
Die Menge T p M aller Derivationen an p ist offensichtlich ein reeller Vektorraum,
ein Unterraum des Dualraumes von C ∞ (M).
Beispiel. Sei (ϕ, U) eine Karte an p. Wir definieren
∣
∂ ∣∣∣p
∂x i f = ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i (ϕ(p))
∂
∂x i ∣
∣p ∈ T p M durch
für f ∈ C ∞ (M) und i = 1, . . . , n. Wir werden sehen, dass diese Derivationen eine
Vektorraumbasis von T p M bilden.
3.6. Satz. Die Abbildung Φ p : Tp
geo M → T p M, definiert durch
Φ p ([c])f = d dt∣ f(c(t))
0
für [c] ∈ Tp
geo M und f ∈ C ∞ (M), ist wohldefiniert und ein Vektorraumisomorphismus.
Insbesondere ist also T p M n–dimensional. Der Beweis von 3.6 folgt in 3.8. In der
Praxis identifiziert man oft T p M mit Tp
geo (M) aufgrund dieses Satzes und bezeichnet
beide Räume als den Tangentialraum von M in p. Wir werden dies später ebenfalls
tun. Aus dem Zusammenhang sollte dann jeweils klar sein, ob eine Äquivalenzklasse
von Kurven oder eine Derivation gemeint ist, wenn von einem Tangentialvektor die
Rede ist.
3.7. Eigenschaften von Derivationen. Sei M eine n–dimensionale differenzierbare
Mannigfaltigkeit und p ∈ M. Wir zeigen zunächst (in Lemma 3), dass für
20

X ∈ T p M der Wert von Xf nur von der Einschränkung von f auf eine beliebig
kleine Umgebung U von p abhängt.
Lemma 1. Sei X ∈ T p M, und sei
gilt X(c) = 0.
c ∈ C ∞ (M) eine konstante Funktion. Dann
Beweis. Wegen der R–Linearität und der Produktregel für X ist
X(c) = c X(1) = c X(1 · 1) = c (1 X(1) + 1 X(1)) = X(c) + X(c).
QED
Lemma 2. Sei U eine Umgebung von p. Dann existieren eine Umgebung U 1 ⊆ U
von p und eine Funktion σ ∈ C ∞ (M) mit σ| U1 ≡ 1 und supp(σ) ⊆ U. Dabei
ist supp(σ) der Träger (oder Support) von σ, also der Abschluß der Teilmenge
{q ∈ M | σ(q) ≠ 0} von M.
Beweis. Sei (ϕ, U 0 ) eine Karte an p mit ϕ(p) = 0. Dann gibt es eine Zahl ε > 0
so, dass der euklidische Ball B(0, ε) um 0 mit Radius ε in ϕ(U 0 ∩ U) enthalten ist.
Seien U 1 = ϕ −1 (B(0, ε/2)) und U 2 = ϕ −1 (B(0, ε)) ⊆ U 0 ∩ U. Sei η ∈ C ∞ (R) eine
Funktion mit η = 1 auf [−ε 2 /4, ε 2 /4] und η = 0 auf R \ (−ε 2 , ε 2 ). Wir definieren
σ(q) =
{ (
η ‖ϕ(q)‖ 2) , wenn q ∈ U 2
0, wenn q ∈ M \ U 2 .
Dann hat σ die gewünschten Eigenschaften. QED
Lemma 3. Sei U eine Umgebung von p, und seien f, g ∈ C ∞ (M) mit f| U = g| U .
Dann gilt Xf = Xg für jede Derivation X ∈ T p M.
Beweis. Für die Funktion h = f − g gilt h| U = 0. Es genügt zu zeigen, dass Xh = 0
ist. Wir wählen U 1 und σ wie in Lemma 2. Dann ist (1 − σ)h = h auf M, und
deshalb
Xh = X((1 − σ)h) = (1 − σ)(p)Xh + h(p)X(1 − σ) = 0,
da (1 − σ)(p) = 0 und h(p) = 0. QED
Bemerkung. Als Folgerung aus Lemma 3 ergibt sich, dass man Derivationen
X ∈ T p M auch auf Funktionen anwenden kann, die nur auf einer Umgebung U
von p definiert sind. Ist nämlich f ∈ C ∞ (U), dann wählt man eine Funktion
g ∈ C ∞ (M) mit g| U1 = f| U1 für eine Umgebung U 1 ⊆ U von p, etwa indem man
mit U 1 und σ wie in Lemma 2 definiert
{
σ(q)f(q), für q ∈ U
g(q) =
0, für q ∈ M \ U.
Man setzt dann Xf := Xg. Nach Lemma 3 hängt Xf nicht von der Wahl der
Funktion g ab.
21

Eine Teilmenge V ⊆ R n heißt sternförmig bezüglich x 0 ∈ V , wenn für jeden Punkt
x ∈ V die Verbindungsstrecke {x 0 + t(x − x 0 ) | 0 ≤ t ≤ 1} in V enthalten ist.
Lemma 4. Sei V ⊆ R n offen und sternförmig bezüglich 0 ∈ V . Sei f ∈ C ∞ (V ).
Dann existieren Funktionen g i ∈ C ∞ (V ) (i = 1, . . . , n) mit g i (0) = ∂f/∂x i (0) und
so, dass für alle x ∈ V gilt
Beweis. Es ist
Man setzt
f(x) = f(0) +
f(x) = f(0) +
∫ 1
0
g i (x) =
n∑
x i g i (x).
i=1
∫
d
1
dt f(tx) dt = f(0) + ∂f
(tx)dt · xi
∂xi ∫ 1
0
∂f
(tx) dt.
∂xi QED
0
3.8. Wir kommen nun zum Beweis von Satz 3.6 und zeigen zunächst, dass Φ p
wohldefiniert ist. Sei (ϕ, U) eine Karte mit p ∈ U. Dann ist
Φ p ([c])f = d dt∣ (f ◦ ϕ −1 ◦ ϕ ◦ c)(t)
0
= D(f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p))
d(ϕ ◦ c)
(0). (3.8.1)
dt
Folglich hängt Φ p ([c])f nicht von c selbst, sondern nur von der Äquivalenzklasse [c]
ab. Dass Φ p ([c]) eine Derivation an p ist, also Φ p ([c]) ∈ T p M gilt, ergibt sich aus
der Produktregel der Differentialrechnung.
Für den Nachweis, dass Φ p : T p M → T p M eine lineare Abbildung ist, sei (ϕ, U)
eine Karte an p. Nach Gleichung (3.8.1) gilt dann
Φ p ([c])f = D(f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) A([c]),
mit A wie in 3.3. Da A und D(f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) lineare Abbildungen sind, ist auch
Φ p linear.
Als nächstes zeigen wir, dass Φ p injektiv ist. Ist Φ p ([c]) = 0, dann gilt nach (3.8.1)
für alle f ∈ C ∞ (M)
0 = Φ p ([c])f
= D(f ◦ ϕ −1 d(ϕ ◦ c)
)(ϕ(p)) (0)
dt
n∑ ∂(f ◦ ϕ −1 )
=
∂x i (ϕ(p)) d(ϕi ◦ c)
(0).
dt
i=1
22

Dabei bezeichnet ϕ i die i-te Komponente von ϕ : U → R n . Wir wählen U 1 ⊆ U
und σ wie in Lemma 2 von 3.7 und setzen
{
σ(q)ϕ
f(q) =
j (q), für q ∈ U
0, für q ∈ M \ U,
Dann gilt f ◦ ϕ −1 (x) = x j für alle x ∈ ϕ(U 1 ) und daher
0 = Φ p ([c])f = d(ϕj ◦ c)
(0).
dt
Es folgt (d(ϕ ◦ c)/dt)(0) = 0, und damit [c] = 0. Also ist Φ p injektiv.
Abschließend zeigen wir, dass Φ p surjektiv ist. Sei (ϕ, U) eine Karte an p. Wir
behaupten, dass für jede Derivation X ∈ T p M gilt
X =
n∑
Xϕ i ·
i=1
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
(3.8.2)
∣
mit den in 3.5 definierten Elementen
∂ ∣p
∂x
∈ T i p M. Daraus folgt, dass die Dimension
von T p M höchstens n ist. Da Φ p : T p M → T p M injektiv und linear ist, und
da T p M die Dimension n hat, muss dann Φ p surjektiv sein.
Es bleibt Gleichung (3.8.2) zu verifizieren. Man kann annehmen, dass ϕ(p) = 0 ist,
und dass ϕ(U) bezüglich 0 sternförmig ist. Sei f ∈ C ∞ (M). Dann ist nach Lemma
4 für x ∈ ϕ(U)
n∑
f ◦ ϕ −1 (x) = (f ◦ ϕ −1 )(0) + x i g i (x),
wobei g i (0) = (∂(f ◦ ϕ −1 )/∂x i )(0) ist. Sei ϕ ∗ X ∈ T 0 (R n ) die durch (ϕ ∗ X)g =
X(g ◦ ϕ) für g ∈ C ∞ (R n ) definierte Derivation. Dann ist, wenn x i die i–te Koordinatenfunktion
des R n bezeichnet,
Xf = X(f| U ) = X(f ◦ ϕ −1 ◦ ϕ)
= (ϕ ∗ X)(f ◦ ϕ −1 )
(
n∑
)
= (ϕ ∗ X) f(p) + x i g i
=
=
i=1
i=1
n∑
(ϕ ∗ X)x i · g i (0) + x i (0) · (ϕ ∗ X)g i
i=1
n∑
i=1
X(x i ◦ ϕ) ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i (0)
(
∑ n
= Xϕ i ·
i=1
∣ )
∂ ∣∣∣p
∂x i f da x i ◦ ϕ = ϕ i ,
23

und Gleichung (3.9.1) ist bewiesen. QED
Korollar zum Beweis. Ist (ϕ, U) eine Karte an p, dann ist
∂
∂x 1 ∣ ∣∣∣p
, . . . ,
∂
∂x n ∣ ∣∣∣p
eine Basis von T p M. Unter dem Isomorphismus Φ p entspricht ∂/∂x i∣ ∣
p
dem durch
die i-te Koordinatenlinie durch p gegebenen Tangentialvektor [c] mit
c(t) = ϕ −1( ϕ(p) + (0, . . . , 0, (i)
t , 0, . . . , 0) ) .
3.10. Transformationsverhalten bei Kartenwechsel. ∣ Sind (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ)
Karten an p mit den entsprechenden Basisvektoren
∂ ∣p
∂x
und
∂
i ∂ ˜x
| i p , dann gilt
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
=
n∑
j=1
∂( ˜ϕ j ◦ ϕ −1 )
∂x i (ϕ(p))
∂
∂˜x j ∣ ∣∣∣p
. (3.10.1)
Zum Beweis zeigt man, dass beide Seiten, auf beliebiges f ∈ C ∞ (M) angewandt,
dasselbe ergeben. In traditioneller Schreibweise ist der Kartenwechsel ˜ϕ ◦ ϕ −1
dadurch gegeben, dass man die Koordinaten ˜x i als Funktion der x i hat, also
˜x i = ˜x i (x 1 , . . . , x n ),
und man schreibt ∂˜x j /∂x i für das Element ∂( ˜ϕ j ◦ ϕ −1 )/∂x i der Jacobimatrix. Man
erhält so die einprägsame Gleichung
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
=
n∑
j=1
∂˜x j
∂x i (x(p))
∂
∂˜x j ∣ ∣∣∣p
oder, kurz und ungenau,
∂
n
∂x i = ∑
j=1
∂˜x j
∂x i
∂
∂˜x j . (3.10.1)′
Sind X i und ˜X i die Komponenten eines Vektors X ∈ T p M bezüglich der beiden
Basen, also
∣ ∣ n∑
X = X i ∂ ∣∣∣p n∑
∂x i = ˜X i ∂ ∣∣∣p
∂˜x j ,
i=1
dann folgt durch Einsetzen von (3.10.1) und Koeffizientenvergleich
˜X j =
n∑
i=1
i=1
∂( ˜ϕ j ◦ ϕ −1 )
∂x i (ϕ(p)) · X i . (3.10.2)
24

In Matrixschreibweise wird das
und in traditioneller Schreibweise
⎛ ˜X 1 ⎞
⎛
X 1 ⎞
⎝
.
⎠ = J( ˜ϕ ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) ⎝
.
⎠ ,
˜X n X n
˜X j =
n∑
i=1
∂˜x j
∂x i Xi . (3.10.2) ′
Bemerkung. Sind umgekehrt für jede Karte (ϕ, U) an p eines Atlas Komponenten
X 1 , . . . , X n ∈ R gegeben dergestalt, dass für je zwei Karten und die zugehörigen
Komponenten die Transformationsregel (3.10.2) gilt, dann existiert genau ein Tangentialvektor
X ∈ T p M, so dass für jede Karte des Atlas gilt
X =
n∑
i=1
X i
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
(∗)
Zum Beweis definiert man X durch (∗) bezüglich einer Karte und rechnet mittels
(3.10.2) nach, dass (∗) dann für alle Karten gilt. Diese Bemerkung führt auf
eine weitere, die traditionelle Definition des Tangentialvektors als einer Größe, die
bezüglich jedes Koordinatensystems durch ein n-Tupel X 1 , . . . , X n gegeben ist mit
der Eigenschaft, dass bei Wechsel des Koordinatensystems gilt
˜X j =
n∑
i=1
∂˜x j
∂x i Xi .
Eine genaue Formulierung dieser Definition findet sich in Aufgabe 3.
Aufgaben
In Aufgaben 1 und 2 wird folgendes Skalarprodukt auf Tangentialräumen T p M ⊆
T p R n verwendet:
n∑
〈(p, v), (p, w)〉 := v i w i .
1. Lagrange–Multiplikatoren. (a) Die Untermannigfaltigkeit M ⊆ R n sei
definiert als Niveaumenge M = f −1 (c) einer differenzierbaren Abbildung h : V →
R l mit Rang (Dh(p)) = l für p ∈ M. Zeigen Sie, dass die Tangentialvektoren
(p, grad(h i )(p)) ∈ T p R n senkrecht auf dem Tangentialraum T p M stehen und eine
Basis des Normalenraumes (T p M) ⊥ bilden.
25
i=1

(b) Die Funktion f : M → R sei differenzierbar und habe ein lokales Extremum
an der Stelle p ∈ M. Zeigen Sie, dass (p, grad(f)) ∈ (T p M) ⊥ ist. Folgern Sie, dass
Zahlen λ 1 , . . . , λ l ∈ R existieren mit der Eigenschaft
(
grad f −
l∑
λ i h i) (p) = 0.
i=1
2. Normalenbündel. Sei M ⊆ R n eine C k –Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie
unter Verwendung lokaler Parametrisierungen, dass das Tangentialbündel T M und
das Normalenbündel T ⊥ M von M, definiert als
T M := ⋃
p∈M
C k−1 –Untermannigfaltigkeiten von R 2n sind.
T p M und T ⊥ M := ⋃
(T p M) ⊥ ,
3. Tangentialraum. Seien (M, A) eine n-dimensionale C ∞ –Mannigfaltigkeit und
p ∈ M. Sei Trip p M die Menge aller Tripel (p, ξ, (ϕ, U)), wobei ξ ∈ R n ist und
(ϕ, U) ∈ A eine Karte mit p ∈ U. Auf Trip p M definieren wir eine Äquivalenzrelation
∼ wie folgt:
p∈M
(p, ξ, (ϕ, U)) ∼ (p, ξ ′ , (ϕ ′ , U ′ )) :⇐⇒ D(ϕ ′ ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) ξ = ξ ′
Wir definieren Tang p M := Trip p M/ ∼ als die Menge der Äquivalenzklassen.
(a) Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Zeigen Sie, dass durch
λ 1 [(p, ξ 1 , (ϕ, U))] + λ 2 [(p, ξ 2 , (ϕ, U))] = [(p, λ 1 ξ 1 + λ 2 ξ 2 , (ϕ, U))]
(λ i ∈ R) eine Vektorraumstruktur auf Tang p M wohldefiniert wird.
(c) Finden Sie kanonische Vektorraumisomorphismen und ihre Umkehrabbildungen
von Tang p M auf Tp
geo M und T p M, und auf T p M im Falle von Untermannigfaltigkeiten
des R m .
26

4. Ableitungen und Tangentialbündel
Eine differenzierbare Abbildung f : M → N zwischen Mannigfaltigkeiten induziert
lineare Abbildungen T p f : T p M → T f(p) N zwischen entsprechenden Tangentialräumen.
Dieser linearen Abbildung T p f, die als die Ableitung von f an der Stelle
p bezeichnet wird, ist der erste Teil des Kapitels gewidmet. Danach führen wir das
Tangentialbündel T M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ein, die Vereinigung
sämtlicher Tangentialräume T p M. Das Tangentialbündel trägt selbst die
Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit dergestalt, dass die durch differenzierbare
Abbildungen f : M → N induzierten Abbildungen T f : T M → T N
differenzierbar sind—allerdings mit Verlust einer Differenzierbarkeitsstufe, wenn f
nur endlich oft differenzierbar ist. Ersetzt man in der Definition von T M die Tangentialräume
T p M durch ihre Dualräume (T p M) ∗ , so kommt man zum Kotangentialbündel
T ∗ M, das als Phasenraum in der klassischen Mechanik auftritt.
Differenzierbarkeit heißt im folgenden wieder Differenzierbarkeit von der Klasse
C ∞ , soweit nichts anderes gesagt wird. (M, A) bezeichnet eine n-dimensionale
C ∞ –Mannigfaltigkeit.
4.1. Proposition. Seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f :
M → N differenzierbar.
(a) Die Abbildung T p f : T p M → T f(p) N, definiert durch
((T p f)X)g = X(g ◦ f)
für X ∈ T p M und g ∈ C ∞ (N), ist wohldefiniert und linear.
(b) Dasselbe gilt für die Abbildung Tp
geo f : Tp
geo M → T geo
(Tp
geo f)[c] = [f ◦ c].
f(p) N,
(c) Mit dem in 3.6 definierten Vektorraumisomorphismus Φ p : Tp
geo M → T p M gilt
T p f ◦ Φ p = Φ f(p) ◦ Tp geo f.
Teil (c) lässt sich etwas ungenau so formulieren, dass unter der Identifikation T p M ∼ =
Tp
geo M die Abbildungen T p f und Tp
geo f einander entsprechen. Sowohl T p f als auch
Tp
geo f nennt man die Ableitung von f im Punkt p. Wir werden im Folgenden die
Bezeichnung T p f für beide Abbildungen verwenden. Andere verbreitete Bezeichnungen
für T p f sind f ∗p oder f ′ (p), oder auch Df(p).
Zum Beweis von 4.1(a) zeigen wir, dass in der Tat (T p f)X ∈ T f(p) N, also eine
Derivation an f(p) ist. Seien dazu g, h ∈ C ∞ (N). Da X eine Derivation an p ist,
Version: 18. Februar 2000
27

gilt
((T p f)X)(gh) = X((g ◦ f)(h ◦ f))
= h(f(p)) X(g ◦ f) + g(f(p)) X(h ◦ f)
= h(f(p)) ((T p f)X)g + g(f(p)) ((T p f)X)h,
wie behauptet. Die Linearität von T p f ergibt sich unmittelbar aus der Definition.
Um die Wohldefiniertheit von Tp geo f in (b) zu beweisen, verifizieren wir, dass c 1 ∼ c 2
impliziert f ◦ c 1 ∼ f ◦ c 2 . Seien dazu (ϕ, U) eine Karte an p und (ψ, V ) eine Karte
an f(p). Dann gilt
d
dt ∣ (ψ ◦ f ◦ c 1 ) = d 0
dt∣ (ψ ◦ f ◦ ϕ −1 ) ◦ (ϕ ◦ c 1 )
0
= D(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) · d(ϕ ◦ c 1)
(0)
dt
= D(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) · d(ϕ ◦ c 2)
(0)
dt
= d dt∣ (ψ ◦ f ◦ c 2 ).
0
Die Linearität von Tp
geo f ergibt sich aus der Beschreibung der Vektorraumstruktur
von Tp
geo M in 3.3, oder auch aus (a) und (c), da Φ p ein Vektorraumisomorphismus
ist. Der einfache Beweis von (c) bleibt dem Leser überlassen. QED
4.2. Eigenschaften. Wichtige Eigenschaften der Ableitung werden beschrieben
durch die Kettenregel, den Satz über inverse Funktionen und allgemeiner den Rangsatz
(Aufgabe 3). Sei p ∈ M.
(a) Kettenregel. Sind f : M → N und h : N → P differenzierbar, dann ist h ◦ f
differenzierbar und
T p (h ◦ f) = T f(p) h ◦ T p f
Tp
geo (h ◦ f) = T geo
f(p) h ◦ T p
geo f
(b) Ist f : M → N ein Diffeomorphismus, dann ist T p f (und damit auch T geo
p f)
bijektiv für alle p ∈ M.
(c) Satz über inverse Funktionen. Ist T p f bijektiv, dann gibt es Umgebungen
U von p und V von f(p) so, dass f| U : U → V ein Diffeomorphismus ist.
Beweis. (a) Die Differenzierbarkeit von h ◦ f wurde in 1.11 gezeigt, die weiteren
Aussagen sind offensichtlich. (b) Es ist f ◦ f −1 = id N und f −1 ◦ f = id M . Auf
diese Gleichungen wendet man (a) an und erhält T p f ◦ T f(p) (f −1 ) = id Tf(p) N und
T f(p) (f −1 ) ◦ T p f = id TpM . Also ist T p f bijektiv mit inverser Abbildung T f(p) (f −1 ).
Die entsprechende Behauptung für Tp
geo f folgt nun aus 4.1(c). Den Satz über inverse
Funktionen in (c) beweist man durch Zurückführen auf die entsprechende Aussage
in 2.1 mit Hilfe von Karten. QED
28

Definition. Eine differenzierbare Abbildung f : M → N heißt eine Immersion,
wenn T p f injektiv ist, eine Submersion, wenn T p f surjektiv ist, und ein lokaler
Diffeomorphismus, wenn T p f bijektiv ist für alle p ∈ M. Eine Einbettung ist eine
Immersion f, die ein Homöomorphismus von M auf f(M) ist.
Ein Beispiel für eine injektive Immersion, die keine Einbettung ist, findet sich in
2.5.2(c); ein Kriterium, wann injektive Immersionen Einbettungen sind, in den Aufgaben.
4.3. Beschreibung von T p f in lokalen Koordinaten. Sei f : M → N differenzierbar.
Ist (ϕ, U) eine Karte an p ∈ M, und ist (ψ, V ) eine Karte am Bildpunkt
f(p), dann hat man nach dem Korollar in 3.8 Basen ∂/∂x i | p von T p M und
∂/∂y j | f(p) von T f(p) N. Wir bestimmen die Matrix, welche der linearen Abbildung
T p f bezüglich dieser Basen entspricht. Zu diesem Zweck setzen wir an
(T p f)
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
=
n∑
j=1
a i
j
∂
∂y j ∣
∣∣∣f(p)
und berechnen die Koeffizienten a i j . Für h ∈ C ∞ (N) ist
Es folgt
(
(T p f)
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x i h =
(T p f)
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
(h ◦ f)
= ∂(h ◦ f ◦ ϕ−1 )
∂x i (ϕ(p))
= ∂(h ◦ ψ−1 ◦ ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )
∂x i (ϕ(p))
n∑ ∂(h ◦ ψ −1 )
=
∂y j (ψ(f(p))) · ∂(ψj ◦ f ◦ ϕ −1 )
∂x i (ϕ(p))
=
j=1
n∑
j=1
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
=
( ∣ ∂ ∣∣∣f(p) )
∂y j h
n∑
j=1
· ∂(ψj ◦ f ◦ ϕ −1 )
∂x i (ϕ(p)).
∂(ψ j ◦ f ◦ ϕ −1 )
∂x i (ϕ(p)) ·
∂
∂y j ∣
∣∣∣f(p)
(4.3.1)
Die der Abbildung T p f bezüglich der Basen ∂/∂x i | p von T p M und ∂/∂y j | f(p) von
T f(p) (N) entsprechende Matrix ist also die Jacobimatrix von ψ ◦ f ◦ ϕ −1 an der
Stelle ϕ(p).
4.4. Tangentialvektoren an Kurven. Sei I ⊆ R ein Intervall. Wir betrachten
eine differenzierbare parametrisierte Kurve c : I → M in der Mannigfaltigkeit M.
Der Tangentialvektor (oder Geschwindigkeitsvektor) von c an der Stelle t 0 ∈ I ist
definiert als
ċ(t 0 ) := (T t0 c) d ∣ ∈ T c(t0)M.
dt
∣
t0
29

Dabei bezeichnet d/dt| t0 ∈ T t0 I den zum Koordinatensystem (id, R) von R gehörenden
Basisvektor (der konsequenterweise eigentlich mit ∂/∂x 1 | t0 bezeichnet werden
müsste), also die Derivation “Ableitung an der Stelle t 0 ”. Nach Definition von
T t0 c gilt für f ∈ C ∞ (M)
ċ(t 0 )f = d dt∣ (f ◦ c),
t0
und insbesondere ċ(0) = Φ p ([c]) mit dem Isomorphismus Φ p : Tp
geo M → T p M aus
3.6. Allgemeiner ist
Φ p ([γ]) = ċ(t 0 ),
wobei γ die Kurve γ(t) = c(t + t 0 ) bezeichnet. Zum Beweis bemerkt man, dass
Φ p ([γ])f = d dt∣ f(γ(t)) = d 0
dt∣ f(c(t)) = ċ(t 0 )f .
t0
In lokalen Koordinaten lässt sich ċ(t 0 ) wie folgt beschreiben. Sei (ϕ, U) eine Karte
an p = c(t 0 ). Dann gilt nach Gleichung (3.9.1)
ċ(t 0 ) =
=
n∑
ċ(t 0 )ϕ i ·
i=1
n∑
i=1
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
d(ϕ i ◦ c)
(t 0 )
dt
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
.
(4.4.1)
Speziell für M = R n und die Karte ϕ = id erhält man
ċ(t 0 ) =
n∑
i=1
dc i
dt (t 0)
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
,
wenn c i die i–te Komponente von c ist. Insofern ist unsere allgemeine Definition
von ċ(t 0 ) konsistent mit den üblichen Bezeichnungen der Differentialrechnung im
R n .
Wir kommen nun zum zweiten Gegenstand des Kapitels, dem Tangentialbündel
einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
4.5. Tangentialbündel. Die Menge T M = ⋃ p∈M T pM aller Tangentialvektoren
einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M heißt das Tangentialbündel von
M. Die Abbildung π : T M → M, die jedem Tangentialvektor X ∈ T p M seinen
Fußpunkt p zuordnet, heißt die (kanonische) Projektion. Für U ⊆ M schreibt man
oft T M| U := π −1 (U) und nennt T M| U die Einschränkung von T M auf U. Die
einzelnen Tangentialräume T p M = π −1 (p) bezeichnet man auch als die Fasern des
Tangentialbündels.
30

4.6. T M als Mannigfaltigkeit. Sei (ϕ, U) ∈ A eine Karte. Für p ∈ U hat man die
zugehörigen Basisvektoren ∂/∂x 1 | p , . . . , ∂/∂x n | p des Tangentialraumes T p M. Wir
definieren ¯ϕ : π −1 (U) → ϕ(U) × R n durch
(
∑ n
¯ϕ
i=1
X i
Die Abbildung ¯ϕ ist offensichtlich bijektiv.
∣ )
∂ ∣∣∣p
∂x i = ( ϕ(p), X 1 , . . . , X n) .
Lemma 1. Es gibt genau eine Topologie T auf T M dergestalt, dass für alle
Karten (ϕ, U) ∈ A gilt: π −1 (U) ist offen und ¯ϕ : π −1 (U) → ϕ(U) × R n ist ein
Homöomorphismus. Diese Topologie ist hausdorffsch und hat eine abzählbare Basis.
Beweis. Wir zeigen zunächst: Wenn eine Topologie T mit den gewünschten Eigenschaften
existiert, dann gilt notwendig
T = { W ⊆ T M | ¯ϕ(W ∩ π −1 (U)) ⊆ R n × R n
für jede Karte (ϕ, U) ∈ A }.
ist offen
(∗)
Sei T eine solche Topologie, und sei W ⊆ T M offen, also W ∈ T . Dann ist
W ∩ π −1 (U) ∈ T , und ¯ϕ(W ∩ π −1 (U)) ist offen in ϕ(U) × R n , also in R n × R n , da
ϕ(U) ⊆ R n offen ist. Ist umgekehrt W ⊆ T M eine Teilmenge mit der Eigenschaft,
dass für jede Karte (ϕ, U) ∈ A die Menge ¯ϕ(W ∩π −1 (U)) offen in R n ×R n ist, dann
ist W ∩π −1 (U) offen in π −1 (U), da ¯ϕ ein Homöomorphismus ist. Da π −1 (U) offen in
T M ist, ist W ∩ π −1 (U) auch offen in T M. Also ist W = ⋃ {W ∩ π −1 (U) | (ϕ, U) ∈
A} offen in T M. Damit ist (∗) verifiziert und die Eindeutigkeit von T bewiesen.
Umgekehrt sieht man leicht, dass durch (∗) tatsächlich eine Topologie mit den
geforderten Eigenschaften definiert wird. QED
Lemma 2. Seien (ϕ 1 , U 1 ) und (ϕ 2 , U 2 ) ∈ A. Dann ist der Kartenwechsel
eine C ∞ –Abbildung.
¯ϕ 2 ◦ ¯ϕ −1
1 : ϕ 1 (U 1 ∩ U 2 ) × R n → ϕ 2 (U 1 ∩ U 2 ) × R n
Beweis. Sei X ∈ T p M. Wir schreiben X als Linearkombination der Basisvektoren
∂/∂x i 1 | p und ∂/∂x i 2 | p zu den Karten ϕ 1 und ϕ 2 :
X =
n∑
i=1
X i 1
∂
∂x i 1
∣ =
p
n∑
∂
X2
i ∂x i i=1 2
∣ .
p
Ist ξ 1 = (X1 1, . . . , Xn 1 ) und ξ 2 = (X2 1, . . . , Xn 2 ), dann gilt nach (3.10.2)
ξ 2 = D(ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 )(ϕ 1(p)) ξ 1 .
31

Daher ist für (x, ξ) ∈ ϕ 1 (U 1 ∩ U 2 ) × R n
Die Behauptung folgt. QED
( ¯ϕ 2 ◦ ¯ϕ −1
1 )(x, ξ) = ( ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 (x), D(ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 )(x) ξ ) .
Folgerung. Mit dem Atlas { ( ¯ϕ, π −1 (U)) | (ϕ, U) ∈ A } wird T M zu einer 2n–
dimensionalen C ∞ –Mannigfaltigkeit und die Projektion π : T M → M zu einer
C ∞ –Abbildung.
Bemerkungen. (a) Ist M eine C k –Mannigfaltigkeit mit endlichem k ≥ 1, dann
ist der soeben definierte Atlas nur ein C k−1 Atlas, wie man den Kartenwechseln im
Beweis von Lemma 2 ansieht.
(b) Der Nullschnitt 0 M = {0 ∈ T p M | p ∈ M} ist eine zu M diffeomorphe Untermannigfaltigkeit
von T M. Die Karten ¯ϕ sind angepasst im Sinne von Definition
2.8, und die Einschränkung π| 0M der Projektion liefert den Diffeomorphismus von
0 M auf M.
4.7. Die Ableitung. Für f ∈ C ∞ (M, N) definieren wir T f : T M → T N durch
(T f)| TpM = T p f (siehe 4.1). Die Abbildung T f heißt die Ableitung von f.
Lemma. Bezüglich der in 4.6 definierten C ∞ –Strukturen auf T M und T N gilt
T f ∈ C ∞ (T M, T N).
Beweis. Seien (ϕ, U) eine Karte von M und (ψ, V ) eine Karte von N. Wir zeigen,
dass ¯ψ ◦ T f ◦ ¯ϕ −1 eine C ∞ – Abbildung ist. Diese Abbildung
¯ψ ◦ T f ◦ ¯ϕ −1 : ϕ(U ∩ f −1 (V )) × R n → ψ(f(U) ∩ V ) × R n ⊆ R 2n
ist mit ξ = (ξ 1 , . . . , ξ n ) wegen (4.3.1) gegeben durch
Daher ist
( ¯ψ ◦ T f ◦ ¯ϕ −1 )(x, ξ) = ¯ψ
( ∑
◦ T f
= ¯ψ
( ∑
i,j
i
ξ i
∣
∂ ∣∣∣ϕ )
∂x i −1 (x)
ξ i ∂(ψj ◦ f ◦ ϕ −1 )
∂x i (x)
∣
∂ ∣∣∣f(ϕ )
∂y j −1 (x))
( ¯ψ ◦ T f ◦ ¯ϕ −1 )(x, ξ) = ( (ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )(x), D(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )(x) ξ ) ,
und die Behauptung folgt. QED
Bemerkung. Höhere Ableitungen einer Abbildung f ∈ C ∞ (M, N) sind nun in
naheliegender Weise definiert, so etwa die zweite Ableitung als T T f = T (T f) :
32

T T M → T T N. Dabei ist T T M = T (T M) das Tangentialbündel der Mannigfaltigkeit
T M, das man auch als das “zweite Tangentialbündel” von M von bezeichnet.
4.8. Vektorfelder. Ein C k –Vektorfeld auf M ist eine C k –Abbildung X : M →
T M mit π ◦ X = id M , das heißt also mit X(p) ∈ T p M für alle p ∈ M. Die Menge
aller C ∞ –Vektorfelder auf M werden wir im folgenden oft mit V(M) bezeichnen.
Sie ist ein reeller Vektorraum, und sogar ein Modul über dem Ring C ∞ (M) der
differenzierbaren Funktionen.
Beispiel. Seien ∂/∂x i | p die durch eine Karte (ϕ, U) an p definierten Basisvektoren
von T p M. Dann ist die Abbildung
∂
∂x i : p ↦→
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
ein C ∞ –Vektorfeld auf U, das i–te Koordinatenvektorfeld der Karte (ϕ, U).
Beweis. Die Abbildung ¯ϕ ◦ ∂
∂x
◦ ϕ −1 : ϕ(U) → ϕ(U) × R n ist gegeben durch
i
(
¯ϕ ◦ ∂ ) ( ∣ ) ∂ ∣∣∣ϕ
∂x i ◦ ϕ−1 (x) = ¯ϕ
∂x i = (x, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
−1 (x)
und daher von der Klasse C ∞ . QED
Lemma. Sei X : M → T M eine Abbildung mit π ◦ X = id M .
C ∞ (M, T M) genau dann, wenn für jede Karte (ϕ, U) ∈ A gilt
Dann ist X ∈
X| U =
n∑
i=1
X i
∂
∂x i
mit Funktionen X i ∈ C ∞ (U).
Mit anderen Worten: X ist genau dann ein C ∞ –Vektorfeld, wenn die Komponenten
bezüglich der Koordinatenvektorfelder jeder Karte C ∞ –Funktionen sind. Der
Beweis ergibt sich sofort aus ¯ϕ ◦ X ◦ ϕ −1 (x) = (x, X 1 (ϕ −1 (x)), . . . , X n (ϕ −1 (x))).
4.9. Kotangentialbündel. Ersetzt man in der Definition des Tangentialbündels
die T p M durch ihre Dualräume, dann erhält man das Kotangentialbündel von M.
Die Analoga zu den Vektorfeldern sind dann die 1–Formen oder Kovektorfelder.—
Wir erinnern daran, dass der Dualraum V ∗ eines reellen Vektorraumes V definiert ist
als der Vektorraum aller linearen Abbildungen α : V → R. Ist v 1 , . . . , v n eine Basis
von V , dann ist die duale Basis α 1 , . . . , α n von V ∗ definiert durch die Bedingung
α i (v j ) = δ i j
33

mit dem Kroneckerdelta δ i j = { 1 wenn i = j;
0 wenn i ≠ j.
Definition. Der Dualraum Tp ∗ M := (T p M) ∗ von T p M heißt der Kotangentialraum
von M im Punkt p. Die Vereinigung T ∗ M = ⋃ p∈M T p ∗ M heißt das Kotangentialbündel
von M, seine Elemente heißen Kotangentialvektoren oder kurz Kovektoren.
Die Projektion π : T ∗ M → M ist definiert durch π(α) = p, wenn α ∈ Tp ∗ M.
Wie beim Tangentialbündel schreibt man T ∗ M| U := π −1 (U) für U ⊆ M und
nennt T ∗ M| U die Einschränkung von T ∗ M auf U. Die einzelnen Kotangentialräume
Tp ∗M = π−1 (p) bezeichnet man auch als die Fasern des Kotangentialbündels.
Beispiel. Das Differential
ist der durch
für X ∈ T p M definierte Kovektor.
df| p ∈ T ∗ p M einer Funktion f ∈ C∞ (M) im Punkt p
(df| p )(X) = Xf
4.10. Koordinatendifferentiale. Sei (ϕ, U) eine Karte, ϕ = (ϕ 1 , . . . , ϕ n ) :
U → R n . Wir definieren für p ∈ U die Koordinatendifferentiale dx i | p an p als die
Differentiale der Komponentenfunktionen von ϕ, also
dx i | p := dϕ i | p ∈ T ∗ p M.
Lemma. Es gilt
dx i | p
(
∣ ∂ ∣∣∣p )
∂x j = δj.
i
Insbesondere ist dx 1 | p , . . . , dx n | p eine Basis von Tp ∗ M, die zu
∣
∂ ∣p
∂x
, . . . ,
1
duale Basis.
Beweis. Mit ϕ i ◦ ϕ −1 (x 1 , . . . , x n ) = x i ergibt sich
dx i | p
(
∣ ∂ ∣∣∣p ) ( ∣ ∂ ∣∣∣p )
∂x j = dϕ i | p
∂x i = ∂ ∣ ∣∣∣p
∂x j ϕ i
= ∂(ϕi ◦ ϕ −1 )
∂x j (ϕ(p)) = δ i j . QED
∂
∂x n ∣
∣p
4.11. Transformationsverhalten bei Kartenwechsel. Sind (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ)
Karten an p, dann gilt für die entsprechenden Koordinatendifferentiale
dx i | p = ∑ j
∂x i
∂˜x j ( ˜ϕ(p)) d˜xj | p (4.11.1)
mit der bereits in 3.10 verwendeten Schreibweise. Zum Beweis setzt man an
dx i | p = ∑ j
a i j d˜x j | p
34

und bestimmt die Koeffizienten a i j , indem man beide Seiten dieser Gleichung auf
∂/∂˜x k anwendet. Es ergibt sich
dx i | p
(
∣ ∂ ∣∣∣p )
∂˜x k = ∑ j
a i j δj k
∂(ϕ i ◦ ˜ϕ −1 )
∂˜x k ( ˜ϕ(p)) = a i k
und damit in der Tat (∂x i /∂˜x k )( ˜ϕ(p)) = a i k .
Seien nun α i und ˜α i die Komponenten eines Kovektors α ∈ T ∗ p M bezüglich dieser
Koordinatendifferentiale, also
α =
Dann ergibt sich aus (4.11.1)
n∑
α i dx i | p =
i=1
n∑
˜α i d˜x i | p .
i=1
˜α j = ∑ i
∂x i
∂˜x j ( ˜ϕ(p)) α i. (4.11.2)
In Matrixschreibweise lautet das
⎛ ⎞
⎛ ⎞
˜α 1
⎝
.
⎠ = ( D(ϕ ◦ ˜ϕ −1 )( ˜ϕ(p) ) α 1
T
⎝
.
⎠
˜α n α n
⎛ ⎞
= ( D( ˜ϕ ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) ) α 1
−1 T
⎝
.
⎠
α n
(4.11.3)
mit der zu D( ˜ϕ ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) invers transponierten Abbildung.
4.12. T ∗ M als Mannigfaltigkeit. Um auf T ∗ M die Struktur einer C ∞ –Mannigfaltigkeit
zu definieren, geht man wie bei T M vor. Für eine Karte (ϕ, U) von M
definieren wir ¯ϕ : T ∗ M| U → ϕ(U) × R n durch
( ∑ )
¯ϕ α i dx i | p = (ϕ(p), α 1 , . . . , α n ) .
i
Aus Gleichung (4.11.3) folgt, dass die Kartenwechsel ¯ϕ 2 ◦ ¯ϕ −1
1 C ∞ –Abbildungen
sind. Definiert man die Topologie wie in Lemma 1 von 4.6, dann ergibt sich:
Folgerung. Mit dem Atlas { ( ¯ϕ, π −1 (U)) | (ϕ, U) ∈ A } wird T ∗ M zu einer 2n–
dimensionalen C ∞ –Mannigfaltigkeit und die Projektion π : T ∗ M → M zu einer
C ∞ –Abbildung.
35

4.13. Eins–Formen. Eine Eins–Form (oder 1–Form) der Klasse C k auf M ist
eine C k –Abbildung α : M → T ∗ M mit π ◦ α = id M . Eins–Formen nennt man
auch Kovektorfelder. Ist (ϕ, U) eine Karte, dann sind die Koordinatendifferentiale
dx i : p ↦→ dx i | p offensichtlich Eins–Formen der Klasse C ∞ auf U.
Wie bei Vektorfeldern in 4.8 zeigt man: Eine Abbildung α : M → T ∗ M mit π ◦ α =
id M ist eine C ∞ –Eins–Form genau dann, wenn für alle Karten (ϕ, U) ∈ A gilt
mit differenzierbaren α i ∈ C ∞ (U).
α| U =
n∑
α i dx i
i=1
4.14. Das Differential einer Funktion. Sei f ∈ C ∞ (M). Dann ist df : M →
T ∗ M, definiert durch df(p) = df| p eine C ∞ –Eins–Form. Die Differenzierbarkeit
ergibt sich aus folgendem
Lemma. Sei f ∈ C ∞ (M), und sei (ϕ, U) eine Karte. Dann gilt
mit den C ∞ –Funktionen
df| U =
n∑
i=1
∂f
∂x i : p ↦→
∂f
∂x i dxi (4.14.1)
∂
∂x j ∣ ∣∣∣p
f .
Beweis. Ist α = ∑ n
i=1 α i dx i | p ∈ Tp ∗ M, dann gilt für die Komponenten α j =
α(∂/∂x j | p ). Speziell für α = df| p ist aber nach der Definition von df| p in 4.9
df| p
(
∣ ∂ ∣∣∣p )
∂x j = ∂ ∣ ∣∣∣p
∂x j f.
QED
Man beachte, dass die Notation ∂f/∂x i im Lemma einiger Interpretation bedarf:
Für p ∈ U ist
∂f
∂x i (p) = ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i (ϕ(p)) .
Man verwendet die Notation wegen ihrer Kürze, und auch wohl, um das traditionelle
Erscheinungsbild der Formel (4.14.1) zu wahren, das der Zeit der “infinitesimalen
Größen” entstammt.
Aufgaben
1. Immersionen und Submersionen. Zeigen Sie, dass jede differenzierbare
Abbildung f : M → N geschrieben werden kann als f = g ◦ h mit einer Immersion
h : M → P und einer Submersion g : P → N. Hinweis: Wählen Sie P = M × N.
36

2. Extrema. Hat die differenzierbare Funktion f : M → R ein Extremum an der
Stelle p ∈ M, dann ist df(p) = 0.
*3. Rangsatz. Sei f : M → N eine C ∞ –Abbildung zwischen differenzierbaren
Mannigfaltigkeiten, die in einer Umgebung U 0 des Punktes p ∈ M konstanten Rang
hat, d.h. für alle q ∈ U 0 sei Rang(T q f) = r konstant. Zeigen Sie, dass Karten (ϕ, U)
an p und (ψ, V ) an f(p) existieren mit der Eigenschaft, dass für alle x ∈ ϕ(U) gilt:
ψ ◦ f ◦ ϕ −1 (x 1 , . . . , x m ) = (x 1 , . . . , x r , 0, . . . , 0)
4. Einbettungen. Eine Abbildung f : M → N zwischen topologischen Räumen
heißt eigentlich, wenn das Urbild f −1 (K) jeder kompakten Teilmenge K ⊆ N kompakt
ist. Seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Zeigen Sie:
(a) Injektive eigentliche Immersionen f : M → N sind Einbettungen.
(b) Das Bild jeder Untermannigfaltigkeit von M unter einer Einbettung f : M → N
ist eine Untermannigfaltigkeit von N.
5. Nullstellenmengen. (a) Zeigen Sie, dass jede abgeschlossene Teilmenge des
R n die Nullstellenmenge einer C ∞ –Funktion f : R n → R ist.
Hinweis: Finden Sie zunächst eine Funktion h ∈ C ∞ (R n , R), die auf einem Ball
positiv ist und überall sonst verschwindet, und deren k–te partielle Ableitungen
beschränkt sind durch |∂ i1 . . . ∂ ik h| ≤ 2 k .
(b) Verallgemeinern Sie die Aussage aus (a) auf abgeschlossene Teilmengen beliebiger
differenzierbarer Mannigfaltigkeiten.
37

5. Tensoren
Viele wichtige Objekte der Differentialgeometrie sind Tensorfelder. Neben den uns
schon bekannten Vektorfeldern und Eins–Formen zählen dazu auch Riemannsche
Metriken, allgemeine Differentialformen und Krümmungstensoren, mit denen wir
uns später eingehend beschäftigen werden. In diesem Abschnitt werden zunächst
notwendige Hilfsmittel aus der linearen, genauer gesagt: multilinearen Algebra
bereitgestellt. Für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum V führen wir
die Tensorräume Tr s (V ) ein, das sind Vektorräume, deren Elemente gewisse multilineare
Abbildungen sind. So wie man linearen Abbildungen nach Wahl von Basen
ihre Matrixkoeffizienten zuordnen kann, lassen sich Tensoren A ∈ Tr s (V ) durch ihre
j
Komponenten A 1···j s
i1···i r
in Bezug auf eine Basis von V beschreiben. Die Konstruktionen
dieses Kapitels werden im nächsten Abschnitt auf die Tangentialräume
V = T p M differenzierbarer Mannigfaltigkeiten angewandt.
5.1. Tensoren. Seien V ein n–dimensionaler reeller Vektorraum und V ∗ sein
Dualraum, also der Raum aller linearen Abbildungen V → R. Ein r–fach kovarianter
und s–fach kontravarianter Tensor oder kurz (r, s)–Tensor auf V ist eine
R–multilineare Abbildung
A : V × · · · × V × V
} {{ }
∗ × · · · × V ∗ → R.
} {{ }
r Faktoren s Faktoren
Multilinearität bedeutet dabei Linearität in jeder der r + s Variablen. Die Menge
aller (r, s)–Tensoren ist ein reeller Vektorraum, den wir mit Tr s (V ) bezeichnen. Wir
definieren außerdem T0 0 (V ) = R. Speziell ist nun
T 0
1 (V ) = V ∗
T 1 0 (V ) = V ∗∗ ∼ = V,
wobei der kanonische Isomorphismus V ∼ = V ∗∗ gegeben ist durch
v(v ∗ ) = v ∗ (v) (5.1.1)
für v ∈ V und v ∗ ∈ V ∗ . Auf diese Weise liefert jedes Element v von V eine lineare
Abbildung V ∗ → R, also ein Element des Dualraumes V ∗∗ = (V ∗ ) ∗ . Diesen
Isomorphismus werden wir im Folgenden oft stillschweigend verwenden, um V mit
T0 1 (V ) zu identifizieren.
Beispiele. (a) Bilinearformen auf V , also z.B. Skalarprodukte, sind Elemente von
T 0
2 (V ).
Version: 18. Februar 2000
38

(b) Sei Hom(V, V ) der Raum der linearen Endomorphismen von V , d.h. der linearen
Abbildungen (oder Vektorraumhomomorphismen) von V in sich. Man hat
einen kanonischen Isomorphismus Ψ : T1 1 (V ) → Hom(V, V ), definiert durch
(Ψ(A))v = A(v, ·) ∈ (V ∗ ) ∗ ∼ = V
für A ∈ T1 1(V ) und v ∈ V . Die inverse Abbildung Ψ−1 : Hom(V, V ) → T1 1 (V ) ist
gegeben durch
(Ψ −1 (Ā))(v, v∗ ) = v ∗ (Āv)
für Ā ∈ Hom(V, V ), v ∈ V und v∗ ∈ V ∗ . Endomorphismen von V sind also im
wesentlichen dasselbe wie (1, 1)–Tensoren.
5.2. Tensorprodukt. Wir definieren eine R–bilineare Abbildung
⊗ : T s
r
s′
s+s′
(V ) × Tr ′ (V ) → Tr+r (V ) ′
wie folgt. Für r = s = 0 oder r ′ = s ′ = 0 ist ⊗ ist die übliche Multiplikation
von multilinearen Abbildungen mit reellen Zahlen, den Elementen von T0 0 (V ) = R.
Andernfalls definieren wir die multilineare Abbildung A ⊗ B durch
(A ⊗ B)(v 1 , . . . , v r+r ′, v ∗1 , . . . , v ∗s+s′ ) =
A(v 1 , . . . , v r , v ∗1 , . . . , v ∗s ) · B(v r+1 , . . . , v r+r ′, v ∗s+1 , . . . , v ∗s+s′ )
für v i ∈ V und v ∗j ∈ V ∗ . Das so definierte Tensorprodukt ist offensichtlich R–
bilinear und assoziativ, genügt also Rechenregeln
(λ 1 A 1 + λ 2 A 2 ) ⊗ B = λ 1 (A 1 ⊗ B) + λ 2 (A 2 ⊗ B)
A ⊗ (λ 1 B 1 + λ 2 B 2 ) = λ 1 (A ⊗ B 1 ) + λ 2 (A ⊗ B 2 )
(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)
für Tensoren A, B, C und Skalare λ. Insbesondere können wir mehrfache Tensorprodukte
A ⊗ B ⊗ C ohne Klammern schreiben. Man beachte aber, dass im
allgemeinen A ⊗ B von B ⊗ A verschieden ist.
Beispiele. (a) Für v 1 , v 2 ∈ V ∼ = T0 1(V
) ist das Produkt v 1 ⊗ v 1 ∈ T0 2 (V ) unter
Ausnutzung des kanonischen Isomorphismus V ∼ = V ∗∗ gegeben durch
(v 1 ⊗ v 2 )(w ∗1 , w ∗2 ) = v 1 (w ∗1 ) v 2 (w ∗2 )
(b) Für v 1 , v 2 ∈ V = T0 1 (V ) und v ∗ ∈ V ∗ = T 0
(V ) gegeben durch
T 2
1
= w ∗1 (v 1 ) w ∗2 (v 2 ) .
1 (V ) ist der Tensor v ∗ ⊗ v 1 ⊗ v 2 ∈
(v ∗ ⊗ v 1 ⊗ v 2 )(w, w ∗1 , w ∗2 ) = v ∗ (w) v 1 (w ∗1 ) v 2 (w ∗2 ).
39

Man beachte, dass gilt v ∗ ⊗ v 1 ⊗ v 2 = v 1 ⊗ (v ∗ ⊗ v 2 ) = (v 1 ⊗ v 2 ) ⊗ v ∗ .
5.3. Lemma. Sei e 1 , . . . , e n eine Basis von V , und sei e ∗1 , . . . , e ∗n die dazu duale
Basis von V ∗ , definiert durch die Bedingung e ∗i (e j ) = δ j i . Dann bilden die Tensoren
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js
für i 1 , . . . , i r , j 1 , . . . , j s = 1, . . . , n eine Basis von Tr s (V ). Insbesondere hat dieser
Raum die Dimension n r+s .
Beweis. Wenn für einen Tensor A ∈ Tr s (V ) gilt
dann ist notwendig
A = ∑ A i1···i r
j 1···j s
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js , (5.3.1)
A i1···i r
j 1···j s
= A(e i1 , . . . , e ir , e ∗j1 , . . . , e ∗js ), (5.3.2)
wie man durch Auswerten beider Seiten von (5.3.1) auf den (r + s)–Tupeln
(e k1 , . . . , e kr , e ∗l1 , . . . , e ∗ls )
einsieht. Daraus folgt bereits die lineare Unabhängigkeit der Elemente e ∗i1 ⊗· · ·⊗e js ,
da sich der Nulltensor A = 0 nur mit verschwindenden Koeffizienten aus ihnen linear
j
kombinieren lässt. Wenn man umgekehrt zu gegebenem Tensor A die A 1···j s
i1···i r
durch (5.3.2) definiert, dann gilt offenbar auch (5.3.1), so dass die Elemente in der
Tat den Raum Tr s (V ) aufspannen. QED
j
5.4. Komponenten. Die eindeutig bestimmten Koeffizienten A 1···j s i1···i r
in Gleichung
(5.3.1) heißen die Komponenten des Tensors A bezüglich der Basis e 1 , . . . , e n
von V . Viele Operationen mit Tensoren lassen sich einfach mit Hilfe ihrer Komponenten
ausdrücken. So lässt sich der Isomorphismus Ψ : T1 1 (V ) → Hom(V, V ) wie
folgt beschreiben. Für A = ∑ A k i e ∗i ⊗ e k und v ∈ V ist
Ψ(A) v = Ψ ( ∑
Ai k e ∗i ⊗ e k
)
v =
∑
Ai k e ∗i (v) e k ∈ V .
Betrachtet man den oberen Index als Zeilenindex und den unteren als Spaltenindex,
dann ist also A i k gerade die Matrix des Endomorphismus Ψ(A) ∈ Hom(V, V )
bezüglich der Basis e 1 , . . . , e n im Sinne der linearen Algebra.
Die Komponenten eines Tensorproduktes ergeben sich einfach als Produkte der
Komponenten der Faktoren. Zum Beispiel ist
( ∑
Aij k e ∗i ⊗ e ∗j ⊗ e k
)
⊗
( ∑
Bp q e ∗p ⊗ e q
)
=
∑
Aij k B p q e ∗i ⊗ e ∗j ⊗ e ∗p ⊗ e k ⊗ e q ,
40

also gilt für die Komponenten von A ⊗ B
(A ⊗ B) ijp kq = A ij k B p q .
5.5. Basiswechsel. Ist ẽ 1 , . . . , ẽ n eine zweite Basis von V , und ist ẽ ∗1 , . . . , ẽ ∗n die
dazu duale Basis von V ∗ , dann gilt
e i = ∑ a k i ẽ k und e ∗i = ∑ b i k ẽ ∗k
mit gewissen Koeffizienten a k i und bk i . Dabei ist (bk i ) die zu (ak i ) inverse Matrix, wie
folgende Rechnung zeigt:
δl i = e∗i (e l ) = ∑ ∑
b i kẽ∗k( a m l ẽ ) ∑
m = b i k am l δm k = ∑ b i k ak l
k
m
k,m k
Die Komponenten Ãk 1···k r
l 1···l s
eines Tensors A bezüglich der neuen Basis ẽ 1 , . . . , ẽ n
lassen sich damit wie folgt bestimmen. Es ist
A = ∑ A i1···i r
j 1···j s
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js
und daher
= ∑ A i1···i r
j 1···j s
b i1
k 1 · · · b ir
k r
a l1
j 1 · · · a ls
j s ẽ ∗k1 ⊗ · · · ⊗ ẽ ∗kr ⊗ ẽ l1 ⊗ · · · ⊗ ẽ ls
à k1···k r
l 1···l s
= ∑ A i1···i r
j 1···j s
b i1
k 1 · · · b ir
k r
a l1
j 1 · · · a ls
j s
, (5.5.1)
wobei die Indizes i 1 , . . . , i r und j 1 , . . . , j s jeweils von 1 bis n summiert werden.
5.6. Kontraktion von Tensoren. Die zweite wichtige algebraische Operation auf
Tensoren nach dem Tensorprodukt ist die Kontraktion oder Spurbildung über einen
oberen und einen unteren Index. Ist zunächst A ∈ T1 1(V
), dann definieren wir C1 1 (A)
als die Spur des Endomorphismus Ψ(A) ∈ Hom(V, V ). Dabei ist Ψ der Isomorphismus
aus 5.1, und es ist zu beachten, dass die Spur eines Endomorphismus nicht
von einer Basiswahl abhängt. C1 1 1
ist eine lineare Abbildung T1 (V ) → T 0 0 (V ) = R.
Bezüglich einer Basis e 1 , . . . , e n von V ist dann
A = ∑ A i j e ∗i ⊗ e j
C 1 1 (A) = ∑ A i i .
Allgemein definieren wir nun für 1 ≤ µ ≤ r und 1 ≤ ν ≤ s eine lineare Abbildung
C ν µ : T s
r (V ) → T s−1
r−1 (V )
wie folgt: C ν µ (A)(v 1, . . . , v r−1 , v ∗1 , . . . , v ∗s−1 ) ist die Spur des (1, 1)–Tensors
A(v 1 , . . . , v µ−1 , ?, v µ , . . . , v r−1 , v ∗1 , . . . , v ∗ν−1 , ?, v ∗ν , . . . , v ∗s−1 ),
41

wobei die Fragezeichen ? Leerstellen bedeuten. Bezüglich einer Basis von V gilt
dann
C ν µ(A) = ∑ A i1···i µ−1ki µ···i r−1
j 1···j ν−1kj ν ···j s−1
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir−1 ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js−1 ,
wobei nun auch über den Index k summiert wird. Die Komponenten von Cµ(A)
ν
erhält man also, indem man den µ–ten unteren und den ν–ten oberen Index gleichsetzt
und aufsummiert. Die Abbildung Cµ ν heißt die Kontraktion (oder Spurbildung,
oder auch Verjüngung) über den µ–ten unteren und ν–ten oberen Index.
5.7. Überschiebungen. Kombinationen Cµ(A ν ⊗ B) von Tensorprodukt und
Kontraktion bezeichnet man gelegentlich als Überschiebungen der Tensoren A und
B. Wir zeigen als Beispiel, dass das “Einsetzen” eines Vektors in einen (2, 1)–Tensor
1
eine solche Überschiebung ist. Seien dazu A ∈ T2 (V ) und X ∈ T0 1 (V ). Dann ist A
eine multilineare Abbildung A : V × V × V ∗ → R, und durch Einsetzen von X an
der ersten Stelle entsteht daraus
Wir zeigen
A(X, ·, ·) ∈ T1 1 (V ).
A(X, ·, ·) = C1 2 (A ⊗ X),
das Tensorprodukt gefolgt von einer Kontraktion. Wir verifizieren das durch Rechnen
mit Komponenten, wobei wir einige Summenzeichen weglassen. Es ist
und damit
A ⊗ X = (A i1i 2
j 1
e ∗i1 ⊗ e ∗i2 ⊗ e j1 ) ⊗ (X j2 e j2 )
= A i1i 2
j 1
X j2 e ∗i1 ⊗ e ∗i2 ⊗ e j1 ⊗ e j2 ,
Andererseits ist
C 2 1 (A ⊗ X) = A ki 2
j 1
X k e ∗i2 ⊗ e j1
= A ki j X k e ∗i ⊗ e j .
A(X, ·, ·) = (A i1i 2 j e ∗i1 ⊗ e ∗i2 ⊗ e j )(X, ·, ·)
= A i1i 2 j e ∗i1 (X) e ∗i2 ⊗ e j
= A i1i 2 j X i1 e ∗i2 ⊗ e j ,
und Umbenennen von Summationsindizes liefert die Behauptung.
5.8. Summationskonvention. Zur Vereinfachung der Schreibweise ist es oft
bequem, bei Rechnungen mit Tensoren die Summenzeichen fortzulassen. Dabei ist
dann vereinbart, dass über alle Indizes, die doppelt auftreten, und zwar einmal als
unterer und das andere Mal als oberer Index, zu summieren ist. Man schreibt also
zum Beispiel für A ∈ Tr s (V )
A = A i1...i r
j 1...j s
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js
42

Summiert werden hier alle Indizes von 1 bis n. Spurbildung bei Tensoren geschieht
dann einfach durch Gleichsetzen eines oberen mit einem unteren Index, etwa so:
(
C
2
1 (A) ) i 2...i r
j 1j 3...j s
= A ii2...i r
j 1ij 3...j s
.
In diesem Fall ist über i zu summieren. Wir werden diese Konvention bei allgemeinen
Betrachtungen im Folgenden häufig anwenden.
5.9. Allgemeinere Tensoren. Es ist gelegentlich nützlich, den Begriff des (r, s)–
Tensors dahingehend zu verallgemeinern, dass nicht notwendig die ersten r Argumente
aus V und die letzten s aus V ∗ stammen müssen. Man erhält auf diese Weise
Objekte wie etwa
A i
jk l e ∗i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e ∗l ,
eine multilineare Abbildung V × V ∗ × V ∗ × V → R. Dabei ist zu beachten, dass die
Position der Indizes beschreibt, um welchen Typ von Tensor es sich handelt—und
das ist der Grund, warum wir bei den Komponenten eines Tensors bereits in (5.3.1)
die Indizes in spezieller Position geschrieben haben. Das bei dieser Schreibweise
verwendete Tensorprodukt ist aber ein anderes als das in 5.2 definierte: Nach der
Definition in 5.2 ist nämlich
← Vorsicht!
e ∗i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e ∗l = e ∗i ⊗ e ∗l ⊗ e j ⊗ e k ,
und das ist eine multilineare Abbildung V × V × V ∗ × V ∗ → R, und nicht V ×
V ∗ × V ∗ × V → R. Beim Umgang mit den allgemeineren Tensoren hingegen bildet
man Tensorprodukte einfach durch Hintereinanderschreiben, ohne die Reihenfolge
der e i und e ∗j zu ändern: Man hat wie vorher zum Beispiel
(A i jk e ∗i ⊗ e j ⊗ e k ) ⊗ (B l m e ∗l ⊗ e m ) = A i jk B l m e ∗i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e ∗l ⊗ e m ,
verzichtet aber dann darauf, e ∗l vor e j zu schreiben. Betrachtet man nur rein
kovariante, also (r, 0)–Tensoren oder nur rein kontravariante, d.h. (0, s)–Tensoren,
dann stimmen beide Definitionen offensichtlich überein; für “gemischte” Tensoren
unterscheiden sie sich.
Aufgaben
1. Tensorprodukt. Seien V und W endlichdimensionale reelle Vektorräume und
V ∗ , W ∗ ihre Dualräume. Wir definieren V ⊗ W als den Vektorraum aller bilinearen
Abbildungen A : V ∗ × W ∗ → R. Für v ∈ V und w ∈ W ist das Tensorprodukt
v ⊗ w ∈ V ⊗ W definiert durch
(v ⊗ w)(v ∗ , w ∗ ) = v(v ∗ ) w(w ∗ ) ,
wobei wie in (5.1.1) v(v ∗ ) = v ∗ (v) ist, also V mit T0 1 (V ) kanonisch identifiziert
wird, und entsprechend für W .
43

(a) Sei v 1 , . . . , v n eine Basis von V und w 1 , . . . , w l eine Basis von W . Zeigen Sie,
dass die Elemente v i ⊗ w µ für i = 1, . . . , n und µ = 1, . . . , l eine Basis von V ⊗ W
bilden.
(b) Sei Hom(V, W ) der Vektorraum der linearen Abbildungen von V nach W , und
sei U ein weiterer endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Beschreiben Sie kanonische
Isomorphismen
Hom(V, W ) ∼ = V ∗ ⊗ W
(V ⊗ W ) ∗ ∼ = V ∗ ⊗ W ∗
V ⊗ (W 1 ⊕ W 2 ) ∼ = (V ⊗ W 1 ) ⊕ (V ⊗ W 2 )
V ⊗ (W ⊗ U) ∼ = (V ⊗ W ) ⊗ U
jeweils mit und ohne Verwendung einer Basis.
2. Schiefsymmetrische Tensoren. Ein (r, 0)–Tensor A auf dem Vektorraum V
heißt schiefsymmetrisch, wenn für jede Permutation π der Menge {1, . . . , r} und
alle v i ∈ V gilt
A(v π(1) , . . . , v π(r) ) = sign(π) A(v 1 , . . . , v r ) .
Dabei bezeichnet sign(π) das Vorzeichen der Permutation π, ist also +1 für gerade
und −1 für ungerade Permutationen. Zeigen Sie:
(a) Ist A ∈ Tr 0 (V ) beliebig, dann ist S(A), definiert durch
S(A)(v 1 , . . . , v r ) := 1 ∑
sign(π)A(v π(1) , . . . , v π(r) ),
r!
π
ein schiefsymmetrischer Tensor. Dabei ist über alle Permutationen π der Menge
{1, . . . , r} zu summieren.
(b) Die Schiefsymmetrisierung S : T 0
r (V ) → T 0
r (V ) ist eine lineare Abbildung mit
S ◦ S = S.
3. Äußeres Produkt. Sei nun Schief r (V ) der Raum der schiefsymmetrischen
(r, 0)–Tensoren. Wir definieren eine bilineare Abbildung
∧ : Schief q (V ) × Schief r (V ) → Schief q+r (V ),
das äußere Produkt oder Dachprodukt schiefsymmetrischer Tensoren, durch
A ∧ B =
(q + r)!
q! r!
S(A ⊗ B)
mit der Schiefsymmetrisierung S aus Aufgabe 2. Zeigen Sie:
(a) Für A ∈ Schief q (V ) und B ∈ Schief r (V ) gilt
A ∧ B = (−1) qr B ∧ A .
44

(b) Das Dachprodukt ist assoziativ:
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
(c) Ist α 1 , . . . , α n eine Basis von V ∗ , dann bilden die Elemente
α i1 ∧ α i2 ∧ . . . ∧ α ir
mit i 1 < i 2 < . . . < i r eine Basis von Schief r (V ). Insbesondere hat dieser Raum die
Dimension ( n
r
)
.
45

6. Tensorfelder, Faserbündel
Ersetzt man in der Definition des Tangentialbündels T M einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit die Tangentialräume T p M durch die Tensorräume Tr s(T
pM), so
gelangt man zum Bündel der (r, s)–Tensoren auf M, das selbst wieder die Struktur
eine differenzierbaren Mannigfaltigkeit trägt. Die Analoga zu den Vektorfeldern
heißen Tensorfelder. Da lokale Koordinaten Basen für die Tangentialräume T p M
liefern, lassen sich Tensorfelder durch Komponentenfunktionen beschreiben, so wie
wir das im Spezialfall der Vektorfelder und auch der Eins–Formen bereits getan
haben. In der Praxis ist ein Tensorfeld oft als eine Abbildung gegeben, die (r + s)–
Tupeln, bestehend aus r Vektorfeldern und s Eins–Formen, reellwertige Funktionen
auf M zuordnet, und die multilinear über dem Ring C ∞ (M) der differenzierbaren
Funktionen ist. Eine entsprechende Charakterisierung liefert Satz 6.8.
Tensorbündel sind spezielle Beispiele von Vektorraumbündeln und, allgemeiner,
Faserbündeln. Auf diese Begriffe gehen wir zum Abschluss des Kapitels kurz ein.
Im Folgenden ist (M, A) eine n–dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Differenzierbarkeit
bedeutet Differenzierbarkeit von der Klasse C ∞ . Wir verwenden
die Summationskonvention aus Abschnitt 5.8.
6.1. Tensorbündel. Die Menge
Tr s M = ⋃
p∈M
T s
r (T pM)
heißt das Bündel der r–fach kovarianten und s–fach kontravarianten Tensoren, oder
kurz: Bündel der (r, s)–Tensoren auf M. Die Projektion π : Tr sM → M ordnet
jedem Tensor A ∈ Tr s (T p M) seinen Fußpunkt π(A) = p zu.
Spezialfälle sind uns bereits begegnet: Es ist T0 0 M = M × R, außerdem ist
T0 1 M = ⋃
(T p M) ∗∗ = ⋃
T p M = T M
p∈M
das Tangentialbündel und T1 0M = T ∗ M das Kotangentialbündel von M. Dem
Muster von T M und T ∗ M folgend, führen wir nun auf Tr s M die Struktur einer
differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein, und definieren dann (r, s)–Tensorfelder als
Schnitte des Bündels π : Tr sM → M, das heißt als Abbildungen A : M → T r sM mit
π ◦ A = id M . Da die Einzelheiten denen bei T M analog sind, werden wir uns hier
kurz fassen.
6.2. Beschreibung in lokalen Koordinaten. Ist A ∈ T s
r (T p M), und ist (ϕ, U)
eine Karte an p, dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen A i1···i r
j 1···j s
, die Komponenten
von A bezüglich der Karte (ϕ, U) dergestalt, dass gilt
p∈M
A = A i1...i r
j 1...j s
dx i1 | p ⊗ · · · ⊗ dx ir | p ⊗ ∂
∂x j1 ∣ ∣∣∣p
⊗ · · · ⊗
Version: 18. Februar 2000
46
∂
∂x js ∣ ∣∣∣p
(6.2.1)

Ist ( ˜ϕ, Ũ) eine weitere Karte an p, und sind ∂/∂˜xi und d˜x i die entsprechenden
Basisfelder, dann gilt nach 3.10 und 4.11
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
= ∂˜xj
∂x i (ϕ(p))
∂
∂˜x j ∣ ∣∣∣p
dx i | p = ∂xi
∂˜x j ( ˜ϕ(p)) d˜xj | p .
Setzt man diese Beziehungen in Gleichung (6.2.1) ein, dann erhält man für die
Komponenten von A bezüglich der Karte ( ˜ϕ, Ũ) durch Koeffizientenvergleich
à k1...k r
l 1...l s
= A i1...i r
j 1...j s
∂x i1
∂˜x · · · ∂xir
k1 ∂˜x kr
∂˜x l1
∂x · · · ∂˜xls (6.2.2)
j1 ∂x js
Ist umgekehrt für jede Karte (ϕ, U) am Punkt p ein n r+s j
–Tupel (A 1···j s i1···i r
)
gegeben dergestalt, dass die Transformationsregel (6.2.2) gilt, dann gibt es genau
ein Element A ∈ Tr s (T p M), dessen Komponenten bezüglich der Karte (ϕ, U) die
j
A 1···j s
i1···i r
sind.
6.3. T s r M als differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sei (ϕ, U) eine Karte von M.
Wir definieren eine Karte
für das Tensorbündel T s r M durch
¯ϕ : T s r M| U → ϕ(U) × R nr+s
(
j
¯ϕ A 1...j r i1...i r
dx i1 | p ⊗ · · · ⊗ ∂ ∣ ∣∣∣p )
= ( j
ϕ(p), (A 1···j s i1···i
∂x js r
) ) .
Die Kartenwechsel ¯ϕ ◦ ¯ψ −1 sind wegen (6.2.2) differenzierbar. Definiert man eine
Topologie auf T s r M wie in 4.6, dann wird T s r M zu einer n + n r+s –dimensionalen
differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
6.4. Tensorfelder. Ein (differenzierbares) (r, s)–Tensorfeld auf M ist eine (differenzierbare)
Abbildung A : M → T s r M mit π ◦ A = id M . Insbesondere sind also
(0, 0)–Tensorfelder reellwertige Funktionen auf M, (0, 1)–Tensorfelder sind Eins–
Formen und (1, 0)–Tensorfelder sind Vektorfelder. Schiefsymmetrische (0, r)–Tensorfelder
nennt man r–Formen oder Differentialformen vom Grad r.
Ist (ϕ, U) eine Karte, und sind ∂/∂x i und dx j die entsprechenden Basisfelder, dann
sind
dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ⊗
∂
∂x ⊗ · · · ⊗ ∂
j1 ∂x js
differenzierbare Tensorfelder, die an jeder Stelle p ∈ U eine Basis von T s
r (T pM)
bilden. Wie in 4.8 zeigt man folgendes
47

Lemma. Eine Abbildung A : M → T s r M mit π ◦ A = id M ist genau dann differenzierbar
von der Klasse C k , wenn für jede Karte (ϕ, U) ∈ A die durch
A| U = ∑ A i1···i r
j 1···j s
dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ⊗ ∂
∂x j1 ⊗ · · · ⊗ ∂
∂x js
j
eindeutig bestimmten Komponentenfunktionen A 1···j s
i1···i r
∈ C k (U) sind.
Beweis. Mit der Karte aus (6.3) gilt
¯ϕ ◦ A ◦ ϕ −1 (x) = ( x, A i1···i r
j 1···j s
(ϕ −1 (x)) ) .
QED
6.5. Aus dem Lemma in 6.4 folgt unmittelbar, dass Tensorprodukte und Kontraktionen
von differenzierbaren Tensorfeldern wieder differenzierbare Tensorfelder
ergeben. Nach 5.7 liefert daher auch das Einsetzen von differenzierbaren Vektorfeldern
in differenzierbare Tensorfelder erneut differenzierbare Tensorfelder. Ist zum
Beispiel g ein (2, 0)–Tensorfeld, und sind X und Y Vektorfelder, dann ist g(X, Y )
das (0, 0)–Tensorfeld (also die Funktion)
(g(X, Y ))(p) = g(p)(X(p), Y (p)).
Bezüglich einer Karte (ϕ, U) ist X| U = X i ∂/∂x i , ebenso Y | U = Y j ∂/∂y j und
g| U = g ik dx i ⊗ dx k . Damit ist
g(X, Y )| U = g ik dx i ⊗ dx k( X j ∂
∂x j , Y l ∂
)
∂x l
= g ik X j Y l dx i( ∂
)
∂x j
= g ik X j Y l δj i δk l
= g ik X i Y k ,
dx k( ∂
∂x l )
und das ist eine differenzierbare Funktion auf U, wenn die Komponenten g ik , X i
und Y k differenzierbar sind.
6.6. Riemannsche Metriken. Eine Riemannsche Metrik auf M ist ein differenzierbares
(2, 0)–Tensorfeld g mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt p ∈ M die
bilineare Abbildung
g(p) : T p M × T p M → R
symmetrisch und positiv definit, also ein Skalarprodukt ist. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
ist ein Paar (M, g), bestehend aus einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
M und einer Riemannschen Metrik g auf M. Die Norm (oder Länge) eines
Vektors X ∈ T p M ist definiert als
‖X‖ = √ g(p)(X, X) .
48

In lokalen Koordinaten (ϕ, U) ist dann
mit den Komponentenfunktionen
g| U = g ik dx i ⊗ dx k
g ik = g( ∂
∂x i ,
∂
∂x k ) .
Die Symmetrie von g bedeutet, dass g ik = g ki ist, und die positive Definitheit von
g(p) ist gleichbedeutend mit g ik (p)X i X k > 0 für alle (X 1 , . . . , X n ) ∈ R n \ {0}.
6.7. Charakterisierung von Tensorfeldern. Sei V die Menge der differenzierbaren
Vektorfelder auf M, und sei V ∗ die Menge der differenzierbaren Eins–Formen.
Jedes (r, s)–Tensorfeld A induziert eine Abbildung
durch
Ā : V × · · · V × V ∗ × · · · × V ∗ → C ∞ (M)
(Ā(X1
, . . . , X r , α 1 , . . . , α s ) ) (p) := A(p)(X 1 (p), . . . , α s (p))
für Vektorfelder X i und Eins–Formen α j . Diese Abbildung Ā ist nicht nur R–
multilinear, sondern offensichtlich sogar multilinear über dem Ring C ∞ (M) der
differenzierbaren Funktionen: Für f, g ∈ C ∞ (M) ist
A(fX + gY, X 2 , . . . , α s ) = f A(X, X 2 , . . . , α s ) + g A(Y, X 2 , . . . , α s ),
und Entsprechendes gilt in den übrigen Variablen. Diese Eigenschaft ist charakteristisch
für Tensorfelder:
Satz. Sei
Φ : V × · · · × V × V ∗ × · · · × V ∗ → C ∞ (M)
eine Abbildung, die multilinear über C ∞ (M) ist. Dann gibt es genau ein differenzierbares
(r, s)–Tensorfeld A mit Ā = Φ.
Beweis. Wir geben den Beweis für den Fall r = 1 und s = 0 und überlassen den
allgemeinen Fall dem Lesenden. Für p ∈ M definieren wir A(p) ∈ T 0
1 (T pM) durch
A(p)(X p ) = (Φ(X))(p)
(∗)
wobei X p ∈ T p M ist und X ∈ V ein Vektorfeld mit X(p) = X p .
(a) Wir zeigen zunächst, dass ein solches Vektorfeld X existiert. Sei (ϕ, U) eine
Karte an p, und sei
X p = ∑ ∣
a i ∂ ∣∣∣p
∂x i .
49

Man wählt eine Funktion f ∈ C ∞ (M) mit f(p) = 1, deren Träger supp(f) in U
enthalten ist (siehe 3.7) und setzt
X(q) =
{ ∑ f(q) a
i
∣
∂ ∣q
∂x
, i falls q ∈ U;
0, falls q ∈ M\U.
(b) Nun zeigen wir, dass (Φ(X))(p) nur von X p abhängt, nicht von der Wahl des
Vektorfeldes X. Offenbar genügt es, zu zeigen, dass aus X(p) = 0 folgt (Φ(X))(p) =
0. Zum Beweis hiervon seien (ϕ, U) und f wie in (a). Dann ist X| U = ∑ X i ∂/∂x i
mit X i (p) = 0. Es ist fX i ∈ C ∞ (M) und f ∂/∂x i ∈ V, da f außerhalb von U
verschwindet. Die Linearität von Φ über C ∞ (M) liefert daher
f 2 Φ(X) = Φ(f 2 X)
(
= Φ f ∑ 2 X i ∂
)
∂x
( i ∑
= Φ fXi · f ∂ )
∂x i
= ∑ (
fX i · Φ f ∂ )
∂x i .
Die Auswertung an der Stelle p ergibt (f(p)) 2 Φ(X)(p) = 0, also Φ(X)(p) = 0.
(c) Aus dem Bisherigen ergibt sich, dass für p ∈ M durch (∗) tatsächlich ein Element
A(p) ∈ T1 0 (T p M) definiert wird. Wir zeigen abschließend, dass die Abbildung A :
p ↦→ A(p) differenzierbar ist. Sei (ϕ, U) eine Karte. Dann ist
A| U = ∑ A i dx i
mit den Komponentenfunktionen A i = A(∂/∂x i ). Wir zeigen, dass die A i differenzierbar
sind (siehe 6.4). Sei dazu p ∈ U. Nach Lemma 2 in Abschnitt 3.7
existieren eine Umgebung V ⊆ U von p und eine Funktion f ∈ C ∞ (M) mit Träger
supp(f) ⊆ U und mit f| V ≡ 1. Dann ist f · ∂/∂x i ∈ V (definiert als 0 außerhalb
von U), also Φ(f ∂/∂x i ) ∈ C ∞ (M). Außerdem gilt für die Einschränkung auf V
denn für alle q ∈ V ist
Φ
(
f ∂
∂x i ) ∣ ∣ ∣∣V = A i | V ,
(
Φ f ∂ ) (
∂x i (q) = A(q) f(q) ∂ ∣ ∣∣∣q )
∂x i = A i (q),
da f(q) = 1. Also ist A i | V ∈ C ∞ (V ), und da p ∈ U beliebig war, folgt die
Behauptung. QED
50

6.8. Faserbündel und Vektorraumbündel. Die Tensorbündel einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit sind Beispiele von Faserbündeln, genauer: Vektorraumbündeln.
Da diese Begriffe in den Anwendungen der Differentialgeometrie eine
wichtige Rolle spielen, gehen wir kurz darauf ein.
Faserbündel. Seien E, M und F differenzierbare Mannigfaltigkeiten, und sei
π : E → M eine differenzierbare Abbildung. Ein Faserbündelatlas (mit Faser F )
für π ist eine Menge
{ (ψ α , E| Uα ) | α ∈ Λ },
wobei {U α | α ∈ Λ} eine offene Überdeckung von M ist, E| U α
:= π −1 (U α ), und
wobei die Bündelkarten
ψ α : E| Uα → U α × F
Diffeomorphismen sind mit der Eigenschaft, dass das Diagramm
ψ α
E| Uα −→
⏐
π↓
U α
id
−→
Uα
⏐ × F
⏐
↓proj 1
U α
kommutiert, also auf E| Uα gilt π = proj 1 ◦ψ α . Dabei bezeichnet proj 1 : U α ×F → U α
die Projektion auf den ersten Faktor. Daraus folgt insbesondere, dass die Abbildung
π surjektiv ist, und auch, dass an jeder Stelle e ∈ E die Ableitung T e π surjektiv ist.
Die Abbildung π ist also eine surjektive Submersion (siehe 4.2). Ein differenzierbares
Faserbündel (mit Faser F ) ist ein Tripel
(E, M, π),
bestehend aus differenzierbaren Mannigfaltigkeiten E und M und einer differenzierbaren
Abbildung π : E → M, für die ein Faserbündelatlas (mit Faser F ) existiert.
Die Mannigfaltigkeit E heißt der Totalraum, M die Basis und π die Projektion des
Faserbündels. Das Urbild E p := π −1 (p) heißt die Faser über dem Punkt p. Man
zeigt leicht, dass jede dieser Fasern E p eine Untermannigfaltigkeit von E ist, die
vermöge der Abbildung ψ α | Ep : E p → {p} × F ∼ = F diffeomorph zu F ist. Anstelle
des Tripels (E, M, π) bezeichnet man etwas ungenau auch oft den Totalraum E als
ein Faserbündel. Dieser Totalraum ist die Vereinigung aller Fasern E p , was zum
Namen “Faserbündel” den Anlass gegeben hat. Ein Schnitt des Faserbündels ist
eine Abbildung σ : M → E mit der Eigenschaft π ◦ σ = id M , also mit σ(p) ∈ E p .
Beispiele. (a) Das Produktbündel mit Faser F über M ist das Faserbündel (M ×
F, M, proj 1 ). Es genügt der aus nur einer Bündelkarte bestehende Faserbündelatlas
{(id M×F , M × F )}. Schnitte sind im Wesentlichen dasselbe wie Abbildungen von
M nach F .
(b) Das Tangentialbündel (T M, M, π) einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M
ist ein Faserbündel mit Faser F = R n . Schnitte dieses Bündels sind Vektorfelder
auf M.
51

(c) Allgemeiner ist das Tensorbündel Tr s M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
ein Faserbündel mit Faser F = Tr s (R n ). Bündelkarten sind die Abbildungen
( ∑
j
ψ 1···j s α Ai1···i r
dx i1 | p ⊗ · · · ⊗
∂ ∣ ∣∣∣p )
:=
∂x js
(
p, ∑ )
j
A 1...j r i1...i s
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js ,
wobei e 1 , . . . , e n die Standardbasis von R n bezeichnet. Schnitte des Tensorbündels
sind (r, s)–Tensorfelder.
(d) Das Einheitstangentialbündel SM ⊆ T M einer n–dimensionalen Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g) ist definiert als die Menge aller Tangentialvektoren X ∈
T M der Norm ||X|| = 1. Bezeichnet π die Einschränkung der Projektion von
T M auf SM, dann ist (SM, M, π) ein Faserbündel mit Faser F = S n−1 , der
(n−1)–dimensionalen Standardsphäre S n−1 = {x ∈ R n | ||x|| = 1}. Schnitte dieses
Bündels sind Vektorfelder der konstanten Länge 1.
Vektorraumbündel. Vektorraumbündel sind Faserbündel, bei denen die Fasern
E p Vektorraumstrukturen tragen, die, grob gesprochen, differenzierbar vom Punkt
p abhängen. Die genaue Definition ist wie folgt. Ein Vektorbündelatlas ist ein
Faserbündelatlas, bei dem die Faser F ein reeller Vektorraum ist und mit der Eigenschaft,
dass die Bündelkartenwechsel faserweise linear sind, das heißt: Zu je zwei
Indizes α, β ∈ Λ existiert eine differenzierbare Abbildung γ αβ : U α ∩ U β → GL(F )
dergestalt, dass für alle (p, v) ∈ (U α ∩ U β ) × F gilt
ψ α ◦ ψ −1
β (p, v) = (p, γ αβ(p)v) . (6.8.1)
Dabei bezeichnet GL(F ) die Menge der Vektorraumautomorphismen von F . Ein
Vektorraumbündel oder kurz Vektorbündel ist ein Faserbündel (E, M, π) zusammen
mit einem maximalen Vektorbündelatlas. Beispiele für Vektorraumbündel sind die
Tensorbündel Tr sM.
Die in Beispiel (c) angegebenen Bündelkarten bilden einen
Vektorbündelatlas, den man durch Hinzunahme aller verträglichen Bündelkarten
zu einem maximalen vervollständigen kann.
Jede Faser E p = π −1 (p) eines Vektorraumbündels wird auf folgende Weise zu einem
reellen Vektorraum. Für p ∈ U α ist die Abbildung ψ α | Ep : E p → {p} × F eine Bijektion,
und man überträgt die Vektorraumstruktur von F auf E p : Für e 1 , e 2 ∈ E p
und λ, µ ∈ R setzt man also
λe 1 + µe 2 := ψ −1
α (p, λf 1 + µf 2 ),
wenn ψ α (e j ) = (p, f j ) ist. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von ψ α , weil
die Kartenwechsel faserweise linear sind. Man sieht leicht, dass die so definierten
Operationen “Addition” und “Multiplikation mit Skalaren” differenzierbare Abbildungen
E × E → E bzw. R × E → E sind.
52

Ist nun π : E → M ein Vektorbündel mit Faser F und Vektorbündelatlas {(ψ α ,
E| Uα ) | α ∈ Λ}, dann erhält man ein neues Vektorbündel π : E ∗ → M mit Faser F ∗ ,
das zu E duale Bündel, wie folgt. Es ist (E ∗ ) p = (E p ) ∗ , der Dualraum von E p , F ∗
der Dualraum von F , und als Vektorbündelatlas wählt man {(ψα, ∗ E ∗ | Uα | α ∈ Λ},
wobei ψα ∗ : E| Uα → U α × F ∗ die faserweise invers transponierte Abbildung ist, also
für p ∈ M
ψα| ∗ E ∗ p
: Ep ∗ → {p} × F ∗
die zu ψ α | Ep invers transponierte Abbildung. Man erhält demnach E ∗ aus E, indem
man faserweise zum Dualraum Ep
∗ übergeht. Ebenso könnte man faserweise zum
Raum der Tensoren Tr s (E) übergehen und erhielte ein Vektorbündel Tr s (E) mit
Faser Tr s (F ). Wendet man diese Konstruktionen speziell auf E = T M an, so erhält
man das Kotangentialbündel E ∗ = T ∗ M und das Tensorbündel Tr s(E)
= T r sM.
Eine allgemeine Beschreibung solcher und ähnlicher Konstruktionen findet sich in
Serge Lang’s Fundamentals of Differential Geometry.
Da die Fasern eines Vektorbündels Vektorraumstrukturen tragen, kann man ihre
Schnitte σ : M → E addieren und mit Funktionen f ∈ C ∞ (M) multiplizieren, wie
wir das vom Spezialfall der Tensorfelder her gewohnt sind. Die Menge der Schnitte,
die oft mit Γ(M, E) oder auch nur Γ(E) bezeichnet wird, erhält so die Struktur
eines Moduls über dem Ring C ∞ (M), und die Struktur eines Vektorraumes über
dem Körper der reellen Zahlen.
Aufgaben
1. Unterschied. Erklären Sie den Unterschied zwischen T s
r (R n ) und T s r R n .
2. Äussere Ableitung. Sei α eine differenzierbare r–Form (siehe 6.4) auf M. Wir
definieren eine (r + 1)–Form dα wie folgt. Ist bezüglich lokaler Koordinaten (ϕ, U)
α| U = ∑ α i1...i r
dx i1 ∧ . . . ∧ dx ir ,
mit dem Dachprodukt ∧ aus Aufgabe 3 von Kapitel 5, dann setzen wir
dα| U := ∑ ∂α i1...i r
∂x j dx j ∧ dx i1 ∧ . . . dx ir , (∗)
wobei ∂α i1...i r
/∂x j wie in 4.14 definiert ist.
(a) Schreiben Sie diese Definition für die Fälle r = 0, 1, 2 explizit aus.
(b) Zeigen Sie, dass die Definition nicht von der Wahl der Karte (ϕ, U) abhängt:
Verwendet man (∗) mit zwei verschiedenen Karten an p, so ergibt sich dieselbe
Differentialform dα.
(c) Zeigen Sie, dass für jede Differentialform α gilt ddα = 0 (Poincaré–Lemma).
3. Faserbündel. Faserbündel wurden definiert als Abbildungen, für die ein Faserbündelatlas
existiert; Vektorbündel dagegen als Faserbündel (E, M, π) zusammen
53

mit einem maximalen Vektorbündelatlas, nicht als Faserbündel, für die ein Vektorbündelatlas
existiert. Erklären Sie, warum. Vergleichen Sie mit den Definitionen
von topologischen und differenzierbaren Mannigfaltigkeiten im ersten Kapitel.
4. Einheitstangentialbündel. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
(a) Zeigen Sie: Zu jedem p ∈ M existieren eine Umgebung U von p und differenzierbare
Vektorfelder e 1 , · · · , e n auf U mit der Eigenschaft, dass für jedes q ∈ U die
Vektoren e 1 (q), · · · , e n (q) eine Orthonormalbasis von T q M bezüglich des Skalarproduktes
g(q) bilden. Man nennt (e 1 , · · · , e n ) ein orthonormales Basisfeld auf U.
Hinweis: Wenden Sie das Orthonormalisierungsverfahren von Gram–Schmidt auf
die Basisfelder einer Karte an.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (a): Das Einheitstangentialbündel einer n–dimensionalen
Riemannschen Mannigfaltigkeit (Beispiel (d) in 6.8) ist ein differenzierbares
Faserbündel mit Faser S n−1 .
5. Triviale Bündel. Zwei Vektorbündel (E 1 , M 1 , π 1 ) und (E 2 , M 2 , π 2 ) heißen
äquivalent, wenn ein fasertreuer und faserweise linearer Diffeomorphismus ihrer Totalräume
existiert, d.h. ein Diffeomorphismus f : E 1 → E 2 mit π 2 ◦ f = π 1 , dessen
Einschränkung auf jede Faser E 1,p diese linear auf E 2,p abbildet. Ein Vektorbündel
heißt trivial, wenn es zu einem Produktbündel (M × F, M, proj 1 ) (mit einem Vektorraum
F ) äquivalent ist. Zeigen Sie:
(a) Ein Vektorbündel (E, M, π) ist genau dann trivial, wenn es n differenzierbare
Schnitte
σ 1 , . . . , σ n ∈ Γ(M, E)
gibt mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt p ∈ M die Elemente σ 1 (p), . . . , σ n (p)
eine Basis der Faser E p bilden.
(b) Das Tangentialbündel des n–dimensionalen Torus M = T n = S 1 × . . . × S 1
(siehe Aufgabe 2, Kapitel 2) ist trivial.
6. Normalenbündel. Sei M ⊆ N eine Untermannigfaltigkeit einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit (N, g). Das Tangentialbündel T M wird mit der Teilmenge
(T ι)(T M) ⊆ T N
identifiziert, wobei T ι die Ableitung der Inklusionsabbildung ι : M → N, ι(p) = p
bezeichnet. Für p ∈ M heißt
T p M ⊥ := { X ∈ T p N | g(p)(X, Y ) = 0 für alle Y ∈ T p M }
der Normalenraum von M im Punkt p. Die Vereinigung T M ⊥ = ⋃ p∈M T pM ⊥ heißt
das Normalenbündel von M in N.
(a) Verwenden Sie an M angepasste Karten (siehe 2.8), um einen Vektorbündelatlas
für (T M ⊥ , M, π) anzugeben.
(b) Finden Sie einen Vektorbündelatlas für das Normalenbündel des Rotationstorus
M ⊆ R 3 aus Aufgabe 2d im zweiten Kapitel. Hinweis: Es genügt ein Atlas mit nur
einer Bündelkarte.
54

7. Vektorfelder und Flüsse
Differenzierbare Vektorfelder, zunächst definiert als Schnitte des Tangentialbündels
der Mannigfaltigkeit M, lassen sich auch als R–lineare Abbildungen des Raumes
C ∞ (M) der differenzierbaren Funktionen in sich selbst charakterisieren, die eine
Produktregel erfüllen, d.h. die Derivationen im Sinne der Algebra sind. Dieser
Beschreibung ist der Anfang des Kapitels gewidmet. Sie wird dann verwendet,
um die Lieklammer [X, Y ] = XY − Y X zweier Vektorfelder einzuführen. Die
Lieklammer verleiht dem reellen Vektorraum V(M) der C ∞ –Vektorfelder auf M
die zusätzliche Struktur einer Liealgebra.
Vektorfelder treten auch auf als Geschwindigkeitsfelder stationärer Strömungen auf
M. Man denkt sich dabei M erfüllt von einer in Bewegung befindlichen Flüssigkeit.
Die Geschwindigkeitsvektoren der (Bahnkurven der) einzelnen Flüssigkeitspartikel
bilden zu jedem festen Zeitpunkt ein Vektorfeld auf M. Wenn dieses Geschwindigkeitsfeld
selbst nicht von der Zeit abhängt, dann spricht man von einer stationären
Strömung auf M. Derartige Strömungen—d.h. die einzelnen Bahnkurven—lassen
sich aus ihrem Geschwindigkeitsfeld rekonstruieren. Solche der Hydrodynamik
entstammenden Betrachtungen führen zum mathematischen Begriff des Flusses
eines Vektorfeldes und dem der Einparametergruppe von Diffeomorphismen. Diese
Dinge werden im zweiten Teil des Kapitels behandelt. Dabei ergibt sich eine geometrische
Deutung der Lieklammer [X, Y ] als Ableitung von Y längs des Flusses
von X, und weiter ein Kriterium dafür, dass vorgegebene Vektorfelder Basisfelder
einer Karte sind.
Wie bisher ist (M, A) eine n–dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, und
Differenzierbarkeit bedeutet Differenzierbarkeit von der Klasse C ∞ . Buchstaben
X, Y, . . . bezeichnen in diesem Abschnitt Vektorfelder, und V = V(M) ist die Menge
aller differenzierbaren Vektorfelder auf M. Für den Wert X(p) eines Vektorfeldes
an einer Stelle p ∈ M schreiben wir auch X p .
7.1. Vektorfelder als Derivationen des Ringes C ∞ (M). Sei X ein differenzierbares
Vektorfeld, und sei f ∈ C ∞ (M). Wir definieren Xf ∈ C ∞ (M) durch
(Xf)(p) := X p f ∈ R.
Statt Xf werden wir gelegentlich X(f) schreiben.
Zum Beweis, dass die Funktion Xf ∈ C ∞ (M) ist, sei (ϕ, U) eine Karte. Dann ist
und X| U = ∑ X i ∂/∂x i mit Komponenten X i ∈ C ∞ (U), und für p ∈ U gilt
Version: 18. Februar 2000
(Xf)(p) =
n∑
i=1
X i (p) ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i (ϕ(p)) .
55

Also ist
(Xf) ◦ ϕ −1 =
n∑
i=1
X i ◦ ϕ −1 ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i ,
und das ist in der Tat eine C ∞ –Funktion auf ϕ(U) ⊆ R n . Diese Beziehung zeigt
auch, dass für Funktionen f ∈ C k (M) die entsprechende Funktion Xf ∈ C k−1 (M)
ist.
Offenbar gelten für f, g ∈ C ∞ (M) und für λ ∈ R die Beziehungen
X(f + g) = Xf + Xg
X(λf) = λ Xf
X(fg) = Xf · g + f · Xg
Beispiele. (a) Sei (ϕ, U) eine Karte und sei f ∈ C ∞ (U). Dann ist nach Definition
der Basisfelder ∂/∂x i der Karte
∂
∂x i f = ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i ◦ ϕ ,
wobei auf der rechten Seite dieser Gleichung eine gewöhnliche partielle Ableitung
in R n steht. Diese Funktion hatten wir in 4.14 bereits mit ∂f/∂x i bezeichnet.
(b) Sei (ϕ, U) eine Karte, und sei X ein Vektorfeld auf M. Dann gilt nach Gleichung
(3.8.2)
n∑
X| U = X(ϕ i ) ∂
∂x i .
i=1
Satz. Sei A : C ∞ (M) → C ∞ (M) eine R–lineare Abbildung mit der Eigenschaft
A(fg) = A(f) · g + f · A(g)
(Produktregel)
für alle f, g ∈ C ∞ (M). Dann existiert genau ein Vektorfeld X ∈ V(M) mit A(f) =
Xf für alle f ∈ C ∞ (M).
Die Produktregel besagt, dass A eine Derivation des Ringes C ∞ (M) im Sinne der
Algebra ist. Zum Beweis des Satzes bemerken wir, dass die Abbildung f ↦→ (Af)(p)
eine Derivation an p, also ein Element X p ∈ T p M ist (siehe 3.5 und 3.7). Wir
definieren das Vektorfeld X durch X(p) := X p und müssen nur noch zeigen, dass X
differenzierbar ist. Bezüglich einer Karte (ϕ, U) ist X| U = ∑ X(ϕ i ) ∂/∂x i . Nach
Voraussetzung ist X(ϕ i ) = A(ϕ i ) ∈ C ∞ (U), und das Lemma in 4.8 ergibt die
Behauptung. QED
7.2. Lieklammer. Seien X und Y differenzierbare Vektorfelder auf M. Wir
definieren die Abbildung A : C ∞ (M) → C ∞ (M) durch Af = X(Y f) − Y (Xf),
also
(Af)(p) = X p (Y f) − Y p (Xf) .
56

Eine einfache Rechnung zeigt, dass A die Voraussetzungen des Satzes in 7.1 erfüllt.
Man bezeichnet das A entsprechende Vektorfeld mit [X, Y ] ∈ V(M) und nennt es
die Lieklammer von X und Y . Es gilt also
[X, Y ]f = X(Y f) − Y (Xf)
oder kurz [X, Y ] = XY − Y X. Man sagt, dass X und Y kommutieren, wenn ihre
Lieklammer [X, Y ] = 0 ist.
7.3. V(M) als Liealgebra. Eine reelle Liealgebra ist ein Paar (V, [·, ·]) bestehend
aus einem reellen Vektorraum V und einer R–bilinearen Abbildung
[·, ·] : V × V → V, (X, Y ) ↦→ [X, Y ]
mit den beiden folgenden Eigenschaften: Für alle X, Y und Z aus V gilt
[X, Y ] = −[Y, X]
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0
(Schiefsymmetrie)
(Jacobi–Identität)
Lemma 1. Mit der in 7.2 definierten Lieklammer bildet der Vektorraum V(M)
eine Liealgebra.
Beweis. Bilinearität und Schiefsymmetrie sind offensichtlich. Zum Nachweis der
Jacobi–Identität berechnet man für f ∈ C ∞ (M)
[[X, Y ], Z]f = [X, Y ]Zf − Z[X, Y ]f
= XY Zf − Y XZf − ZXY f + ZY Xf ,
und Entsprechendes für die beiden übrigen Terme der Jacobi–Identität. Die Addition
aller Terme ergibt Null. QED
Lemma 2. Seien f, g ∈ C ∞ (M), und sei fX ∈ V(M) das Vektorfeld (fX)(p) =
f(p)X(p). Dann gilt
[fX, gY ] = fg[X, Y ] + f · Xg · Y − g · Y f · X.
Beweis. Wegen (gY )h = g · Y h gilt für alle h ∈ C ∞ (M)
[fX, gY ]h = (fX)(gY )h − (gY )(fX)h
= f · X(g · Y h) − g · Y (f · Xh)
= f · (Xg · Y h + g · X(Y h)) − g · (Y f · Xh + f · Y (Xh))
= (f · g · [X, Y ] + f · Xg · Y − g · Y f · X ) h. QED
57

7.4. Lieklammer in lokalen Koordinaten. Wir zeigen zunächst, dass die
Basisfelder jeder Karte untereinander kommutieren. Sei also (ϕ, U) eine Karte von
M, und seien ∂/∂x i die entsprechenden Basisvektorfelder auf U. Wir behaupten,
dass gilt
[ ∂
∂x i ,
Zum Beweis berechnen wir für f ∈ C ∞ (M)
[ ∂
∂x i ,
∂
]
∂x j f =
Nach Beispiel (a) in Abschnitt 7.1 ist
und daher
∂
]
∂x j = 0 . (7.4.1)
∂ ( ∂
)
∂x i ∂x j f −
∂
∂x i f = ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i ◦ ϕ ,
∂ ( ∂
)
∂x j ∂x i f .
[ ∂
∂x i , ∂
]
∂x j f = ∂(( ∂(f◦ϕ −1 )
∂x
◦ ϕ ) ◦ ϕ −1)
j
∂x i ◦ ϕ − ∂(( ∂(f◦ϕ −1 )
∂x
◦ ϕ ) ◦ ϕ −1)
i
∂x j
= ∂2 (f ◦ ϕ −1 )
∂x i ∂x j ◦ ϕ − ∂2 (f ◦ ϕ −1 )
∂x j ∂x i ◦ ϕ
= 0
wegen der Vertauschbarkeit partieller Ableitungen. Damit ist Gleichung (7.4.1) bewiesen.
Für Vektorfelder X und Y mit X| U = ∑ X i ∂/∂x i und Y | U = ∑ Y i ∂/∂x i
ergibt sich daraus nach kurzer Rechnung mittels Lemma 2 in 7.3 die Beziehung
[X, Y ] ∣ ∣
U
=
=
n∑
i=1
(
X(Y i ) − Y (X i ) ) ∂
∂x i
n∑ (
i,j=1
X j
◦ ϕ
(7.4.2)
∂
∂x j Y i − Y j ∂
∂x j Xi) ∂
∂x i .
7.5. Der Fluss eines Vektorfeldes. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf
M. Eine Integralkurve oder Flusslinie von X ist eine differenzierbare Abbildung
c : I → M eines offenen Intervalls I ⊆ R nach M mit der Eigenschaft
ċ = X ◦ c . (7.5.1)
Es wird also gefordert, dass der Tangentialvektor ċ(t) der Kurve c zu jedem “Zeitpunkt”
t mit dem Wert X(c(t)) des Vektorfeldes an der jeweiligen Stelle übereinstimmt.
In lokalen Koordinaten (ϕ, U) lautet diese Bedingung wegen (4.4.1)
dc i
dt (t) = Xi (c(t)) ,
i = 1, . . . , n
58

mit den Komponentenfunktionen c i = ϕ i ◦ c. Etwas umgeschrieben werden diese
Gleichungen zu
dc i
dt (t) = (Xi ◦ ϕ −1 )(c 1 (t), . . . , c n (t)) ,
und das ist bei gegebenem Vektorfeld X ein (autonomes) System gewöhnlicher
Differentialgleichungen für die Funktionen c 1 , . . . , c n . Der folgende Satz fasst die
wesentlichen Aussagen über Existenz, Eindeutigkeit und differenzierbare Abhängigkeit
von Anfangswerten für Lösungen solcher Systeme in geometrischer Einkleidung
zusammen. Ein Beweis findet sich etwa in Serge Lang’s Fundamentals of Differential
Geometry.
Satz 1. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf M.
(a) Zu jedem Punkt p ∈ M existieren ein offenes Intervall I ⊂ R mit 0 ∈ I und
eine Integralkurve c p : I → M mit c p (0) = p.
(b) Sind c p und c ′ p Integralkurven wie in (a), dann stimmen c p und c ′ p auf dem
Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche überein. Daher gibt es ein maximales offenes
Intervall I p ⊆ R mit der Eigenschaft, dass auf I p eine Integralkurve c p mit c p (0) = p
existiert.
(c) Die Menge U = ⋃ p∈M I p × {p} ist eine offene Teilmenge von R × M. Die
durch
φ(t, p) = c p (t)
definierte Abbildung φ : U → M ist differenzierbar.
(d) Es gilt (s + t, p) ∈ U genau dann, wenn (t, p) ∈ U und (s, φ(t, p)) ∈ U ist. Ist
das der Fall, dann gilt
φ(s, φ(t, p)) = φ(s + t, p) . (7.5.2)
Das Bild c p (I p ) heißt der Orbit oder die Bahn des Punktes p. Die Abbildung φ
heißt der Fluss des Vektorfeldes X. Die definierenden Eigenschaften des Flusses
sind also φ(0, p) = p und 1
d
dt∣ φ(t, p) = X(φ(t 0 , p)) (7.5.3)
t0
für alle (t, p) ∈ U, wobei die linke Seite dieser Gleichung den Tangentialvektor
der Kurve c p = φ(·, p) : t ↦→ φ(t, p) an der Stelle t 0 bezeichnet. Für Funktionen
f ∈ C ∞ (M) bedeutet das nach Abschnitt 4.4
d
f(φ(t, p)) = (Xf)(φ(t, p)) . (7.5.4)
dt
1 Die symbolische Schreibweise (d/dt)c oder dc/dt für den Tangentialvektor einer
Kurve c, die wir in (7.5.3) verwenden, ist verbreitet, verträgt sich aber schlecht
mit unserer Notation: Es handelt sich nicht um die Anwendung einer Derivation
(d/dt) t0 auf eine reellwertige Funktion.
59

Das Vektorfeld X heißt vollständig oder global integrierbar, wenn der Definitionsbereich
des Flusses U = R × M ist, also wenn alle Integralkurven auf ganz R
existieren.
Satz 2. Jedes differenzierbare Vektorfeld mit kompaktem Träger ist vollständig.
Insbesondere ist jedes Vektorfeld auf einer kompakten Mannigfaltigkeit vollständig.
Dabei ist der Träger eines Tensorfeldes X definiert als der Abschluss der Menge
aller Punkte p ∈ M, in denen X(p) ≠ 0 ist. Zum Beweis von Satz 2 genügt es zu
zeigen, dass die maximalen Definitionsintervalle I p der Integralkurven abgeschlossen
sind. Da sie zugleich offen sind, folgt dann I p = R, also die Vollständigkeit. Die
Ausführung des Beweises ist Inhalt von Aufgabe 4 zu diesem Kapitel.
7.6. Einparametergruppen von Diffeomorphismen. Sei X ein vollständiges
Vektorfeld mit Fluss φ : R × M → M. Für festes t ∈ R sei φ t : M → M die
Abbildung
φ t (p) = φ(t, p) .
Dann ist φ 0 = id M die Identitätsabbildung von M, und Gleichung (7.5.2) wird zu
φ s ◦ φ t = φ s+t .
Daraus folgt insbesondere, dass φ t ein Diffeomorphismus von M auf sich ist mit
inverser Abbildung φ −t , und dass die Abbildung t ↦→ φ t ein Gruppenhomomorphismus
von R in die Gruppe Diff(M) := Diff ∞ (M) der C ∞ –Diffeomorphismen von M
auf sich ist.
Definition. Eine Einparametergruppe von Diffeomorphismen von M ist eine differenzierbare
Abbildung ψ : R × M → M mit der Eigenschaft, dass die Abbildung
t ↦→ ψ t := ψ(t, ·) ein Gruppenhomomorphismus von R nach Diff(M) ist.
Der Fluss eines vollständigen Vektorfeldes ist, wie eben bemerkt, eine Einparametergruppe
von Diffeomorphismen. Umgekehrt ist jede Einparametergruppe von
Diffeomorphismen der Fluss eines eindeutig bestimmten vollständigen Vektorfeldes
X. Ist nämlich die Einparametergruppe ψ gegeben, dann definiert man X(p) mit
der Schreibweise von (7.5.3) als
X(p) = d dt∣ ψ(t, p) ,
0
den Tangentialvektor an die Kurve t → ψ(t, p) an der Stelle t = 0. Man sieht
leicht ein, dass das so definierte Vektorfeld X differenzierbar ist, und die folgende
Rechnung zeigt, dass sein Fluss mit ψ übereinstimmt:
d
dt∣ ψ(t, p) = d t0
dt∣ ψ(t + t 0 , p) = d 0
dt∣ ψ(t, ψ(t 0 , p)) = X(ψ(t 0 , p)) .
0
60

Insgesamt haben wir damit:
Satz. Die Abbildung, die jedem vollständigen Vektorfeld seinen Fluss zuordnet, ist
eine Bijektion zwischen der Menge aller vollständigen Vektorfelder auf M und der
Menge aller Einparametergruppen von Diffeomorphismen von M.
7.7. Flüsse und Lieklammern. In diesem Abschnitt geben wir eine Deutung der
Lieklammer zweier Vektorfelder mit Hilfe von Flüssen. Sei X ein differenzierbares
Vektorfeld auf M, und sei φ : U → M mit U ⊆ R × M der Fluss von X.
Lemma 1. Sei f ∈ C ∞ (M) und sei V ⊆ M offen mit [0, t 0 ] × V ⊆ U, so dass
für 0 ≤ t ≤ t 0 die Abbildung φ t = φ(t, ·) auf V definiert ist. Dann existiert eine
Funktion g ∈ C ∞ ([0, t 0 ] × V ) mit g 0 = (Xf)| V und mit
auf V für 0 ≤ t ≤ t 0 .
f ◦ φ t = f + t g t
Beweis. Unter Verwendung von Gleichung (7.5.4) ist
f(φ t (p)) − f(p) =
=
= t
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
d
ds f(φ st(p)) ds
t d
dσ ∣ f(φ σ (p)) ds
σ=st
(Xf)(φ st (p)) ds .
Wir definieren
g(t, p) =
∫ 1
0
(Xf)(φ st (p)) ds .
QED
Lemma 2. Sei Y ∈ V(M) ein weiteres Vektorfeld. Dann gilt für alle p ∈ M
[X, Y ](p) = lim
t→0
(T φ −t )Y φt(p) − Y p
t
Y p − (T φ t )Y φ−t(p)
= lim
.
t→0 t
(7.7.1)
Beweis. Die Gleichheit der beiden Grenzwerte sieht man ein, indem man t durch
−t ersetzt. Sei nun f ∈ C ∞ (M). Wie in Lemma 1 schreiben wir f ◦ φ t = f + t g t
mit g 0 = Xf. Damit ist
((T φ t )Y φ−t(p))f = Y φ−t(p)(f ◦ φ t )
= Y φ−t(p)f + t Y φ−t(p)g t ,
61

und folglich
(
lim
t→0
wie behauptet. QED
Y p − (T φ t )Y ) ( φ−t(p)
Yp f − Y φ−t(p)f − t Y )
φ−t(p)g t
f = lim
t
t→0 t
(Y f)(p) − (Y f)(φ −t (p))
= lim
− Y p g 0
t→0 t
= d dt∣ (Y f)(φ t (p)) − Y p g 0
0
= X p (Y f) − Y p (Xf)
= [X, Y ](p)f
Definition. Sei X ∈ V(M), und sei ψ : M → N ein Diffeomorphismus. Dann ist
das Vektorfeld ψ ∗ X ∈ V(N) definiert durch
ψ ∗ X = (T ψ) ◦ X ◦ ψ −1 .
Mit dieser Definition lautet Gleichung (7.7.1)
[X, Y ] = lim
t→0
Y − (φ t ) ∗ Y
t
(7.7.2)
wobei der Limes punktweise zu verstehen ist. Ein Vektorfeld X heißt invariant
unter ψ ∈ Diff(M), wenn ψ ∗ X = X ist, wenn also gilt
(T ψ) ◦ X = X ◦ ψ .
Lemma 3. Ist φ t der Fluss von X, dann ist ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 der Fluss von ψ ∗ X.
Insbesondere gilt: X ist invariant unter ψ genau dann, wenn ψ ◦ φ t = φ t ◦ ψ ist.
Beweis. Sei p ∈ M. Da φ t (p) eine Flusslinie von X ist, gilt für alle p ∈ M in der
Notation von (7.5.3)
d
dt φ t(p) = X(φ t (p)) .
Damit ergibt sich
d
dt (ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 )(p) = (T ψ) d dt (φ t(ψ −1 (p)))
= (T ψ)X(φ t (ψ −1 (p)))
= ((T ψ) ◦ X ◦ ψ −1 )(ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 (p))
= (ψ ∗ X)(ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 (p)) .
Folglich ist die Kurve t → ψ ◦ φ t ◦ ψ −1 (p) die Flusslinie des Vektorfeldes ψ ∗ X durch
den Punkt p. QED
62

Satz. Seien φ t der Fluss von X ∈ V(M) und ψ t derjenige von Y ∈ V(M). Dann
sind folgende Aussagen äquivalent.
(a) Die Flüsse von X und Y kommutieren: φ s ◦ ψ t = ψ t ◦ φ s für alle s und t.
(b) Der Fluss von X lässt Y invariant: (φ s ) ∗ Y = Y für alle s.
(c) Die Vektorfelder X und Y kommutieren: [X, Y ] = 0.
Beweis. Die Äquivalenz der beiden ersten Aussagen steht in Lemma 3, und (b)
impliziert (c) wegen Gleichung (7.7.2). Wir zeigen, dass umgekehrt auch (c) die
Aussage (b) impliziert. Sei also [X, Y ] = 0, und sei p ∈ M. Für die durch
c(t) = ((φ t ) ∗ Y )(p) = (T φ t )Y φ−t(p)
definierte Kurve c : (−ε, ε) → T p M im Tangentialraum T p M gilt
c ′ (t) := lim
h→0
c(t + h) − c(t)
h
(T φ t+h )Y φ−(t+h) (p) − (T φ t )Y φ−t(p)
= lim
h→0 h
(T φ t ) ( )
(T φ h )Y φ−h (φ
= lim
−t(p)) − Y φ−t(p)
h→0 h
= (T φ t ) lim
h→0
(T φ h )Y φ−h (φ −t(p)) − Y φ−t(p)
h
= (T φ t ) ( − [X, Y ](φ −t (p)) )
= 0 .
Neben Lemma 2 wurde dabei auch verwendet, dass φ t+h = φ t ◦ φ h gilt. Also ist die
Kurve c konstant,
((φ t ) ∗ Y )(p) = ((φ 0 ) ∗ Y )(p) = Y (p)
und damit (φ t ) ∗ Y = Y . QED
7.8. Basisfelder. Aus Abschnitt 7.4 ist uns bekannt, dass die Basisfelder einer
Karte untereinander kommutieren. Wir verwenden nun die Ergebnisse von 7.7, um
eine Umkehrung dieser Aussage zu beweisen.
Satz. Seien X 1 , . . . , X k kommutierende differenzierbare Vektorfelder auf M, also
[X i , X j ] = 0 für alle i und j. Sei p ∈ M. Die Vektoren X 1 (p), . . . , X k (p) seien
linear unabhängig. Dann existiert eine Karte (ϕ, U) von M mit p ∈ U, deren erste
k Basisfelder mit den X i übereinstimmen, also
X i | U =
∂
∂x i für i = 1, . . . , k .
Beweis. Sei (ψ, W ) eine Karte von M mit p ∈ W und ψ(p) = 0. Seien e 1 , . . . , e n
die Standardbasisfelder des R n . (Es ist also e i = ∂/∂x i für die Karte id R n, aber
63

das Symbol ∂/∂x i wird anderweitig benötigt.) Indem man ψ durch l ◦ ψ mit einer
geeigneten linearen Abbildung l : R n → R n ersetzt, kann man annehmen, dass für
i = 1, . . . , k gilt
(T ψ)X i (p) = e i (0) .
Seien φ 1 , . . . , φ k die Flüsse der Vektorfelder X 1 , . . . , X k . Dann ist für hinreichend
kleine Umgebungen V ⊆ R n von 0 die Abbildung Φ : V → M,
Φ(x 1 , . . . , x n ) := φ 1 x 1φ2 x 2 · · · φk x kψ−1 (0, . . . , 0, x k+1 , . . . , x n )
definiert und differenzierbar. Wir zeigen zunächst, dass für x ∈ V und i = 1, . . . , k
gilt
(T Φ)e i (x) = X i (Φ(x)) . (7.8.1)
In der Tat ist (T Φ)e i (x) = ċ(0) mit der Kurve
c(t) = Φ(x 1 , . . . , x i + t, . . . , x n )
= φ i x i +t φ1 x 1 · · · ̂φ i x i · · · φ k x kψ−1 (0, . . . , 0, x k+1 , . . . , x n ) .
Dabei wurde die Vertauschbarkeit der Flüsse verwendet, um φ i x i +t
an die erste
Stelle zu schreiben. Die Kurve c ist also eine Integralkurve von X i , und daher
ist insbesondere ċ(0) = X i (c(0)) = X i (Φ(x)). Damit ist die Behauptung (7.8.1)
bewiesen. Speziell mit x = 0 erhalten wir
(T Φ)e i (0) = X i (p) = (T ψ) −1 e i (0) (7.8.2)
für i ≤ k. Für i > k ist andererseits (T Φ)e i (0) = ċ(0) mit der Kurve
c(t) = Φ(0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0) = ψ −1 (0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0),
wobei t jeweils an i–ter Stelle steht. Daher gilt Gleichung (7.8.2) auch für i =
k +1, . . . , n. Insgesamt folgt nun T 0 Φ = T 0 ψ −1 für die Ableitungen an 0, und damit
ist T 0 Φ invertierbar. Nach dem Satz über inverse Funktionen (siehe 4.2) bildet
Φ eine Umgebung von 0 diffeomorph auf eine Umgebung U ⊆ M von p ab. Wir
wählen als Karte (ϕ, U) = (Φ −1 , U). Für die Basisfelder ∂/∂x i dieser Karte zeigt
Gleichung (7.8.1)
∂
∂x i ∣ ∣∣∣q
= (T ϕ −1 )e i (ϕ(q)) = X i (Φ(ϕ(q))) = X i (q) ,
und der Beweis ist beendet. QED
Korollar. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf M, und sei p ∈ M ein Punkt
mit X(p) ≠ 0. Dann existiert eine Karte (ϕ, U) von M mit p ∈ U und
X| U = ∂
∂x 1 .
64

7.9. Lieableitung. Gleichung (7.7.1) liefert einen Deutung der Lieklammer [X, Y ]
als Ableitung von Y nach X, oder genauer längs des Flusses von X,
(T φ −t )Y φt(p) − Y p
[X, Y ](p) = lim
.
t→0 t
In ähnlicher Weise gilt für Funktionen f ∈ C ∞ (M)
f(φ t (p)) − f(p)
(Xf)(p) = lim
.
t→0 t
Diese Beziehungen verallgemeinern sich zum Begriff der Lieableitung von Tensorfeldern
längs eines Vektorfeldes X, auf den wir nun kurz eingehen.
Definition. Für einen Diffeomorphismus ψ : M → M und ein (r, s)–Tensorfeld A
auf M definieren wir den Pullback ψ ∗ A von A unter ψ, ein (r, s)–Tensorfeld, durch
(ψ ∗ A) p (X 1 , . . . , X r , α 1 , . . . , α s )
= A ψ(p)
(
(Tp ψ)X 1 , . . . , (T p ψ)X r , α 1 ◦(T p ψ) −1 , . . . , α s ◦(T p ψ) −1) ,
wobei in dieser Formel X j ∈ T p M und α k ∈ Tp ∗ M sind. Insbesondere sind also
die α k ◦(T p ψ) −1 Elemente des Kotangentialraumes T ψ(p) M. Das Tensorfeld A heißt
invariant unter dem Diffeomorphismus ψ, wenn ψ ∗ A ist.
Definition. Seien X ein differenzierbares Vektorfeld auf M mit Fluss φ t . Die
Lieableitung des (r, s)–Tensorfeldes A längs X ist ein (r, s)–Tensorfeld L X A, definiert
als
(φ ∗ t A)(p) − A(p)
(L X A)(p) = lim
. (7.9.1)
t→0 t
Zu beachten ist, dass in den Wert der Lieableitung (L X A)(p) nicht nur der Wert
von X an der Stelle p eingeht, da der Fluss von X benötigt wird. Eine explizite
Formel für L X A in lokalen Koordinaten ist Gegenstand von Aufgabe 9. Mit Hilfe der
Lieableitung lässt sich feststellen, ob ein Tensorfeld unter dem Fluss eines gegebenen
Vektorfeldes invariant bleibt. Der Beweis des folgenden Kriteriums erfolgt wie bei
der entsprechenden Aussage für Vektorfelder im Satz des Abschnitts 7.7.
Satz. Ein differenzierbares Tensorfeld A ist invariant unter dem Fluss φ t von X,
d.h. es gilt φ ∗ t A = A für alle t, genau dann, wenn die Lieableitung L XA = 0 ist.
Speziell für (0, 0)–Tensorfelder folgt dieser Satz unmittelbar aus Gleichung (7.5.4):
Eine Funktion f ∈ C ∞ (M) ist konstant auf jeder Bahn von X genau dann, wenn
Xf = 0 ist. Funktionen mit Xf = 0 werden in älterer Literatur auch als “Integrale”
des Flusses bezeichnet. In diesem Fall verlaufen die Bahnen von X also in den
Niveaumengen von f, und daher kann die Kenntnis von “Integralen” die Berechnung
der Bahnen erleichtern.
65

Man sieht leicht ein, dass die Lieableitung folgende Eigenschaften hat und durch sie
charakterisiert ist:
(1) Die Lieableitung L X bildet die Menge der differenzierbaren (r, s)–Tensorfelder
R–linear in sich selbst ab.
(2) L X erfüllt die Produktregel für das Tensorprodukt:
L X (A ⊗ B) = (L X A) ⊗ B + A ⊗ (L X B) .
(3) L X vertauscht mit Kontraktionen: Für jede Kontraktion C ν µ gilt
L X ◦ C ν µ = Cν µ ◦ L X .
(4) Für (0, 0)–Tensorfelder, also Funktionen, gilt L X f = Xf.
(5) Für (0, 1)–Tensorfelder, also Vektorfelder, gilt L X Y = [X, Y ].
Aus (2) und (3) ergibt sich insbesondere, dass L X auch die Produktregel für Überschiebungen
Cµ(A ν ⊗ B) erfüllt. Wie verwenden diese Eigenschaft, um die Lieableitung
einer differenzierbaren Eins–Form α zu berechnen. Ist Y ein Vektorfeld auf
M, dann ist αY = α(Y ) = C1 1 (α ⊗ Y ) ein (0, 0)–Tensorfeld. Nach (2) und (3) ist
also wegen (4) und (5)
und dadurch ist L X α festgelegt.
L X (αY ) = (L X α)Y + α(L X Y ) ,
(L X α)Y = X(αY ) − α[X, Y ] , (7.9.2)
Aufgaben
1. Flüsse. Bestimmen und skizzieren Sie die Flüsse folgender Vektorfelder in der
Ebene M = R 2 . Dabei sind α und β reelle Zahlen.
X 1 = x ∂
∂x + ∂
y2 ∂y
X 2 = (αx − βy) ∂
∂
+ (βx + αy)
∂x ∂y
2. Vektorfelder. Finden Sie ein vollständiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld
auf dem Intervall M = (0, 1) und ein unvollständiges Vektorfeld auf M = R.
3. Gegenbeispiel. Zeigen Sie, dass die Vektorfelder X 1 = y ∂/∂x und X 2 =
x 2 ∂/∂y auf M = R 2 vollständig sind, dass aber ihre Summe X 1 + X 2 und die
Lieklammer [X 1 , X 2 ] unvollständig sind.
4. Vollständigkeit. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit
M. Zeigen Sie:
66

(a) Wenn es ein ɛ > 0 gibt mit (−ɛ, ɛ) × M ⊆ U, dann ist X vollständig.
(b) Hat X kompakten Träger, dann ist X vollständig.
5. Lieklammer. Seien X und Y differenzierbare Vektorfelder auf M, und sei
ϕ : M → N ein Diffeomorphismus. Zeigen Sie:
ϕ ∗ [X, Y ] = [ϕ ∗ X, ϕ ∗ Y ]
6. Vollständigkeit. Zeigen Sie: Zu jedem X ∈ V(M) existiert ein vollständiges
Vektorfeld Y ∈ V(M), dessen Bahnen mit denen von X übereinstimmen. Hinweis:
Y = fX mit einer geeigneten Funktion f.
7. Taylorreihe. Sei X ein vollständiges Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit M,
φ sein Fluss, und sei f ∈ C ∞ (M). Zeigen Sie für die k–te Ableitung
d k
dt k ∣ ∣∣∣t0
f(φ t (p)) = (X k f)(φ t0 (p)) .
wobei X k f = XX . . . Xf ist, also (X k f)(q) = X q (X k−1 f) für q ∈ M. Leiten Sie
daraus folgende formale Taylorentwicklung ab:
f ◦ φ t ∼ e tX f
8. Taylorformel. (a) Zeigen Sie, dass in den Bezeichnungen von Aufgabe 7 gilt
f(φ t (p)) =
k∑
j=0
(X j f)(p)
j!
t j + tk+1
k!
∫ 1
0
(1 − s) k (X k+1 f)(φ st (p)) ds .
Hinweis: Verwenden Sie die Taylorsche Formel für reellwertige Funktionen einer
reellen Veränderlichen mit Restglied in Integralform.
(b) Folgern Sie: Ist X k f = 0 für ein k, und ist M kompakt, dann ist Xf = 0.
9. Rechnung. Das Tensorfeld A sei bezüglich einer Karte (ϕ, U) von M gegeben
als
A| U = ∑ j
A 1···j s i1···i r
dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ⊗ ∂
∂x ⊗ · · · ⊗ ∂
j1 ∂x . js
Berechnen Sie L X A.
10. Lieableitung. Zeigen Sie, dass für die Lieableitung von Tensorfeldern gilt
L X ◦ L Y − L Y ◦ L X = L [X,Y ] .
Hinweis: L X
festgelegt.
ist durch die Eigenschaften (1) bis (5) aus Abschnitt 7.9 eindeutig
67

8. Partitionen der Eins und ihre Anwendung
Partitionen der Eins sind Zerlegungen der konstanten Funktion “Eins” auf M als
Summe differenzierbarer nichtnegativer Funktionen. Solche Zerlegungen lassen sich
angepasst an eine vorgegebene Überdeckung von M bilden und erleichtern viele
Konstruktionen der Differentialgeometrie. Wir illustrieren das an typischen Beispielen:
der Fortsetzung von Vektorfeldern, die auf einer Untermannigfaltigkeit gegeben
sind; der Konstruktion Riemannscher Metriken; der Einbettung differenzierbarer
Mannigfaltigkeiten in einen R k ; und der Approximation stetiger Funktionen durch
differenzierbare.
8.1. Offene Überdeckungen. Eine offene Überdeckung eines topologischen
Raumes M ist eine Menge
O = { U α | α ∈ Λ }
offener Teilmengen U α von M mit der Eigenschaft ⋃ α∈Λ U α = M. Die Überdeckung
heißt lokal endlich, wenn jeder Punkt p ∈ M eine Umgebung U besitzt mit U ∩U α =
∅ für alle bis auf endlich viele α ∈ Λ. Eine offene Überdeckung O′ = { V β | β ∈ I }
heißt eine Verfeinerung von O, wenn zu jedem Index β ∈ I ein α ∈ Λ existiert mit
V β ⊆ U α , wenn also jede Menge aus O ′ in einer Menge aus O enthalten ist.
8.2. Kompakte Ausschöpfung. Jede topologische Mannigfaltigkeit besitzt eine
Ausschöpfung durch kompakte Teilmengen in folgendem Sinne. Es existieren kompakte
Teilmengen C i ⊆ M (i ∈ N) dergestalt, dass C i im Inneren Ci+1 ◦ von C i+1
enthalten ist und dass ⋃ ∞
i=1 C i = M gilt. Zur Konstruktion solcher C i findet man
zunächst eine abzählbare offene Überdeckung { G i | i ∈ N } von M dergestalt,
dass die Abschlüsse G i kompakt sind. Für diese G i kann man etwa die Urbilder
geeigneter offener Bälle im R n unter Karten verwenden. Dann setzt man C 1 = G 1 .
Ist nun C i bereits konstruiert, und ist k die kleinste Zahl mit C i ⊆ ⋃ k
j=1 G j, dann
definiert man
C i+1 = G i+1 ∪
k⋃
G j .
8.3. Lemma. Sei (M, A) eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, und sei O =
{ U α | α ∈ Λ } eine offene Überdeckung von M. Dann existiert ein Atlas
von M mit folgenden Eigenschaften.
j=1
{ (ϕ β , V β ) | β ∈ I } ⊆ A
(a) Die Überdeckung { V β | β ∈ I } ist eine lokal endliche Verfeinerung von O.
(b) Das Bild ϕ β (V β ) ist der Ball B(0, 3) = { x ∈ R n | ‖x‖ < 3 }.
Version: 18. Februar 2000
68

(c) M = ⋃ β∈I ϕ−1 β
(B(0, 1)).
Hausdorffsche topologische Räume mit der Eigenschaft, dass es zu jeder offenen
Überdeckung eine lokal endliche Verfeinerung gibt, nennt man parakompakt. Das
Lemma besagt also insbesondere, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit parakompakt
ist—und wenn man überall die Forderung der Differenzierbarkeit fortlässt,
sieht man, dass auch jede topologische Mannigfaltigkeit parakompakt ist.
Zum Beweis des Lemmas wählen wir eine Ausschöpfung C i ⊆ M wie in 8.2 und
setzen C 0 = ∅. Da die Menge C i \ Ci−1 ◦ kompakt ist, existieren für jedes i ∈ N
endlich viele Karten
(ϕ i1 , V i1 ), . . . , (ϕ iri , V iri )
mit den Eigenschaften
und so dass gilt
ϕ(V ij ) = B(0, 3)
V ij ⊆ C i+1 \ C i−2
V ij ⊆ U α für ein α,
C i \ C ◦ i−1 ⊆
⋃r i
j=1
ϕ −1
ij (B(0, 1)).
In der Tat gibt es an jedem Punkt p ∈ C i \ Ci−1 ◦ eine Karte mit diesen Eigenschaften,
und endlich viele dieser Karten genügen, um das Kompaktum C i \ Ci−1
◦
zu überdecken. Dann ist
{ (ϕ ij , V ij ) | i ∈ N, j = 1, . . . , r i }
der gewünschte Atlas. Dieser Atlas ist lokal endlich, da wegen V ij ∩ C i−2 = ∅ jede
der Teilmengen C k nur endlich viele V ij schneidet. QED
8.4. Satz. (Partition der Eins) Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und
O = { U α | α ∈ Λ } eine offene Überdeckung von M. Dann existiert eine Menge
{ ϱ α | α ∈ Λ } ⊆ C ∞ (M)
differenzierbarer Funktionen mit folgenden Eigenschaften.
(a) ϱ α (M) ⊆ [0, 1] für alle α ∈ Λ.
(b) Der Träger supp(ϱ α ) ist in U α enthalten, und es gilt sogar
(c) supp(ϱ α ) ⊆ W α für eine lokal endliche Verfeinerung { W α | α ∈ Λ } von O mit
W α ⊆ U α für alle α ∈ Λ.
∑
(d) Für jeden Punkt p ∈ M gilt
α∈Λ ϱ α(p) = 1. Diese Summe ist nach (c)
endlich.
Die Menge { ϱ α | α ∈ Λ } heißt eine der Überdeckung O untergeordnete Zerlegung
(oder Partition) der Eins.
69

Beweis. Sei { (ϕ β , V β ) | β ∈ I } ein Atlas wie in Lemma 8.3, und sei ϱ ∈ C ∞ (R n )
eine Funktion mit 0 ≤ ϱ ≤ 1 und ϱ| B(0,1) = 1, deren Träger in B(0, 2) enthalten ist.
Wir setzen
{
ϱ (ϕβ (p)) , wenn p ∈ V
σ β (p) =
β ;
0, sonst.
Nun wählen wir eine Abbildung λ : I → Λ so, dass für alle β ∈ I gilt V β ⊆ U λ(β) ,
und definieren
f α (p) =
∑
σ β (p) .
β∈λ −1 (α)
Dies ist eine endliche Summe, da die Überdeckung { V β | β ∈ I } lokal endlich ist.
Sei
W α :=
⋃
V β .
Dann ist W α ⊆ U α , und der Träger
supp(f α ) ⊆
β∈λ −1 (α)
⋃
β∈λ −1 (α)
supp(σ β ) ⊆ W α .
Wir definieren die gewünschten Funktionen ρ α durch
ϱ α (p) =
f α (p)
∑κ∈Λ f κ(p) .
Wegen Eigenschaft (c) in Lemma 8.3 ist der Nenner positiv.
Es bleibt zu zeigen, dass die offene Überdeckung { W α | α ∈ Λ } eine lokal endliche
Verfeinerung von O ist. Jeder Punkt p ∈ M besitzt eine Umgebung U mit U ∩V β =
∅ für alle bis auf endlich viele β ∈ I. Wenn U ∩ W α ≠ ∅ ist, dann gibt es ein
β ∈ λ −1 (α) mit U ∩ V β ≠ ∅. Da es nur endlich viele solche β gibt, existieren nur
endlich viele α = λ(β) mit U ∩ W α ≠ ∅, und die Behauptung ist bewiesen. QED
Die folgenden Sätze sind typische Anwendungen von Partitionen der Eins. Dabei
ist (M, A) eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.
8.5. Satz. (Fortsetzung von Vektorfeldern) Sei N ⊆ M eine Untermannigfaltigkeit,
und sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf N. Dann existiert ein differenzierbares
Vektorfeld ˜X auf M mit ˜X| N = X.
Zu beachten ist, dass hier das Tangentialbündel T N mit einer Teilmenge von T M
identifiziert wird. Diese Identifikation ist klar, wenn man Tangentialvektoren geometrisch
als Äquivalenzklassen von Kurven in N (also auch in M) sieht. In der
Sprache der Derivationen bedeutet sie die Identifikation von T N mit seinem Bild
unter der Ableitung T ι : T N → T M der Inklusionsabbildung ι : N → M. Der Satz
und sein Beweis gelten in ähnlicher Form für allgemeine Tensorfelder.
70

Beweis des Satzes. Sei { (ϕ α , U α ) | α ∈ Λ } ⊆ A ein Atlas für M mit der Eigenschaft,
dass für alle α ∈ Λ mit U α ∩ N ≠ ∅ die Karte (ϕ α , U α ) im Sinne von Definition
2.8 an die Untermannigfaltigkeit N angepasst ist. Dabei kann man annehmen, dass
ϕ α (U α ) = R n+l ist, und dass
gilt. Bezüglich der Karte (ϕ α , U α ) ist
ϕ α (U α ∩ N) = R n × {0} ⊆ R n+l
X| Uα∩N =
n∑
i=1
X i α
∂
∂x i ∣ ∣∣∣N
mit auf U α ∩ N definierten Komponentenfunktionen X i α. Wir setzen nun zunächst
die Einschränkung X| Uα∩N zu einem differenzierbaren Vektorfeld ˜X α auf U α fort.
Dazu setzen wir ˜X α = 0, wenn U α ∩ N = ∅ ist, und andernfalls
˜X α (p) =
n∑
i=1
Xα
i (
ϕ
−1
α ◦ π ◦ ϕ α(p) ) ∣
∂ ∣∣∣p
∂x i
für p ∈ U α , wobei π : R n+l → R n die Projektion auf die ersten n Komponenten
bezeichnet.
Die Fortsetzungen ˜X α fügen wir nun mit Hilfe einer Partition der Eins zu einem
differenzierbaren Vektorfeld ˜X auf M zusammen. Sei dazu { ϱ α | α ∈ Λ } eine der
Überdeckung { U α | α ∈ Λ } untergeordnete Zerlegung der Eins. Wir definieren
˜X = ∑ α∈Λ
ϱ α ˜Xα ,
also für p ∈ M
˜X(p) = ∑ α∈Λ
ϱ α (p) ˜X α (p) .
Dabei ist ϱ α (p) ˜X α (p) = 0 zu setzen wenn ϱ α (p) = 0 ist.
˜X α (p) = X(p), also
( ∑ )
˜X(p) = ϱ α(p) X(p) = X(p) .
α∈Λ
Für p ∈ N ∩ U α gilt
QED
8.6. Satz. (Existenz Riemannscher Metriken) Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit
existiert eine Riemannsche Metrik g.
Beweis. Sei { (ϕ α , U α ) | α ∈ Λ } ⊆ A ein Atlas. Wir definieren eine Riemannsche
Metrik g α auf U α mit Hilfe der Koordinatendifferentiale dx i α = dϕ i α durch
g α = ∑ n
i=1 dϕi α ⊗ dϕi α .
71

Nun sei { ϱ α | α ∈ Λ } eine der Überdeckung { U α | α ∈ Λ } untergeordnete Partition
der Eins. Wir setzen
g = ∑ α∈Λ ϱ α g α .
Ausführlich bedeutet das: Für p ∈ M und X, Y ∈ T p M ist g(X, Y ) definiert als die
endliche Summe
g(X, Y ) = ∑ α∈Λ
ϱ α (p) g α (p)(X, Y ) .
Da die ϱ α nichtnegative Funktionen sind, und weil g α in jedem Punkt von U α positiv
definit ist, ist auch g(p) für jeden Punkt p ∈ M positiv definit. QED
8.7. Satz. (Einbettung in R k ) Sei M eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann existiert eine differenzierbare Einbettung f : M → R k für geeignetes
k. Insbesondere ist jede kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit diffeomorph zu
einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit eines R k .
Beweis. Sei { (ϕ β , V β ) | β = 1, . . . , m } ein endlicher Atlas mit ϕ β (V β ) = B(0, 3) =
{ x ∈ R n | ‖x‖ < 3 } und mit
m⋃
β=1
ϕ −1
β
(B(0, 1)) = M .
Zu diesem Atlas wählen wir Funktionen σ β wie im Beweis von Satz 8.4. Bezeichnet
n die Dimension von M, dann definieren wir f : M → R m+mn durch
f(p) = ( σ 1 (p), . . . , σ m (p), σ 1 (p) ϕ 1 (p), . . . , σ m (p) ϕ m (p) ) .
Dabei ist wieder σ β (p) ϕ β (p) = 0 zu setzen, wenn p nicht in V β enthalten ist.
Wir zeigen, dass die Abbildung f ist eine injektive Immersion ist. Da injektive
Immersionen kompakter Mannigfaltigkeiten stets Einbettungen sind (siehe Aufgabe
4(a) zum vierten Kapitel), folgt dann die Behauptung.
Die Funktionen σ β sind konstant Eins auf den Mengen ϕ −1
β
(B(0, 1)), und diese
Mengen überdecken M. Daher gibt es zu jedem Punkt p ∈ M einen Index α mit
σ α (p) = 1. Ist nun q ein weiterer Punkt mit f(p) = f(q), dann ist nach Definition
von f auch σ α (q) = 1 und damit ϕ α (q) = ϕ α (p). Da die Abbildung ϕ α injektiv
ist, folgt q = p. Also ist f injektiv. Um einzusehen, dass die Ableitung T p f an
der Stelle p injektiv ist, beachtet man, dass auf der Umgebung ϕ −1
α (B(0, 1)) von
p die Funktion σ α = 1 ist. Auf dieser Umgebung gilt also σ α ϕ α = ϕ α für die
entsprechende Komponente von f. Da die Ableitung T p ϕ α injektiv ist, ist auch T p f
injektiv. QED
Die Aussage von Satz 8.7 lässt sich auf nichtkompakte Mannigfaltigkeiten ausdehnen,
und auch hinsichtlich der Einbettungsdimension sind Verbesserungen möglich.
Eine solche stärkere Aussage macht der
72

Einbettungssatz von Whitney. Jede n–dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit
lässt sich differenzierbar dergestalt in den R 2n+1 einbetten, dass das Bild
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von R 2n+1 ist.
Man konstruiert zu diesem Zweck zunächst eine eigentliche injektive Immersion
(siehe Aufgabe 4(a) zum vierten Kapitel) in einen hochdimensionalen R k und projiziert
dann auf einen geeigneten 2n + 1–dimensionalen Untervektorraum. Dieser
muss so gewählt werden, dass die Einbettungseigenschaft und insbesondere die Injektivität
bei der Projektion nicht verlorengeht—und das liefert 2n+1 als geeignete
Dimension. Zu diesem Thema findet man Weiteres etwa in der “Einführung in die
Differentialtopologie” von Bröcker und Jänich, und in der Originalarbeit H. Whitney,
Differentiable manifolds, Ann. Math. 37(1936), 1–36.
Der Whitneysche Satz könnte zunächst dazu verleiten, den abstrakten Begriff der
differenzierbaren Mannigfaltigkeit für überflüssig zu halten: Es gibt keine Beispiele,
die nicht ohnehin diffeomorph zu einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit eines
R k wären. Dazu ist zu bemerken, dass viele konkrete Beispiele differenzierbarer
Mannigfaltigkeiten—etwa Quotientenräume—keine in irgendeiner Form natürliche
Einbettung in einen R k besitzen. Die Wahl einer Einbettung ist dann die Wahl
einer zusätzlichen Struktur, die einer gewissen Willkür unterliegt und nicht durch
die inneren Eigenschaften von M vorgegeben ist.
8.8. Satz. (Approximation) Sei f : M → R eine stetige Funktion auf der differenzierbaren
Mannigfaltigkeit (M, A). Dann gibt es zu jeder Zahl ε > 0 eine
differenzierbare Funktion ˜f ∈ C ∞ (M) mit |f(p) − ˜f(p)| < ε für alle p ∈ M.
Beweis. Mit Hilfe des Weierstraßschen Approximationssatzes oder anderer Methoden
zeigt man zunächst, dass es zu jeder stetigen reellwertigen Funktion h auf dem
abgeschlossenen Einheitsball ¯B(0, 1) ⊆ R n eine Funktion ˜h ∈ C ∞ (R n ) gibt mit
|h(x) − ˜h(x)| < ε für alle x ∈ ¯B(0, 1). Dieses Resultat übertragen wir mit Hilfe
einer Partition der Eins auf M.
Sei dazu { (ϕ α , U α ) | α ∈ Λ } ⊆ A ein Atlas mit ϕ α (U α ) = B(0, 2) und mit der
Eigenschaft, dass die Mengen V α := ϕ −1
α (B(0, 1)) eine Überdeckung von M bilden.
Sei {ϱ α } eine der Überdeckung {V α} untergeordnete Zerlegung der Eins. Die Funktionen
f ◦ ϕ −1
α sind stetig auf ¯B(0, 1). Wir wählen Funktionen hα ∈ C ∞ (R n ) so,
dass auf ¯B(0, 1) gilt
|f ◦ ϕ −1
α − h α | < ε .
Für die Funktionen ˜f α := h α ◦ ϕ α ist dann |f − ˜f α | < ε auf V α . Wir definieren
˜f = ∑ α∈Λ
ϱ α ˜fα .
Dann gilt in jedem Punkt von M
|f − ˜f| = ∣ ∑ ϱ α f − ∑ ∣ ∣∣
∑
ϱ α ˜fα ≤ ϱ α |f − ˜f α | < ε .
α∈Λ α∈Λ
α∈Λ
QED
73

Aufgaben
1. Riemannsche Metriken. Sei M ⊆ N eine Untermannigfaltigkeit der differenzierbaren
Mannigfaltigkeit N, und sei g eine Riemannsche Metrik auf M. Zeigen
Sie, dass eine Riemannsche Metrik ˜g auf N existiert, so dass für alle p ∈ M und
alle X, Y ∈ T p M ⊆ T p N gilt ˜g(p)(X, Y ) = g(p)(X, Y ).
2. Flusslinie. Zeigen Sie, dass jede injektive differenzierbare Kurve c : [a, b] →
M, deren Tangentialvektor ċ(t) nirgends verschwindet, Flusslinie eines geeigneten
differenzierbaren Vektorfeldes auf M mit kompaktem Träger ist.
3. Diffeomorphismengruppe k–fach transitiv. Sei M eine wegzusammenhängende
differenzierbare Mannigfaltigkeit, und seien { p 1 , . . . , p k } und { q 1 , . . . , q k }
zwei k–elementige Teilmengen von M. Zeigen Sie: Es existiert ein Diffeomorphismus
ϕ von M auf sich mit ϕ(p i ) = q i für i = 1, . . . , k. Sind beide Mengen in einer
kompakten Teilmenge K ⊆ M enthalten, dann kann ϕ so gewählt werden, dass
ϕ| M\K die Identitätsabbildung ist. Hinweis: Beginnen Sie mit k = 1 und verwenden
Sie Aufgabe 2.
4. Gerade. Zeigen Sie, dass sich die reelle Gerade in jede nichtkompakte differenzierbare
Mannigfaltigkeit als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einbetten
lässt.
5. Vollständige Vektorfelder. Zeigen Sie, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
M genau dann kompakt ist, wenn jedes differenzierbare Vektorfeld auf M
vollständig ist. Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 4.
74

9. Kurven im R 3
Dieser Abschnitt gibt eine kurze Einführung in die klassische Theorie der Kurven
im dreidimensionalen euklidischen Raum. Wir zeigen, dass reguläre Kurven immer
nach der Bogenlänge parametrisiert werden können. Anschließend definieren wir das
Frenetsche Dreibein, die Krümmung und die Torsion einer Raumkurve, und leiten
die Frenetschen Formeln her. Dann erinnern wir an den Begriff der eigentlichen
euklidischen Bewegung und zeigen, dass Krümmung und Torsion einer Kurve unter
solchen Bewegungen invariant bleiben. Hauptresultat dieses Abschnittes ist der so
genannte Fundamentalsatz der Kurventheorie im R 3 , der im Wesentlichen besagt,
dass es zu vorgegebener Krümmung und Torsion immer eine passende Kurve gibt,
und dass diese bis auf eigentliche euklidische Bewegungen eindeutig bestimmt ist.
9.1. Bogenlänge. Die Länge einer einmal stetig differenzierbaren Kurve c ∈
C 1 ([a, b], R 3 ) mit Ableitung c ′ = dc/dt ist definiert als
L(c) :=
∫ b
a
‖c ′ (t)‖ dt.
Die Kurve c heißt regulär, wenn für alle t die Ableitung c ′ (t) ≠ 0 ist. Sie heißt
nach der Bogenlänge parametrisiert, wenn sogar ‖c ′ (t)‖ = 1 gilt für alle t ∈ [a, b].
In diesem Fall ist die Länge jedes Teilstückes c| [a,t] gleich dem jeweils verstrichenen
Parameterwert t−a. Das folgende Lemma besagt, dass man reguläre Kurven immer
nach der Bogenlänge umparametrisieren kann, und dass der Bogenlängenparameter
bis auf Verschiebungen eindeutig bestimmt ist.
Lemma. Sei c ∈ C k ([a, b], R 3 ) mit k ≥ 1.
(a) Ist c regulär, dann existiert ein C k –Diffeomorphismus ϕ : [0, L(c)] → [a, b]
dergestalt, dass die Kurve c ◦ ϕ nach der Bogenlänge parametrisiert ist.
(b) Gilt ‖c ′ ‖ = 1 auf [a, b] und ist ϕ : [a 1 , b 1 ] → [a, b] ein C k –Diffeomorphismus mit
ϕ(a 1 ) = a und ‖(c ◦ ϕ) ′ ‖ = 1, dann ist ϕ eine Translation, also ϕ(s) = s + a − a 1
für alle s ∈ [a 1 , b 1 ].
Beweis. (a) Zum Beweis der ersten Aussage definieren wir ψ ∈ C k ([a, b], R) durch
ψ(t) =
∫ t
a
‖c ′ (τ)‖ dτ.
Wegen ψ ′ (t) = ‖c ′ (t)‖ > 0 bildet ψ das Intervall [a, b] streng monoton auf [0, L(c)]
ab. Mit der Umkehrrabbildung ϕ = ψ −1 gilt dann
Version: 18. Februar 2000
||(c ◦ ϕ) ′ (s)|| = ||c ′ (ϕ(s))||
75
1
|ψ ′ (ϕ(s))| = 1.

(b) Aus 1 = ||(c ◦ ϕ) ′ || = ||c ′ ◦ ϕ|| · |ϕ ′ | ergibt sich |ϕ ′ | = 1, und daraus die
Behauptung. QED
9.2. Krümmung und Torsion von Kurven. Im folgenden nennen wir eine
zweimal stetig differenzierbare Kurve biregulär, wenn die Ableitungen c ′ (t) und
c ′′ (t) für alle t linear unabhängig sind. Sei c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) biregulär und nach
der Bogenlänge parametrisiert, also ||c ′ || = 1. Der Tangentenvektor e 1 , Hauptnormalenvektor
e 2 und Binormalenvektor e 3 von c sind definiert als
e 1 (s) = c ′ (s)
e 2 (s) =
c′′ (s)
||c ′′ (s)||
e 3 (s) = e 1 (s) × e 2 (s)
Das Tripel (e 1 , e 2 , e 3 ) heißt das begleitende Dreibein oder Frenetsche Dreibein der
Kurve c. Die Krümmung κ und die Torsion τ von c sind definiert als
κ(s) = ||c ′′ (s)||
τ(s) = 〈e ′ 2 (s), e 3(s)〉
(9.2.1)
Dabei bezeichnet 〈·, ·〉 das Standardskalarprodukt des R 3 . Die Torsion ist also die
e 3 –Komponente der Änderung von e 2. Setzt man die Definitionen der e i ein, so
erhält man unter Verwendung der Determinante det
τ = 〈c′ × c ′′ , c ′′′ 〉
κ 2 = det(c′ , c ′′ , c ′′′ )
κ 2 . (9.2.2)
Krümmung und Torsion biregulärer Kurven c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ), die nicht notwendig
||c ′ || = 1 erfüllen, werden wie folgt definiert: Man parametrisiert c zunächst nach
der Bogenlänge wie im Lemma von 9.1 und definiert dann κ(t) als die Krümmung
der reparametrisierten Kurve c ◦ ϕ an der Stelle s = ϕ −1 (t), und entsprechend τ(t)
als die Torsion von c ◦ ϕ an der Stelle s = ϕ −1 (t). Für die Krümmung und Torsion
beliebiger biregulärer Kurven ergibt sich dann
κ = ||c′ × c ′′ ||
||c ′ || 3
τ = 〈c′ × c ′′ , c ′′′ 〉
||c ′ × c ′′ || 2 . (9.2.3)
9.3. Bewegungsinvarianz von κ und τ. Bireguläre Kurven, die durch Anwendung
einer euklidischen Bewegung auseinander hervorgehen, haben in entsprechenden
Punkten dieselbe Krümmung, und bis auf Vorzeichen dieselbe Torsion. Dabei
ist eine euklidische Bewegung des R 3 eine Abbildung F : R 3 → R 3 der Gestalt
F (x) = Ax + b mit einer orthogonalen Matrix A ∈ O(3) und mit b ∈ R 3 . Eine
76

euklidische Bewegung heißt eigentlich, wenn die Determinante det A = 1 ist, wenn
also A ∈ SO(3) ist.
Lemma. Sei c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) biregulär, und sei F (x) = Ax + b eine euklidische
Bewegung. Dann gilt für Krümmung und Torsion der Kurve ˜c = F ◦ c auf [a, b]
˜κ(t) = κ(t)
˜τ(t) = det(A) τ(t) = ±τ(t) .
Beweis. Wir können annehmen, dass ||c ′ || = 1 ist. Dann gilt auch ||˜c ′ || = ||Ac ′ || = 1.
Außerdem ist ˜κ = ||˜c ′′ || = ||Ac ′′ || = ||c ′′ || = κ und
˜τ = 1˜κ 2 det(˜c′ , ˜c ′′ , ˜c ′′′ ) = 1 κ 2 det(Ac′ , Ac ′′ , Ac ′′′ )
= det(A) 1 κ 2 det(c′ , c ′′ , c ′′′ ) = det(A) τ. QED
9.4. Die Formeln von Frenet. Sei c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) eine bireguläre, nach der
Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die Formeln von Frenet geben die Ableitungen
der Vektoren des Frenetschen Dreibeins als Linearkombination des Dreibeins selbst.
Zunächst ist e ′ 1 = c′′ = κe 2 . Um e ′ 2 zu berechnen, zerlegen wir
e ′ 2 = 〈e′ 2 , e 1〉e 1 + 〈e ′ 2 , e 2〉e 2 + 〈e ′ 2 , e 3〉e 3
und berechnen die auftretenden Komponenten. Es ist
〈e ′ 2 , e 1〉 = 〈e 2 , e 1 〉 ′ − 〈e 2 , e ′ 1 〉 = 0 − κ
〈e ′ 2, e 2 〉 = 1 2 〈e 2, e 2 〉 ′ = 0
〈e ′ 2, e 3 〉 = τ
und damit e ′ 2 = −κe 1 + τe 3 . Mit derselben Methode berechnen wir e ′ 3. Es gilt
e ′ 3 = 〈e ′ 3, e 1 〉e 1 + 〈e ′ 3, e 2 〉e 2 + 〈e ′ 3, e 3 〉e 3 ,
wobei 〈e ′ 3, e 1 〉 = −〈e 3 , e ′ 1〉 = 0 und 〈e ′ 3, e 2 〉 = −〈e 3 , e ′ 2〉 = −τ sowie 〈e ′ 3, e 3 〉 = 0.
Insgesamt erhalten wir damit die Frenetschen Formeln
e ′ 1 = κe 2
e ′ 2 = −κe 1 +τe 3
e ′ 3 = −τe 2
(9.4.1)
Bei gegebener Krümmung und Torsion stellen diese Formeln ein lineares System
gewöhnlicher Differentialgleichungen für die Komponentenfunktionen des Frenetschen
Dreibeins einer Kurve dar. Dieser Umstand hat zur Folge, dass eine bireguläre
77

Kurve bis auf eigentliche euklidische Bewegungen eindeutig bestimmt ist durch ihre
Krümmung und ihre Torsion als Funktionen des Bogenlängenparameters. Umgekehrt
lässt sich zu vorgegebener Krümmung und Torsion auch immer eine passende
Kurve konstruieren. Die genaue Formulierung dieser beiden Aussagen ist der Inhalt
des sogenannten “Fundamentalsatzes” der Kurventheorie, auf den wir nun eingehen.
9.5. Lineare Differentialgleichungen. Als Hilfsmittel benötigen wir den folgenden
Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Satz. Seien A ∈ C 0 ([a, b], R n×n ) und b ∈ C 0 ([a, b], R n ), und sei x 0 ∈ R n . Dann
existiert genau eine Abbildung x ∈ C 1 ([a, b], R n ) mit den Eigenschaften
x ′ (t) = A(t)x(t) + b(t) für alle t ∈ [a, b]
x(a) = x 0 .
Ein Beweis dieses Aussage findet sich etwa in W. Walters “Gewöhnliche Differentialgleichungen”.
Die Lösung existiert auf dem ganzen Intervall [a, b] wegen der
Linearität der Gleichung.
9.6. Fundamentalsatz der Kurventheorie. (a) Seien κ ∈ C 1 ([a, b], R) und
τ ∈ C 0 ([a, b], R) Funktionen mit κ > 0 auf [a, b]. Sei p ∈ R 3 , und seien v, w ∈ R 3
Einheitsvektoren mit 〈v, w〉 = 0. Dann existiert genau eine bireguläre, nach der
Bogenlänge parametrisierte Kurve c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) mit Krümmung κ und Torsion
τ, und mit den Anfangswerten c(a) = p, c ′ (a) = v und c ′′ (a)/||c ′′ (a)|| = w.
(b) Sind c, ˜c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) zwei bireguläre, nach der Bogenlänge parametrisierte
Kurven, deren Krümmung und Torsion auf [a, b] übereinstimmen, dann existiert
eine eigentliche euklidische Bewegung F : R 3 → R 3 mit F ◦ c = ˜c.
Beweis. (a) Sei e = (e 1 , e 2 , e 3 ) ∈ C 1 ([a, b], R 9 ) die Lösung der Frenetschen Differentialgleichungssystems
(9.4.1), also
e ′ i =
⎛
3∑
a ki e k mit (a ik ) = ⎝ 0 −κ 0
⎞
κ 0 −τ ⎠
0 τ 0
k=1
mit Anfangswert e(a) = (v, w, v×w). Wir behaupten zunächst, dass für alle t ∈ [a, b]
gilt
〈e i (t), e j (t)〉 = δ ij .
Zum Beweis dieser Behauptung berechnen wir die Ableitung
〈e i , e j 〉 ′ = 〈e ′ i , e j〉 + 〈e i , e ′ j 〉
= ∑ k a ki〈e k , e j 〉 + a kj 〈e i , e k 〉 .
78

Die Funktionen b ij = 〈e i , e j 〉 erfüllen also das lineare Differentialgleichungssystem
b ′ ij = ∑ k a kib kj + a kj b ik
mit den Anfangswerten b ij (a) = δ ij . Die konstanten Funktionen δ ij erfüllen dasselbe
System, da a ji + a ij = 0 ist, und zwar mit denselben Anfangswerten. Mit der
Eindeutigkeitsaussage aus 9.5 folgt die Behauptung.
Wir definieren nun die Kurve c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) durch
c(s) = p +
∫ s
a
e 1 (t) dt
(∗)
Es gilt c ∈ C 3 , weil e ′ 1 = κe 2 von der Klasse C 1 ist und deshalb e 1 ∈ C 2 . Dann
ist c(a) = p und c ′ (s) = e 1 (s), also ||c ′ || = 1. Weiter ist c ′′ = e ′ 1 = κe 2, folglich c
biregulär mit Krümmung κ. Die Vektoren e 1 , e 2 , e 3 bilden das begleitende Dreibein
von c, und die Gleichung e ′ 3 = −τe 2 zeigt, dass τ die Torsion von c ist.
Die Eindeutigkeit der Kurve c ist offensichtlich: Ihr begleitendes Dreibein muss
die Frenetgleichungen mit den gegebenen Anfangswerten erfüllen, und das Dreibein
bestimmt c durch Gleichung (∗).
(b) Seien e 1 , e 2 , e 3 und ẽ 1 , ẽ 2 , ẽ 3 die begleitenden Dreibeine der Kurven c und ˜c. Sei
F (x) = Ax+b die euklidische Bewegung mit Ae i (0) = ẽ i (0) und mit F (c(a)) = ˜c(a).
Dann erfüllen sowohl ˜c als auch F ◦c die Bedingungen aus Teil (a), also ist ˜c = F ◦c.
Es gilt A ∈ SO(3), weil A die positiv orientierte Orthonormalbasis e 1 (0), e 2 (0), e 3 (0)
in die positiv orientierte Orthonormalbasis ẽ 1 (0), ẽ 2 (0), ẽ 3 (0) abbildet. Die euklidische
Bewegung F ist also eigentlich. QED
9.7. Bemerkung. Die Torsion τ einer biregulären Kurve c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) verschwindet
genau dann, wenn das Bild c([a, b]) in einer Ebene enthalten ist.
Beweis. Wir können annehmen, dass c nach der Bogenlänge parametrisiert ist. Aus
τ = 0 folgt e ′ 3 = −τe 2 = 0, und damit 〈c, e 3 〉 ′ = 〈c ′ , e 3 〉 = 〈e 1 , e 3 〉 = 0. Also sind
sowohl der Binormalenvektor e 3 als auch das Skalarprodukt 〈c, e 3 〉 konstant. Daher
ist 〈c(t), e 3 (a)〉 = 〈c(t), e 3 (t)〉 = 〈c(a), e 3 (a)〉, und damit
〈c(t) − c(a), e 3 (a)〉 = 0
für alle t. Die Kurve ist also in der zum konstanten Vektor e 3 (a) senkrechten Ebene
durch den Punkt c(a) enthalten. QED
9.8. Beispiel. Die durch
⎧
⎨ (t, 0, e −1/t2 ), t < 0
c 1 (t) = 0, t = 0
⎩
(t, e −1/t2 , 0), t > 0
79

{
c 2 (t) = (t, 0, e
−1/t 2 ), t ≠ 0
0, t = 0
definierten Kurven c 1 , c 2 ∈ C ∞ (R, R 3 ) sind nicht biregulär an t = 0. Sie haben die
gleiche Krümmung κ und die gleiche Torsion τ = 0 auf R \ {0}, da sich ihre Einschränkungen
auf die Intervalle (−∞, 0) und (0, ∞) jeweils durch eine euklidische
Bewegung ineinander überführen lassen. Es existiert aber keine euklidische Bewegung
F mit F ◦ c 1 = c 2 auf ganz R. Die Eindeutigkeitsaussage von Satz 9.6 gilt
also in diesem Fall nicht, obwohl die Voraussetzung der Biregularität nur in einem
Punkt verletzt ist.
9.9. Beispiel. Die durch c(t) = (a cos t, a sin t, bt) definierte Abbildung c : R → R 3
mit reellen Konstanten a > 0 und b, beschreibt eine Schraubenlinie mit Radius a
und Ganghöhe 2πb. Man berechnet, dass c konstante Krümmung und Torsion hat,
und zwar ist κ = a/(a 2 +b 2 ) und τ = b/(a 2 +b 2 ). Sind umgekehrt Konstanten κ > 0
und τ vorgegeben, dann gibt es eine Schraubenlinie mit Krümmung κ und Torsion
τ, nämlich diejenige mit a = κ/(κ 2 +τ 2 ) und b = τ/(κ 2 +τ 2 ). Als Folgerung aus der
Eindeutigkeitsaussage in 9.6 erhält man nun: Jede bireguläre Kurve mit konstanter
Krümmung und konstanter Torsion ist (bis auf Umparametrisierung und euklidische
Bewegung) eine Schraubenlinie.
Aufgaben
1. Spirale. Berechnen Sie Krümmung und Torsion der Spirale in Beispiel 9.9.
2. Lokale Gestalt von Raumkurven. (a) Zeigen Sie, dass für nach der Bogenlänge
parametrisierte bireguläre Raumkurven c folgende Taylorentwicklung gilt:
c(s) = c(0) +
(s − κ2 0 s3
6
) ( κ0 s 2
e 1 (0) +
2
)
+ κ′ 0 s3
e 2 (0) + κ 0τ 0 s 3
e 3 (0) + R(s)
6
6
Dabei bezeichnet e 1 , e 2 , e 3 das Frenetsche Dreibein, es ist κ 0 = κ(0) und κ ′ 0 = κ ′ (0),
und es gilt lim s→0 R(s)/s 3 = 0.
(b) Wir betrachten nun die Kurve
γ(s) =
(s − κ2 0 s3
6
) ( κ0 s 2
v 1 +
2
)
+ κ′ 0 s3
v 2 + κ 0τ 0 s 3
v 3 ,
6
6
(∗)
die sich aus der Entwicklung in (a) mit v j := e j (0) durch Verschieben des Koordinatenursprungs
und Vernachlässigen des Restterms R(s) ergibt. Bestimmen und
skizzieren Sie die senkrechten Projektionen von γ auf die drei Ebenen Spann(v 1 , v 2 ),
Spann(v 2 , v 3 ) und Spann(v 1 , v 3 ). Diese Ebenen nennt man die Schmiegebene, die
Normalenebene und die rektifizierende Ebene der Kurve c im Punkt c(0).
3. Kurve. Die Kurve γ sei definiert durch Gleichung (∗) in Aufgabe 2 mit Konstanten
κ 0 > 0, κ ′ 0 und τ 0 und mit einer Orthonormalbasis v 1 , v 2 , v 3 = v 1 × v 2 des
80

R 3 . Zeigen Sie, dass v 1 , v 2 , v 3 das Frenetsche Dreibein von γ an der Stelle s = 0 ist,
und dass für Krümmung und Torsion von γ gilt κ(0) = κ 0 und τ(0) = τ 0 . Berechnen
Sie κ(s) und τ(s).
4. Böschungslinien. Raumkurven, für die der Quotient τ/κ konstant ist, nennt
man Böschungslinien. Zeigen Sie: Eine nach der Bogenlänge parametrisierte bireguläre
Kurve c ist genau dann eine Böschungslinie, wenn es einen Einheitsvektor
e 0 ∈ R 3 gibt, so dass das Skalarprodukt 〈c ′ (s), e 0 〉 konstant ist.
5. Kurze Kurven. Jede geschlossene stetig differenzierbare (oder rektifizierbare)
Kurve γ in der Einheitssphäre S 2 ⊂ R 3 , deren Länge L(γ) < 2π ist, ist in einer
geeigneten Hemisphäre enthalten.
6. Totalkrümmung geschlossener Raumkurven. Sei c ∈ C 2 ([0, l], R 3 ) eine
nach der Bogenlänge parametrisierte geschlossene Kurve mit Krümmung κ(s) =
||c ′′ (s)||. Sei γ : [0, l] → S 2 , definiert als γ(s) := c ′ (s), ihr sphärisches Tangentenbild.
Zeigen Sie:
(a) Die Kurve γ trifft jeden Großkreis von S 2 .
(b) Es gilt ∫ l
κ(s)ds ≥ 2π.
0
(c) Ist κ ≤ R auf [0, l], dann ist l ≥ 2π/R. Wenig gekrümmte Kurven müssen also
lang sein, um sich schließen zu können.
81

10. Innere Geometrie der Flächen im R 3
Eine Fläche im R 3 ist eine zweidimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit
M von R 3 . Das Standardskalarprodukt des R 3 induziert auf M eine Riemannsche
Metrik, die erste Fundamentalform von M. Als Riemannsche oder “innere” Geometrie
der Fläche bezeichnet man die Gesamtheit derjenigen geometrischen Eigenschaften,
die sich allein durch die erste Fundamentalform beschreiben lassen. Dazu
gehören Schnittwinkel zwischen Kurven, über die Fläche gemessene Abstände und
der Flächeninhalt. Da diese Größen durch die Riemannsche Metrik bestimmt sind,
verallgemeinert sich ihre Definition unmittelbar auf beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Wir beginnen den Abschnitt mit einigen Vorbereitungen über Tangentialräume,
die für die Anwendung des bisher entwickelten Begriffsapparates der differenzierbaren
Mannigfaltigkeiten auf Flächen im R 3 wichtig sind. Dann erläutern wir die
Grundbegriffe der inneren Geometrie und ihre Verallgemeinerung auf abstrakte Riemannsche
Mannigfaltigkeiten. Schließlich behandeln wir den Begriff der Isometrie
zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten und geben einfache Beispiele.
10.1. Tangentialräume. In Abschnitt 3.1 haben wir eine Definition von Tangentialräumen
für Untermannigfaltigkeiten des R n gegeben. Danach ist insbesondere
T p R 3 = {(p, v) | v ∈ R 3 }, und für eine Fläche M ⊆ R 3 ist T p M die Teilmenge
derjenigen Paare (p, v) ∈ T p R 3 , für die v = c ′ (0) ist mit einer in M verlaufende
Kurve c. Andererseits hat man die aus Derivationen bestehenden Tangentialräume
T p M und T p R 3 . Die Beziehungen zwischen diesen Räumen lassen sich im folgenden
kommutativen Diagramm zusammenfassen:
T p M
Θ⏐
↓
T p M
Inklusion
−−−−−−→ T p R 3
⏐
↓ ˜Θ
T pι
−−−−−−→ T p R 3
Dabei ist T p ι die Ableitung der Inklusionsabbildung ι : M → R 3 , es ist also für
X ∈ T p M und f ∈ C ∞ (R 3 ),
((T p ι)X)f = X(f ◦ ι) = X(f| M ) .
Wie schon in 8.5 werden wir oft T p M mit (T p ι)(T p M) identifizieren, also T p M als
Unterrraum von T p R 3 auffassen. Die Abbildung Θ ist definiert durch
Version: 18. Februar 2000
Θ ((p, v)) f = d dt ∣ f(c(t)) (10.1.1)
0
82

für f ∈ C ∞ (M), wobei v = c ′ (0) ist mit einer in M verlaufende Kurve c. Die Abbildung
˜Θ ist durch dieselbe Gleichung definiert, wobei aber c nicht in M verlaufen
muss. Wählt man für c speziell die Kurve c(t) = p + tv, dann ist also
˜Θ((p, v)) f = d dt∣ f(p + tv) (10.1.2)
0
für f ∈ C ∞ (R 3 ). Man verifiziert leicht, dass Θ und ˜Θ Vektorraumisomorphismen
sind, und dass gilt ˜Θ| TpM = T p ι ◦ Θ, so dass das Diagramm kommutiert.
Diese Beschreibung der Beziehungen zwischen den Tangentialräumen haben wir
koordinatenunabhängig formuliert. Sie gilt daher offenbar ebenso für Untermannigfaltigkeiten
beliebiger endlichdimensionaler Vektorräume. Verwendet man die Karte
ϕ = id von R 3 und die zugehörigen Basisfelder ∂/∂x i , die Standardbasisfelder des
R 3 , dann ist
d
dt ∣ f(p + tv) =
0
3∑
i=1
∂f
∂x i (p) · vi =
( 3∑
i=1
v i
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x i f
und daher
˜Θ(p, v) = v 1
∂
∂x 1 ∣ ∣∣∣p
+ v 2
∂
∂x 2 ∣ ∣∣∣p
+ v 3
∂
∂x 3 ∣ ∣∣∣p
. (10.1.3)
10.2. Tangentialraum und lokale Parametrisierung. Sei ψ : W → M eine
lokale Parametrisierung von M (siehe 2.2) mit einer offenen Teilmenge W ⊆ R 2 .
Dann sind die Vektoren ∂ψ/∂w 1 und ∂ψ/∂w 2 in jedem Punkt von W linear unabhängig,
und nach Lemma 3.1 gilt für w = ψ −1 (p)
{ ∂ψ
T p M = {p} × Dψ(w)R 2 = {p} × Spann
∂w 1 (w), ∂ψ
}
∂w 2 (w) .
Nach 2.4 ist (ψ −1 , ψ(W )) =: (ϕ, U) eine Karte von M als C ∞ –Mannigfaltigkeit.
Seien ∂/∂w 1 und ∂/∂w 2 die dieser Karte entsprechenden Basisfelder auf U. Das
folgende Lemma erklärt, welchen Elementen aus T p M die Vektoren ∂/∂w i (w) entsprechen.
Lemma. Sei Θ : T p M → T p M der Isomorphismus aus 10.1. Dann gilt für i = 1, 2
(
Θ p, ∂ψ )
∂w i (w) = ∂ ∣ ∣∣∣p
∂w i
Insbesondere ist
∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
=
3∑
k=1
∂ψ k
∂w i (ψ−1 (p))
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
. (10.2.1)
83

Beweis. Es ist ∂ψ/∂w 1 (w) = c ′ (0), wobei c die Kurve c(t) = ψ(w 1 + t, w 2 ) ist. Für
f ∈ C ∞ (M) gilt daher
Θ(p, c ′ (0)) f = d ∂(f ◦ ψ)
dt∣ f(c(t)) =
0
∂w 1 (w) = ∂ ∣ ∣∣∣p
∂w 1 f . QED
10.3. Erste Fundamentalform einer Fläche im R 3 . Die Standardmetrik des
R 3 ist die Riemannsche Metrik, die bezüglich der Karte id R 3 gegeben ist durch
g R 3 = ∑ 3
i=1 dxi ⊗ dx i .
Die Standardmetrik ist auch dadurch charakterisiert, dass die Standardbasisfelder
∂/∂x i an jeder Stelle p orthornormal sind bezüglich des Skalarproduktes g R 3(p).
Für X = ∑ 3
i=1 Xi ∂/∂x i | p ∈ T p R 3 und Y entsprechend hat man daher
g R 3(p)(X, Y ) = ∑ 3
i=1 Xi Y i .
Sei nun M eine Fläche im R 3 . Dann heißt die durch Einschränkung von g R 3
T M, also durch
auf
g(p) = g R 3(p) ∣ ∣
TpM×T pM
für p ∈ M definierte Riemannsche Metrik auf M die erste Fundamentalform von
M. Ist ψ : W → M eine lokale Parametrisierung mit p ∈ ψ(W ) = U, dann ist
(ψ −1 , U) eine Karte, und nach Abschnitt 6.6 gilt
mit den Komponenten
( ∣ ∂ ∣∣∣p
g ij (p) = g
∂w i ,
g ∣ ∣
U
= ∑ 2
i,j=1 g ij dw i ⊗ dw j
∣
∂ ∣∣∣p ) 〈 ∂ψ
∂w j =
∂w i (ψ−1 (p)), ∂ψ 〉
∂w j (ψ−1 (p)) .
Dabei bezeichnet 〈·, ·〉 das übliche Skalarprodukt des R 3 . Insbesondere sind die
Komponentenfunktionen g ij differenzierbar, und daher ist g ein differenzierbares
Tensorfeld.
10.4. Längen, Winkel und Abstände auf Flächen. Durch die erste Fundamentalform
wird jeder Tangentialraum T p M der Fläche M zu einem zweidimensionalen
euklidischen Vektorraum. Insbesondere ist die Norm eines Vektors X ∈ T p M
definiert durch ‖X‖ = (g(X, X)) 1/2 , und der Kosinus des Winkels zwischen zwei
Vektoren X, Y ∈ T p M ist gegeben durch
cos ̸ (X, Y ) = g(X, Y )
‖X‖ ‖Y ‖ .
84

Schnittwinkel zwischen Kurven sind in naheliegender Weise definiert als Winkel
zwischen ihren Tangentialvektoren im Schnittpunkt. Ist bezüglich lokaler Parameter
ψ : W → M
dann ergibt sich
X =
2∑
i=1
( 2∑
〈X, Y 〉 = g
i=1
X i
X i
∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
und Y =
∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
,
2∑
j=1
Y j
2∑
i=1
Y i
∣
∂ ∣∣∣p )
∂w j = ∑ i,j
∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
,
g ij (p)X i Y j .
Differenzierbare Kurven c : [a, b] → M in M können auch als differenzierbare Kurven
im R 3 aufgefasst werden, und ihre Länge ist
L(c) =
∫ b
a
‖ċ‖ dt =
∫ b
a
√
g(ċ(t), ċ(t))dt . (10.4.1)
Die Länge L(c) kann also ohne Kenntnis der umgebenden Raumes berechnet werden,
sobald man die Riemannsche Metrik g kennt. Ist (ϕ, U) eine Karte für M, und ist
c([a, b]) ⊆ U, dann gilt nach Abschnitt 4.4 mit c i := ϕ i ◦ c
und damit
L(c) =
∫ b
a
ċ(t) =
2∑
i=1
dc i
dt (t)
∂
∂w i ∣
∣∣∣c(t)
√
∑2 g ij(c(t)) dci
i,j=1 dt (t)dcj (t) dt
dt
Der (über die Fläche M gemessene) Abstand zweier Punkte auf M ist definiert als
d(p, q) = inf
c
L(c). (10.4.2)
Dabei ist das Infimum zu nehmen über alle stückweise differenzierbaren Kurven
c : [a, b] → M, die p mit q verbinden, für die also c(a) = p und c(b) = q gilt. Man
verifiziert leicht, dass (M, d) mit der so definierten Abstandsfunktion d : M × M →
R ein metrischer Raum ist. In der Tat ist d(p, q) ≥ ‖p − q‖, dem im R 3 gemessenen
Abstand von p und q, also gilt d(p, q) = 0 nur für p = q.
Zur Definition von d sei angemerkt, dass man denselben Abstand d(p, q) erhält,
wenn man das Infimum nur über alle differenzierbaren Kurven nimmt statt über
alle stückweise differenzierbaren. Das liegt daran, dass man eine stückweise differenzierbare
Verbindungskurve c von p nach q immer dergestalt durch einen differenzierbare
Verbindungskurve c 1 approximieren kann, dass die Länge L(c 1 ) beliebig
wenig von L(c) abweicht. Mit der Definition durch differenzierbare Kurven wird
aber der Nachweis der Dreiecksungleichung für d etwas schwieriger.
85

Zusammenfassend kann man sagen, dass sich Längen, Winkel und Abstände auf M
allein aus der Riemannschen Metrik g bestimmen lassen. Ihre Definitionen verallgemeinern
sich deshalb unmittelbar auf beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
10.5. Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume. Kurvenlängen
L(c) und die Abstandsfunktion d : M × M → R sind auf beliebigen Riemannschen
Mannigfaltigkeiten (M, g) ebenso definiert wie im Spezialfall der Flächen
im R 3 , also durch die Beziehungen (10.4.1) und (10.4.2). Der Ball B(p, r) um einen
Punkt p vom Radius r > 0 ist definiert als die Menge aller Punkte in M, deren
Abstand von p kleiner als r ist, also
B(p, r) = { q ∈ M | d(p, q) < r } .
Satz. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, und sei d die induzierte Abstandsfunktion.
Dann ist (M, d) ein metrischer Raum. Die durch d induzierte
Topologie stimmt mit der Mannigfaltigkeitstopologie von M überein.
Beweis. Die Symmetrie d(p, q) = d(q, p) und die Dreiecksungleichung sind offensichtlich.
Wir zeigen, dass d(p, q) = 0 nur für p = q gilt. Seien dazu p ≠ q ∈ M.
Sei (ϕ, U) Karte an p mit ϕ(p) = 0. Wir wählen r > 0 so klein, dass q nicht im
Urbild U r := ϕ −1 (B(0, r)) des euklidischen Balles B(0, r) ⊂ R n enthalten ist. Sei
˜g = ϕ ∗ g R n der Pullback (siehe 7.9) der Standardmetrik von R n auf U, also
( ∂
˜g ij = ˜g
∂x i , ∂
)
∂x j = δ ij
bezüglich der Karte ϕ. Die Teilmenge
A r = { X ∈ T M | π(X) ∈ Ūr und ˜g(X, X) = 1 }
des Tangentialbündels von M ist kompakt. Daher existiert eine Zahl λ > 0, so dass
für alle X ∈ A r gilt
g(X, X) ≥ λ = λ ˜g(X, X) .
Da g und ˜g bilinear sind, folgt daraus
g(X, X) ≥ λ ˜g(X, X)
für alle X ∈ T M| Ūr
. Sei nun c : [a, b] → M eine stückweise differenzierbare Kurve
mit c(a) = p und c(b) = q. Da q nicht in U r enthalten ist, existiert ein t 0 ∈ [a, b]
dergestalt, dass ϕ(c(t 0 )) Randpunkt des Balles B(0, r) ist. Damit folgt
∫ b √
L(c) = g(ċ, ċ)
a
≥ √ λ
= √ λ
= √ λ
∫ t0
a
∫ t0
a
∫ t0
a
≥ √ λ r .
√˜g(ċ, ċ)
√
gR n((T ϕ)ċ, (T ϕ)ċ)
√
gR n((ϕ ◦ c)˙, (ϕ ◦ c)˙)
86
(∗)

Also ist d(p, q) ≥ √ λ r > 0. Es bleibt zu zeigen, dass die durch d induzierte Topologie
mit der Mannigfaltigkeitstopologie von M übereinstimmt. Für q /∈ ϕ −1 (B(0, r))
gilt nach dem soeben Bewiesenen d(p, q) ≥ √ λ r, also ist
B(p, √ λ r) ⊆ ϕ −1 (B(0, r)) .
Ebenso zeigt man
ϕ −1 (B(0, r)) ⊆ B(p, √ Λ r)
mit g(X, X) ≤ Λ ˜g(X, X) anstelle von (∗). Damit existieren für jeden Punkt p ∈ M
positive Zahlen λ, Λ und r 0 , so dass für alle r ≤ r 0 gilt
B(p, √ λ r) ⊆ ϕ −1 (B(0, r)) ⊆ B(p, √ Λ r) .
Das bedeutet, dass jeder offene Ball um p eine offene Umgebung von p bezüglich der
Mannigfaltigkeitstopologie enthält und umgekehrt. Die Behauptung folgt. QED
10.6. Integration auf Flächen. Sei ψ : W → ψ(W ) =: U ⊆ M eine lokale
Parametrisierung der Fläche M im R 3 . Dann ist der Flächeninhalt (oder das zweidimensionale
Volumen) von U definiert durch
∫∫
vol(U) =
W
∥ ∂ψ
∂w 1 × ∂ψ ∥ ∥∥ dw 1
∂w 2 dw 2
und allgemeiner das Integral einer stetigen Funktion f auf U durch
∫
U
∫∫
f dV =
W
f(ψ(w 1 , w 2 )) ∥ ∂ψ
∂w 1 × ∂ψ ∥ ∥∥ dw 1
∂w 2 dw 2 . (10.6.1)
Das Integral existiert, wenn etwa f nichtnegativ ist oder kompakten Träger in U hat.
Diese Definitionen sind durch folgende anschauliche Betrachtung motiviert. Das
Bild eines kleinen Rechtecks im Parameterbereich W mit den Ecken w = (w 1 , w 2 ),
(w 1 + ∆w 1 , w 2 ), (w 1 , w 2 + ∆w 2 ) und (w 1 + ∆w 1 , w 2 + ∆w 2 ) unter der Abbildung
ψ ist annähernd ein Parallelogramm. Dessen elementargeometrischer Flächeninhalt
ist gegeben durch die Norm des Vektorproduktes der Kantenvektoren, also ist
∆vol ≈ ∥ ( ψ(w 1 + ∆w 1 , w 2 ) − ψ(w 1 , w 2 ) ) × ( ψ(w 1 , w 2 + ∆w 2 ) − ψ(w 1 , w 2 ) )∥ ∥
≈ ∥ ∂ψ
∂w 1 (w) ∆w1 × ∂ψ ∥ ∥∥
∂w 2 (w) ∆w2 = ∥ ∂ψ ∂ψ
∥ ∥∥∆w
(w) ×
∂w1 ∂w 2 (w) 1 ∆w 2 .
Zerlegt man W in Rechtecke und summiert diese Ausdrücke, so ergibt sich eine
Riemannsche Summe für das als Definition von vol(U) verwendete Doppelintegral.
87

Das Integral (10.6.1) lässt sich mit Hilfe der ersten Fundamentalform von M berechnen.
Für Vektoren a, b ∈ R 3 gilt nämlich
( )
‖a × b‖ 2 = ‖a‖ 2 ‖b‖ 2 − 〈a, b〉 2 〈a, a〉 〈a, b〉
= det
.
〈b, a〉 〈b, b〉
Wegen g ik ◦ ψ = 〈(∂ψ/∂w i ), (∂ψ/∂w k )〉 folgt
und damit
∥ ∂ψ
∂w 1 × ∂ψ ∥ ( )
∥∥
2 g11 g = det 12
∂w 2 ◦ ψ =: det (g
g 21 g ik ) ◦ ψ
22
∫
U
∫∫
f dV =
W
f(ψ(w)) √ det(g ik (ψ(w))) dw 1 dw 2 .
Das folgende Lemma besagt, dass das Integral nicht von der Wahl der lokalen
Parametrisierung von M abhängt. Diese Tatsache ist wegen der skizzierten geometrischen
Bedeutung nicht überraschend.
Lemma. Sei σ : W ′ → W ein Diffeomorphismus und sei ψ ′ : W ′ → U die lokale
Parametrisierung ψ ′ = ψ ◦ σ. Sind g ik ′ die Komponenten der ersten Fundamentalform
bezüglich ψ ′ , also g| U = g ik ′ dw′i ⊗ dw ′k , dann gilt
∫∫
W
f(ψ(w)) √ ∫∫
det(g ik ) dw 1 dw 2 = f(ψ ′ (w ′ )) √ det(g ′ ik ) dw ′ 1 dw
′2 .
W ′
Beweis. Nach (6.2.2) gilt, in abgekürzter Schreibweise,
g ik ′ = ∂wj ∂w l
∂w ′ i
∂w ′ k g jl ,
also nach dem Multiplikationssatz für Determinanten
√
det(gik ′ ) =
( ∂w
j )∣ ∣∣ √
∣ det
∂w ′ i det(gik ) .
Die Behauptung folgt aus dem Transformationssatz für Integrale. QED
10.7. Integration auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Seien nun (M, g)
eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, (ϕ, U) eine Karte und W =
ϕ(U) ⊆ R n . Die Funktion f ∈ C 0 (M) habe kompakten Träger in U. Dann definiert
man
∫ ∫
f dV g = f(ϕ −1 (w)) √ det(g ik (ϕ −1 (w))) dw . (10.7.1)
M
W
Der Beweis des Lemmas in 10.6 zeigt, dass dieser Ausdruck unabhängig ist von
der Wahl der verwendeten Karte. Hat allgemeiner f ∈ C 0 (M) kompakten Träger
supp(f), der nicht notwendig in einer Karte enthalten ist, dann wählt man endlich
88

viele Karten (ϕ α , U α ), deren Definitionsbereiche U α den Träger von f überdecken,
sowie eine den U α untergeordnete Partition der Eins {ϱ α } und definiert
∫
M
f dV g = ∑ α
∫
M
ϱ α f dV g . (10.7.2)
Wir zeigen, dass diese Definition weder von der Wahl der Überdeckung des Trägers
durch Karten noch von der Wahl der Partition der Eins abhängt. Seien dazu
(ϕ ′ β , V β) endlich viele weitere Karten mit supp(f) ⊆ ⋃ β V β, und sei {σ β } eine
diesen Karten untergeordnete Partition der Eins. Dann ist
∑
∫
α
M
ϱ α f dV g = ∑ α
∫
∫
= ∑ α,β
= ∑ ∫
β
= ∑ ∫
β
M
M
M
M
( ∑
σ β
)ϱ α f dV g
β
σ β ϱ α f dV g
( ∑
ϱ α
)σ β f dV g
α
σ β f dV g ,
wie behauptet. Das Volumen von M wird definiert als das Integral der konstanten
Funktion 1, also durch
∫
vol(M) = dV g . (10.7.3)
Diese Definition ist zunächst sinnvoll für kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Die praktische Berechnung von Integralen erfolgt meist durch Zerlegen von M
in parametrisierte Teilmengen, nicht durch explizite Konstruktion von Partitionen
der Eins.
Bemerkung. Die Abbildung f ↦→ ∫ M f dV g ist ein positives lineares Funktional
auf dem Raum Cc 0 (M) der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Nach dem
Rieszschen Darstellungssatz definiert sie also ein positives Maß auf der σ–Algebra
der Borelschen Mengen von M. Dieses Maß heißt das Lebesguesche Maß der Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Damit stehen die Begriffe und Resultate der
allgemeinen Maß– und Integrationstheorie auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten
zur Verfügung. Man vergleiche dazu etwa W. Rudins “Real and Complex Analysis”.
Da man insbesondere nichtnegative messbare Funktionen integrieren kann,
lässt sich die Definition (10.7.1) auch auf nichtkompakte Riemannsche Mannigfaltigkeiten
anwenden und liefert dann einen nicht notwendig endlichen Wert für
das Volumen von M.
10.8. Isometrien. Wir erinnern zunächst an den bereits in Abschnitt 7.9 eingeführten
Begriff des Pullbacks, und zwar im Spezialfall der (2, 0)–Tensorfelder. Ist A
89
M

ein solches Tensorfeld auf einer Mannigfaltigkeit N, und ist φ ∈ C ∞ (M, N), dann
heißt das durch
(φ ∗ A)(X 1 , X 2 ) = A((T φ)X 1 , (T φ)X 2 ) (10.8.1)
für X 1 , X 2 ∈ T p M und p ∈ M definierte Tensorfeld φ ∗ A auf M der Pullback von A
unter φ.
Seien nun (M, g) und (N, h) Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare
Abbildung φ : M → N heißt eine isometrische Immersion, wenn φ eine Immersion
ist und gilt φ ∗ h = g. Isometrische Immersionen, die Einbettungen sind, nennt
man isometrische Einbettungen, und isometrische Immersionen zwischen Mannigfaltigkeiten
derselben Dimension heißen lokale Isometrien. Die Abbildung φ heißt
eine Isometrie, wenn φ : M → N ein Diffeomorphismus ist und gilt φ ∗ h = g.
Schließlich nennt man (M, g) und (N, h) isometrisch, wenn eine Isometrie von M
auf N existiert.
Bemerkungen. (a) Nach Definition des Pullbacks ist die Abbildung φ : M → N
genau dann eine isometrische Immersion, wenn sie Skalarprodukte von Vektoren
respektiert, wenn also für alle p ∈ M und alle X, Y ∈ T p M gilt
h(φ(p))((T p φ)X, (T p φ)Y ) = g(p)(X, Y ) .
Es ergibt sich insbesondere, dass die erste Fundamentalform g einer Fläche M im
R 3 (oder einer Untermannigfaltigkeit des R n ) der Pullback der Standardmetrik
g R 3 unter der Inklusionsabbildung ι : M → R 3 ist. Daher ist ι eine isometrische
Einbettung von (M, g) in (R 3 , g R 3).
(b) Die Abbildung φ ist genau dann eine lokale Isometrie, wenn zu jedem Punkt
p ∈ M eine Umgebung U von p existiert, so dass die Einschränkung φ| U : U → φ(U)
eine Isometrie ist. Das ergibt sich unmittelbar aus dem Satz 4.2.(c) über inverse
Funktionen.
(c) Ist φ eine isometrische Immersion, dann gilt L(φ ◦ c) = L(c) für alle differenzierbaren
Kurven c in M. Nach Abschnitt 4.4 ist nämlich
(φ ◦ c)˙(t) = T t (φ ◦ c) d (
dt ∣ = (T c(t) φ) (T t c) d ) t
dt∣ = (T c(t) φ)ċ(t) ,
t
und daher
L(φ ◦ c) =
=
=
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
= L(c) .
‖(φ ◦ c)˙(t)‖ dt
‖(T φ)ċ(t)‖ dt
‖ċ(t)‖ dt
(d) Die Isometrien einer Riemannschen Mannigfaltigkeit auf sich selbst bilden offensichtlich
eine Gruppe, die Isometriegruppe Isom(M, g) von (M, g).
90

Eine Abbildung φ zwischen metrischen Räumen (M, d) und (M, d ′ ) heißt abstandserhaltend,
wenn für alle p, q ∈ M gilt
d ′ (φ(p), φ(q)) = d(p, q) .
Satz. Seien (M, g) und (M ′ , g ′ ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, d und d ′ ihre
Abstandsfunktionen, und sei φ : M → M ′ eine Abbildung.
(a) Ist φ eine Isometrie, dann ist φ abstandserhaltend.
(b) Ist umgekehrt φ bijektiv und abstandserhaltend, dann ist φ ∈ C ∞ (M, M ′ ) und
eine Isometrie.
Abstandserhaltende Bijektionen zwischen metrischen Räumen nennt man oft ebenfalls
Isometrien (metrischer Räume). Der Satz besagt dann, dass Isometrien Riemannscher
Mannigfaltigkeiten dasselbe sind wie Isometrien der ihnen entsprechenden
metrischen Räume. Der Beweis der Aussage (a) ergibt sich unmittelbar aus
Bemerkung (c) und der Definition der Abstandsfunktionen. Der schwierigere Beweis
der Umkehrung findet sich in Kobayashi–Nomizu, “Foundations of Differential
Geometry I”, S. 169–172. Der Beweis benutzt den Begriff der Geodätischen, auf
den wir erst später eingehen werden.
10.9. Beispiele. (a) Sei φ : R 3 → R 3 eine euklidische Bewegung, also φ(x) =
Ax + b mit einer orthogonalen Matrix A. Dann ist φ eine Isometrie von (R 3 , g R 3).
Das ergibt sich aus Teil (b) des Satzes in 10.8, oder durch direktes Nachrechnen:
Mit den Standardbasisfeldern ∂/∂x i des R 3 ist
( ∂
φ ∗ (g R 3)
∂x i , ∂
) (
∂x k = g R 3 (T φ) ∂ ∂
)
, (T φ)
∂xi ∂x k
( ∂φ
j
∂
= g R 3
∂x i ∂x j , ∂φl ∂
)
∂x k ∂x l
= ∂φj ∂φ l ( ∂
∂x i ∂x k g R 3 ∂x j , ∂
)
∂x l
= ∑ j
= δ ik
= g R 3
∂φ j
∂x i ∂φ j
∂x k
( ∂
∂x i , ∂
)
∂x k ,
weil (∂φ i /∂x j ) = A eine orthogonale Matrix ist. Als Folgerung ergibt sich: Sind
M und N Flächen im R 3 mit ersten Fundamentalformen g M und g N , und gilt
φ(M) = N, dann ist die Einschränkung φ| M eine Isometrie von (M, g M ) auf (N, g N ).
Nennt man Flächen, die sich durch eine euklidische Bewegung ineinander überführen
lassen, kongruent, dann gilt also: Kongruente Flächen sind isometrisch.
91

(b) Aufwickeln eines Papierstreifens um einen Zylinder ist eine lokale Isometrie: Sei
M = R 2 × {0} ⊆ R 3 , und sei M ′ der Kreiszylinder
Dann ist die Abbildung φ : M → M ′ mit
M ′ = { (x 1 , x 2 , x 3 ) | (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 = 1 } .
φ
⎛
⎝ w1
w 2
0
⎞ ⎛ ⎞
cos w1
⎠ = ⎝ sin w 1 ⎠
w 2
eine lokale Isometrie. Man rechnet dazu etwa nach, dass die Orthonormalbasis
∂/∂w 1 | p , ∂/∂w 2 | p des Tangentialraumes T p M durch die Ableitung T p φ in eine Orthonormalbasis
von T φ(p) M abgebildet wird. Isometrische Flächen im R 3 sind also
nicht notwendig kongruent.
(c) Katenoid und Helikoid. Als Katenoid oder Kettenfläche bezeichnet man die
durch Rotation der sogenannten Kettenlinie um die x 3 –Achse entstehende Drehfläche.
Wählt man als Definitionsbereich der lokalen Parametrisierung
⎛
ψ(w 1 , w 2 ) = ⎝ cos ⎞ ⎛
w1 − sin w 1 0
sin w 1 cos w 1 0 ⎠ ⎝
0 0 1
⎞ ⎛
cosh w2
0 ⎠ =
w 2
⎝ cos w1 cosh w 2
sin w 1 cosh w 2
w 2
den Parameterbereich W = (0, 2π) × R, dann ist das Bild M = ψ(W ) das Katenoid
ohne den “Meridian” w 1 = 0. Mit
g ik ◦ ψ =
〈 ∂ψ
∂w i , ∂ψ
∂w k 〉
berechnet man für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform g 12 = 0 und
g 11 (ψ(w 1 , w 2 )) = g 22 (ψ(w 1 , w 2 )) = (cosh w 2 ) 2 .
Das Helikoid (die Wendelfläche) entsteht aus der x 1 –Achse im R 3 durch “Verschrauben”
entlang der x 3 –Achse:
⎛
¯ψ(w 1 , w 2 ) = ⎝ cos ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
w1 − sin w 1 0
sin w 1 cos w 1 0 ⎠ ⎝ w2
0 ⎠ +
0 0 1 0
Für die erste Fundamentalform ergibt sich
⎝ 0 ⎞
0 ⎠ =
w 1
ḡ 11 ( ¯ψ(w 1 , w 2 )) = 1 + (w 2 ) 2 , ḡ 12 = 0 und ḡ 22 = 1 .
⎛
⎝ w2 cos w 1
w 2 sin w 1
w 1
Nimmt man als Parameterbereich die Menge ¯W = (0, 2π) × R, dann ist das Bild
¯M = ¯ψ( ¯W ) eine “volle Windung” der Wendelfläche.
92
⎞
⎠
⎞
⎠ .

Wir zeigen nun, dass die Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g) und ( ¯M, ḡ) isometrisch
sind. Gesucht ist also eine Isometrie φ : M → ¯M. Wir suchen stattdessen
den Diffeomorphismus α = ¯ψ −1 ◦φ◦ψ von W auf ¯W und formulieren die Bedingung
φ ∗ ḡ = g um in ein Gleichungssystem für α. Es ist
φ ∗ ḡ = g ⇐⇒ ( ¯ψ ◦ α ◦ ψ −1 ) ∗ ḡ = g
⇐⇒ (ψ −1 ) ∗ α ∗ ¯ψ∗ḡ = g
⇐⇒ α ∗ ¯ψ∗ḡ = ψ ∗ g
⇐⇒ ∀i, j : ( ¯ψ
(
∗ ḡ)
(T α) ∂ ∂
)
, (T α)
∂wi ∂w j
( ∂
= (ψ ∗ g)
∂w i ,
∂
)
∂w j
∂α k ∂α l
⇐⇒ ∀i, j :
∂w i ∂w j ḡkl ◦ ¯ψ ◦ α = g ij ◦ ψ
⎧ ( ∂α
1 ) 2(1 ( ∂α
⎪⎨ + (α 2
∂w
⇐⇒
1 ) 2 2 ) 2
) + = (cosh w 2
∂w 1 ) 2
(
⎪⎩ ∂α
1 ) 2(1 ( ∂α + (α 2
∂w 2 ) 2 2 ) 2
) + = (cosh w 2
∂w 2 ) 2
Die Gleichung φ ∗ ḡ = g übersetzt sich also in ein nichtlineares System partieller
Differentialgleichungen erster Ordnung für α. Für derartige Systeme kann man
nicht allgemein die Existenz von Lösungen erwarten—schon weil beliebige Flächen
nicht lokal isometrisch sein müssen. Im vorliegenden Fall führt aber der Ansatz
α 1 (w 1 , w 2 ) = a(w 1 ), α 2 (w 1 , w 1 ) = b(w 2 ) zur Lösung α(w 1 , w 1 ) = (w 1 , sinh w 2 ). Es
sei angemerkt, dass diese Isometrie nicht dem Zufall entspringt: Katenoid und Helikoid
sind Beispiele zueinander assoziierter Minimalflächen, und derartige Flächen
sind stets lokal isometrisch.
10.10. Einbettungssatz von Nash. Der Whitneysche Einbettungssatz aus
Abschnitt 8.7 zeigt, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit diffeomorph ist zu
einer Untermannigfaltigkeit eines R m . Eine viel weiter gehende Aussage macht
der Einbettungssatz von John Nash (1956). Er besagt, dass jede Riemannsche
Mannigfaltigkeit (M, g) isometrisch in einen R m , versehen mit der Standardmetrik
g R m, eingebettet werden kann. Insbesondere ist also (M, g) isometrisch zu einer
Untermannigfaltigkeit des R m , versehen mit der ersten Fundamentalform. Ist
dabei M von der Klasse C ∞ und n–dimensional, dann genügt die Dimension m =
(n + 2)(n + 3)/2, und speziell im Fall n = 2 ist m = 6 ausreichend.
Aufgaben
1. Flächeninhalt von Rotationsflächen. (a) Sei M ⊆ R 3 eine Rotationsfläche,
deren erzeugende Kurve c : [0, l] → M nach der Bogenlänge parametrisiert ist. Der
Abstand des Punktes c(s) zur Rotationsachse werde mit ρ(s) bezeichnet. Zeigen
Sie, dass der Flächeninhalt von M gegeben ist durch
2π
∫ l
0
ρ(s) ds .
93

(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rotationstorus aus Abschnitt 2.5.
2. Killingfelder. Ein Vektorfeld X ∈ V(M) auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g) heißt ein Killingfeld (oder eine “infinitesimale Isometrie”), wenn sein
Fluss φ t aus Isometrien besteht, wenn also gilt L X g = 0 (siehe 7.9). Zeigen Sie,
dass die Menge aller Killingfelder auf M eine Unterliealgebra der Liealgebra V(M)
bildet, also einen Untervektorraum, der bezüglich der Lieklammer abgeschlossen ist.
3. Volumen. Zeigen Sie, dass isometrische Riemannsche Mannigfaltigkeiten dasselbe
Volumen haben.
4. Beispiel. Geben Sie ein Beispiel einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, die zur
Einheitssphäre S 2 ⊆ R 3 lokal isometrisch, aber nicht zu einer Teilmenge von S 2
isometrisch ist.
5. Invariante Metriken auf Liegruppen. Eine Riemannsche Metrik g auf
einer Liegruppe G (siehe Aufgabe 3 zu Kapitel 2) heißt linksinvariant, wenn alle
Linkstranslationen L a : G → G, L a (b) = ab für a, b ∈ G Isometrien sind. Sie
heisst rechtsinvariant, wenn alle Rechtstranslationen R a (b) = ba Isometrien sind,
und biinvariant, wenn sie zugleich links- und rechtsinvariant ist.
(a) Zeigen Sie, dass es zu jedem Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf dem Tangentialraum T e G
im neutralen Element e genau eine linksinvariante Riemannsche Metrik g auf G gibt
mit g(e) = 〈·, ·〉.
(b) Die orthogonale Gruppe O(n) ist eine Untermannigfaltigkeit des R n×n . Zeigen
Sie, dass ihre erste Fundamentalform biinvariant ist.
(c) Die Liegruppe GL(n, R) der invertierbaren reellen n × n–Matrizen ist eine offene
Teilmenge des R n×n . Daher kann die linksinvariante Riemannsche Metrik auf
GL(n, R), die nach Teil (a) dem Standardskalarprodukt auf T e GL(n, R) ∼ = R n×n
entspricht, in den Standardkoordinaten x ij des R n×n geschrieben werden als
g =
n∑
i,j,k,l=1
g ij,kl dx ij ⊗ dx kl .
Bestimmen Sie die Komponentenfunktionen g ij,kl .
6. Hyperbolische Ebene. Sei M = {(x, y) ∈ R 2 | y > 0} mit der Riemannschen
Metrik g = (dx ⊗ dx + dy ⊗ dy)/y 2 . Die Gruppe SL(2, R) operiert auf M vermöge
φ A (z) = az + b
cz + d
( )
a b
wobei A = ∈ SL(2, R) und z = x + iy ∈ C
c d
∼ = R 2 . Zeigen Sie:
(a) Die Operation ist isometrisch, d.h. jedes φ A ist eine Isometrie.
(b) Die Operation ist transitiv auf dem Einheitstangentialbündel von M, d.h. für
alle X, Y ∈ T M mit ‖X‖ = ‖Y ‖ = 1 existiert ein A ∈ SL(2, R) mit (T φ A )(X) = Y .
94

11. Gaußabbildung und zweite Fundamentalform
Neben der durch die erste Fundamentalform beschriebenen inneren Geometrie einer
Fläche M im R 3 gibt es geometrische Eigenschaften, die isometrische, nicht kongruente
Flächen (wie z. B. ein Kreiszylinderstück und ein dazu isometrisches ebenes
Gebiet) voneinander unterscheiden. Diese “extrinsischen” Eigenschaften leiten sich
ab von der Gaußabbildung, einer Abbildung von M in die zweidimensionale Einheitssphäre,
die jedem Punkt p von M im wesentlichen einen Einheitsnormalenvektor
n(p) der Fläche in p zuordnet. Wie n(p) sich in Abhängigkeit von p ändert, wird
beschrieben durch die Weingartenabbildung von M, aus der ein (2, 0)–Tensorfeld,
die zweite Fundamentalform von M gebildet wird. Diese zweite Fundamentalform
ist im nächsten Kapitel Ausgangspunkt der Krümmungstheorie für Flächen.
Im vorliegenden Abschnitt führen wir nach allgemeinen Bemerkungen zur Orientierbarkeit
von Mannigfaltigkeiten die genannten Begriffe ein und geben explizite
Formeln. Wir zeigen dann, dass die erste und die zweite Fundamentalform zusammen
genommen eine Fläche bis auf Kongruenz bestimmen. Der Inhalt des Kapitels
läßt sich ohne Mühe von Flächen im R 3 auf Hyperflächen im R n , also Untermannigfaltigkeiten
der Kodimension Eins, übertragen.
11.1. Orientierungen. Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zwei
Basen (e 1 , . . . , e n ) und (e ′ 1, . . . , e ′ n) von V heißen gleich orientiert, wenn die den
Basiswechsel
∑
vermittelnde Matrix positive Determinante hat, wenn also gilt e ′ i =
aki e k mit det(a ki ) > 0. Diese Beziehung definiert eine Äquivalenzrelation auf
der Menge der Basen. Jede der beiden Äquivalenzklassen heißt eine Orientierung
des Vektorraumes V ,
O = [(e 1 , . . . , e n )] .
Basen mit [(e 1 , . . . , e n )] ∈ O nennt man positiv orientiert bezüglich der Orientierung
O. Eine Orientierung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist eine Menge
{O p | p ∈ M} von Orientierungen O p der Tangentialräume T p M mit folgender
Stetigkeitseigenschaft: Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine Umgebung U von p
und ein stetiges Basisfeld (X 1 , . . . , X n ) auf U mit
[(X 1 (p), . . . , X n (p))] = O p .
Die Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von M existiert.
Eine orientierte Mannigfaltigkeit schließlich ist ein Paar, bestehend aus einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M und einer Orientierung von M.
Lemma. Sei M zusammenhängend und orientierbar. Dann existieren genau zwei
Orientierungen auf M.
Version: 18. Februar 2000
95

Beweis. Jeder Vektorraum hat offenbar genau zwei Orientierungen. Sind {O p } und
{O ′ p} zwei Orientierungen von M, dann ist die Menge {p ∈ M | O p = O ′ p} zugleich
offen und abgeschlossen in M. Da M zusammenhängend ist, ist sie leer oder stimmt
mit ganz M überein. QED
Lemma. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (M, A) ist genau dann orientierbar,
wenn es einen Atlas A + ⊆ A gibt, dessen Kartenwechsel positive Funktionaldeterminanten
haben: det(D( ˜ϕ ◦ ϕ −1 )) > 0 für alle (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ) ∈ A+ . Maximale
Atlanten A + ⊆ A mit dieser Eigenschaft entsprechen bijektiv den Orientierungen
von M.
Beweis. Sei {O p | p ∈ M} eine Orientierung. Wir definieren einen Atlas A + durch
A + = { (ϕ, U) ∈ A ∣ ∣ [(
∣ ∣
∂ ∣∣∣p ∂ ∣∣∣p )]
∂x 1 , . . . ,
∂x n = O p für alle p ∈ U } .
Dabei bezeichnen ∂/∂x i die Basisfelder der Karte ϕ. Sind (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ) ∈ A+ ,
und sind ∂/∂x i und ∂/∂˜x i die entsprechenden Basisfelder, dann gilt für p ∈ U ∩ Ũ
∂
∂˜x i ∣ ∣∣∣p
= ∂xk
∂˜x i (ϕ(p))
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
.
Nach Definition von A + hat die Matrix (∂x k /∂˜x i ) positive Determinante. Diese
Matrix ist aber die Matrix der Ableitung D(ϕ ◦ ˜ϕ −1 )(ϕ(p)). Also hat der Atlas A +
die gewünschte Eigenschaft. Die umgekehrte Implikation ist offensichtlich. QED
Bemerkung. Ein lokaler Diffeomorphismus φ : M → N zwischen orientierten
Mannigfaltigkeiten heißt orientierungserhaltend, wenn für jeden Punkt p ∈ M die
Ableitung T p φ positiv orientierte Basen von T p M in positiv orientierte Basen von
T φ(p) N abbildet. Im Beweis des Lemmas ist A + die Menge aller orientierungserhaltenden
Karten in A, wobei R n mit der durch die Standardbasis definierten Standardorientierung
versehen ist. Denn die Ableitung T p ϕ einer Karte ϕ bildet die zur
Karte gehörenden Basisfelder ∂/∂x i in die Standardbasisfelder des R n ab.
11.2. Gaußabbildung. Ist M ⊆ R 3 eine orientierte Fläche, dann existiert genau
eine Abbildung ν : M → T R 3 mit folgenden Eigenschaften: Es gilt
ν(p) ∈ T p R 3 , ν(p) ⊥ T p M und ‖ν(p)‖ = 1
für alle p ∈ M und bezüglich der Standardmetrik g R 3 des R 3 , und für jede positiv
orientierte Basis (X 1 , X 2 ) von T p M ist (X 1 , X 2 , ν(p)) eine positiv orientierte Basis
von T p R 3 . Die Abbildung ν ist also ein Einheitsnormalenfeld, das im beschriebenen
Sinne mit der Orientierung von M und der Standardorientierung des R 3 verträglich
ist. Schreibt man unter Verwendung der Standardbasisfelder ∂/∂x l des R 3
ν(p) = n l (p)
96
∂
∂x l ∣ ∣∣∣p
,

dann erhält man eine differenzierbare Abbildung
n =
⎛
⎝ n1
⎞
n 2 ⎠ : M → S 2 ⊆ R 3
n 3
mit Werten in der Einheitssphäre. Diese Abbildung heißt die Gaußabbildung von M.
Ist ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M eine orientierungserhaltende lokale Parametrisierung,
dann gilt offenbar
n(p) = ∥
∂ψ
∂w 1
∥ ∂ψ
∂w 1
× ∂ψ
∂w 2
× ∂ψ
∂w 2 ∥ ∥
(ψ −1 (p)).
11.3. Kovariante Ableitung auf R n . Sei Y ein differenzierbares Vektorfeld auf
R n . Bezüglich der Standardbasisfelder ist dann Y = Y j ∂/∂x j . Für X p ∈ T p R n
definiert man die kovariante Ableitung von Y nach X p durch Differentiation der
Komponentenfunktionen,
∇ Xp Y = X p (Y j )
∂
∂x j ∣ ∣∣∣p
∈ T p R n .
Ist c : [0, 1] → R n eine differenzierbare Kurve mit c(0) = p und ċ(0) = X p , dann
gilt X p (Y j ) = (Y j ◦ c) ′ (0). Daher hängt der Wert ∇ Xp Y nicht von Y , sondern nur
von der Einschränkung von Y auf das Bild der Kurve c ab.
Für Vektorfelder X und Y auf R n definiert man ein Vektorfeld ∇ X Y durch
(∇ X Y )(p) = ∇ X(p) Y .
Man verifiziert die folgende Produktregel für die Standardmetrik g R n des R n :
X(g R n(Y, Z)) = g R n(∇ X Y, Z) + g R n(Y, ∇ X Z) .
11.4. Weingartenabbildung und zweite Fundamentalform. Sei M ⊆ R 3
eine orientierte Fläche, versehen mit dem Einheitsnormalenfeld ν aus Abschnitt
11.2, und sei X p ∈ T p M ⊆ T p R 3 . Dann ist die Ableitung ∇ Xp ν ∈ T p R 3 wohldefiniert.
Nach der Produktregel aus 11.3 ist
0 = X p (g R 3(ν, ν)) = 2 g R 3(∇ Xp ν, ν(p)) .
Der Vektor ∇ Xp ν ist also orthogonal zu ν(p), und damit ist ∇ Xp ν ∈ T p M.
Definition. Die differenzierbare Abbildung L : T M → T M,
L(X p ) = −∇ Xp ν
97

heißt die Weingartenabbildung oder der Shape–Operator der orientierten Fläche M.
Das mit Hilfe der ersten Fundamentalform g von M durch
II(X, Y ) = g(LX, Y ) = g(−∇ X ν, Y )
definierte (2, 0)–Tensorfeld II auf M heißt die zweite Fundamentalform von M.
Der Vektor LX p misst die “Kippgeschwindigkeit” der Normalen ν in Richtung X p ∈
T p M. Sowohl ν als auch L und II ändern offenbar das Vorzeichen bei Wechsel der
Orientierung von M.
11.5. Berechnung von L und II. Sei ψ : W → U ⊆ M eine orientierungserhaltende
lokale Parametrisierung. Dann ist
II =
2∑
h ik dw i ⊗ dw k (11.5.1)
i,k=1
mit gewissen Funktionen h ik auf U. Wir berechnen die Komponenten h ik . Zunächst
ist
( ∣ ∣ ∂ ∣∣∣p ∂ ∣∣∣p )
h ik (p) = II
∂w i ,
∂w k
(
= g − ∇ ∂
|
ν,
∂w i p
= −g R 3
( 3∑
l=1
∣
∂ ∣∣∣p )
∂w k
( ∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
n l)
∂
∂x l ∣ ∣∣∣p
,
3∑ ∂ψ m
∂w k (w) ∂
)
∂x m | p
Dabei ist p = ψ(w), die n l sind die in Abschnitt 11.2 definierten Komponenten von
ν, und wir haben Gleichung (10.2.1) verwendet. Wegen
m=1
∣
∂ ∣∣∣p
∂w i n l = ∂(nl ◦ ψ)
∂w i (w)
ergibt sich, wenn wir das Standardskalarprodukt des R 3 mit spitzen Klammern
bezeichnen,
3∑ ∂(n l ◦ ψ)
h ik (p) = −
∂w i (w) ∂ψl
∂w k (w)
l=1
〈 ∂(n ◦ ψ) ∂ψ
〉
= −
∂w i (w),
∂w k (w) 〈
∂ 2 ψ
〉
= (n ◦ ψ)(w),
∂w i ∂w k (w) .
Das Resultat lautet also
h ik (p) =
〈
∂ 2 ψ
〉
n(p),
∂w i ∂w k (ψ−1 (p)) . (11.5.2)
98

Folgerung. Die zweite Fundamentalform II ist symmetrisch. Für jeden Punkt
p ∈ M ist die Weingartenabbildung L p : T p M → T p M ein selbstadjungierter Endomorphismus
des euklidischen Vektorraumes (T p M, g(p)).
Die Weingartenabbildung L fassen wir als ein (1, 1)–Tensorfeld (siehe Beispiel (b)
in 5.1) auf und schreiben
L =
2∑
L k i dw i ⊗
∂
∂w k , (11.5.3)
i,k=1
also
für
LX =
∣ 2∑
L k i (p) dw i ∂ ∣∣∣p
(X)
∂w k =
i,k=1
X =
2∑
j=1
X j
2∑
L k i (p) X i
i,k=1
∂
∂w j ∣ ∣∣∣p
∈ T p M.
∂
∂w k ∣ ∣∣∣p
Wir berechnen die Komponenten L i k . Sei
Y =
2∑
k=1
Y k
∂
∂w k ∣ ∣∣∣p
∈ T p M.
Dann ist
II(X, Y ) = g(LX, Y )
= g(X i L i j (p)
∂
∂w j ∣ ∣∣∣p
, Y k
= X i L i j (p)Y k g jk (p) .
∂
∂w k ∣ ∣∣∣p
)
Der Vergleich mit II(X, Y ) = X i Y k h ik (p) ergibt, da X, Y beliebig sind,
2∑
h ik = L j i g jk . (11.5.4)
Sei nun (g ij ) i,j=1,2 die zu (g ij ) inverse Matrix. Gleichung (11.5.4) liefert
j=1
∑
h ik g km = ∑ L j i g jk g km
k
k,j
= ∑ ( ∑
g jk g km) j
L i
j
k
= ∑ δ m j j L i
j
m
= L i
99

und damit als Ergebnis
2∑
L k i = h ij g jk . (11.5.5)
j=1
11.6. Ableitung der Gaußabbildung. Seien n : M → S 2 die Gaußabbildung
der Fläche M. Wir bestimmen ihre Ableitung T p n : T p M → T n(p) S 2 im Punkt
p ∈ M. Die Tangentialebene an M in p ist parallel zur Tangentialebene an die
Sphäre S 2 im Punkt n(p). Bezüglich der Standardkoordinaten auf R 3 ist
{ 3∑
T n(p) S 2 =
i=1
v i
∣
∂ ∣∣∣n(p)
∣ }
∣∣ 〈n(p), v〉 = 0
∂x i ,
wobei v = (v 1 , v 2 , v 3 ) T . Wir definieren eine Abbildung θ p : T p M → T n(p) S 2 durch
θ p
( 3∑
i=1
v i
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x i =
3∑
i=1
v i
∂
∂x i ∣
∣∣∣n(p)
.
Geometrisch lässt sich θ p beschreiben als euklidische Parallelverschiebung von T p M
in den Tangentialraum T n(p) S 2 .
Lemma. Für die Ableitung der Gaußabbildung n gilt mit L p := L| TpM
T p n = −θ p ◦ L p . (11.6.1)
Beweis. Ist ψ : W → M eine lokale Parametrisierung an p, dann gilt
( ∣ ∂ ∣∣∣p )
(T p n)
∂w i =
3∑
k=1
Andererseits ist nach Definition von ∇
( ∣ ∂ ∣∣∣p )
L
∂w i = −∇ ∂
|
ν
∂w i p
= −
= −
3∑
k=1
3∑
k=1
∂(n k ◦ ψ)
∂w i (ψ −1 (p))
( ∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
n k)
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
∂(n k ◦ ψ)
∂w i (ψ −1 (p))
Die Behauptung folgt aus der Definition von θ p . QED
100
∂
∂x k ∣
∣∣∣n(p)
.
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
.

Vergleicht man diese Rechnung und
( ∣ ∂ ∣∣∣p )
L
∂w i =
=
3∑
L j i (p)
j=1
2∑
L j i (p)
j=1
∂
∂w j ∣ ∣∣∣p
3∑
k=1
∂ψ k
∂w j (ψ−1 (p))
so ergeben sich die Ableitungsgleichungen von Weingarten
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
,
∂(n ◦ ψ)
∂w i
= −
2∑
j=1
L i j ◦ψ ∂ψ
∂w j . (11.6.2)
11.7. Verhalten von L und II bei euklidischen Bewegungen. Seien M
und N zusammenhängende orientierte Flächen im R 3 , die durch eine euklidische
Bewegung φ(x) = Ax + b des R 3 ineinander abgebildet werden, so dass φ(M) = N
ist. Seien ν M und ν N ihre Einheitsnormalenfelder wie in 11.2. Dann ist offenbar
ν N ◦ φ| M = ± T φ ◦ ν M , (11.7.1)
wobei je nach Orientierung das eine oder andere Vorzeichen zu nehmen ist.
Proposition. Seien L M und L N die Weingartenabbildungen der Flächen M und
N, und seien II M , II N ihre zweiten Fundamentalformen. Dann gilt mit demselben
Vorzeichen wie in (11.7.1)
(T φ) ◦ L M = ± L N ◦ (T φ)
(φ| M ) ∗ II N = ± II M .
(11.7.2)
Für den Beweis verwenden wir das folgende
Lemma. Sei X ∈ T R n , und sei Y ∈ V(R n ) ein differenzierbares Vektorfeld. Sei
ferner φ(x) = Ax+b eine affine Abbildung des R n , also A ∈ GL(n, R) und b ∈ R n .
Dann gilt
(T φ)(∇ X Y ) = ∇ (T φ)X (φ ∗ Y ) . (11.7.3)
Dabei ist das Vektorfeld φ ∗ Y wie in Abschnitt 7.7 definiert als
φ ∗ Y = (T φ) ◦ Y ◦ φ −1 .
Korollar. Sind X und Y ∈ V(R n ) differenzierbare Vektorfelder, dann gilt für jede
affine Abbildung φ des R n φ ∗ (∇ X Y ) = ∇ (φ∗X)(φ ∗ Y ) . (11.7.4)
101

Man erhält also dasselbe Ergebnis, wenn man zuerst kovariant ableitet und dann
φ (in Gestalt von φ ∗ ) anwendet, wie wenn man zunächst φ auf X und Y anwendet
und danach kovariant ableitet: Das Anwenden affiner Abbildungen kommutiert,
grob gesprochen, mit der kovarianten Ableitung. Und man kann leicht zeigen
(Aufgabe 2), dass diese Eigenschaft die affinen Abbildungen des R n unter allen
Diffeomorphismen charakterisiert.
Zum Beweis des Lemmas sei etwa X ∈ T p R n und Y = Y k ∂/∂x k . Dann ist
(
(T φ)(∇ X Y ) = (T φ) X(Y k )
= X(Y k ) ∂φl
∂x k (p)
= X(Y k ) A l k
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x k
∂
∂x l ∣
∣∣∣φ(p)
∂
∂x l ∣
∣∣∣φ(p)
.
Andererseits ist
(
(φ ∗ Y )(q) = (T φ) Y k (φ −1 (q))
∣
∂ ∣∣∣φ )
∂x k −1 (q)
= Y k (φ −1 (q)) ∂φl
∂x k (φ−1 (q))
∂
∂x l ∣ ∣∣∣q
,
also
φ ∗ Y = (Y k ◦ φ −1 ) A l ∂
k
∂x l .
Da die Matrixkoeffizienten A l k konstant sind, erhält man
∣
∇ (T φ)X (φ ∗ Y ) = ((T φ)X)((Y k ◦ φ −1 ) A l k ) ∂ ∣∣∣φ(p)
∂x l
∣ ,
= X(Y k ) A l ∂ ∣∣∣φ(q)
k
∂x l
und das Lemma ist bewiesen. QED
Mit Hilfe des Lemmas und der Gleichung (11.7.1) ergibt sich die Proposition wie
folgt. Es ist
(T φ)(L M X) = (T φ)(−∇ X ν M )
= −∇ (T φ)X (T φ ◦ ν M ◦ φ −1 )
= ∓ ∇ (T φ)X ν N
= ± L N ((T φ)X) .
102

Für die zweiten Fundamentalformen erhält man mit Beispiel 10.9.(a) schließlich
((φ| M ) ∗ ( )
II N )(X, Y ) = II N (T φ)X, (T φ)Y
(
= g N LN ((T φ)X), (T φ)Y )
(
= ± g N (T φ)LM X, (T φ)Y )
= ± g M (L M X, Y )
= ± II M (X, Y ) .
11.8. Ableitungsgleichungen. Ist ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M eine lokale
Parametrisierung der orientierten Fläche M, dann bilden die Vektoren ∂ψ/∂w k (w)
zusammen mit dem Normalenvektor n(ψ(w)) für jeden Parameterwert w ∈ W eine
Vektorraumbasis des R 3 . Insbesondere kann man die zweiten partiellen Ableitungen
von ψ als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben und gelangt so zu den
Ableitungsgleichungen von Gauß,
∂ 2 ψ
∂w i ∂w k = Γ ik l ◦ψ ∂ψ
∂w l + h ik◦ψ · n◦ψ . (11.8.1)
Die dabei auftretenden Funktionen Γ ik l ∈ C ∞ (U) nennt man Christoffelsymbole.
Die Koeffizienten h ik sind die Komponenten der zweiten Fundamentalform II aus
Gleichung (11.5.2). Neben den Gaußschen haben wir aus (11.6.2) die Weingartenschen
Ableitungsgleichungen
∂(n ◦ ψ)
∂w i
= −L i k ◦ψ ∂ψ
∂w k . (11.8.2)
Zusammen genommen drücken diese Ableitungsgleichungen die Ableitungen des
“begleitenden Dreibeins” ∂ψ/∂w 1 , ∂ψ/∂w 2 , n durch das Dreibein selbst aus. Sie
stellen daher ein Analogon zu den Frenetschen Gleichungen für Kurven im R 3 dar,
und wir werden sie in Abschnitt 11.9 auch in ähnlicher Weise verwenden.
Um die Christoffelsymbole Γ ik
l
zu berechnen, schreiben wir abkürzend ∂ i ψ =
∂ψ/∂w i und unterdrücken ◦ψ. Dann lauten die Gaußschen Ableitungsgleichnungen
∂ i ∂ k ψ = Γ ik l ∂ l ψ + h ik n .
Das Skalarprodukt mit ∂ m ψ ergibt nach Abschnitt 10.3
Mit der Produktregel
〈∂ i ∂ k ψ, ∂ m ψ〉 = Γ ik l g lm .
∂ i 〈∂ j ψ, ∂ k ψ〉 = 〈∂ i ∂ j ψ, ∂ k ψ〉 + 〈∂ j ψ, ∂ i ∂ k ψ)〉
103

erhält man die Gleichungen
∂ i g jk = Γ ij l g lk + Γ ik l g lj
∂ j g ki = Γ jk l g li + Γ ji l g lk
∂ k g ij = Γ ki l g lj + Γ kj l g li ,
die durch zyklisches Vertauschen der Indizes auseinander hervorgehen. Subtraktion
der dritten Gleichung von der Summe der beiden ersten ergibt
∂ i g jk + ∂ j g ki − ∂ k g ij = 2 Γ ij l g lk
und nach Multiplikation beider Seiten mit g km und Summation über k erhält man
schließlich
Γ ij k = 1 2 gkl (∂ i g jl + ∂ j g li − ∂ l g ij ). (11.8.3)
Satz. Die Christoffelsymbole Γ ij k lassen sich allein aus den Koeffizienten g ij der
ersten Fundamentalform und ihren Ableitungen berechnen.
Es sei bemerkt, dass die Γ k ij nicht die Komponenten eines Tensorfeldes auf M
sind, da ihr Transformationsverhalten bei Kartenwechsel nicht das eines Tensors
ist (siehe 6.2). Vielmehr sind sie, wie wir bald sehen werden, die Komponenten
eines “Zusammenhanges” auf M, und zwar des Levi–Civita–Zusammenhanges der
Riemannschen Metrik g M .
11.9. Kongruenz isometrischer Flächen. Sei M ⊆ R 3 eine Fläche, φ eine
euklidische Bewegung des R 3 , und sei N = φ(M). Nach Abschnitt 10.9 ist die Einschränkung
f = φ| M eine Isometrie der Riemannsche Mannigfaltigkeiten (M, g M )
und (N, g N ), erfüllt also f ∗ g N = g M . Umgekehrt ist nicht jede Isometrie zwischen
Flächen notwendig die Einschränkung einer euklidische Bewegung, da solche Einschränkungen
nach 11.7 auch f ∗ II N = ± II M erfüllen müssen.
Satz. Seien M und N zusammenhängende orientierte Flächen im R 3 , und sei
f : (M, g M ) → (N, g N ) eine Isometrie mit f ∗ II N = II M . Dann existiert eine
euklidische Bewegung φ : R 3 → R 3 mit φ| M = f.
Beweis. Sei p ∈ M und sei ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M eine lokale Parametrisierung
von M mit ψ(0) = p und mit zusammenhängendem Parameterbereich W . Dann ist
˜ψ := f ◦ ψ : W → f(U) ⊆ N
eine lokale Parametrisierung von N mit ˜ψ(0) = f(p).
Sei φ(x) = Ax + b die euklidische Bewegung des R 3 , die p in f(p) abbildet, und
deren Ableitung A das “begleitende Dreibein” der Parametrisierung ψ im Punkt p
104

in dasjenige der Parametrisierung ˜ψ im Punkt f(p) überführt, also
( ∂ψ
)
A
∂w 1 (0)
( ∂ψ
)
A
∂w 2 (0)
= ∂ ˜ψ
∂w 1 (0) ,
= ∂ ˜ψ
∂w 2 (0) ,
A (n M (p)) = n N (p) .
Dabei ist zu beachten, dass die lineare Abbildung A wegen 〈 ∂ψ/∂w i , ∂ψ/∂w k 〉 =
〈 ∂ ˜ψ/∂w i , ∂ ˜ψ/∂w k 〉 Skalarprodukte respektiert, so dass es sich tatsächlich um eine
orthogonale Abbildung handelt.
Für die Fläche φ(M) ergibt sich eine lokale Parametrisierung ¯ψ := φ ◦ ψ. Wir
werden zeigen, dass φ| M mit f übereinstimmt. Dazu beweisen wir zunächst, dass
¯ψ = ˜ψ ist, so dass jedenfalls φ| U = f| U gilt.
Für die Komponenten der Fundamentalformen und die Christoffelsymbole der Flächen
˜M := N und ¯M := φ(M) bezüglich der lokalen Parametrisierungen ˜ψ und ¯ψ
gilt, in leicht verständlicher Notation,
˜g ij ◦ ˜ψ = ḡ ij ◦ ¯ψ da f und φ Isometrien sind
˜h ij ◦ ˜ψ = ¯h ij ◦ ¯ψ weil f ∗ II N = II M gilt
˜L k i ◦ ˜ψ = ¯L k i ◦ ¯ψ da L k i = h il g lk ist
˜Γ k ij ◦ ˜ψ = ¯Γ k ij ◦ ¯ψ wegen Gleichung (11.8.3).
Wir beweisen als Beispiel die erste dieser Gleichungen. Die lokalen Parametrisierungen
ψ, ˜ψ und ¯ψ der Mannigfaltigkeiten M, ˜M und ¯M induzieren Basisfelder auf
den entsprechenden Kartengebieten, die wir mit ∂ i , ˜∂ i und ¯∂ i bezeichnen. Es gilt
f ∗ ∂ i = ˜∂ i und φ ∗ ∂ i = ¯∂ i . Da f und φ| M Isometrien sind, gilt für die ersten Fundamentalformen
f ∗ g ˜M
= g M und (φ| M ) ∗ g ¯M = g M . Daraus folgt, in etwas abgekürzter
Schreibweise,
˜g ij = g ˜M
( ˜∂ i , ˜∂ j )
= g ˜M
((T f)∂ i , (T f)∂ j )
= (f ∗ g ˜M
)(∂ i , ∂ j )
= g M (∂ i , ∂ j )
= g ij
und ebenso ḡ ij = g ij , also insgesamt ˜g ij = ḡ ij , jeweils ausgewertet an entsprechenden
Stellen. Ebenso beweist man die zweite Gleichung, und die beiden übrigen
Gleichungen ergeben sich unmittelbar aus der ersten und der zweiten.
Seien ¯Z k = ∂ ¯ψ/∂w k und ˜Z k = ∂ ˜ψ/∂w k . Dann ist nach den Ableitungsgleichungen
105

aus 11.8
∂ ¯ψ
∂w i = ¯Z i
∂ ¯Z k
∂w i = ¯Γ l ik ◦ ¯ψ · ¯Z l + ¯h ik ◦ ¯ψ · ¯n◦ ¯ψ
(11.9.1)
∂(¯n◦ ¯ψ)
∂w i = −¯L k i ◦ ¯ψ · ¯Z k ,
und für die Größen mit ˜· anstelle von ¯· gelten entsprechende Gleichungen. Die
Gleichungen (11.9.1) sind ein System der Form
für die durch
∂ ¯X
∂w i = F i( ¯X) (i = 1, 2)
¯X = ( ¯ψ, ( ¯Z1 , ¯Z 2 , ¯n◦ ¯ψ) ) ,
definierte Abbildung ¯X : W → R 3 × R 3×3 ∼ = R 12 , und die Abbildung
˜X = ( ˜ψ, ( ˜Z1 , ˜Z 2 , ñ◦ ˜ψ) )
erfüllt dasselbe System, mit denselben Funktionen F i . Da ˜X(0) = ¯X(0) gilt, und
da W zusammenhängend ist, folgt nun ˜X = ¯X auf ganz W . Ist nämlich w 0 ∈ W , so
wähle man eine differenzierbare Kurve c : [0, 1] → W mit c(0) = 0 und c(1) = w 0 .
Dann erfüllt ¯X ◦ c das System gewöhnlicher Differentialgleichungen
d( ¯X ◦ c)
(t) = F i (X(c(t)) dci
dt
dt (t) ,
ist also durch den Anfangswert ¯X(c(0)) = ¯X(0) eindeutig bestimmt. Insbesondere
ist ¯ψ = ˜ψ, also φ ◦ ψ = f ◦ ψ, und damit φ| U = f| U , wie beabsichtigt.
Wir haben gezeigt, dass zu jedem Punkt p ∈ M eine euklidische Bewegung φ p ∈ E(3)
existiert mit φ p | U = f| U auf einer Umgebung U von p, und φ p wird eindeutig, wenn
man fordert (T φ)◦(ν M | U ) = ν N ◦f| U . Die Abbildung p ↦→ φ p von M in die Gruppe
E(3) der euklidischen Bewegungen ist lokal konstant. Da M zusammenhängend ist,
ist sie konstant. QED
Aufgaben
1. Unterschied. Erläutern Sie den Unterschied zwischen der Standardorientierung
des R 3 als Vektorraum und der Standardorientierung des R 3 als differenzierbare
Mannigfaltigkeit.
2. Affine Abbildungen. Sei φ ein Diffeomorphismus des R n auf sich selbst.
Zeigen Sie: φ ist eine affine Abbildung genau dann, wenn für alle differenzierbaren
Vektorfelder X und Y auf R n gilt
φ ∗ (∇ X Y ) = ∇ (φ∗X)(φ ∗ Y ) .
106

3. Weingartenabbildung. (a) Sei S ⊆ R 3 eine Sphäre vom Radius ρ, versehen
mit der inneren Einheitsnormalen ν. Zeigen Sie, dass für die Weingartenabbildung
L : T S → T S gilt L = 1 ρ id T S.
(b) Ist M ⊆ R 3 eine zusammenhängende orientierte Fläche, für deren Weingartenabbildung
gilt L = 1 ρ id T M mit einer positiven Konstante ρ, dann ist M in einer
Sphäre vom Radius ρ enthalten.
4. Minimalflächen. Eine Fläche M ⊆ R 3 heisst eine Minimalfläche, wenn die
Spur ihrer Weingartenabbildung L p : T p M → T p M für jeden Punkt p ∈ M verschwindet.
(Diese Bedingung ist offenbar unabhängig von einer Orientierung von
M.) Zeigen Sie, dass das Katenoid und das Helikoid Minimalflächen sind.
Exkurs: Gruppenoperationen. Eine (Links–)Operation oder (Links–)Wirkung
einer Liegruppe Γ (mit neutralem Element e) auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
M ist eine differenzierbare Abbildung µ : Γ×M → M mit den Eigenschaften
µ(e, p) = p und µ(a, µ(b, p)) = µ(ab, p) für alle a, b ∈ Γ und p ∈ M. Man schreibt
kurz ap oder a · p anstelle von µ(a, p), wenn keine Missverständnisse zu befürchten
sind. Die Operation heißt frei und eigentlich diskontinuierlich, wenn gilt:
(a) Jeder Punkt p ∈ M besitzt eine Umgebung U mit U ∩ aU = ∅ für
alle a ∈ Γ\{e}.
(b) Ist q ∈ M nicht in der Bahn Γp des Punktes p enthalten, dann
existieren Umgebungen U von p und V von q mit U ∩ aV = ∅ für alle
a ∈ Γ.
5. Quotientenmannigfaltigkeiten. Die Gruppe Γ operiere frei und eigentlich
diskontinuierlich auf der C ∞ –Mannigfaltigkeit M. Zeigen Sie:
(a) Der Quotientenraum Γ\M ist hausdorffsch und hat eine abzählbare Basis der
Topologie.
(b) Auf dem Quotientenraum existiert genau eine C ∞ –Struktur mit der Eigenschaft,
dass die kanonische Projektion π : M → Γ\M ein lokaler Diffeomorphismus
ist.
(c) Für diese Struktur gilt: f ∈ C ∞ (Γ\M) genau dann, wenn f ◦ π ∈ C ∞ (M) ist.
6. Orientierbarkeit von Quotienten. (a) Die Gruppe Γ operiere frei und
eigentlich diskontinuierlich auf der orientierten C ∞ –Mannigfaltigkeit M. Zeigen
Sie: Die Quotientenmannigfaltigkeit M → Γ\M ist genau dann orientierbar, wenn
jeder der Diffeomorphismen µ a = µ(a, ·) orientierungserhaltend ist.
(b) Zeigen Sie, dass die von den beiden Abbildungen γ 1 : (x, y) ↦→ (x, y + 1)
und γ 2 : (x, y) ↦→ (x + 1, −y) erzeugte Gruppe Γ ⊆ Diff(R 2 ) frei und eigentlich
diskontinuierlich auf R 2 operiert. Ist der Quotient orientierbar?
(c) Für welche Dimensionen n ist der reell projektive Raum RP n := {±id}\S n
orientierbar?
107

12. Die Krümmungen einer Fläche
Die Weingartenabbildung L p einer orientierten Fläche M ⊆ R 3 ist, wie wir aus
Abschnitt 11.5 wissen, eine selbstadjungierte lineare Abbildung des Tangentialraumes
T p M in sich. Sie ist daher reell diagonalisierbar. Ihre Eigenwerte nennt
man die Hauptkrümmungen von M im Punkt p. Sie lassen sich als Krümmungen
von Schnittkurven gewisser Ebenen mit der Fläche deuten. Aus den beiden Hauptkrümmungen
bildet man zwei weitere Krümmungsgrößen, die Gaußkrümmung und
die mittlere Krümmung von M, auf deren geometrische Bedeutung wir eingehen.
Es stellt sich heraus, dass die Gaußkrümmung, obwohl zunächst mit Hilfe der Weingartenabbildung,
also des Normalenvektors von M, definiert, durch die erste Fundamentalform
allein bestimmt ist. Sie gehört also zur inneren Geometrie von M.
Diese Entdeckung, das “Theorema egregium” von Gauß, war der Ausgangspunkt
der Krümmungstheorie Riemannscher Räume.
Im Folgenden ist M ⊆ R 3 eine orientierte Fläche und n ihre Gaußabbildung.
12.1. Krümmung von Flächenkurven. Sei I ⊆ R n ein Intervall, und sei
c ∈ C 2 (I, M) eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve in M. Wir fassen c als
Kurve im R 3 auf und betrachten ihre Ableitungen, den Tangentenvektor c ′ = dc/ds
und den “Beschleunigungsvektor” c ′′ = d 2 c/ds 2 . Diesen Vektor c ′′ spalten wir auf
in die zu M normale und die an M tangentielle Komponente. Sei dazu u := n × c ′ .
Da c nach der Bogenlänge parametrisiert, also 〈c ′ , c ′ 〉 = 1 ist, gilt 〈c ′′ , c ′ 〉 = 0. Daher
ist die an M tangentielle Komponente von c ′′ von ein Vielfaches von u, also
c ′′ (s) = κ n (s) n(c(s)) + κ g (s) u(s) (12.1.1)
mit gewissen Funktionen κ n und κ g . Die Funktion κ n heißt die Normalkrümmung,
κ g die geodätische Krümmung der Kurve c.
Multiplikation von Gleichung (12.1.1) mit der Flächennormalen n ergibt 〈c ′′ , n〉 =
κ n . Mit der Krümmung κ := ‖c ′′ ‖ ergibt sich daraus
κ n = κ cos ̸ (c ′′ , n). (12.1.2)
Beispiel. Sei E eine Ebene durch den Punkt p ∈ M, welchen die zu M senkrechte
Richtung enthält. Die Schnitte E ∩ M solcher Ebenen mit der Fläche bezeichnet
man als deren Normalschnitte im Punkt p. Wie wählen eine Parametrisierung des
Normalschnittes nach der Bogenlänge, also eine Kurve c ∈ C 2 (I, M) mit c(0) = p,
‖c ′ ‖ = 1 und mit c(I) ⊆ E ∩ M. Da c in der Ebene E liegt, ist c ′′ = ± n ◦ c und
κ n = ± κ. Die Normalkrümmung eines Normalschnittes im Punkt p stimmt also
bis auf das Vorzeichen mit seiner Krümmung als Raumkurve überein. Dabei gilt
Version: 18. Februar 2000
108

das positive Vorzeichen, wenn der Normalschnitt E ∩ M sich in Richtung von n(p)
krümmt, andernfalls das negative.
Für allgemeine Kurven mit ‖ċ‖ = 1 läßt sich die Normalkrümmung mit der zweiten
Fundamentalform II in Zusammenhang bringen. Es ist nämlich
κ n (s) = 〈 c ′′ (s), n(c(s)) 〉
= d ds 〈c′ (s), n(c(s))〉 −
〈c ′ (s), d 〉
ds n(c(s))
= − 〈 ċ(s), ∇ċ(s) ν 〉
= II(ċ(s), ċ(s)).
Satz. Die Normalkrümmung κ n (s) von c hängt nur vom Tangentialvektor ċ(s) ab:
κ n (s) = II(ċ(s), ċ(s)). (12.1.3)
Insbesondere stimmt κ n (s) mit der mit Vorzeichen versehenen Krümmung des c im
Punkt c(s) berührenden Normalschnittes von M überein.
Als eine geometrische Deutung der zweiten Fundamentalform ergibt sich:
Korollar. Für X ∈ T p M ist II(X, X)/ ‖X‖ 2 die mit Vorzeichen versehene Krümmung
des Normalschnittes der durch X und n(p) aufgespannten Ebene mit M.
12.2. Hauptkrümmungen einer Fläche. Die Eigenwerte k 1 (p) und k 2 (p) der
Weingartenabbildung L p : T p M → T p M heißen die Hauptkrümmungen von M
in p, die Eigenräume Hauptkrümmungsrichtungen. Kurven c, die in jedem ihrer
Punkte tangentiell an eine Hauptkrümmungsrichtung sind, für die also ċ(t) in einem
Eigenraum von L c(t) enthalten ist, heißen Krümmungslinien.
Lemma. (a) Ist k 1 (p) ≠ k 2 (p), dann sind die beiden Hauptkrümmungsrichtungen
zueinander orthogonal.
(b) Ist k 1 (p) ≤ k 2 (p), dann gilt
{ II(X, X)
k 1 (p) = min
‖X‖ 2
k 2 (p) = max
{ II(X, X)
‖X‖ 2
∣ }
∣∣ X ∈ Tp M\{0}
∣ }
∣∣ X ∈ Tp M\{0} .
(12.2.1)
Die Hauptkrümmungsrichtungen k 1 (p), k 2 (p) sind also das Minimum und Maximum
der Krümmungen der Normalschnitte von M im Punkt p.
Beweis. (a) Eigenräume eines selbstadjungierten Endomorphismus eines euklidischen
Vektorraumes, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind zueinander
orthogonal: In etwas abgekürzter Schreibweise ist
k 1 〈X, Y 〉 = 〈k 1 X, Y 〉 = 〈LX, Y 〉 = 〈X, LY 〉 = 〈X, k 2 Y 〉 = k 2 〈X, Y 〉.
109

Wenn k 1 ≠ k 2 ist, dann folgt 〈X, Y 〉 = 0.
(b) Die zweite Aussage ist ein Spezialfall der Minimax–Charakterisierung der Eigenwerte
eines selbstadjungierten Endomorphismus. Wir geben einen direkten Beweis.
Sei dazu X 0 ∈ T p M ein Minimum der Funktion
f(X) := II(X, X)/ ‖X‖ 2 .
Dann gilt für alle Y ∈ T p M
d
dt∣ f(X 0 + tY ) = 0.
0
Daraus ergibt sich
Es folgt LX 0 = λ 1 X 0 mit
( g(LX0 , X 0 )
)
g(LX 0 , Y ) = g
‖X 0 ‖ 2 X 0 , Y .
λ 1 = g(LX 0, X 0 )
‖X 0 ‖ 2 = f(X 0 ) = min { f(X) | X ∈ T p M\{0} }. QED
12.3. Gaußkrümmung und mittlere Krümmung. Die Gaußkrümmung K(p)
und die mittlere Krümmung H(p) der Fläche M im Punkt p sind definiert als
Determinante und Spur der Weingartenabbildung,
K(p) = det(L p ) = k 1 (p) k 2 (p)
H(p) = 1 2 Spur(L p) = 1 (
k1 (p) + k 2 (p) ) .
2
Ein Punkt p ∈ M heißt elliptisch, wenn K(p) > 0, hyperbolisch, wenn K(p) < 0,
und parabolisch, wenn K(p) = 0 ist. Nabelpunkte sind Punkte mit k 1 (p) = k 2 (p), in
denen also die Weingartenabbildung L p ein Vielfaches der Identität ist. Flachpunkte
sind Nabelpunkte mit k 1 (p) = k 2 (p) = 0.
Bemerkungen. (a) Ändert man die Orientierung von M, dann ändern ν, II, L
und die Hauptkrümmungen k 1 und k 2 nur das Vorzeichen. Folglich ändert auch
die mittlere Krümmung H das Vorzeichen, während die Gaußkrümmung K unverändert
bleibt. Das hat zur Folge, dass sich die Gaußkrümmung auch für nicht
orientierbare Flächen definieren lässt, indem man lokal willkürlich eines der beiden
Einheitsnormalenfelder ± ν auszeichnet.
(b) Die Hauptkrümmungen k 1,2 von M sind die Nullstellen des Polynoms
det(L − λI) = (k 1 − λ)(k 2 − λ) = λ 2 − 2Hλ + K.
Folglich ist
k 1,2 = H ± √ H 2 − K. (12.3.1)
110

Da H und K offenbar C ∞ –Funktionen auf M sind, sind k 1 und k 2 stetig und,
abgesehen von den Nabelpunkten, in denen der Radikand verschwindet, auch von
der Klasse C ∞ .
12.4. Berechnung mittels lokaler Parametrisierung. Sei ψ : W → U ⊆ M
eine lokale Parametrisierung von M. Nach (11.5.5) ist
L i k = ∑ j
h ij g jk .
Die Matrix (L i j ) ist also Matrixprodukt (L i j ) = (h ij ) · (g ij ) −1 , und damit ist das
charakteristische Polynom der Weingartenabbildung
det(L p − λI) = det ( h ik (p) − λ g ik (p) )
det ( g ik (p) ) .
Die Hauptkrümmungen k 1 (p) und k 2 (p) sind folglich die Lösungen λ der Gleichung
det ( h ik (p) − λg ik (p) ) = 0.
Für die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung ergibt sich
K = det(h ik)
det(g ik ) = h 11h 22 − (h 12 ) 2
g 11 g 22 − (g 12 ) 2
H = 1 ∑
h ij g ji
2
i,j
12.5. Eine geometrische Deutung der Gaußkrümmung. Wir geben zunächst
eine geometrische Deutung des Vorzeichens der Gaußkrümmung. Dazu versehen wir
die Sphäre S 2 mit der wie folgt definierten Standardorientierung: Sei ξ das äußere
Einheitsnormalenfeld der Sphäre. Positiv orientiert heißen dann diejenigen Basen
(X 1 , X 2 ) des Tangentialraumes T q S 2 für die (X 1 , X 2 , ξ(q)) eine positiv orientierte
Basis von T q R 3 ist.
Nach Abschnitt 11.6 gilt für die Ableitung der Gaußabbildung T p n = −θ p ◦ L p .
Folglich ist T p n : T p M → T n (p)S 2 genau dann bijektiv, wenn K(p) = det(L p ) ≠ 0
ist, und es gilt:
Satz. Die Gaußkrümmung K(p) ist genau dann positiv, wenn die Gaußabbildung
n in einer Umgebung von p orientierungserhaltend ist. Sie ist genau dann negativ,
wenn n in einer Umgebung von p orientierungsumkehrend ist.
Eine geometrische Deutung des Absolutbetrages |K| gibt der folgende Satz.
111

Satz. Sei U ⊆ M offen. Wir setzen voraus, dass die Gaußabbildung U diffeomorph
auf n(U) ⊆ S 2 abbildet. Dann gilt für den Flächeninhalt vol (n(U)) des Bildes n(U)
∫
|K| dV M = vol ( n(U) ) . (12.5.1)
U
Für die Bälle B(p, ε) ⊆ M um Punkte p ∈ M mit K(p) ≠ 0 gilt
|K(p)| = lim
ε→0
vol ( n(B(p, ε)) )
vol ( B(p, ε) ) . (12.5.2)
Beweis. Wir setzen zunächst zusätzlich voraus, dass eine Parametrisierung ψ :
W → ψ(W ) = U existiert. Dann ist n ◦ ψ : W → n(U) ⊆ S 2 eine Parametrisierung
von n(U), und nach Abschnitt 10.6 gilt für jede (nichtnegative messbare) Funktion
ϱ auf n(U)
∫
n(U)
∫
ϱ dV S 2 =
∫
=
∫
=
W
W
U
∂(n ◦ ψ) ∂(n ◦ ψ)
∥ ∥∥
ϱ◦n◦ψ ∥
∂w 1 × dw 1
∂w 2 dw 2
ϱ◦n◦ψ |det(L) ◦ ψ| ∥ ∂ψ
∂w 1 × ∂ψ ∥ ∥∥ dw 1
∂w 2 dw 2
ϱ◦n |K| dV M .
Dabei haben wir von der Weingartenschen Ableitungsgleichung (11.6.2) Gebrauch
gemacht. Speziell für ϱ = 1 ergibt sich die Behauptung des Satzes.
Nun sei allgemeiner U ⊆ M so beschaffen, dass es endlich viele offene parametrisierbare
Teilmengen U 1 , . . . , U m ⊆ M gibt mit ⋃ m
µ=1 U µ = U. Das ist etwa dann der
Fall, wenn der Abschluss von U kompakt ist. Sei {ϱ µ | µ = 1, . . . , m} eine Partition
der Eins auf n(U), die der Überdeckung durch die Mengen n(U µ) untergeordnet ist.
Dann gilt
∫
( ∑
m )
vol(n(U)) =
ϱ µ dVS 2
n(U)
∫
µ=1
= ∑ ϱ µ dV S 2
µ
n(U)
= ∑ ∫
ϱ µ dV S 2
µ
n(U µ)
= ∑ ∫
ϱ µ ◦n |K| dV M
µ
U µ
= ∑ ∫
ϱ µ ◦n |K| dV M
µ
U
∫
= |K| dV M .
U
112

Allgemeinere Teilmengen U überdeckt man durch höchstens abzählbar viele parametrisierbare
U µ und verwendet den Satz über monotone Konvergenz.
Zum Beweis von (12.5.2) beachten wir zunächst, dass wegen K(p) ≠ 0 die Ableitung
T p n : T p M → T n(p) S 2 invertierbar ist. Nach dem Satz über inverse Funktionen ist
daher die Einschränkung n| B(p,ε) für hinreichend kleine Radien ε ein Diffeomorphismus
von B(p, ε) auf n(B(p, ε)). Gleichung (12.5.1) liefert dann
min |K(q)| vol B(p, ε) ≤ |K| dV M = vol
q∈B(p,ε)
∫B(p,ε)
( n(B(p, ε)) )
≤ max |K(q)| vol B(p, ε).
q∈B(p,ε)
Division durch vol B(p, ε) ergibt die Behauptung. QED
Korollar. Sei M eine kompakte orientierte Fläche im R 3 , deren Gaußabbildung
n : M → S 2 ein Diffeomorphismus ist. Dann gilt
∫
M
K dV = 4π.
Beweis. Da T p n für jeden Punkt p ∈ M invertierbar ist, gilt K ≠ 0 überall auf M.
Und weil M zusammenhängend ist, kann K das Vorzeichen nicht wechseln. Nun
hat jede kompakte Fläche im R 3 Punkte positiver Gaußkrümmung (Aufgabe 3).
Folglich ist K > 0 auf M. Das Korollar folgt aus (12.5.1), da die Standardsphäre
den Flächeninhalt 4π hat. QED
Bemerkungen. (a) Kompakte zusammenhängende Flächen im R 3 , deren Gaußkrümmung
K überall positiv ist, nennt man Eiflächen. Unser Beweis zeigt, dass
Flächen, die die Voraussetzungen des Satzes erfüllen, Eiflächen sind. Umgekehrt
kann man auch zeigen, dass jede Eifläche orientierbar und ihre Gaußabbildung n
ein Diffeomorphismus ist (Satz von Hadamard, siehe Kapitel 13).
(b) Das Korollar ist ein einfacher Spezialfall des Satzes von Gauß–Bonnet, auf den
wir später eingehen werden.
(c) Für eine orientierte Fläche M ⊆ R 3 sei M 0 = {p ∈ M | K(p) = 0}. In den
Punkten p ∈ M 0 ist T p n nicht surjektiv. Nach einem Satz von Sard (Lang, S.450)
folgt daraus, dass das Bild n(M 0 ) ⊆ S 2 das Maß Null hat.
12.6. Geometrische Deutung der mittleren Krümmung. Sei M ⊆ R 3 eine
orientierte Fläche, und sei ϱ ∈ C ∞ 0 (M) eine Funktion mit kompaktem Träger. Dann
ist für hinreichend kleine ε > 0
M ε ϱ
:= { p + ε ϱ(p) n(p) | p ∈ M }
113

ebenfalls eine Fläche. Sie entsteht aus M, indem man die Punkte p von M um den
Betrag ϱ(p) in Richtung der Normalen n(p) verschiebt. Ist ψ : W → U ⊆ M eine
lokale Parametrisierung von M, dann ist die durch
ψ ε (w) = ψ(w) + ε ϱ(ψ(w)) n(ψ(w))
definierte Abbildung ψ ε : W → Uϱ ε ⊆ M ϱ ε eine lokale Parametrisierung der Fläche
Mϱ. ε Wir berechnen das Volumenelement von Mϱ ε in dieser Parametrisierung. Zunächst
ist
∂ψ ε
∂w i = ∂ψ
∂w i + ε ∂(ϱ◦ψ)
∂w i n◦ψ + ε ϱ◦ψ ∂(n◦ψ)
∂w i .
Lässt man der Kürze halber ◦ψ weg und schreibt ∂ i = ∂/∂w i , dann vereinfacht sich
diese Gleichung zu
∂ i ψ ε = ∂ i ψ + ε ∂ i ϱ n + ε ϱ ∂ i n,
und die Weingartengleichung (11.6.2) lautet ∂ i n = −L i j ∂ j ψ. Für die erste Fundamentalform
ergibt sich
g ε ik = 〈 ∂ iψ ε , ∂ k ψ ε 〉
= 〈 ∂ i ψ + ε ∂ i ϱ n + ε ϱ ∂ i n, ∂ k ψ + ε ∂ k ϱ n + ε ϱ ∂ k n 〉
= g ik + 2 εϱ 〈∂ i n, ∂ k ψ〉 + ε 2 ∂ i ϱ ∂ k ϱ + ε 2 ϱ 2 〈∂ i n, ∂ k n〉,
und da 〈∂ i n, ∂ k ψ〉 = −〈n, ∂ i ∂ k ψ〉 = −h ik ist, folgt
Mit Gleichung (11.5.5) folgt weiter
g ε ik = g ik − 2εϱ h ik + O(ε 2 ). (12.6.1)
g ε ik gkj = δ i j − 2εϱ L i j + O(ε 2 ).
Bildet man auf beiden Seiten die Determinante, dann ergibt sich
det(g ε ik)
1
det(g ik ) = det(I − 2εϱL) + O(ε2 ).
Nach Abschnitt 12.3 gilt für das charakteristische Polynom der Weingartenabbildung
det(L − λI) = λ 2 − 2Hλ + K, und wir erhalten
det(g ε ik) = det(g ik ) ( 1 − 4εϱH + O(ε 2 ) ) .
Mit √ 1 − x = 1 − 1 2 x + O(x2 ) wird daraus
√
det(gik ε ) = √ det(g ik ) ( 1 − 2εϱ H + O(ε 2 ) ) . (12.6.2)
Integration ergibt
∫
vol(Mϱ ε ) = vol(M) − 2ε ϱH dV M + O(ε 2 )
M
114

und damit
∫
d
dε∣ vol(Mϱ ε ) = −2
0
M
ϱH dV M .
Folgerung. Minimiert M den Flächeninhalt unter allen durch “normale” Variation
erhaltenen Nachbarflächen Mϱ ε, ϱ ∈ C∞ 0 (M), dann gilt H = 0.
Flächen im R 3 mit H = 0 heißen Minimalflächen, solche mit konstanter mittlerer
Krümmung nennt man H–Flächen. Da nur das Vorzeichen von H von der Wahl
einer Orientierung abhängt, sind diese Definitionen auch sinnvoll für nichtorientierbare
Flächen.
Beispiel für Minimalflächen sind die Ebenen, das Katenoid und das Helikoid aus Abschnitt
10.9. Weitere Beispiele lassen sich experimentell herstellen als Seifenhäute,
indem man ein geschlossene Randkurve aus Draht in Seifenlösung taucht. Allgemein
ist die mittlere Krümmung einer dünnen Membran proportional zur Druckdifferenz
ihrer beiden Seiten. Man kann deshalb H–Flächen erzeugen, indem man für
unterschiedlichen Luftdruck auf den beiden Seiten einer Seifenhaut sorgt. Die Aufgabe,
zu einer gegebenen geschlossenen Raumkurve ein Minimalflächenstück finden,
das von der Kurve begrenzt wird, bezeichnet man nach J. Plateau (1866) als das
Plateausche Problem.
12.7. Gleichungen von Gauß und Codazzi–Mainardi. In etwas abgekürzter
Notation lauten die Ableitungsgleichungen von Gauß und Weingarten aus Abschnitt
11.8
∂ j ∂ k ψ = Γ jk l ∂ l ψ + h jk n
∂ i n = −L i k ∂ k ψ.
Wir gehen aus von ∂ i ∂ j ∂ k ψ = ∂ j ∂ i ∂ k ψ und erhalten zunächst
∂ i Γ jk l ∂ l ψ + Γ jk l ∂ i ∂ l ψ + ∂ i h jk n + h jk ∂ i n =
∂ j Γ ik l ∂ l ψ + Γ ik l ∂ j ∂ l ψ + ∂ j h ik n + h ik ∂ j n,
und daraus durch Einsetzen der Ableitungsgleichungen
∂ i Γ jk l ∂ l ψ + Γ jk l Γ il m ∂ m ψ + Γ jk l h il n + ∂ i h jk n − h jk L i l ∂ l ψ =
∂ j Γ ik l ∂ l ψ + Γ ik l Γ jl m ∂ m ψ + Γ ik l h jl n + ∂ j h ik n − h ik L j l ∂ l ψ.
Spaltet man diese Gleichung auf in eine an M tangentielle und eine zu M normale
Komponente, so erhält man die Gleichungen von Gauß (12.7.1) und Codazzi–
Mainardi (12.7.2):
∂ i Γ jk l − ∂ j Γ ik l + Γ jk m Γ im l − Γ ik m Γ jm l = h jk L i l − h ik L j
l
(12.7.1)
Γ jk l h il − Γ ik l h jl + ∂ i h jk − ∂ j h ik = 0 (12.7.2)
115

Aufgrund von Gleichung (11.8.3),
Γ ij k = 1 2 gkl (∂ i g jl + ∂ j g li − ∂ l g ij ) (12.7.3)
und wegen L i k = h ij g jk stellen diese Gleichungen Beziehungen zwischen der ersten
und der zweiten Fundamentalform von M dar. Deren Komponenten können
also insbesondere nicht unabhängig voneinander beliebig vorgegeben werden. Wir
bemerken, dass die Gleichung ∂ i ∂ j n = ∂ j ∂ i n bei ähnlicher Rechnung ebenfalls die
Codazzi–Mainardi–Gleichungen liefert.
Die auf der rechten Seite der Gaußgleichung (12.7.1) stehenden Koeffizienten sind
die Komponenten des (3, 1)–Tensorfeldes
(
hjk L i l − h ik L j
l ) dw i ⊗ dw j ⊗ dw k ⊗ ∂
∂w l
auf M, dessen Wirkung auf Vektoren X, Y, Z und Kovektoren α sich unabhängig
von der Parametrisierung ψ beschreiben lässt durch
(X, Y, Z, α) ↦→ h(Y, Z) α(LX) − h(X, Z) α(LY ).
Folglich ist auch
mit den Komponenten
R = R ijk l dw i ⊗ dw j ⊗ dw k ⊗
∂
∂w l
R ijk l := ∂ i Γ jk l − ∂ j Γ ik l + Γ jk m Γ im l − Γ ik m Γ jm
l
(12.7.4)
der linken Seite von (12.7.1) unabhängig von der Parametrisierung. Der (3, 1)–
Tensor R heißt der Riemannsche Krümmungstensor von M. Seine geometrische
Bedeutung wird uns in späteren Kapiteln beschäftigen, die auch eine durchsichtigere
Definition von R nachliefern werden. Hier sei jedenfalls festgehalten, dass R sich
wegen (12.7.3) allein aus der ersten Fundamentalform bestimmen lässt, also der
inneren Geometrie von M angehört.
Satz. Für die Gaußkrümmung K von M gilt
K = h 11h 22 − (h 12 ) 2
g 11 g 22 − (g 12 ) 2
= R 122 l g l1
det(g ij ) . (12.7.5)
Insbesondere läßt sich K allein aus den Komponenten g ij der ersten Fundamentalform
und ihren Ableitungen berechnen.
Beweis. Multiplikation beider Seiten der Gaußgleichung mit g ls und anschließende
Summation über l ergibt wegen L i l g ls = h is
h jk h is − h ik h js = R ijk l g ls .
116

Speziell für i = s = 1 und j = k = 2 folgt die Behauptung. QED
Korollar. (“Theorema egregium” von Gauß (1827)). Ist f : M → N eine Isometrie
zwischen Flächen im R 3 , dann gilt für deren Gaußkrümmungen K N ◦ f = K M . In
entsprechenden Punkten haben M und N also dieselbe Gaußkrümmung.
Beweis. Sei ψ : W → M eine lokale Parametrisierung von M. Dann ist ˜ψ :=
f ◦ ψ : W → N eine lokale Parametrisierung von N, und für die entsprechenden
Komponenten der ersten Fundamentalformen und die Christoffelsymbole gilt wie
im Beweis von Satz 11.9
Die Behauptung folgt aus (12.7.5). QED
˜g ij ◦ ˜ψ = g ij ◦ ψ
˜Γ ij k ◦ ˜ψ = Γ ij k ◦ ψ.
12.8. Taylorentwicklung. Sei M ⊆ R 3 eine orientierte Fläche, ψ : W → M eine
lokale Parametrisierung von M, ψ(0) = p und w = (w 1 , w 2 ) ∈ W . Dann gilt die
Taylorentwicklung
ψ(w) = ψ(0) + ∂ψ
∂w i (0)wi + 1 ∂ 2 ψ
2 ∂w i ∂w k (0)wi w k + o(‖w‖ 2 ).
Das Skalarprodukt mit n(p) ergibt
also nach (11.5.2)
〈 〉 1
〈 ∂ 2 ψ
〉
ψ(w) − ψ(0), n(p) =
2 ∂w i ∂w k (0), n(p) w i w k + o(‖w‖ 2 ),
〈
ψ(w) − p, n(p)
〉
=
1
2 h ik(p) w i w k + o(‖w‖ 2 ). (12.8.1)
Der Betrag der linken Seite dieser Gleichung ist der Abstand von ψ(w) zur Tangentialebene
der Fläche im Punkt p. Die Matrix (h ik (p)) beschreibt also, wie ψ(w) in
einer Umgebung von p von der Tangentialebene abweicht.
Wir wählen nun eine spezielle lokale Parametrisierung an p wie folgt. Sei
E = {p + ξ 1 E 1 + ξ 2 E 2 | ξ 1 , ξ 2 ∈ R} ⊆ R 3
die Tangentialebene an M in p (mit beliebig gewählten Basisvektoren E 1 und E 2 ).
Die senkrechte Projektion proj : M → E bildet eine Umgebung U ⊆ M von p
diffeomorph auf eine Umgebung V ⊆ E von p in E ab. Dann ist ψ : W → U
ψ(w 1 , w 2 ) := (proj| U ) −1 (p + w 1 E 1 + w 2 E 2 )
117

eine auf einer offenen Umgebung W ⊆ R 2 von 0 definierte lokale Parametrisierung
mit ψ(0) = p. Offenbar gilt
ψ(w 1 , w 2 ) = p + w 1 E 1 + w 2 E 2 + η(w 1 , w 2 ) n(p)
mit einer Funktion η ∈ C ∞ (W ). Es folgt
∂ψ
∂w 1 (0) − E 1 = ∂η (0) n(p),
∂w1 und dieser Vektor ist zugleich tangentiell an und senkrecht auf M, also der Nullvektor.
Weiter ist
∂ 2 ψ
∂w i ∂w k =
∂2 η
∂w i ∂w k n(p),
also
h ik (p) =
∂2 η
∂w i ∂w k (0).
Die Taylorentwicklung von η um 0 liefert daher
ψ(w 1 , w 2 ) = p + w i
∂ψ
∂w i (0) + 1 2 h ik(p)w i w k + o(‖w‖ 2 ) (12.8.2)
Folgerung. Ist p ein elliptischer, ein hyperbolischer bzw. ein parabolischer Punkt
der Fläche M, dann wird M in der Umgebung von p bis auf Terme höherer als
zweiter Ordnung approximiert durch ein elliptisches Paraboloid, ein hyperbolisches
Paraboloid bzw. einen parabolischen Zylinder.
Aufgaben
1. Eulerformel. (a) Sei M eine orientierte Fläche im R 3 mit den Hauptkrümmungen
κ 1 und κ 2 . Der Vektor v ∈ T p M bilde mit der zu κ 1 (p) gehörenden Hauptkrümmungsrichtung
den Winkel θ. Zeigen Sie, dass für die Krümmung κ n (θ) des
durch v bestimmten Normalschnittes die Eulerformel
κ n (θ) = κ 1 (p) cos 2 θ + κ 2 (p) sin 2 θ
gilt. Hinweis: Diagonalisierung der zweiten Fundamentalform.
(b) Folgern Sie, dass die mittlere Krümmung der Mittelwert der Normalschnittkrümmungen
ist, also
H = 1 ∫ 2π
κ n (θ) dθ.
2π
0
2. Asymptotenrichtungen. Asymptotenrichtungen einer Fläche M ⊆ R 3 im
Punkt p sind Richtungen RX ⊆ T p M, für die II(X, X) = 0 ist. Kurven in M,
118

die in jedem ihrer Punkte tangentiell an eine Asymptotenrichtung sind, nennt man
Asymptotenlinien. Zeigen Sie:
(a) In hyperbolischen Punkten halbieren die Hauptkrümmungsrichtungen die Winkel
zwischen den Asymptotenrichtungen.
(b) Die Asymptotenrichtungen einer Minimalfläche stehen in jedem nicht parabolischen
Punkt aufeinander senkrecht.
(c) Ist p ein hyperbolischer Punkt, dann schneidet die Tangentialebene E p = { p +
v | (p, v) ∈ T p M } eine Umgebung U ⊆ M von p in zwei Kurven, die im Punkt p
tangentiell an die Asymptotenrichtungen von M sind.
3. Torus. Für den durch die Parametrisierung
ψ(w 1 , w 2 ) = ((a cos w 1 + b) cos w 2 , (a cos w 1 + b) sin w 2 , a sin w 1 )
mit positiven Konstanten a < b gegebenen Torus M bestimme man die Koeffizienten
der ersten und zweiten Fundamentalform, die mittlere Krümmung, Gaußkrümmung
und die Hauptkrümmungen, und die Hauptkrümmungs- und Asymptotenrichtungen.
4. Positive Gaußkrümmung. Sei M ⊆ R 3 eine kompakte Fläche. Zeigen Sie:
(a) Ist M in einem euklidischen Ball vom Radius ρ enthalten, dann enthält M
Punkte mit Gaußkrümmung K ≥ 1/ρ 2 .
(b) Es gilt
∫
M
|K| dV ≥ 4π.
5. Gaußabbildung winkeltreu. Die Gaußabbildung einer zusammenhängenden
orientierten Fläche M ⊆ R 3 ohne Flachpunkte ist genau dann winkeltreu, wenn M
eine Minimalfläche oder jeder Punkt von M ein Nabelpunkt ist.
6. Regelflächen. Eine Fläche M ⊆ R 3 heißt eine Regelfläche, wenn jeder Punkt
p ∈ M eine Umgebung hat, die in der Form
ψ(w 1 , w 2 ) = c(w 1 ) + w 2 X(w 1 )
mit Abbildungen c, X ∈ C ∞ ((a, b), R 3 ) parametrisiert werden kann. M heißt abwickelbar,
wenn diese Parametrisierungen so gewählt werden können, dass zusätzlich
gilt ∂(n ◦ ψ)/∂w 2 = 0. Zeigen Sie :
(a) Das einschalige Hyperboloid
x2
a 2 + y2
b 2 − z2
= 1 ist eine Regelfläche.
c2 (b) Für jede bireguläre Kurve c ∈ C ∞ (I, R 3 ) ist die durch die Parametrisierung
ψ(w 1 , w 2 ) = c(w 1 ) + w 2 c ′ (w 1 ) (w 2 ≠ 0)
definierte Tangentenfläche abwickelbar.
119

(c) Ist M eine Regelfläche, dann ist die Gaußkrümmung K ≤ 0, und die Geraden
w 1 = const. sind Asymptotenlinien.
(d) Eine Regelfläche ist genau dann abwickelbar, wenn K = 0 ist.
7. Joachimsthal. (a) Eine differenzierbare Kurve c auf einer orientierten Fläche
M ist eine Krümmungslinie genau dann, wenn
ist mit einer stetigen Funktion λ.
d
dt n(c(t)) = λ(t) c′ (t)
(b) Die Schnittkurve c der orientierten Flächen M 1 und M 2 sei eine Krümmungslinie
von M 1 . Dann gilt: c ist eine Krümmungslinie von M 2 genau dann, wenn der
Winkel zwischen den Normalen von M 1 und M 2 entlang c konstant ist (“Satz von
Joachimsthal”).
8. Parallelflächen. Sei M = ψ(W ), W ⊆ R 2 eine parametrisierte Fläche im R 3 .
Eine Parallelfläche zu M ist eine (immersierte) Fläche der Gestalt M a = ψ a (W ),
wobei
ψ a (w) = ψ(w) + a n(ψ(w))
mit einem Einheitsnormalenfeld n und einer Konstanten a. Zeigen Sie:
(a) Mit der Gaußkrümmung K und der mittleren Krümmung H von M gilt
∂ 1 ψ a × ∂ 2 ψ a = (1 − 2Ha + Ka 2 ) ∂ 1 ψ × ∂ 2 ψ.
(b) Die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung von M a sind gegeben durch
K
1 − 2Ha + Ka 2 und
H − Ka
1 − 2Ha + Ka 2 .
(c) Abgesehen von Ausnahmefällen gibt es zu jeder Fläche konstanter mittlerer
Krümmung eine (immersierte) Parallelfläche konstanter Gaußscher Krümmung und
umgekehrt.
120

13. Eiflächen
Eine Eifläche ist eine kompakte, zusammenhängende Fläche im R 3 , deren Gaußkrümmung
überall positiv ist. Hauptergebnis dieses Kapitels ist der Starrheitssatz
für Eiflächen in der Fassung von S. Cohn–Vossen (1936), welcher besagt, dass zwei
isometrische Eiflächen stets kongruent sind. Wir verwenden eine Beweismethode
von A. D. Alexandrov und E. P. Senkin (1955), die auf dem Maximumprinzip beruht.
Mit diesem auch in anderen Zusammenhängen wichtigen Resultat beginnen wir das
Kapitel.
13.1. Das Maximumprinzip von E. Hopf. Sei U ⊆ R n offen und zusammenhängend.
Wir betrachten einen Differentialoperator
Lu =
n∑
a ij ∂ i ∂ j u +
i,j=1
n∑
b i ∂ i u (13.1.1)
auf Funktionen u ∈ C 2 (U), dessen Koeffizienten a ij = a ji und b i reellwertige Funktionen
auf U sind mit den folgenden Eigenschaften: Zu jeder kompakten Teilmenge
K ⊆ U existieren Konstanten c K und ε K > 0, so dass gilt
i=1
∣ b i (x) ∣ ≤ cK
∣ a ii (x) ∣ ≤ cK
n∑
a ij (x) ξ i ξ j ≥ ε K ‖ξ‖ 2
i,j=1
für alle x ∈ K, ξ ∈ R n und i = 1, . . . , n.
folgende
Unter diesen Voraussetzungen gilt der
Satz. (Maximumprinzip) Sei u ∈ C 2 (U) mit Lu ≥ 0. Die Funktion u habe ein
Maximum in einem Punkt x 0 ∈ U, also u(x 0 ) = sup x∈U u(x). Dann ist u konstant.
Lemma. Seien A eine positiv semidefinite und B eine negativ semidefinite reelle
symmetrische Matrix. Dann ist Spur(AB) ≤ 0.
Zum Beweis des Lemmas genügt es, eine der beiden Matrizen zu diagonalisieren. Um
das Maximumprinzip zu beweisen, führen wir die Annahme, u sei nicht konstant, zu
einem Widerspruch. Sei M = u(x 0 ). Ist u nicht konstant, dann existiert ein offener
Ball B, dessen Abschluss ¯B ⊆ U ist, und so dass u < M auf B und u(x 1 ) = M
für einen Randpunkt x 1 ∈ ∂B. Sei x 2 ein auf der Verbindungsstrecke zwischen x 1
Version: 18. Februar 2000
121

und dem Mittelpunkt von B gelegener Punkt, ϱ := ‖x 1 − x 2 ‖, und sei B 2 der Ball
B 2 := B(x 2 , ϱ). Wir betrachten die Funktion
v(x) := e −α‖x−x2‖2 − e −αϱ2
mit einer später geeignet zu wählenden Konstanten α > 0. Es ist v = 0 auf dem
Rand ∂B 2 und v < 0 auf dem Komplement R n \ ¯B 2 .
Für kleine Radien 0 < ϱ ′ < ϱ ist der abgeschlossene Ball ¯B1 := ¯B(x 1 , ϱ ′ ) ⊆ U. Wir
betrachten die Funktion w := u + λv mit einer Konstante λ > 0. Auf dem Rand
∂B 1 ist w < M, wenn λ hinreichend klein gewählt wird. In der Tat ist
∂B 1 = (∂B 1 ∩ ¯B 2 ) ∪ (∂B 1 ∩ (R n \ ¯B 2 )).
Auf der Menge ∂B 1 ∩ ¯B 2 ist u < M, also, da diese Menge kompakt und v stetig ist,
auch u + λv < M für hinreichend kleines λ. Auf ∂B 1 ∩ (R n \ ¯B 2 ) hingegen ist v < 0,
also ebenfalls w < M.
Da nun w(x 1 ) = u(x 1 ) = M, aber w| ∂B1 < M ist, hat w ein Maximum in einem
Punkt x 3 ∈ B 1 . In x 3 ist ∂ i w = 0, und die Matrix ∂ i ∂ j w ist negativ semidefinit,
also impliziert das Lemma
(Lw)(x 3 ) =
n∑
a ij (x 3 ) ∂ i ∂ j w(x 3 ) ≤ 0.
i,j=1
Andererseits zeigen wir nun, dass auf B 1 gilt Lw > 0, wenn α hinreichend groß
gewählt wird—ein Widerspruch, da x 3 ∈ B 1 ist. Mit ξ := x − x 2 berechnet man
(Lv)(x) = e −α‖ξ‖2( 4α 2 ∑ i,j
a ij (x)ξ i ξ j − 2α ∑ i
a ii (x) − 2α ∑ i
b i (x) ξ i
).
Nun gilt für x ∈ K := ¯B 1
∣ ∑ b i (x)ξ i
∣ ∣ ≤ cK
∑
|ξi | ≤ c K n ‖ξ‖ ,
und außerdem nach der Dreiecksungleichung 0 < ϱ − ϱ ′ ≤ ‖ξ‖ ≤ ϱ + ϱ ′ . Daher ist
(Lv)(x) ≥ e −α‖ξ‖2( 4α 2 ε K ‖ξ‖ 2 − 2αn c K − 2αn c K ‖ξ‖ )
≥ αe −α‖ξ‖2( 4α ε K (ϱ − ϱ ′ ) 2 − 2n c K (1 + ϱ + ϱ ′ ) )
und dieser Ausdruck ist für hinreichend große α positiv. Es folgt Lw = Lu+λ Lv ≥
λ Lv > 0 auf B 1 . QED
13.2. Darbouxsche Gleichung. Seien M ⊆ R 3 eine orientierte Fläche, n ihre
Gaußabbildung und p 0 ∈ R 3 . Sei weiter r : M → R 3 die Abbildung r(p) := p − p 0 .
Dann erfüllt die durch
ϱ = 1 2 ‖r‖2 = 1 〈r, r〉
2
122

definierte Funktion ϱ ∈ C ∞ (M) eine Differentialgleichung, die wir nun herleiten. Sei
dazu ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M eine lokale Parametrisierung. Für die entsprechenden
Basisvektorfelder ∂ i = ∂/∂w i auf U gilt dann
∂ i f =
∂(f ◦ ψ)
∂w i ◦ ψ −1 .
Lemma. Seien g ij und h ij die Komponenten der ersten und zweiten Fundamentalform
von M, K die Gaußkrümmung und sei
ϱ ,ij := ∂ i ∂ j ϱ − Γ ij k ∂ k ϱ.
Dann gilt:
(1) ∂ i r = ∂ψ
∂w i ◦ ψ−1
(2) ∂ i ϱ = 〈r, ∂ i r〉
(3) ϱ ,ij − g ij = h ij 〈r, n〉
(4)
1
det(g ij ) det(ϱ ,ij − g ij ) = K〈r, n〉 2
(5) r = g ij ∂ i ϱ ∂ j r + 〈r, n〉n
(6) 2ϱ = g ij ∂ i ϱ ∂ j ϱ + 〈r, n〉 2
Dabei bezeichnet wie üblich g ij die Komponenten der zu (g ij ) inversen Matrix.
Der Ausdruck g ij ∂ i ϱ ∂ j ϱ kann parameterunabhängig als Norm ‖dϱ‖ der Eins–Form
dϱ gedeutet werden. Man vergleiche dazu Aufgabe 1. Die hier etwas unmotiviert
auftretenden ϱ ,ij sind die Komponenten eines Tensors, der kovarianten Ableitung
∇dϱ, die wir im nächsten Kapitel einführen werden.
Beweis. (1) und (2) sind offensichtlich nach Definition von ∂ i . (4) folgt aus (3) und
Abschnitt 12.4, und (6) ergibt sich sofort aus (5). Zum Beweis von (3) differenzieren
wir (2) und wenden die Ableitungsgleichung (11.8.1) von Gauß an:
∂ i ∂ j ϱ = ∂ i 〈r, ∂ j r〉
= 〈∂ i r, ∂ j r〉 + 〈r, ∂ i ∂ j r〉
= g ij + 〈r, Γ ij k ∂ k r + h ij n〉
= g ij + Γ ij k ∂ k ϱ + h ij 〈r, n〉.
Es bleibt (5) zu beweisen. Dazu verifiziert man, dass das Skalarprodukt beider
Seiten der behaupteten Identität mit ∂ 1 r, ∂ 2 r und n jeweils dasselbe Resultat liefert.
Da diese Vektoren eine Basis des R 3 bilden, folgt die Behauptung. QED
Korollar. (Darbouxsche Gleichung) Mit ϱ ,ij := ∂ i ∂ j ϱ − Γ ij k ∂ k ϱ gilt
1
det(g ij ) det(ϱ ,ij − g ij ) = K(2ϱ − g ij ∂ i ϱ ∂ j ϱ).
123

13.3. Kriterium für die Kongruenz isometrischer Flächen. Seien M und
¯M orientierte zusammenhängende Flächen im R 3 . Für Punkte p 0 und ¯p 0 ∈ R 3
betrachten wir wie in Abschnitt 13.2 die Funktion
ϱ(p) = 1 2 ‖r(p)‖2 = 1 2 ‖p − p 0‖ 2
auf M, und entsprechend auf ¯M
¯ϱ(¯p) = 1 2 ‖¯r(¯p)‖2 = 1 2 ‖¯p − ¯p 0‖ 2 .
Satz. Sei f : M → ¯M eine Isometrie mit der Eigenschaft ¯ϱ ◦ f = ϱ. Für die
Gaußabbildung n von M gelte 〈 r(p), n(p) 〉 ≠ 0 in jedem Punkt p ∈ M. Dann existiert
eine euklidische Bewegung φ des R 3 mit φ| M = f.
Beweis. Nach Satz 11.9 genügt es, zu zeigen, dass bei geeigneter Wahl der Orientierung
von ¯M gilt f ∗ (II ¯M) = II M . Sei dazu ψ : W → U ⊆ M eine lokale Parametrisierung.
Die entsprechenden Basisfelder auf U bezeichnen wir mit ∂ i , die Komponenten
der Fundamentalformen von M mit g ij und h ij , und die Christoffelsymbole
mit Γ ij k . Für ¯M verwenden wir die lokale Parametrisierung ¯ψ = f ◦ ψ : W → f(U)
⊆ ¯M, und bezeichnen die entsprechenden Größen mit ¯∂ i , ḡ ij , ¯h ij und ¯Γ ij k . Da f
eine Isometrie ist, gilt
ḡ ij ◦ f = g ij
¯Γ ij k ◦ f = Γ ij
k
¯K ◦ f = K.
Außerdem gilt für Funktionen ϕ ∈ C ∞ (f(U)) offenbar ( ¯∂ i ϕ) ◦ f = ∂ i (ϕ ◦ f). Mit
den Abkürzungen ˜ϱ = ¯ϱ ◦ f, ˜g ij = ḡ ij ◦ f etc. liefert Gleichung (6) aus 13.2
Mit ρ = ˜ρ folgt daraus
2ϱ = g ij ∂ i ϱ ∂ j ϱ + 〈r, n〉 2
2˜ϱ = g ij ∂ i ˜ϱ ∂ j ˜ϱ + 〈˜r, ñ〉 2 .
〈 r(p), n(p) 〉 = ± 〈 ˜r(p), ñ(p) 〉
an jeder Stelle p ∈ M. Nach Voraussetzung sind beide Seiten dieser Gleichung von
Null verschieden. Ihr Quotient 〈r, n〉/〈˜r, ñ〉 ist eine stetige Funktion auf M, die nur
die Werte 1 und −1 annimmt, also konstant sein muss, da M zusammenhängend
ist. Indem man nötigenfalls die Orientierung von ¯M ändert, kann man annehmen,
124

dass 〈r, n〉 = 〈˜r, ñ〉 ist. Lemma 1(3) zeigt dann h ij = ˜h ij , und für die zweiten
Fundamentalformen folgt
wie behauptet. QED
II M | U = h ij dw i ⊗ dw j
= ¯h ij ◦f dw i ⊗ dw j
= f ∗ (¯h ij d ¯w i ⊗ d ¯w j )
= f ∗ (II ∣
¯M f(U)
),
13.4. Eiflächen. Wir betrachten nun Eiflächen, also kompakte zusammenhängende
differenzierbare Flächen im R 3 mit überall positiver Gaußkrümmung. Eine Teilmenge
A ⊆ R n heißt konvex, wenn für je zwei Punkte aus A auch deren Verbindungsstrecke
in A enthalten ist.
Satz (Hadamard). Sei M ⊆ R 3 eine Eifläche. Dann ist M orientierbar, und für
jede Wahl einer Orientierung ist die Gaußabbildung n : M → S 2 ein Diffeomorphismus.
Beweis. Man wähle als Einheitsnormalenfeld n etwa dasjenige, für das die beiden
Hauptkrümmungen positiv sind. Nennt man Basen (X 1 , X 2 ) von T p M positiv orientiert,
wenn (X 1 , X 2 , n(p)) eine positiv orientierte Basis von T p R 3 bezüglich der
Standardorientierung ist, so erhält man eine Orientierung von M.
Nach Abschnitt 12.5 hat die Ableitung T p n maximalen Rang in jedem Punkt von
M. Also ist n ein lokaler Diffeomorphismus. Daraus folgt, dass das Bild n(M) eine
offene Teilmenge von S 2 ist. Andererseits ist n(M) kompakt, da M kompakt ist
und n stetig. Also ist n(M) auch eine abgeschlossene Teilmenge von S 2 , und da S 2
zusammenhängend ist, folgt n(M) = S 2 . Die Gaußabbildung ist also surjektiv und
ein lokaler Diffeomorphismus.
Es bleibt zu zeigen, dass n injektiv ist. Wir skizzieren einen direkten Beweis, ohne
die Einzelheiten auszuführen. Man vergleiche dazu etwa Klingenberg ([Kl1], S.131).
Seien p 0 und p 1 Punkte in M mit n(p 0 ) = n(p 1 ) = ˜p. Wir wählen eine stetige Kurve
c 0 : [0, 1] → M, die p 0 mit p 1 verbindet. Die Bildkurve ˜c 0 = n ◦ c 0 ist eine Schleife
am Punkt ˜p. Da S 2 einfach zusammenhängend ist, lässt sich diese Schleife stetig
auf den Punkt ˜p zusammenziehen. Man erhält also eine stetige Familie (genauer:
Homotopie) ˜c s (0 ≤ s ≤ 1) von Schleifen an ˜p dergestalt, dass ˜c 1 die konstante
Kurve mit Wert ˜p ist. Den Kurven ˜c s entsprechen “geliftete” Kurven c s in M mit
n ◦ c s = ˜c s , die alle p 0 mit p 1 verbinden. Da c 1 eine konstante Kurve sein muss,
folgt p 0 = p 1 . QED
Exkurs: Überlagerungen. Die Injektivität der Gaußabbildung folgt aus allgemeinen
Eigenschaften von Überlagerungen. Eine (differenzierbare) Überlagerung
von Mannigfaltigkeiten ist eine surjektive differenzierbare Abbildung f : M → N
125

mit folgender Eigenschaft: Jeder Punkt q ∈ N besitzt eine offene Umgebung U, so
dass
f −1 (U) = ⋃ α∈Λ
U α
mit disjunkten offenen Teilmengen U α ⊆ M, und so dass die Einschränkung f| Uα :
U α → U ein Diffeomorphismus von U α auf U ist. Solche Umgebungen U nennt
man zulässig (englisch “evenly covered”). Überlagerungen sind also spezielle lokale
Diffeomorphismen. Die beiden benötigten Eigenschaften sind nun folgende.
Lemma 1. Ist M kompakt und N zusammenhängend, dann ist jeder lokale Diffeomorphismus
f : M → N eine Überlagerung.
Lemma 2. Ist M zusammenhängend und N einfach zusammenhängend, dann ist
jede Überlagerung f : M → N ein Diffeomorphismus.
Beweise dieser Lemmas findet man etwa bei do Carmo ([Ca1], Abschnitt 5-6). Ihre
Anwendung auf n : M → S 2 zeigt insbesondere die Injektivität von n.
Satz. Jede Eifläche ist Rand einer kompakten konvexen Teilmenge B ⊆ R 3 .
Beweis. Der verallgemeinerte Jordansche Kurvensatz besagt, dass das Komplement
R 3 \M jeder kompakten zusammenhängenden Fläche M ⊆ R 3 genau zwei Zusammenhangskomponenten
hat, und dass M der Rand jeder dieser Komponenten ist
(vgl. etwa Spivak Band I, p. 409). Daraus folgt zunächst, dass genau eine der
beiden Komponenten beschränkt ist. Sei B die Vereinigung dieser beschränkten
Komponente mit ihrem Rand M. Dann ist B eine abgeschlossene und beschränkte
Teilmenge des R 3 , also kompakt.
Sei nun speziell M eine Eifläche. Für p ∈ M bezeichne E p ⊂ R 3 die Tangentialebene
an M durch den Punkt p. Wir überlegen zunächst, dass für jeden Punkt p ∈ M
die Fläche M im Abschluss eines der beiden Halbräume enthalten ist, in die der
Raum R 3 durch E p zerlegt wird. Wäre das für ein p nicht der Fall, dann hätte man
einen Punkt q ∈ M maximaler Höhe über der Ebene E p , und einen Punkt r ∈ M
maximaler Tiefe unter E p . Dann wären die drei Ebenen E q und E r zu E p parallel,
im Widerspruch zur Injektivität der Gaußabbildung.
Für p ∈ M sei nun H p ⊂ R 3 derjenige abgeschlossene Halbraum, der M enthält,
und sei H = ⋂ p∈M H p. Dann ist H als Schnitt konvexer Mengen selbst konvex.
Wir zeigen, das B = H ist. Nach Wahl der H p ist jedenfalls B ⊆ H. Ist q ein Punkt
ausserhalb von B, dann existiert ein Punkt p ∈ M minimalen Abstands zu q. Man
sieht leicht, dass dann q nicht in H p enthalten ist. Also ist auch H ⊆ B. QED
13.5. Starrheitssatz für Eiflächen. Seien M ⊆ R 3 eine Eifläche, ¯M ⊆ R 3 eine
Fläche und f : M → ¯M eine Isometrie. Dann existiert eine euklidische Bewegung
φ : R 3 → R 3 mit φ| M = f.
Es sei angemerkt, dass der Satz unverändert gilt, wenn man in der Definition des Begriffes
der Eifläche die Forderung K > 0 zu K ≥ 0 abschwächt. Läßt man hingegen
126

Bereiche negativer Krümmung zu, so wird die Aussage falsch. Man kann das leicht
anhand von Drehflächen einsehen, die man aus einer Sphäre erhält, indem man
zunächst eine Umgebung eines Punktes abplattet, um dann den abgeplatteten Bereich
mit einer entweder nach innen, oder symmetrisch dazu nach außen gerichteten
differenzierbaren Beule zu versehen.
Verbiegungen. Es ist nicht bekannt, ob es kompakte zusammenhängende Flächen
M ⊆ R 3 gibt, die nichttriviale isometrische Deformationen zulassen. Eine isometrische
Deformation von M ist dabei eine C ∞ –Abbildung f : [0, 1] × M → R 3 mit
der Eigenschaft, dass f 0 := f(0, ·) die Inklusionsabbildung ι M : M → R 3 ist und
jede der Abbildungen f t := f(t, ·) eine isometrische Einbettung (M, g) → (R 3 , g R 3).
Dabei ist g die erste Fundamentalform von M. Eine isometrische Deformation
heißt trivial, wenn sie von der Form f(t, p) = A(t)p + b(t) ist mit A(t) ∈ O(3) und
b(t) ∈ R 3 , also lediglich aus einer Kurve euklidischer Bewegungen entsteht.
13.6. Eine Differentialgleichung. Für den Beweis des Starrheitssatzes werden
wir das Kriterium aus Abschnitt 13.3 anwenden. Wir müssen also zeigen, dass bei
geeigneter Wahl der Punkte p 0 ∈ M und ¯p 0 ∈ ¯M für die entsprechenden Funktionen
ρ und ˜ρ = ¯ρ ◦ f gilt ˜ϱ − ϱ = 0. Dazu leiten wir eine Differentialgleichung für die
Funktion v := ˜ϱ − ϱ ∈ C ∞ (M) her, auf die dann das Hopfsche Maximumprinzip
anwendbar sein wird.
Wir verwenden Parametrisierungen wie in Abschnitt 13.3, so dass insbesondere
˜g ij = ḡ ij ◦f = g ij ist. Wegen der Symmetrie g ij = g ji liefert Subtraktion der Darbouxgleichungen
für ˜ϱ und ϱ
1
det(g ij ) (det(˜ϱ ,ij − g ij ) − det(ϱ ,ij − g ij ))
= 2K(˜ϱ − ϱ) − Kg ij (∂ i ˜ϱ∂ j ˜ϱ − ∂ i ϱ∂ j ϱ)
= 2K(˜ϱ − ϱ) − Kg ij (∂ i ˜ϱ + ∂ i ϱ)∂ j (˜ϱ − ϱ).
Die linke Seite dieser Gleichung läßt sich schreiben als
1
(
(˜ϱ ,11 − g 11 )(˜ϱ ,22 − g 22 ) − (˜ϱ ,12 − g 12 ) 2
det(g ij )
)
− (ϱ ,11 − g 11 )(ϱ ,22 − g 22 ) + (ϱ ,12 − g 12 ) 2
1
( 1
=
det(g ij ) 2 (ϱ ,22 − g 22 + ˜ϱ ,22 − g 22 )(˜ϱ ,11 − ϱ ,11 )
− (ϱ ,12 − g 12 + ˜ϱ ,12 − g 12 )(˜ϱ ,12 − ϱ ,12 )
+ 1 )
2 (ϱ ,11 − g 11 + ˜ϱ ,11 − g 11 )(˜ϱ ,22 − ϱ ,22 )
=
1
( 1 (
h22 〈r, n〉 +
det(g ij ) 2
˜h 22 〈˜r, ñ〉 ) v ,11
− ( h 12 〈r, n〉 + ˜h 12 〈˜r, ñ〉 ) v ,12
+ 1 (
h11 〈r, n〉 +
2
˜h 11 〈˜r, ñ〉 ) )
v ,22 .
127

Dabei wurde Lemma 1(3) verwendet, und es ist v = ˜ϱ − ϱ und
v ,ij = ∂ i ∂ j v − Γ k ij ∂ k v.
Die Funktion v ∈ C ∞ (M) erfüllt also auf U die Gleichung
∑
a ij ∂ i ∂ j v + ∑ b i ∂ i v = −2Kv (13.6.1)
i,j
mit der Matrix
(a ij ) = −
( ( )
1
h22 −h
〈r, n〉
12
2 det(g ij ) −h 12 h 11
( ) ) ˜h22 −˜h
+〈˜r, ñ〉
12
(13.6.2)
−˜h 12
˜h11
und gewissen Koeffizienten b i ∈ C ∞ (U), die ihrerseits von ϱ und ˜ϱ abhängen.
13.7. Beweis von Satz 13.5. Sei nun speziell M eine Eifläche. Da ¯M zu M
isometrisch ist, ist dann auch ¯M eine Eifläche. Wir wählen p 0 ∈ M und ¯p 0 := f(p 0 )
und zeigen ϱ = ˜ϱ, woraus nach 13.3 der Satz folgt. Zu diesem Zweck werden wir die
Annahme ϱ ≠ ˜ϱ zum Widerspruch führen. Indem wir nötigenfalls die Rollen von
M und ¯M vertauschen, können wir dabei voraussetzen, dass in gewissen Punkten
˜ϱ − ϱ > 0 gilt. Seien n und ¯n die inneren Normalen, und sei n 0 := n(p 0 ). Sei
ε ≥ 0 die kleinste Zahl mit der Eigenschaft, dass für den Punkt p ′ 0 = p 0 − εn 0 und
r ′ (p) = p − p ′ 0 und ϱ′ = 1 2 〈r′ , r ′ 〉 gilt ˜ϱ − ϱ ′ ≤ 0 auf ganz M. Dann ist ε > 0. Sei
M 1 = { p ∈ M | ˜ϱ(p) − ϱ ′ (p) = 0 }.
Die Menge M 1 ist abgeschlossen in M und aufgrund der Minimalität von ε nicht leer.
Außerdem ist p 0 /∈ M 1 , da ˜ϱ(p 0 ) = ¯ϱ(¯p 0 ) = 0 und ϱ ′ (p 0 ) > 0. Wir werden zeigen,
dass M 1 eine offene Teilmenge von M ist. Das widerspricht der Voraussetzung, dass
M zusammenhängend ist. Also war die Annahme ϱ ≠ ˜ϱ falsch.
Behauptung 1. Auf M 1 gilt 〈r ′ , n〉 < 0.
Anschaulich bedeutet diese Aussage, dass M 1 im Schatten liegt, wenn M von p ′ 0
aus beleuchtet wird. Zu ihrem Beweis sei p ∈ M 1 . Falls 〈n(p), n 0 〉 ≤ 0 ist, dann
folgt mit r ′ = r + εn 0
〈r ′ (p), n(p)〉 = 〈r(p), n(p)〉 + ε〈n 0 , n(p)〉 < 0,
da p ≠ p 0 ist und 〈r, n〉 < 0 auf M\{p 0 }. Es bleibt der Fall 〈n(p), n 0 〉 > 0 zu
betrachten. Seien dazu p 1 der Schnitt der Tangentialebene an M in p mit der
Geraden p 0 + Rn 0 und p 2 der Schnitt der Tangentialebene an M in p 0 mit der
128

Geraden durch p 1 und p. Die Ebene, welche die Punkte p 0 , p ′ 0 und p enthält,
schneidet M in einer konvexen ebenen Kurve C. Sei C 1 ⊂ C der Teilbogen, der p 0
mit p verbindet und den Fußpunkt des Lotes von p 2 auf C enthält. Schließlich seien
¯C = f(C) und ¯p = f(p). Dann ist
‖p 1 − p‖ = ‖p 1 − p 2 ‖ + ‖p 2 − p‖
> ‖p 0 − p 2 ‖ + ‖p 2 − p‖
≥ L(C 1 )
(da C konvex)
= L(f(C 1 )) (weil f Isometrie)
≥ ‖¯p 0 − ¯p‖
= ¯ϱ(¯p) = ˜ϱ(p) = ϱ ′ (p) (da p ∈ M 1 )
= ‖p ′ 0 − p‖ .
Also liegt p ′ 0 zwischen p 0 und p 1 . Es folgt, wie behauptet,
〈r ′ (p), n(p)〉 = 〈p − p ′ 0, n(p)〉
= 〈p − p 1 , n(p)〉 + 〈p 1 − p ′ 0 , n(p)〉
< 0.
Behauptung 2. M 1 ist offen in M.
Sei p ∈ M 1 und ¯p = f(p). Wir wählen eine lokale Parametrisierung ψ : W →
ψ(W ) = U ⊆ M mit p ∈ U und verwenden die lokale Parametrisierung f ◦ ψ für
¯M. Die Funktion v := ˜ϱ − ϱ ′ ∈ C ∞ (M) erfüllt v ≤ 0 auf M, und v = 0 auf M 1 ,
hat also ein Maximum an p. Bezüglich der Parametrisierungen gilt nach Abschnitt
13.6 ∑
a ij ∂ i ∂ j v + ∑ b i ∂ i v = −2Kv ≥ 0
mit der Koeffizientenmatrix
( ( )
(a ij 1
) = −
〈r ′ h22 −h
, n〉
12
2 det(g ij ) −h 12 h 11
( ) ) ˜h22 −˜h
+〈˜r, ñ〉
12
.
−˜h 12
˜h11
Wir zeigen, dass diese Matrix auf M 1 , und damit auf einer Umgebung U 1 ⊆ U von
p, positiv definit ist. Weil K > 0 ist, und da n und ¯n die inneren Normalen sind,
haben die zweiten Fundamentalformen II M und II ¯M überall positive Eigenwerte,
sind also positiv definit. Daher ist auch die Matrix
det(h ij ) (h ij ) −1 =
129
( )
h22 −h 12
−h 12 h 11

positiv definit, und dasselbe gilt für
( )
˜h22 −˜h 12
.
−˜h 12
˜h11
Auf M gilt 〈˜r, ñ〉 ≤ 0, und auf M 1 ist 〈r ′ , n〉 < 0 nach Behauptung 1. Folglich ist die
Koeffizientenmatrix (a ij ) auf M 1 positiv definit. Damit sind die Voraussetzungen
des Hopfschen Maximumprinzips auf einer Umgebung U 1 ⊆ U von p erfüllt. Es folgt
v = const = 0 auf U 1 , also U 1 ⊆ M 1 . Behauptung 2 und damit der Starrheitssatz
sind bewiesen. QED
Aufgaben
1. Skalarprodukte. Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum, also
ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉. Zeigen Sie:
(a) Auf dem Dualraum V ∗ existiert genau ein Skalarprodukt mit folgender Eigenschaft:
Für jede Orthonormalbasis v 1 , . . . , v n von V ist die duale Basis v ∗1 , . . . , v ∗n
eine Orthonormalbasis von V ∗ .
(b) Für das in (a) definierte Skalarprodukt gilt: Ist v 1 , . . . , v n eine beliebige Basis
von V und ist 〈v i , v j 〉 = g ij dann ist 〈v ∗i , v ∗j 〉 = g ij mit der zu (g ij ) inversen Matrix
(g ij ), also mit g ij g jk = δ k i .
2. Maximumprinzip. Sei U ⊆ R n beschränkt und offen. Der Differentialoperator
L erfülle die Voraussetzungen aus Abschnitt 13.1. Zeigen Sie: Sind u, v ∈ C 2 (U) ∩
0
C (Ū) Funktionen mit Lu ≥ Lv auf U und mit u ≤ v auf dem Rand ∂U, dann gilt
u ≤ v auf U.
3. Beispiele. Man zeige anhand geeigneter Beispiele, dass auf die Voraussetzung
〈 r(p), n(p) 〉 ≠ 0 in Satz 13.3 nicht ohne weiteres verzichtet werden kann.
4. Hadamard. Der (später zu behandelnde) Satz von Gauß–Bonnet besagt insbesondere,
dass für kompakte zusammenhängende Flächen im R 3 gilt
∫
K dV = 2π χ(M) ≤ 4π.
M
Zeigen Sie, dass aus dieser Ungleichung die Injektivität der Gaußabbildung für
Eiflächen im Satz von Hadamard (13.4) folgt. Hinweis: Abschnitt 12.5.
5. Minimalflächen. Die Fläche M ⊆ R 3 sei der Graph einer Funktion u ∈
C ∞ (W, R) mit W ⊆ R 2 offen. Sei ψ : W → R 3 die Parametrisierung ψ(w) =
(w, u(w)).
(a) Die mittlere Krümmung H ist gegeben durch
H = (1 + ∂ 2u) 2 ∂ 11 u − 2∂ 1 u ∂ 2 u ∂ 12 u + (1 + ∂ 1 u) 2 ∂ 22 u
2(1 + (∂ 1 u) 2 + (∂ 2 u) 2 ) 3/2 ,
130

wobei ∂ j = ∂/∂w j und ∂ ij = ∂ i ∂ j .
(b) Sei ¯M der Graph der Funktion ū ∈ C ∞ (W, R). Sind M und ¯M Minimalflächen,
und nimmt die Differenz u − ū ihr Maximum im Inneren von W an, so ist u − ū
konstant.
Hinweis: u − ū erfüllt eine Differentialgleichung, auf die das Maximumprinzip anwendbar
ist.
(c) Jede beschränkte Minimalfläche M ⊆ R 3 mit Rand ∂M ist in der konvexen
Hülle ihres Randes enthalten.
Hinweis: Die konvexen Hülle einer Teilmenge A ⊆ R n ist der Durchschnitt aller
Halbräume, die A enthalten. Verwenden Sie die Tatsache, dass Ebenen Minimalflächen
sind.
131

14. Kovariante Ableitungen
Jedes C ∞ –Vektorfeld X auf einer Mannigfaltigkeit M induziert eine Abbildung des
Raumes C ∞ (M) der differenzierbaren Funktionen in sich. Dabei wird einer Funktion
f ihre Ableitung Xf nach X zugeordnet, eine Funktion auf M, die durch
(Xf)(p) = X(p)f definiert ist. Ist c eine Integralkurve des Vektorfeldes X mit
c(0) = p, dann lässt sich (Xf)(p) berechnen als Grenzwert des Differenzenquotienten
f(c(t)) − f(p)
(Xf)(p) = lim
. (14.1)
t→0 t
Versucht man nun, statt der Funktion f ein Vektorfeld Y nach X abzuleiten, indem
man einen Differenzenquotienten wie in (14.1) verwendet, so ergeben sich im Zähler
Tangentialvektoren Y (c(t)) und Y (p) an verschiedenen Stellen von M, deren Differenz
nicht erklärt ist. Wir haben dieses Problem für die Zwecke der Lieableitung
L X Y in Gleichung (7.7.1) dadurch gelöst, dass wir den Vektor Y (c(t)) mit Hilfe des
Flusses von X zunächst an die Stelle p zurückverschoben haben. Diese Verwendung
des Flusses von X hat aber zur Folge, dass die Bedeutung des Vektors (L X Y )(p)
nicht einfach die Änderung von Y in Richtung von X(p) ist, sondern das auch das
Verhalten von X in einer Umgebung von p eingeht. Man kann das etwa an der
Formel (7.4.2) ablesen.
In diesem Abschnitt führen wir eine weitere Art der Ableitung ein, die kovariante
Ableitung ∇ X Y , bei welcher der Wert (∇ X Y )(p) nur von X(p) und Y abhängt.
Operationen ∇ mit den gewünschten Eigenschaften, die man aus später zu erörternden
Gründen als Zusammenhänge bezeichnet, gibt es auf jeder differenzierbaren
Mannigfaltigkeit. In der Tat gibt es sogar eine Vielzahl möglicher Zusammenhänge
∇ (siehe Aufgabe 2). Man wird dazu geführt, die gewünschte Ableitung ∇ als
zusätzliche, nicht kanonisch mit der Mannigfaltigkeit M verbundene Struktur anzusehen,
etwa so, wie man verschiedene Riemannsche Metriken auf M zu betrachten
gewohnt ist.
Zusammenhänge und ihre Krümmung werden uns in den nun folgenden Kapiteln
beschäftigen. In diesem Kapitel erklären wir zunächst, was ein Zusammenhang ∇
auf M ist, und erläutern dann, wie man bei gegebenem Zusammenhang Tensorfelder
kovariant ableitet. Danach zeigen wir, dass es auf jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit
einen durch die Metrik eindeutig bestimmten Zusammenhang mit speziellen
Eigenschaften gibt, den Levi–Civita–Zusammenhang. Die Christoffelsymbole der
Flächentheorie, welche uns im Zusammenhang mit den Ableitungsgleichungen in
11.8 begegnet sind, finden hier ihren natürlichen Ort als Komponenten des Levi–
Civita–Zusammenhanges der ersten Fundamentalform einer Fläche.
Im Folgenden bezeichnet V = V(M) den Raum der C ∞ –Vektorfelder auf einer C ∞ –
Mannigfaltigkeit M. Für die Basisvektorfelder einer Karte schreiben wir oft vereinfacht
∂ i = ∂/∂x i .
Version: 18. Februar 2000
132

14.1. Definition. Ein (linearer) Zusammenhang auf M ist eine Abbildung ∇ :
V × V → V mit folgenden Eigenschaften: Für alle X, Y, Z ∈ V und alle f ∈ C ∞ (M)
gilt
(1) ∇ X (Y + Z) = ∇ X Y + ∇ X Z
(2) ∇ X+Y Z = ∇ X Z + ∇ Y Z
(3) ∇ fX Y = f∇ X Y
(4) ∇ X (fY ) = (Xf) Y + f∇ X Y
Das Vektorfeld ∇ X Y heißt die kovariante Ableitung von Y nach X. Dass es auf
jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit einen Zusammenhang gibt, werden wir in
Abschnitt 14.5 sehen.
14.2. Standardzusammenhang des R n . In Abschnitt 11.3 hatten wir die kovariante
Ableitung von Vektorfeldern X und Y = ∑ Y j ∂/∂x j auf dem R n definiert
als
∇ X Y = ∑ X(Y i ) ∂
∂x i = ∑ X i ∂Y j
∂x i
∂
∂x j . (14.2.1)
Dabei sind ∂/∂x j die Standardbasisfelder des R n . Den so definierten Zusammenhang
∇ auf dem R n bezeichnet man als den Standardzusammenhang des R n . Er ist
mit Hilfe der Basisfelder des speziellen Koordinatensystems ϕ = id auf R n definiert.
Bemerkung. Wählt man ein anderes Koordinatensystem, etwa ϕ ′ : R n → R n mit
zugehörigen Basisvektorfeldern ∂/∂x ′j und definiert einen Zusammenhang ∇ ′ entsprechend
durch
∇ X Y = ∑ X(Y ′j )
∂
∂x ′j
für Y = Y ′j ∂/∂x ′j , dann ist ∇ ′ = ∇ genau dann, wenn für alle i, j, k gilt
∂ 2 x ′i
∂x j = 0. (14.2.2)
∂xk Das ist nach der Taylorschen Formel äquivalent dazu, dass der Kartenwechsel ϕ ′ ◦
ϕ −1 eine affine Abbildung des R n ist, also von der Form ϕ ′ ◦ ϕ −1 (x) = Ax + b mit
einer Matrix A ∈ GL(n, R) und mit b ∈ R n . Zum Beweis berechnet man
∇ ′ X Y = ∇ XY + ∑ Y j X l ∂
( ∂x
′i ) ∂x
k
∂x l ∂x j ∂x ′i
∂
∂x k .
14.3. Abhängigkeit von X und Y . Wir untersuchen zunächst die Abhängigkeit
des Vektorfeldes ∇ X Y von X. Für ein festes Vektorfeld Y ∈ V ist die Abbildung
∇Y : V → V,
(∇Y )(X) := ∇ X Y
133

wegen der Eigenschaften (2), (3) linear über dem Ring C ∞ (M). Nach der Charakterisierung
von Tensorfeldern aus Abschnitt 6.7 hängt daher der Wert (∇ X Y )(p)
nicht vom Vektorfeld X, sondern nur von seinem Wert X(p) an der Stelle p ab.
Man erhält so für jeden Punkt p ∈ M eine lineare Abbildung ∇Y : T p M → T p M
durch
(∇Y )X p := ∇ Xp Y := ( ∇ X Y ) (p).
Dabei ist X ∈ V ein beliebiges Vektorfeld mit X(p) = X p . Aufgefaßt als (1, 1)-
Tensorfeld, nennt man ∇Y die kovariante Ableitung von Y . Wir fixieren nun das
Vektorfeld X.
Lemma. Für p ∈ M hängt der Wert (∇ X Y )(p) = ∇ Xp Y nicht von Y , sondern
nur von der Einschränkung von Y auf das Bild einer beliebigen differenzierbaren
Kurve c : [0, ε) → M mit Tangentialvektor ċ(0) = X p ab.
Beweis. Zunächst zeigen wir wie Abschnitt 3.7, dass für jede offene Teilmenge
U ⊆ M die Einschränkung (∇ X Y )| U nur von der Einschränkung Y | U abhängt.
Seien dazu Y 1 , Y 2 ∈ V Vektorfelder mit Y 1 | U = Y 2 | U , und sei p ∈ U. Wir zeigen
(∇ X Y 1 )(p) = (∇ X Y 2 )(p). Sei dazu f ∈ C ∞ (M) eine Funktion mit f = 1 auf einer
Umgebung von p, deren Träger in U enthalten ist. Dann ist fY 1 = fY 2 ∈ V, also
∇ X (fY 1 ) = ∇ X (fY 2 ), und nach Eigenschaft (4) auch
(Xf)Y 1 + f∇ X Y 1 = (Xf)Y 2 + f∇ X Y 2 .
Mit (Xf)(p) = 0 und f(p) = 1 folgt daraus, wie behauptet,
(∇ X Y 1 )(p) = (∇ X Y 2 )(p).
Sei nun (ϕ, U) eine Karte an p mit Basisfeldern ∂/∂x i . Dann ist
(∇ X Y )| U = ∇ X (Y j ∂
∂x j )
= X(Y j ) ∂
∂x j + Y j ∂
∇ X
∂x j .
Die Behauptung des Lemmas folgt aus Abschnitt 4.4,
(X(Y j ))(p) = d dt∣ Y j (c(t)). QED
0
14.4. Christoffelsymbole. Die Christoffelsymbole oder Komponenten Γ k ij ∈
C ∞ (U) des Zusammenhanges ∇ bezüglich einer Karte (ϕ, U) mit Basisfeldern ∂/∂x i
sind definiert durch †
∇ ∂
∂x i
∂
∂x j = Γ ij k ∂
∂x k . (14.4.1)
† Die in Abschnitt 11.8 eingeführten Christoffelsymbole werden sich in 14.5 als Spezialfall
der hier definierten Größen erweisen.
134

Aufgrund des in 14.3 Gesagten ist die linke Seite wohldefiniert, obwohl die Vektorfelder
∂/∂x i nur auf U existieren. Es folgt
also
(∇ X Y )| U = X(Y j ) ∂
∂x j + Y j X i ∂
∇ ∂
∂x i ∂x j
= X(Y k ) ∂
∂x k + Xi Y j k
Γ ∂
ij
∂x k ,
(∇ X Y ) ∣ = ( X(Y k ) + X i Y j k
Γ ) ∂
ij
U ∂x k . (14.4.2)
Korollar. Das Tensorfeld ∇Y ist in lokalen Koordinaten gegeben durch
(∇Y )| U = ( ∂
∂x i Y k + Y j k
Γ ) ij dx i ⊗
∂
∂x k . (14.4.3)
Beweis. Man wendet beide Seiten der Gleichung auf ein Vektorfeld X = X i ∂/∂x i
an und beachtet
(
dx i ⊗
∂ )
∂x k (X) = dx i (X) ∂
∂x k = ∂
Xi
∂x k .
Die Behauptung folgt aus (14.4.2). QED
Wir untersuchen nun das Transformationsverhalten der Γ k ij bei Kartenwechseln.
Seien dazu (ϕ, U) und ( ˜ϕ, Ũ) Karten von M mit entsprechenden Basisvektorfeldern
∂ i = ∂/∂x i und ˜∂ i = ∂/∂˜x ′i . Nach Abschnitt 3.10 ist
∂ i = ∂˜xk
∂x i
˜∂k = ∂ i (˜x k ) ˜∂ k
wobei ˜x k die k-te Komponente von ˜ϕ bezeichnet. Damit folgt
Γ ij k ∂ k = ∇ ∂i ∂ j
= ∇ ∂i (∂ j (˜x m ) ˜∂ m )
= ∂ i ∂ j (˜x m ) ˜∂ m + ∂ j (˜x m )∇ ∂i
˜∂m
= ∂ i ∂ j (˜x m ) ˜∂ m + ∂ j (˜x m )∂ i (˜x l ) ∇ ˜∂l
˜∂m
= ∂ i ∂ j (˜x s ) ˜∂ s + ∂ j (˜x m )∂ i (˜x l ) ˜Γ lm
s ˜∂s
= ( ∂ i ∂ j (˜x s ) + ∂ i (˜x l )∂ j (˜x m )˜Γ lm
s ) ˜∂s (x k ) ∂ k ,
also
oder
Γ ij k = ( ∂ i ∂ j (˜x s ) + ∂ i (˜x l )∂ j (˜x m )˜Γ lm
s ) ˜∂s (x k )
Γ ij k =
( ∂
( ∂˜x
s )
∂x i ∂x j + ˜Γ s ∂˜xl ∂˜x m ) ∂x
k
lm
∂x i ∂x j ∂˜x s . (14.4.4)
135

Dieses Transformationsverhalten zeigt insbesondere, dass die Γ ij k nicht die Komponenten
eines Tensorfeldes auf M sind: Zwar ist Γ ij k dx i ⊗dx j ⊗∂/∂x k ein auf dem
Kartenbereich U wohldefiniertes Tensorfeld. Diese Tensorfeld stimmt aber auf U ∩Ũ
nicht mit ˜Γ ij k d˜x i ⊗d˜x j ⊗∂/∂˜x k überein. Man verifiziert hingegen leicht das Folgende:
Sind zu jeder Karte (ϕ, U) eines Atlas Funktionen Γ ij k ∈ C ∞ (U) vorgegeben, und
gilt für je zwei Karten die Transformationsregel (14.4.1), dann existiert genau ein
Zusammenhang ∇ auf M, dessen Christoffelsymbole die gegebenen Γ ij k sind.
14.5. Beispiel. Sei M ⊆ R n+k eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit und sei
Π : (T R n+k ) ∣ ∣
M
→ T M die orthogonale Projektion. Dann definiert
∇ X Y = Π ◦ ∇ X Y (14.5.1)
für X, Y ∈ V(M) einen Zusammenhang auf M. Dabei ist die rechte Seite wegen
der Eigenschaften aus Abschnitt 14.3 wohldefiniert: (∇ X Y )(p) = ∇ X(p) Y hängt
nur ab von der Einschränkung von Y auf das Bild einer differenzierbaren Kurve
c : [0, ε) → R n+k mit ċ(0) = X(p). Wenn nun speziell X(p) ∈ T p M ⊆ T p R n+k
ist, dann kann man für c eine in M verlaufende Kurve wählen. Da nach Abschnitt
8.7 jede differenzierbare Mannigfaltigkeit in einen R n+k differenzierbar eingebettet
werden kann, erhalten wir als
Folgerung. Auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit existiert ein Zusammenhang.
Eine Beschreibung der Menge aller Zusammenhänge auf M gibt Aufgabe 1. Sei nun
speziell n = 2 und k = 1, also M eine Fläche im R 3 . Sei ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M
eine lokale Parametrisierung, x = ψ(w). Nach Abschnitt 10.2 gilt für die Basisfelder
∂/∂w 1 , ∂/∂w 2 der Karte (ψ −1 , U) und die Standardbasisfelder ∂/∂x i des R 3
∂
∂w j ∣ ∣∣∣p
= ∂ψk
∂w j (ϕ−1 (p))
∣
∂ ∣∣∣p ( ∂
∂x k =
∂w j (ψk )
Mit der Ableitungsgleichung (11.8.1) von Gauß folgt
∇ ∂
∂w i
∂
∂w j = Π ◦ ∇ ∂
∂w i
= Π ◦
∂
∂w j
( ∂
∂w i ( ∂
∂w j ψk) ∂
∂x k )
= Π ◦ (Γ ij
k ∂
∂w k + h ij n)
= Γ ij
k ∂
∂w k
∂
)
∂x k (p).
wobei die auftretenden Γ ij k die in (11.8.1) definierten sind. Der Vergleich mit
der definierenden Gleichung (14.4.1) zeigt: Die Christoffelsymbole des Zusammenhanges
∇ stimmen mit den in der Flächentheorie definierten Größen Γ ij k überein.
136

14.6. Kovariante Ableitung von Tensorfeldern. Sei ∇ ein Zusammenhang
auf M. Für jedes Vektorfeld X ∈ V lässt sich die kovariante Ableitung ∇ X nach X,
die zunächst nur auf Vektorfelder wirkt, auf beliebige differenzierbare Tensorfelder
erweitern. Ähnlich wie bei der Lieableitung L X in Abschnitt 7.9 kann man diese
Erweiterung durch folgende Eigenschaften charakterisieren:
(1) Die kovariante Ableitung ∇ X nach X bildet die Menge der differenzierbaren
(r, s)–Tensorfelder R–linear in sich selbst ab.
(2) ∇ X erfüllt die Produktregel für das Tensorprodukt:
∇ X (A ⊗ B) = (∇ X A) ⊗ B + A ⊗ (∇ X B) .
(3) ∇ X vertauscht mit Kontraktionen: Für jede Kontraktion C ν µ gilt
∇ X ◦ C ν µ = C ν µ ◦ ∇ X .
(4) Für (0, 0)–Tensorfelder, also Funktionen, gilt ∇ X f = Xf.
(5) Für (0, 1)–Tensorfelder, also Vektorfelder, ist ∇ X Y die durch den Zusammenhang
gegebene kovariante Ableitung.
Man beachte, dass sich ∇ X nur in Eigenschaft (5) von der Lieableitung L X unterscheidet.
Aus (2) und (3) ergibt sich insbesondere, dass ∇ X auch die Produktregel
für Überschiebungen Cν µ (A ⊗ B) erfüllt. Ist zum Beispiel g ein (2, 0)–Tensorfeld,
und sind Y, Z ∈ V Vektorfelder, dann ist g(Y, Z) die Funktion
Nach (2) und (3) folgt dann
g(Y, Z) = C1 1 C2 2 (g ⊗ Y ⊗ Z).
X(g(Y, Z)) = (∇ X g)(Y, Z) + g(∇ X Y, Z) + g(Y, ∇ X Z), (14.6.1)
und das ist eine explizite Beschreibung von ∇ X g.
Für ein (r, s)–Tensorfeld A definiert man ein (r + 1, s)–Tensorfeld ∇A durch die
über C ∞ (M) multilineare Abbildung (siehe 6.7)
∇A : V × . . . × V × V ∗ × . . . × V ∗ → C ∞ (M),
(∇A)(X 1 , . . ., X r+1 , α 1 , . . . , α s )
:= (∇ Xr+1 A)(X 1 , . . . , X r , α 1 , . . . , α s ).
(14.6.2)
∇A heißt die kovariante Ableitung von A. Wir betrachten Spezialfälle. Zunächst
ist für Funktionen f ∈ C ∞ (M) offenbar (∇f)(X) = ∇ X f = Xf = df(X), also ist
∇f = df,
unabhängig von der Wahl des Zusammenhanges ∇.
(2, 0)–Tensorfeld ∇α gegeben durch
Für Eins–Formen α ist das
(∇α)(X, Y ) = (∇ Y α)(X)
= ∇ Y (α(X)) − α(∇ Y X)
= Y (α(X)) − α(∇ Y X).
(14.6.3)
137

Da mit A auch ∇A ein Tensorfeld ist, kann man höhere kovariante Ableitungen
bilden. So ist etwa die zweite kovariante Ableitung ∇ 2 A = ∇(∇A) eines (r, s)–
Tensorfeldes A ein (r + 2, s)–Tensorfeld.
14.7. Lokale Koordinaten. Seien ∂ i = ∂/∂x i die Basisfelder einer Karte und dx i
die dazu dualen Eins–Formen. Nach Definition der Christoffelsymbole in (14.4.1)
haben wir zunächst
∇ ∂i ∂ j = Γ ij k ∂ k . (14.7.1)
Durch kovariante Differentiation der Gleichung dx j (∂ k ) = δ j k
(∇ ∂i dx j )(∂ k ) = −dx j (∇ ∂i ∂ k ) = −Γ j ik , und folglich
ergibt sich daraus
∇ ∂i dx j = −Γ ik j dx k . (14.7.2)
Die Beziehungen (14.7.1) und (14.7.2) ermöglichen es, mit Hilfe der Produktregel
für das Tensorprodukt die kovariante Ableitung ∇ ∂i A für ein beliebiges Tensorfeld
j
A = A 1...j s
i1...i r
dx i1 ⊗ . . . ⊗ dx ir ⊗ ∂ j1 ⊗ . . . ⊗ ∂ js
zu berechnen. Für die Komponenten von ∇A bezüglich lokaler Koordinaten verwenden
wir die Schreibweise A i1...i r
j 1...j s ,k , so dass
A i1...i r
j 1...j s ,k = (∇A) i1...i rk j1...js
= (∇A)(∂ i1 , . . . , ∂ ir , ∂ k , dx j1 , . . . , dx js )
= (∇ ∂k A)(∂ i1 , . . . , ∂ ir , dx j1 , . . . , dx js )
= ∂ k (A(∂ i1 , . . . , ∂ ir , dx j1 , . . . , dx js ))
r∑
− A(∂ i1 , . . . , ∇ ∂k ∂ iϱ , . . . , ∂ ir , dx j1 , . . . , dx js )
−
ϱ=1
s∑
A(∂ i1 , . . . , ∂ ir , dx j1 , . . . , ∇ ∂k dx jσ , . . . , dx js ).
σ=1
Mit (14.7.1) und (14.7.2) ergibt sich als Resultat
für die Komponenten von
j
A 1...j s j
i1...i r ,k = ∂ k (A 1...j s i1...i r
)
r∑
− Γ l j kiϱ A 1...j s
i1...i ϱ−1 l i ϱ+1...i r
ϱ=1
(14.7.3)
s∑
j
+ Γ σ j kl A 1...j σ−1 l j σ+1...j s i1...i r
σ=1
∇A = A i1...i r
j 1...j s ,k dx i1 ⊗ . . . ⊗ dx ir ⊗ dx k ⊗ ∂ j1 ⊗ . . . ⊗ ∂ js .
138

Speziell für die kovariante Ableitung von Eins–Formen α = α i dx i erhalten wir
∇α = α i,j dx i ⊗ dx j = (∂ j α i − Γ ji k α k ) dx i ⊗ dx j . (14.7.4)
Die Komponenten höherer kovarianter Ableitungen ∇ m A bezeichnen wir unter Weglassen
einiger Kommas mit
A i1...i r
j 1...j s ,k1...k m
anstelle von A i1...i r
j 1...j s ,k1,...,k m
. Mit etwas Mühe, aber ohne Schwierigkeiten lassen
sich der Gleichung (14.7.3) entsprechende Formeln für diese Komponenten herleiten.
14.8. Hessesche und Torsionstensor. Wir betrachten eine mit einem Zusammenhang
∇ ausgestatteten Mannigfaltigkeit M. Die Hessesche einer differenzierbaren
Funktion f auf M ist definiert als die zweite kovariante Ableitung
∇ 2 f = ∇(∇f) = ∇(df).
Sie ist also ein (2, 0)–Tensorfeld auf M. Für Vektorfelder X, Y ∈ V ist nach (14.6.3)
(∇df)(X, Y ) = Y (df(X)) − df(∇ Y X) = Y Xf − (∇ Y X)f.
Insbesondere ist ∇df nicht notwendig symmetrisch, sondern mit der Lieklammer
[X, Y ] = XY − Y X gilt
(∇df)(X, Y ) − (∇df)(Y, X) = df(∇ X Y ) − df(∇ Y X) − [X, Y ]f
= df(∇ X Y − ∇ Y X − [X, Y ]).
Lemma. Die durch
T (X, Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [X, Y ] (14.8.1)
definierte Abbildung T : V × V → V ist bilinear über C ∞ (M), also nach Abschnitt
6.7 ein (2, 1)–Tensorfeld auf M.
Das Tensorfeld T heißt der Torsionstensor des Zusammenhanges ∇. Zum Beweis
des Lemmas berechnen wir für f ∈ C ∞ (M)
T (fX, Y ) = ∇ fX Y − ∇ Y (fX) − [fX, Y ]
= f∇ X Y − (Y f) X − f∇ Y X − f[X, Y ] + (Y f) X
= f T (X, Y ).
Dabei haben wir Lemma 2 aus Abschnitt 7.3 verwendet. Entsprechend behandelt
man T (X, fY ). QED
Mit dieser Definition ergibt sich für die Hessesche
(∇df)(X, Y ) − (∇df)(X, Y ) = df(T (X, Y )). (14.8.2)
139

Korollar. Die Hessesche ∇(df) ist genau dann für jede Funktion f ∈ C ∞ (M)
symmetrisch, wenn der Zusammenhang ∇ torsionsfrei ist, wenn also T = 0 gilt.
In lokalen Koordinaten haben wir df = ∂ i f dx i , und daher nach (14.7.4) für die
Hessesche
∇df = (∂ j ∂ i f − Γ ji k ∂ k f) dx i ⊗ dx j . (14.8.3)
Für die Komponenten T ij k = dx k (T (∂ i , ∂ j ) des Torsionstensor ergibt sich
T ij k = Γ ij k − Γ ji k . (14.8.4)
k
Der Torsionstensor verschwindet also genau dann, wenn die Christoffelsymbole Γ ij
in ihren beiden unteren Indizes symmetrisch sind. Man nennt deshalb Zusammenhänge
mit T = 0 auch symmetrisch.
14.9. Der Levi–Civita–Zusammenhang. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Ein Zusammenhang ∇ auf M heißt mit g verträglich, wenn ∇g = 0
ist, also wenn ∇ X g = 0 für alle X ∈ V(M). Nach (14.6.1) ist das gleichbedeutend
mit
X(g(Y, Z)) = g(∇ X Y, Z) + g(Y, ∇ X Z) (14.9.1)
für alle Vektorfelder X, Y, Z ∈ V(M). Grundlegend für die Riemannsche Geometrie
ist der folgende
Satz. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann existiert genau ein
torsionsfreier, mit g verträglicher Zusammenhang ∇ auf M.
Man nennt ∇ den Levi–Civita–Zusammenhang von (M, g). Der Satz und sein
Beweis gelten genauso, wenn g eine pseudo–Riemannsche Metrik ist. Pseudo–
Riemannsche Metriken sind (2, 0)–Tensorfelder g mit der Eigenschaft, dass für jeden
Punkt p ∈ M die Bilinearform g(p) auf T p M symmetrisch und nicht ausgeartet ist.
Dabei heißt g(p) nicht ausgeartet, wenn g(p)(X, Y ) = 0 für alle Y ∈ T p M impliziert,
dass X = 0 ist. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass in lokalen Koordinaten
die Matrix der Tensorkomponenten g ij (p) invertierbar ist. Im Unterschied zu Riemannschen
Metriken wird also auf die positive Definitheit verzichtet.
Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, ein Zusammenhang ∇ erfülle T = 0
und ∇g = 0. Dann gilt für X, Y, Z ∈ V(M)
g(∇ X Y, Z) + g(Y, ∇ X Z) = Xg(Y, Z)
g(∇ Y Z, X) + g(Z, ∇ Y X) = Y g(Z, X)
g(∇ Z X, Y ) + g(X, ∇ Z Y ) = Zg(X, Y ).
Wir addieren die beiden ersten Gleichungen und subtrahieren die dritte. Mit der
Torsionsfreiheit ∇ X Y = ∇ Y X + [X, Y ] folgt
2g(∇ X Y, Z) − g([X, Y ], Z)+g([X, Z], Y ) + g([Y, Z], X)
= Xg(Y, Z) + Y g(X, Z) − Zg(X, Y )
140

und damit
g(∇ X Y, Z) = 1 (
Xg(Y, Z) + Y g(X, Z) − Zg(X, Y )
2
)
+ g([X, Y ], Z) − g([Y, Z], X) + g([Z, X], Y ) .
(14.9.2)
Da Z ∈ V(M) beliebig ist und g nicht ausgeartet, ist ∇ X Y durch diese Gleichung
eindeutig bestimmt. Um die Existenz von ∇ zu beweisen, definiert man ∇ X Y
als das eindeutig bestimmte Vektorfeld, welches für alle Z ∈ V(M) die Gleichung
(14.9.2) erfüllt und rechnet dann nach, dass ∇ ein Zusammenhang ist mit T = 0 und
∇g = 0. Zum Beweis der Torsionsfreiheit etwa zeigt man, dass g(T (X, Y ), Z) = 0
ist für alle X, Y, Z ∈ V(M). QED
Setzt man in (14.9.2) speziell Basisfelder einer Karte ein, und zwar X = ∂ i , Y = ∂ j ,
Z = ∂ l ein, dann folgt
g ml Γ ij m = g(Γ ij m ∂ m , ∂ l ) = 1 2 (∂ ig jl + ∂ j g il − ∂ l g ij ).
Multiplikation beider Seiten mit g kl und Summation liefert wegen g kl g ml = δ k m
Γ ij k = 1 2 gkl (∂ i g jl + ∂ j g il − ∂ l g ij ). (14.9.3)
Der Vergleich mit (11.8.3) zeigt, dass die dort definierten Christoffelsymbole diejenigen
des Levi–Civita–Zusammenhanges der ersten Fundamentalform der Fläche sind.
Und unser Beweis des Satzes ist im Wesentlichen identisch zur Herleitung der Gleichung
(11.8.3). Der in Abschnitt 14.5 eingeführte Zusammenhang muss also der
Levi–Civita–Zusammenhang der ersten Fundamentalform sein. Wir werden das
nun auch in allgemeinerem Kontext zeigen.
14.10. Levi–Civita–Zusammenhang von Untermannigfaltigkeiten. Sei
M ⊆ N eine Untermannigfaltigkeit der Riemannschen Mannigfaltigkeit (N, h), und
sei ι M : M → N die Inklusion. Dann ist der Pullback g = ι ∗ M h eine Riemannsche
Metrik auf M, die auf M induzierte Metrik. Sei
Π : (T N)| M → T M
die faserweise orthogonale Projektion, d.h. für alle p ∈ M ist die Einschränkung
Π| TpN : T p N → T p M die orthogonale Projektion bezüglich des Skalarproduktes
h(p) auf T p N. Man sieht leicht, dass Π differenzierbar ist.
Lemma. Ist ∇ N der Levi–Civita–Zusammenhang von (N, h), dann ist der Levi–
Civita–Zusammenhang der auf M induzierten Metrik g = ι ∗ M h gegeben durch
∇ M X Y = Π ◦ ∇N X Y (14.10.1)
141

für X, Y ∈ V(M).
Beweis. Zu zeigen ist, das die durch (14.10.1) definierte Abbildung ∇ M ein torsionsfreier
und mit g verträglicher Zusammenhang auf M ist. Die Zusammenhangseigenschaften
(1) bis (4) aus Abschnitt 14.1 verifiziert man ohne Mühe, ebenso die
Verträglichkeit von ∇ mit g: Für X, Y, Z ∈ V(M) ist h(Y, Z) = g(Y, Z). Aus
Xh(Y, Z) = h(∇ N X Y, Z) + h(Y, ∇N X Z),
folgt daher
Xg(Y, Z) = Xh(Y, Z) = h(∇ N XY, Z) + h(Y, ∇ N XZ)
= h(Π ◦ ∇ N XY, Z) + h(Y, Π ◦ ∇ N XZ)
= g(∇ M X Y, Z) + g(Y, ∇M X Z).
Zum Beweis der Torsionsfreiheit seien ˜X, Ỹ und ˜Z differenzierbare Vektorfelder auf
N, deren Einschränkungen auf M mit X, Y, Z übereinstimmen (siehe Satz 8.5). Da
∇ N torsionsfrei ist, gilt
∇ Ñ XỸ − ∇Ñ ˜X − [ ˜X, Ỹ ] = 0.
Y
Die Einschränkung auf M und Anwendung von Π ergeben
Das nachfolgende Lemma impliziert
und der Beweis ist beendet. QED
∇ M X Y − ∇M Y X − Π ◦ [ ˜X, Ỹ ]∣ ∣
M
= 0.
Π ◦ [ ˜X, Ỹ ]∣ ∣
M
= Π ◦ [X, Y ] = [X, Y ],
Lemma. Sei M ⊆ N eine Untermannigfaltigkeit der differenzierbaren Mannigfaltigkeit
N, und seien ˜X, Ỹ ∈ V(N) Vektorfelder, deren Einschränkungen ˜X| M = X
und Ỹ | M = Y tangentiell an M sind, also Elemente von V(M). Dann gilt
[ ˜X, Ỹ ]∣ ∣
M
= [X, Y ]. (14.10.2)
Beweis. Sei (ϕ, U) eine an M angepasste Karte von N, also
M ∩ U = {p ∈ U | x m+1 (p) = · · · = x n (p) = 0}.
Dann ist ˜X| U = ∑ n
i=1 ˜X i ∂ i und X| M∩U = ∑ m
i=1 Xi ∂ i | M , wobei
˜X i | M =
{
X
i
für i = 1, . . . , m;
0 für i > m.
142

Entsprechendes gilt für Y . Für p ∈ M ∩ U folgt mit der Schreibweise X p := X(p)
[ ˜X, n Ỹ ](p) = ∑ ( ˜Xp Ỹ i − Ỹp ˜X i) ∣
∂ ∣p i
=
=
i=1
n∑ (
Xp (Ỹ i | M ) − Y p ( ˜X i | M ) ) ∣
∂ ∣p i
i=1
m∑
(X p Y i − Y p X i ) ∂ i | p
i=1
= [X, Y ](p).
Ein zweiter Beweis des Lemmas ergibt sich aus Gleichung (7.7.1),
[X, Y ](p) = lim
t→0
(T φ −t )Y φt(p) − Y p
t
und der entsprechenden Gleichung für [ ˜X, Ỹ ](p), indem man beachtet, dass für jeden
Punkt p ∈ M die Flusslinie ˜φ t (p) von ˜X in M verläuft und mit der Flusslinie φ t (p)
des Vektorfeldes X übereinstimmt. QED
14.11. Zusammenhänge in Vektorraumbündeln. (r, s)–Tensorfelder auf M
sind, wie wir in Abschnitt 6.8 gesehen haben, Schnitte des Vektorbündels T s r M
der (r, s)–Tensoren. Die kovariante Ableitung von Tensorfeldern ordnet sich dem
allgemeinen Begriff des Zusammenhanges auf einem Vektorbündel unter, auf den
wir nun noch kurz eingehen. Sei E (genauer: (E, M, π)) ein Vektorbündel über
M, und sei Γ(E) = Γ(M, E) die Menge seiner differenzierbaren Schnitte. Ein
Zusammenhang auf E ist eine Abbildung
∇ : V(M) × Γ(E) → Γ(E)
mit folgenden Eigenschaften: Für alle Vektorfelder X, Y ∈ V(M), alle ξ, ζ ∈ Γ(E)
und alle f ∈ C ∞ (M) gilt
(1) ∇ X (ξ + ζ) = ∇ X ξ + ∇ X ζ
(2) ∇ X+Y ξ = ∇ X ξ + ∇ Y ξ
(3) ∇ fX ξ = f∇ X ξ
(4) ∇ X (fξ) = (Xf) ξ + f∇ X ξ
Zusammenhänge auf M im Sinne von 14.1 sind in dieser Terminologie Zusammenhänge
auf dem Tangentialbündel T M. Der Schnitt ∇ X ξ heißt die kovariante
Ableitung von ξ nach X. Die Eigenschaften aus 14.3 übertragen sich ohne weiteres
auf diese allgemeinere Situation. Eine lokale Beschreibung durch Christoffelsymbole
ist wie folgt möglich: Jeder Punkt p ∈ M besitzt eine Umgebung U, auf der
Schnitte σ 1 , . . . , σ m ∈ Γ(U, E) des eingeschränkten Bündels E| U existieren, die in
143

jedem Punkt q ∈ U eine Basis des Vektorraumes E q bilden. Ein Schnitt σ ∈ Γ(E)
besitzt auf U eine Darstellung als Linearkombination ξ| U = ∑ ξ µ σ µ mit gewissen
Komponentenfunktionen ξ µ ∈ C ∞ (M). Wenn man U nötigenfalls noch verkleinert,
so ist U auch Definitionsbereich einer Karte von M, die dann Basisvektorfelder ∂ i
liefert. Definiert man Christoffelsymbole durch
∇ ∂i σ µ = Γ iµ ν σ ν ,
dann hat man die der Gleichung (14.3.2) entsprechende Beziehung
(∇ X ξ) ∣ = ( X(ξ µ ) + X i ξ µ ν
Γ ) iµ σ ν .
U
Aufgaben
1. Standardzusammenhang. Zeigen Sie, dass der Standardzusammenhang ∇
auf R n der Levi–Civita–Zusammenhang der Standardmetrik ḡ = ∑ dx i ⊗ dx i ist.
2. Raum aller Zusammenhänge. Nach Abschnitt 6.7 sind (2, 1)–Tensorfelder A
auf einer Mannigfaltigkeit M dasselbe wie Abbildungen A : V × V → V, die bilinear
über C ∞ (M) sind. Zeigen Sie:
(a) Ist ∇ ein Zusammenhang auf M und A ein (2, 1)–Tensorfeld, dann ist ∇ + A,
definiert als (∇ + A)(X, Y ) = ∇ X Y + A(X, Y ), ein Zusammenhang auf M.
(b) Sind ∇ und ∇ ′ Zusammenhänge auf M, dann ist A = ∇ − ∇ ′ ein (2, 1)–
Tensorfeld.
(c) Die Menge aller Zusammenhänge auf M ist ein affiner Raum, dessen unterliegender
Vektorraum der Raum aller differenzierbaren (2, 1)–Tensorfelder auf M
ist.
3. Kein kanonischer Zusammenhang. Zeigen Sie, dass es keine Möglichkeit
gibt, jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit M einen Zusammenhang ∇ M dergestalt
zuzuordnen, dass folgendes gilt: Ist φ : M → N ein Diffeomorphismus, dann
gilt für alle X, Y ∈ V(M)
φ ∗ (∇ M X Y ) = ∇ N φ ∗Xφ ∗ Y .
4. Produktregel. Zeigen Sie, dass für die kovariante Ableitung von Tensorfeldern
folgende Form der Produktregel gilt:
(A i1,...,i r
j 1...,j s
B k1,...,k p
l 1...,l q
) ,m = A i1,...,i r
j 1...,j s ,m B k1,...,k p
l 1...,l q
144
+ A i1,...,i r
j 1...,j s
B k1,...,k p
l 1...,l q ,m .

5. Vorgeschriebene Torsion. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, und
sei A : V × V → V ein differenzierbares (2, 1)–Tensorfeld mit A(X, Y ) = −A(Y, X)
für alle Vektorfelder X, Y ∈ V. Zeigen Sie: Es existiert genau ein Zusammenhang
∇ auf M mit ∇g = 0, dessen Torsionstensor mit A übereinstimmt.
6. Normalenbündel. Nach Aufgabe 6 von Kapitel 6 ist das Normalenbündel
T M ⊥ ⊆ T N einer Untermannigfaltigkeit M ⊆ N einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
N ein Vektorbündel. Sei Π ⊥ : T N| M → T M ⊥ die faserweise orthogonale
Projektion, und sei ∇ der Levi–Civita–Zusammenhang von N. Dann definiert
∇ ⊥ X ξ = Π⊥ ◦ ∇ X ξ
für X ∈ V(M) und ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) einen Zusammenhang ∇ ⊥ auf dem Bündel T M ⊥ .
Man bezeichnet ∇ ⊥ als den normalen Zusammenhang auf T N ⊥ .
145

15. Parallelverschiebung
Ein Zusammenhang ∇ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ermöglicht
es, Tangentialvektoren entlang gegebener Kurven parallel zu verschieben. Man
erhält auf diese Weise für jede Kurve c Vektorraumisomorphismen zwischen den
verschiedenen Tangentialräumen T c(t) M. Diese Parallelverschiebung längs Kurven
stellt also einen “Zusammenhang” her zwischen den sonst unabhängigen Tangentialräumen
an verschiedenen Punkten, und das ist auch der Ursprung der zunächst
wenig naheliegenden Terminologie.
In diesem Kapitel führen wir zunächst den Begriff des Vektorfeldes längs einer Kurve
in M ein und erklären dann, wie man solche Vektorfelder kovariant differenziert. Mit
Hilfe dieser kovarianten Ableitung definieren wir dann die Parallelverschiebung längs
Kurven. Es ergibt sich eine Version der Taylorformel für Vektorfelder längs Kurven,
und eine Deutung der Bedingung ∇g = 0 mit Hilfe der Parallelverschiebung.
Danach gehen wir auf den Begriff der Geodätischen eines Zusammenhanges ein.
Das Kapitel schließt mit einer kurzen Erläuterung der Parallelverschiebung in allgemeinen
Vektorbündeln.
15.1. Vektorfelder längs Kurven. Sei I ⊆ R ein Intervall, und sei c : I → M
eine differenzierbare Kurve in einer Mannigfaltigkeit M. Ein differenzierbares Vektorfeld
längs c ist eine differenzierbare Abbildung X : I → T M mit π◦X = c. Dabei
bezeichnet π : T M → M die Projektion des Tangentialbündels von M, so dass also
X(t) ∈ T c(t) M ist für alle t ∈ I. Ist allgemeiner A eine Menge und ϕ : A → M
eine Abbildung, dann bezeichnet man Abbildungen X : A → T M mit π◦X = ϕ als
Vektorfelder längs der Abbildung ϕ.
Beispiele. (a) Ist Y ∈ V(M), dann ist Y ◦c ein Vektorfeld längs c.
(b) Das Tangentialvektorfeld t ↦→ ċ(t) ist ein Vektorfeld längs c. In lokalen Koordinaten
(ϕ, U) gilt nach (4.4.1)
ċ(t) = d(ϕi ◦c)
(t)
dt
∂
∂x i ∣
∣∣∣c(t)
.
Ist ∇ ein Zusammenhang auf M, dann ist für Y ∈ V(M) auch
ein Vektorfeld längs c.
∇ċ Y : t ↦→ ∇ċ(t) Y
Satz. Seien ∇ ein Zusammenhang auf M und c : I → M eine differenzierbare
Kurve. Dann existiert genau eine Abbildung X ↦→ ∇X/dt des Raumes der differenzierbaren
Vektorfelder längs c in sich mit den folgenden Eigenschaften:
(1)
Version: 18. Februar 2000
∇(X + Y )
dt
= ∇X
dt
146
+ ∇Y
dt

(2)
∇(fX)
dt
= df
dt X + f ∇X
dt
für alle differenzierbaren Vektorfelder X, Y längs c und alle f ∈ C ∞ (I, R), und
∇(Y ◦c)
(3)
= ∇ċ Y.
dt
für alle Vektorfelder Y ∈ V(U), die auf einer offenen Menge U ⊇ c(I) definiert sind.
Beweis. Man kann annehmen, dass c(I) im Definitionsbereich einer Karte enthalten
ist. Sind ∂ i = ∂/∂x i die Basisfelder dieser Karte, dann ist X = X i ∂ i ◦ c mit
Komponentenfunktionen X i ∈ C ∞ (I, R). Wenn eine Abbildung ∇/dt mit den
Eigenschaften (1)–(3) für c existiert, dann ist notwendig
∇X
dt
= ∇ dt (Xi ∂ i ◦c)
= dXi
dt
= dXk
dt
= dXk
dt
∂ i ◦c + X i ∇ dt (∂ i◦c)
∂ k ◦c + X i ∇ċ ∂ i
∂ k ◦c + X i d(ϕj ◦c)
dt
∇ ∂j ◦c ∂ i ,
also mit c j = ϕ j ◦c und ∇ ∂j◦c ∂ i = (Γ ji k ∂ k )◦c
∇X
dt
( dX
k
=
dt
)
+ dci
∂
dt Xj Γ k ij ◦c ◦c (15.1.1)
∂xk Insbesondere ist ∇X/dt durch die Eigenschaften (1)—(3) eindeutig bestimmt. Definiert
man umgekehrt ∇X/dt bezüglich einer Karte durch (15.1.1), so sieht man
leicht, dass die Bedingungen (1)—(3) erfüllt sind, und dass die Definition nicht von
der Wahl der Karte abhängt. QED
Beispiel. Ist die Kurve c konstant, c(I) = {p}, dann ist X : I → T p M in lokalen
Koordinaten gegeben durch
X(t) = X i (t)
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
,
und die kovariante Ableitung (15.1.1) reduziert sich auf die gewöhnliche Ableitung
der vektorraumwertigen Funktion X : I → T p M,
∇X dXk
(t) =
dt dt (t)
∂
∂x k ∣ ∣∣∣p
.
15.2. Parallelverschiebung. Sei ∇ ein Zusammenhang auf M. Ein Vektorfeld
X längs der differenzierbaren Kurve c : [a, b] → M heißt parallel (längs c) wenn
∇X/dt = 0 ist.
147

Proposition. (a) Zu jedem Tangentialvektor X a ∈ T c(a) M existiert genau ein paralleles
Vektorfeld X längs c mit X(a) = X a .
(b) Die Abbildung
P c b,a : T c(a) M → T c(b) M
mit P c b,a (X a) := X(b) ist ein Vektorraumisomorphismus.
(c) Parameterunabhängigkeit: Ist σ : [a ′ , b ′ ] → [a, b] eine C ∞ –Abbildung, und ist
c ′ = c ◦ σ, dann gilt P c′
b ′ ,a ′ = P c b,a .
Die Abbildung Pb,a c heißt die Parallelverschiebung längs c von c(a) nach c(b)—oder
genauer: von a nach b. Die Parallelverschiebung längs stückweise differenzierbarer
Kurven ist in der naheliegenden Weise definiert, und man setzt
P c a,b := ( P c b,a) −1.
Beweis. Man kann annehmen, dass eine Karte (ϕ, U) existiert mit c([a, b]) ⊆ U
(andernfalls unterteile man c). Dann ist die Bedingung ∇X/dt = 0 äquivalent zum
linearen Differentialgleichungssystem
dX k
dt
+ dci
dt Xj Γ ij k ◦c = 0. (15.2.1)
Die Behauptung (a) folgt aus dem Existenz– und Eindeutigkeitsatz in Abschnitt
9.5. Zum Beweis der Linearität der Abbildung Pb,a c bemerken wir zunächst, dass
für parallele Vektorfelder X und Y längs c und Konstanten λ, µ ∈ R auch das
Vektorfeld λX + µY längs c parallel ist. Es folgt
P c b,a(
λ X(a) + µ Y (a)
)
= λ X(b) + µ Y (b)
= λ Pb,a c (X(a)) + µ P b,a c (Y (a)).
Die Abbildung Pb,a c ist injektiv, da die Lösung der Differentialgleichung (15.2.1)
durch den Anfangswert X(a) eindeutig bestimmt ist. Aus Dimensionsgründen ist
sie folglich auch surjektiv. Ist schließlich X parallel längs c, so ist X ′ := X ◦ σ
parallel längs der Kurve c ′ = c ◦ σ, wie aus (15.2.1) mit Hilfe der Kettenregel folgt.
Damit ist
wie behauptet. QED
Pb c′
′ c′
,a′X(a) = Pb ′ ,a ′X′ (a ′ ) = X ′ (b ′ ) = X(b) = Pb,a c X(a),
15.3. Taylorsche Formel. Sei ∇ ein Zusammenhang auf M, und sei X ein
Vektorfeld längs der differenzierbaren Kurve c : I → M. Wir schreiben abkürzend
( ∇
) kX
X (k) =
dt
148

für die k–te kovariante Ableitung. Dann gilt für alle t, t 0 ∈ I und m ∈ N
mit dem Restglied
P c t 0,t X(t) − X(t 0) =
R m+1 = (t − t 0) m+1
m!
∫ 1
0
m∑ (t − t 0 ) k
X (k) (t 0 ) + R m+1 (15.3.1)
k!
k=1
Dabei ist t s = t 0 + s(t − t 0 ). Insbesondere gilt
(1 − s) m P c t 0,t s
(
X (m+1) (t s ) ) ds. (15.3.2)
∇X
dt (t 0) = lim
t→t0
P c t 0,tX(t) − X(t 0 )
t − t 0
. (15.3.3)
Man beachte, dass in (15.3.2) eine Funktion mit Werten im Vektorraum T c(t0)M
integriert wird. Gleichung (15.3.3), die man mit der entsprechenden Gleichung
(7.7.1) für die Lieableitung L X Y vergleichen sollte, zeigt insbesondere, dass die
Parallelverschiebung längs Kurven den Zusammenhang ∇ eindeutig bestimmt.
Man kann daher auch umgekehrt vorgehen und Zusammenhänge definieren als Familien
{P c } linearer Abbildungen, wobei der Index c eine differenzierbare Kurve in
M ist und P c ein Vektorraumisomorphismus zwischen den Tangentialräumen im
Anfangs– und Endpunkt von c, so dass gewisse Bedingungen erfüllt sind. Wir
verfolgen diesen Gedanken hier nicht weiter.
Zum Beweis der Taylorformel sei E 1 (a), . . . , E n (a) eine Basis von T c(a) M. Dann
bilden die Vektoren
E j (t) := P c t,a E j(a)
eine Basis von T c(t) M, und es gilt ∇E j /dt = 0. Die E j bilden also ein paralleles
Basisfeld längs c. Für X gilt dann X(t) = X j (t) E j (t) mit Komponentenfunktionen
X j ∈ C ∞ (I, R), und die kovarianten Ableitungen von X reduzieren sich auf die
Ableitungen dieser Komponenten:
Außerdem ist
( ∇ kX d =
dt) k X j
dt k E j. (15.3.4)
Pt c X(t) − X(t 0,t 0) = X j (t) Pt c E 0,t j(t) − X j (t 0 ) E j (t 0 )
= X j (t) E j (t 0 ) − X j (t 0 ) E j (t 0 )
= ( X j (t) − X j (t 0 ) ) E j (t 0 ).
Die Behauptung folgt nun aus der Taylorformel für reelle Funktionen, angewandt
auf die Komponenten X j . Diese lautet
f(t) − f(t 0 ) =
m∑ (t − t 0 ) k
f (k) (t 0 ) + R m+1
k!
k=1
149

mit Restglied in Integralform
R m+1 = (t − t 0) m+1
m!
∫ 1
0
(1 − s) m f (m+1) (t s ) ds.
Wegen E j (t 0 ) = P c t 0,t s
E j (t s ) ergibt sich im vorliegenden Fall
R m+1 = (t − t 0) m+1
m!
= (t − t 0) m+1
m!
= (t − t 0) m+1
m!
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
und damit die Behauptung. QED
0
(1 − s) m dm+1 X j
dt m+1 (t s) ds E j (t 0 )
( d
(1 − s) m Pt c m+1 X j )
0,t s
dt m+1 (t s) E j (t s ) ds
(1 − s) m P c t 0,t s
(
X (m+1) (t s ) ) ds,
15.4. Parallelverschiebung von Tensorfeldern. Ein Tensorfeld längs c : I →
M ist eine Abbildung A : I → Tr s M mit Werten in einem der Tensorbündel von M,
und mit der Eigenschaft π ◦ A = c. Sie ordnet also jedem Parameter t einen Tensor
an der Stelle c(t) zu. Die zunächst auf Vektorfeldern definierte Ableitung ∇/dt lässt
sich eindeutig zu einer R-linearen Abbildung des Raumes der Tensorfelder längs c
in sich fortsetzen mit folgenden Eigenschaften:
(1) Auf (0, 0)–Tensoren längs c, also Funktionen in C ∞ (I, R), ist ∇/dt die gewöhnliche
Ableitung.
(2) ∇/dt vertauscht mit allen Kontraktionen.
(3) Es gilt die Produktregel
∇
∇A
(A ⊗ B) =
dt dt ⊗ B + A ⊗ ∇B
dt .
Wir geben eine explizite Beschreibung der zugehörigen Parallelverschiebung von
Tensorfeldern längs c. Seien dazu E 1 , . . . , E n parallele Basisvektorfelder längs c wie
Abschnitt 15.3, und sei
θ 1 (t), . . . , θ n (t)
die zu E 1 (t), . . . , E n (t) duale Basis des Kotangentialraumes Tc(t) ∗ M. Dann sind die
Eins–Formen θ 1 , . . . , θ n längs c parallel. Ein (r, s)–Tensorfeld A längs c läßt sich
schreiben
A(t) = A i1...i r
j 1...j s
(t) θ i1 ⊗ · · · ⊗ θ ir ⊗ E j1 ⊗ · · · ⊗ E js
∣
∣t (15.4.1)
j
mit Komponentenfunktionen A 1...j s i1...i r
(t). Das Tensorfeld ist parallel längs c
genau dann, wenn diese Komponenten konstant sind. Und allgemeiner ist die kovariante
Ableitung von A wie in (15.3.4) gegeben durch die Ableitung der Komponenten
A 1...j s i1...i r
j
(t).
150

Lemma. Sei A Tensorfeld auf M. Dann gilt für die kovariante Ableitung ∇A = 0
genau dann, wenn
∇
dt (A◦c) = 0
ist für alle differenzierbaren Kurven c in M.
Die kovariante Ableitung verschwindet also genau dann, wenn A längs jeder Kurve
parallel ist, oder anders gesagt: wenn A unter Parallelverschiebung “invariant” ist.
Aus diesem Grund bezeichnet man Tensorfelder mit ∇A = 0 auch als parallele
Tensorfelder. Das Lemma folgt unmittelbar aus der Gleichung
( ∇
dt (A◦c) )
(t) = ∇ċ(t) A.
Bemerkung. Die Parallelverschiebung von Tensoren längs einer Kurve c : [a, b] →
M läßt sich auch wie folgt auffassen: Man hat zunächst einen Vektorraumisomorphismus
Pb,a c : T c(a)M → T c(b) M zwischen den Tangentialräumen. Nun induziert
jeder Isomorphismus zwischen Vektorräumen auf kanonische Weise einen
Isomorphismus zwischen den entsprechenden (r, s)–Tensorräumen. Die Parallelverschiebung
von Tensoren ist der durch Pb,a c induzierte Isomorphismus.
15.5. Proposition. Seien ∇ ein Zusammenhang und g eine Riemannsche Metrik
auf M. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
(a) ∇g = 0
(b) Für jede differenzierbare Kurve c : I → M und alle Vektorfelder X, Y längs c
ist
d
( ∇X
) (
dt g(X, Y ) = g dt , Y + g X, ∇Y )
. (15.5.1)
dt
(c) Für jede differenzierbare Kurve c : I → M ist die Parallelverschiebung Pb,a c :
T c(a) M → T c(b) M eine lineare Isometrie.
Dabei ist eine lineare Isometrie zwischen euklidischen Vektorräumen ein Vektorraumisomorphismus
φ, welcher Skalarprodukte erhält: 〈φX, φY 〉 = 〈X, Y 〉.
Beweis. Für Vektorfelder X und Y längs einer Kurve c gilt
d
∇(g◦c)
( ∇X
) (
g(X, Y ) = (X, Y ) + g
dt dt
dt , Y + g X, ∇Y )
.
dt
Die Äquivalenz von (a) mit (b) folgt daher aus
∇(g◦c)
(t) = ∇ċ(t) g.
dt
Wird (b) vorausgesetzt, dann ist für parallele Vektorfelder X, Y längs c die Funktion
t ↦→ g(X, Y )(t) konstant. Daher ist
g ( P c b,a X(a), P c b,a Y (a)) = g ( (X(b), Y (b) ) = g ( (X(a), Y (a) ) ,
151

und damit Pb,a c eine lineare Isometrie. Wir beweisen schließlich die Implikation
(c)⇒(b). Sei E 1 , . . . , E n paralleles Basisfeld entlang c mit der Eigenschaft, daß
die Vektoren E 1 (a), . . . , E n (a) orthonormal sind. Nach Voraussetzung sind dann
E 1 (t), . . . , E n (t) orthonormal für jeden Wert t ∈ [a, b]. Mit X = X i E i und Y =
Y j E j folgt
d
dt g(X, Y ) = d ( ∑
n X i Y i)
dt
i=1
n∑ dX i
= Y i + X i dY i
dt
dt
i=1
( dX
i )
= g
dt E i, Y j E j + g
(X i E i , dY j )
E j
dt
( ∇X
) (
= g
dt , Y + g X, ∇Y )
. QED
dt
15.6. Die Geodätischen eines Zusammenhanges. Sei ∇ ein Zusammenhang
auf M. Eine differenzierbare Kurve c : I → M heißt eine Geodätische von ∇, wenn
das Vektorfeld ċ parallel (längs c) ist, wenn also gilt
∇ċ
dt = 0.
Die Ableitung ∇ċ/dt heißt die kovariante Beschleunigung von c. Die Geodätischen
des Levi–Civita–Zusammenhanges einer Riemannschen Mannigfaltigkeit bezeichnet
man kurz als die Geodätischen der Riemannschen Mannigfaltigkeit. Setzt man in
Gleichung (15.5.1) speziell X = Y = ċ, dann ergibt sich:
Lemma. Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, und ist ∇ ein Zusammenhang
auf M mit ∇g = 0, dann sind die Geodätischen c von ∇ proportional zur
Bogenlänge parametrisiert, d.h. es gilt ‖ċ‖ = const.
Beispiel. Sei ∇ X Y = Π ◦ ∇ X Y (siehe Abschnitt 14.10) der Levi–Civita–Zusammenhang
einer Untermannigfaltigkeit M n ⊆ R n+k bezüglich der auf M induzierten
Riemannschen Metrik, der ersten Fundamentalform. Seien weiter ∂/∂x j die Standardbasisfelder
von R n+k . Für Vektorfelder
n+k
∑
X(t) = X j (t)
längs einer Kurve c : I → M ist dann
j=1
∂
∂x j ∣
∣∣∣c(t)
∇X
( ∇X
) ( n+k
dt (t) = Π dt (t) ∑ dX j
= Π
dt (t)
j=1
152
∣
∂ ∣∣∣c(t) )
∂x j .

Speziell für das Vektorfeld X = ċ mit den Komponenten X j = dc j /dt folgt
∇ċ
( d 2
dt (t) = Π c j
dt 2 (t)
∣
∂ ∣∣∣c(t) )
∂x j .
Die kovariante Beschleunigung von c ist also die orthogonale Projektion der euklidischen
Beschleunigung auf T M. Daher ist die Kurve c eine Geodätische in M
genau dann, wenn ihre euklidische Beschleunigung senkrecht auf M steht. Man
erhält als Folgerung: Bewegt sich ein Massenpunkt “kräftefrei”—also frei von kovarianter
Beschleunigung—auf einer Fläche M ⊆ R 3 , dann ist seine Bahnkurve eine
Geodätische der Fläche.
Entsprechend ergibt sich in der allgemeineren Situation von Untermannigfaltigkeiten
M ⊆ N beliebiger Riemannscher Mannigfaltigkeiten
∇ M ċ
dt
= Π ◦ ∇N ċ
dt . (15.6.1)
Die kovariante Beschleunigung einer Kurve in M ergibt sich also durch orthogonale
Projektion ihrer kovarianten Beschleunigung als Kurve in N.
15.7. Parallelverschiebung auf Flächen. Sei M ⊆ R 3 eine Fläche im R 3 ,
versehen mit der ersten Fundamentalform und ihrem Levi–Civita–Zusammenhang.
Die Parallelverschiebung längs einer Geodätischen c : I → M lässt sich wie folgt
beschreiben. Das Tangentialvektorfeld ċ ist parallel längs c. Ist weiter X ein
paralleles Vektorfeld längs c, dann ist nach Proposition 15.5 das Skalarprodukt
g(X(t), ċ(t)) konstant. Folglich bleibt die zu ċ senkrechte Richtung unter Parallelverschiebung
erhalten. Da auch die Länge von Vektoren erhalten bleibt und die
Tangentialräume Tċ(t) M zweidimensional sind, ist dadurch die Parallelverschiebung
längs c eindeutig festgelegt. Die Parallelverschiebung längs beliebiger, nicht notwendig
geodätischer Kurven, lässt sich daraus geometrisch konstruieren, indem man
sie durch geodätische Polygonzüge approximiert und zu einem Grenzwert übergeht.
Wir betrachten als Beispiel die Parallelverschiebung auf der Einheitssphäre S 2 im
R 3 . Sei ∇ der Levi–Civita–Zusammenhang der ersten Fundamentalform von S 2 .
Die nach der Bogenlänge parametrisierten Großkreise sind offenbar Geodätische.
Verschiebt man einen Vektor vom Nordpol (0, 0, 1) längs eines Meridians zum Äquator
x 3 = 0, dann ein Stück weit entlang des Äquators, und schließlich längs eines
zweiten Meridians zurück zum Nordpol, so bildet der parallelverschobene Vektor
mit dem ursprünglichen einen Winkel, der der auf dem Äquator zurückgelegten Distanz
proportional ist. Man sieht daran insbesondere, dass die Parallelverschiebung
längs zweier verschiedener Kurven mit demselben Anfangs- und Endpunkt im allgemeinen
verschiedene Resultate liefert. Wir werden im nächsten Kapitel sehen,
dass diese Wegabhängigkeit der Parallelverschiebung mit der Gaußkrümmung der
Sphäre zusammenhängt.
15.8. Parallelverschiebung in Vektorbündeln. Die Parallelverschiebung von
Vektoren und die von Tensoren längs Kurven in Mannigfaltigkeiten sind Spezialfälle
153

der Parallelverschiebung in Vektorbündeln, auf die wir abschließend kurz eingehen.
Wir knüpfen dabei an die Bemerkungen in Abschnitt 14.11 an. Sei E, oder genauer
(E, M, π) ein Vektorrraumbündel über M, und sei c : I → M eine differenzierbare
Kurve. Ein Schnitt längs c ist eine Abbildung ξ : I → E mit π ◦ ξ = c. Ist
ein Zusammenhang ∇ auf dem Bündel E gegeben, dann hat man eine kovariante
Ableitung
ξ ↦→ ∇ξ
dt
mit den zu (1),(2) und (3) in Abschnitt 15.1 analogen Eigenschaften. Ein Schnitt
ξ längs c heißt parallel längs c, wenn ∇ξ/dt = 0 ist. Wie in Abschnitt 15.2 erhält
man Parallelverschiebungen P c b,a : E a → E b , die Vektorraumisomorphismen zwischen
den Fasern E a und E b des Bündels sind. Neben den in diesem Kapitel behandelten
Fällen E = T M und allgemeiner E = T s r M tritt in der Riemannschen
Geometrie auch die Parallelverschiebung im Normalenbündel T M ⊥ von Untermannigfaltigkeiten
M ⊆ N Riemannscher Mannigfaltigkeiten auf. Der dabei in T N ⊥
verwendete Zusammenhang ist der in Aufgabe 6 von Kapitel 14 definierte normale
Zusammenhang ∇ ⊥ .
Ist U ⊆ M eine offene Teilmenge, auf der sowohl lokale Koordinaten (mit Basisvektorfelder
∂ i ) als auch Schnitte σ 1 , . . . , σ m ∈ Γ(U, E) des eingeschränkten Bündels
E| U existieren, die in jedem Punkt q ∈ U eine Basis von E q bilden, dann hat man
wie in 14.11 auf U Christoffelsymbole Γ iµ ν mit
∇ ∂i σ µ = Γ iµ ν σ ν .
Wenn das Bild der Kurve c in U enthalten ist, dann ist die kovariante Ableitung
eines Schnittes ξ(t) = ξ µ (t) σ µ (c(t)) in Verallgemeinerung von Gleichung (15.1.1)
gegeben durch
∇ξ
( dξ
µ
)
dt = dt + dci
dt ξν Γ ν iµ ◦c σ ν ◦c, (15.8.1)
und die Parallelverschiebung längs c führt auch hier auf ein lineares System gewöhnlicher
Differentialgleichungen für die Komponenten ξ µ (t).
Aufgaben
1. Geodätische Krümmung. Sei M eine F̷läche im R 3 , versehen mit ihrer ersten
Fundamentalform. Zeigen Sie, dass für die in Abschnitt 12.1 definierte geodätische
Krümmung κ g einer Kurve c : I → M gilt
κ g = ± ∥ ∇ċ
∥
∥.
ds
2. Höhere Ableitungen. Sei ∇ ein Zusammenhang auf M, und sei X ein Vektorfeld
(oder allgemeiner: ein Tensorfeld) auf M mit ∇ k X = 0 für eine natürliche
Zahl k ≥ 1. Zeigen Sie: Wenn M kompakt ist, dann folgt ∇X = 0. Hinweis: Untersuchen
Sie das Verhalten von X längs Kurven c : R → M mit Hilfe der Taylorschen
Formel (15.3.1).
154

16. Krümmung und Flachheit von Zusammenhängen
Auf die Krümmung eines Zusammenhanges ∇ stößt man, wenn man die Vertauschbarkeit
zweiter und höherer kovarianter Ableitungen untersucht. Man erhält beim
Vertauschen einen Fehlerterm ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z, der sich durch einen Tensor R
beschreiben lässt, den Krümmungstensor von ∇. Es zeigt sich, dass die Nichtvertauschbarkeit
damit zusammenhängt, dass man bei der Parallelverschiebung eines
Vektors von p nach q ∈ M längs verschiedener Wege im allgemeinen unterschiedliche
Resultate erhält. Diese Wegabhängigkeit der Parallelverschiebung liefert eine geometrische
Deutung des Krümmungstensors, auf die wir in Abschnitt 16.4 und Aufgabe
4 ausführlich eingehen. Insbesondere ergeben sich in 16.5 notwendige und
hinreichende Bedingungen die “Flachheit” von ∇, d.h. für das Verschwinden von
R. Wir bemerken, dass sich die Definitionen und Resultate der Abschnitte 16.1 bis
16.6 ohne Schwierigkeiten auf Zusammenhänge in beliebigen Vektorbündeln über
M verallgemeinern lassen.
Verschwindet nicht nur der Krümmungstensor R von ∇, sondern auch der Torsionstensor,
dann ist (M, ∇) lokal “isomorph” zum R n , versehen mit dem Standardzusammenhang
∇. Der dabei verwendete Isomorphiebegriff ist die affine Diffeomorphie,
auf die wir in 16.7 eingehen. Anschließend spezialisieren wir die Situation
weiter auf den Fall des Levi–Civita–Zusammenhanges einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g). In Abschnitt 16.9 zeigen wir, dass der Levi–Civita–Zusammenhang
genau dann flach ist, wenn (M, g) lokal isometrisch zum euklidischen Raum ist.
Im Folgenden bezeichnet V = V(M) die Menge der differenzierbaren Vektorfelder
auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, und V ∗ = V ∗ (M) die Menge der
differenzierbaren 1–Formen.
16.1. Der Krümmungstensor. Die Abbildung
mit
R : V × V × V → V, (X, Y, Z) ↦→ R(X, Y )Z
R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [X,Y ] Z (16.1.1)
heißt der Krümmungstensor von ∇. Die spezielle Klammersetzung mit R(X, Y )Z
anstelle von R(X, Y, Z) wird in Abschnitt 16.4 begründet.
Bemerkung. Nach dieser Definition ist R also streng genommen kein Tensorfeld.
Mit den in Abschnitt 7.3 behandelten Eigenschaften der Lieklammer rechnet man
aber leicht nach (Aufgabe 1), dass die Abbildung R in allen drei Variablen X, Y
und Z linear über C ∞ (M) ist. Dasselbe gilt für die durch R induzierte Abbildung
Version 16. Mai 2000
R : V × V × V × V ∗ → C ∞ (M)
R(X, Y, Z, α) = α(R(X, Y )Z).
155

Nach Abschnitt 6.7 definiert daher R ein (3, 1)–Tensorfeld auf M. Wir werden im
Folgenden R, R und das dadurch definierte (3, 1)–Tensorfeld mit demselben Buchstaben
R bezeichnen und im Allgemeinen nicht unterscheiden. Aus dem Kontext
wird dann jeweils ersichtlich sein, was gemeint ist.
16.2. Komponenten des Krümmungstensors. Speziell für Basisfelder ∂ i =
∂/∂x i einer Karte gilt [∂ i , ∂ j ] = 0, so dass R(∂ i , ∂ j ) die Vertauschbarkeit der kovarianten
Ableitungen ∇ ∂i und ∇ ∂j misst. Nun ist
mit
R = R ijk l dx i ⊗ dx j ⊗ dx k ⊗ ∂ l
R ijk l = R(∂ i , ∂ j , ∂ k , dx l ) = dx l( R(∂ i , ∂ j )∂ k
)
,
und das ist die l–te Komponente des Vektorfeldes R(∂ i , ∂ j )∂ k . Die R ijk l sind also
bestimmt durch die Gleichung
R(∂ i , ∂ j )∂ k = R ijk l ∂ l . (16.2.1)
Mit den durch ∇ ∂i ∂ j = Γ ij k ∂ k definierten Christoffelsymbolen berechnet man daraus
für die Komponenten des Krümmungstensors
R ijk l = ∂ i Γ jk l − ∂ j Γ ik l + Γ jk m Γ im l − Γ ik m Γ jm l . (16.2.2)
Bemerkung. Im Fall einer Fläche M ⊆ R 3 ist uns diese Gleichung bereits in
(12.7.4) begegnet. Die dort verwendeten Γ k ij sind nach Abschnitt 14.9 die Christoffelsymbole
des Levi–Civita–Zusammenhanges der ersten Fundamentalform von M.
l
Die in (12.7.4) eingeführten R ijk sind also die Komponenten des Krümmungstensors
des Levi–Civita–Zusammenhanges der ersten Fundamentalform. Für die
Gaußkrümmung der Fläche M ergibt (12.7.5)
K =
R l 122 g l1
g 11 g 22 − (g 12 ) 2 = g( )
R(∂ 1 , ∂ 2 )∂ 2 , ∂ 1
‖∂ 1 ‖ 2 ‖∂ 2 ‖ 2 − g(∂ 1 , ∂ 2 ) 2 . (16.2.3)
16.3. Ein Lemma. Sei H : [0, 1] × [a, b] → M, (s, t) ↦→ H(s, t) differenzierbar.
Wir definieren Vektorfelder ∂H/∂s und ∂H/∂t längs der Abbildung H wie folgt:
∂H/∂s (s, t) ist der Tangentialvektor der Kurve σ ↦→ H(σ, t) an der Stelle σ = s,
und entsprechend ist ∂H/∂t (s, t) derjenige von τ ↦→ H(s, τ) an der Stelle τ = t. Es
ist also, mit der Ableitung T H von H,
∂H
( ∂
∂s (s, t) = (T H) )
∂s∣ (s,t)
∂H
( ∂
∂t (s, t) = (T H) )
∂t∣ .
(s,t)
156

Ist ∇ ein Zusammenhang auf M, und ist X ein Vektorfeld längs H, dann bezeichnet
∇X
(s, t)
∂s
die kovariante Ableitung des Vektorfeldes σ ↦→ X(σ, t) längs der Kurve σ ↦→ H(σ, t)
an der Stelle σ = s im Sinne von Abschnitt 15.1. Dann ist ∇X/∂s ein Vektorfeld
längs H. Entsprechend ist ∇X/∂t definiert.
Lemma. Sei X ein Vektorfeld längs H, und sei R der Krümmungstensor von ∇.
Dann gilt
∇ ∇X
− ∇ ∇X
( ∂H
∂s ∂t ∂t ∂s = R ∂s , ∂H )
X. (16.3.1)
∂t
Beide Seiten dieser Gleichung sind Vektorfelder längs H. Man beweist die Beziehung
durch Nachrechnen in lokalen Koordinaten mittels (15.1.1) und (16.2.2).
16.4. Geometrische Deutung von R. Für Tangentialvektoren X, Y ∈ T p M ist
die Abbildung R(X, Y ) : T p M → T p M mit
Z ↦→ R(X, Y )Z
ein Vektorraumendomorphismus von T p M. Wir geben eine Deutung dieser Abbildung
R(X, Y ). Sei dazu H : [0, 1] × [0, 1] → M, H = H(s, t) eine differenzierbare
Abbildung mit H(0, 0) = p,
∂H
∂s (0, 0) = X und ∂H
(0, 0) = Y.
∂t
Dabei sind ∂H/∂s und ∂H/∂t die in 16.3 definierten Vektorfelder längs H. Für
fixierte Werte 0 ≤ s ≤ 1 und 0 ≤ t ≤ 1 bezeichne P s,t : T p M → T p M die Parallelverschiebung
entlang der aus vier Teilen zusammengesetzten geschlossenen Kurve
c = c 1 · c 2 · c 3 · c 4 , wobei
c 1 (σ) = H(σ, 0), 0 ≤ σ ≤ s
c 2 (τ) = H(s, τ), 0 ≤ τ ≤ t
c 3 (σ) = H(s − σ, τ), 0 ≤ σ ≤ s
c 4 (τ) = H(0, t − τ), 0 ≤ τ ≤ t .
Man erhält auf diese Weise eine differenzierbare Abbildung
P : [0, 1] × [0, 1] → Aut(T p M) ⊆ End(T p M),
(s, t) ↦→ P s,t
in die Gruppe Aut(T p M) der Vektorraumautomorphismen von T p M, die ihrerseits
eine offenen Teilmenge des Vektorraums End(T p M) aller Endomorphismen ist. Offenbar
ist P 0,t = I und P s,0 = I, also insbesondere P 0,0 = I. Ausserdem verschwinden
157

in (0, 0) die partiellen Ableitungen ∂P/∂s, ∂ 2 P/∂s 2 , ∂P/∂t und ∂ 2 P/∂t 2 . Wir untersuchen
nun die gemischte Ableitung ∂ 2 P/∂s ∂t.
Satz. Es gilt
∂ 2 P
(0, 0) = −R(X, Y ) (16.4.1)
∂s ∂t
P s,t = I − st R(X, Y ) + O(3). (16.4.2)
Insbesondere gilt
R(X, Y ) = − lim
t→0
P t,t − I
t 2 . (16.4.3)
Dabei bezeichnet das “Landausche Symbol” O(3) eine Funktion mit Werten im Vektorraum
T p M und mit der Eigenschaft, dass der Quotient O(3)/(s 2 + t 2 ) 3/2 in einer
Umgebung von (s, t) = (0, 0) beschränkt ist. Man beachte, dass diese Bedingung
unabhängig von der Wahl einer Norm auf T p M ist.
Beweis. Nach dem Taylorschen Satz, angewandt auf die vektorraumwertige Funktion
(s, t) ↦→ P s,t , sind die Beziehungen (16.4.1) und (16.4.2) gleichbedeutend. Um
nun (16.4.2) zu beweisen, setzen wir X und Y zu Vektorfeldern längs H fort durch
die Definitionen
X(σ, τ) = ∂H
∂σ
∂H
(σ, τ) und Y (σ, τ) = (σ, τ).
∂τ
Sei Z ein weiteres differenzierbares Vektorfeld längs H. Für i = 1, 2, 3, 4 bezeichne
P i die Parallelverschiebung längs der Kurve c i von ihrem Anfangspunkt zu ihrem
Endpunkt. Wir setzen abkürzend ∇ s = ∇/∂s. Die Auswertung eines Vektorfeldes
längs H in den vier Ecken des Rechtecks [0, s] × [0, t], also an den Stellen (0, 0),
(s, 0), (s, t) und (0, t), bezeichnen wir in dieser Reihenfolge durch Anschreiben eines
Index 0, 1, 2 und 3. Es ist also zum Beispiel
Z 2 = Z(s, t) und ∇ s Z 3 = (∇ s Z)(0, t).
Wir machen wiederholt Gebrauch von der Taylorformel (15.3.1) in der Form
P c 0,tZ(t) − Z(0) = t ∇ t Z(0) + t2 2 ∇ t∇ t Z(0) + O(3)
mit verschiedenen Kurven c. Mit diesen Festlegungen ist
P s,t Z 0 − Z 0 = P 4 P 3 P 2 P 1 Z 0 − Z 0
= P 4 P 3 P 2 (P 1 Z 0 − Z 1 ) + P 4 P 3 (P 2 Z 1 − Z 2 )
+ P 4 (P 3 Z 2 − Z 3 ) + P 4 Z 3 − Z 0
158

= P 4 P 3 P 2( )
− s ∇ s Z 1 + s2
2 ∇ s∇ s Z 1 + O(3))
+ P 4 P 3( )
− t ∇ t Z 2 + t2 2 ∇ t∇ t Z 2 + O(3)
+ P 4( )
s ∇ s Z 3 + s2
2 ∇ s∇ s Z 3 + O(3)
+ t ∇ t Z 0 + t2 2 ∇ t∇ t Z 0 + O(3).
Die in s und t linearen Terme behandeln wir wie folgt:
−s P 4 (P 3 P 2 ∇ s Z 1 − ∇ s Z 3 ) − t (P 4 P 3 ∇ t Z 2 − ∇ t Z 0 )
= − s P 4( P 3 (P 2 ∇ s Z 1 − ∇ s Z 2 ) + P 3 ∇ s Z 2 − ∇ s Z 3
)
− t ( P 4 (P 3 ∇ t Z 2 − ∇ t Z 3 ) + P 4 ∇ t Z 3 − ∇ t Z 0
)
= − s P 4( P 3 (−t ∇ t ∇ s Z 2 + O(2)) + s ∇ s ∇ s Z 3 + O(2) )
− t ( P 4 (s∇ s ∇ t Z 3 + O(2)) + t ∇ t ∇ t Z 0 + O(2) )
= st P 4 P 3 ∇ t ∇ s Z 2 − st P 4 ∇ s ∇ t Z 3
− s 2 P 4 ∇ s ∇ s Z 3 − t 2 ∇ t ∇ t Z 0 + O(3) .
(∗)
Nun beachten wir, dass für jedes differenzierbare Vektorfeld W längs H die mit den
Parallelverschiebungen P j nach (0, 0) verschobenen Werte W 1 , W 2 und W 3 bis auf
Terme der Ordnung O(1) mit W 0 übereinstimmen. So ist zum Beispiel
und ebenso gilt
P 4 P 3 W 2 − W 0 = P 4 (P 3 W 2 − W 3 ) + P 4 W 3 − W 0
= P 4 (s ∇ s W 3 + O(2)) + t ∇ t W 0 + O(2)
= O(1),
P 4 P 3 P 2 W 1 − P 4 W 3 = P 4( P 3 (P 2 W 1 − W 2 ) + P 3 W 2 − W 3
)
= O(1).
Setzt man daher (∗) in den für P s,t Z 0 − Z 0 erhaltenen Ausdruck ein, so heben sich
die ∇ s ∇ s und ∇ t ∇ t enthaltenden Terme bis auf Ausdrücke der Ordnung O(3) weg,
und es bleibt
wie behauptet. QED
P s,t Z 0 − Z 0 = −st(∇ s ∇ t Z 0 − ∇ t ∇ s Z 0 ) + O(3)
= −st R(X 0 , Y 0 )Z 0 + O(3),
159

Korollar. Ist ∇ mit einer Riemannschen Metrik g verträglich, dann ist für alle
X, Y ∈ T p M der Endomorphismus R(X, Y ) : T p M → T p M schiefsymmetrisch bezüglich
g, also
g(R(X, Y )Z, W ) = −g(R(X, Y )W, Z) (16.4.4)
für alle Z, W ∈ T p M.
Beweis. Nach (16.4.3) ist
R(X, Y ) = − lim
t→0
P t,t − I
t 2
= − d dt∣ P √ τ, √ τ .
τ=0
Da nach Proposition 15.5 die Parallelverschiebung isometrisch ist, gilt
g(p)(P √ τ, √ τ Z, P √ τ, √ τ W ) = g(p)(Z, W ).
Das Korollar ergibt sich, indem man diese Beziehung nach τ differenziert und τ = 0
setzt. QED
16.5. Flache Zusammenhänge. Ein Zusammenhang ∇ heißt flach, wenn sein
Krümmungstensor verschwindet, wenn also R = 0 ist. Um die geometrische Bedeutung
dieser Bedingung zu erläutern, führen wir zunächst folgende Begriffe ein.
Definition. Zwei differenzierbare Kurven c 0 und c 1 : [a, b] → M mit denselben
Anfangs- und Endpunkten c 0 (a) = c 1 (a) = p und c 0 (b) = c 1 (b) = q heißen differenzierbar
homotop (mit festen Endpunkten), wenn eine differenzierbare Abbildung
H : [0, 1] × [a, b] → M
existiert mit H(s, a) = p und H(s, b) = q für alle s ∈ [0, 1], und mit H(0, t) = c 0 (t)
und H(1, t) = c 1 (t) für alle t ∈ [a, b]. Die Abbildung H bezeichnet man dann als
eine differenzierbare Homotopie von c 0 nach c 1 .
Man stellt sich eine solche Homotopie meist als eine Familie c s (t) = H(s, t) von
Kurven c s vor, die alle denselben Anfangs- und denselben Endpunkt haben, und
durch welche die Kurve c 0 in die Kurve c 1 “deformiert” wird. Anstelle differenzierbarer
Kurven und Homotopien ist es oft von Vorteil, stetige oder stückweise
differenzierbare Kurven und Homotopien zuzulassen. Dabei heißt H stückweise differenzierbar,
wenn H stetig ist und es Unterteilungen 0 = s 0 < s 1 < . . . < s k = 1
und a = t 0 < t 1 < . . . < t m = b gibt dergestalt, dass die Einschränkung von H auf
jedes der Rechtecke [s i , s i+1 ] × [t j , t j+1 ] differenzierbar ist.
Definition. Ein Repèrefeld auf M ist ein n–Tupel X 1 , . . . , X n differenzierbarer
Vektorfelder auf M mit der Eigenschaft, dass X 1 (p), . . . , X n (p) für jeden Punkt
p ∈ M eine Basis des Tangentialraumes T p M ist. Repèrefelder werden auch als
bewegliche n–Beine bezeichnet, im Englischen als frame field.
160

Satz. Sei ∇ ein Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M.
Folgende Aussagen sind äquivalent.
(a) Der Zusammenhang ∇ ist flach.
(b) Für alle p, q ∈ M und alle homotopen differenzierbaren Kurven c 0 und c 1 :
[a, b] → M mit c 0 (a) = c 1 (a) = p und c 0 (b) = c 1 (b) = q gilt P c0
b,a = P c1
b,a .
(c) Zu jedem Punkt p ∈ M und jedem Vektor X p ∈ T p M existieren eine Umgebung
U von p und ein differenzierbares Vektorfeld X ∈ V(U) mit X(p) = X p und mit
∇X = 0 auf U.
(d) Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine Umgebung U von p und ein paralleles
Repèrefeld X 1 , . . . , X n ∈ V(U), also ein Repèrefeld mit ∇X i = 0 für i = 1, . . . , n.
Bedingung (b) bedeutet, ungenau gesprochen, die “Wegunabhängigkeit der Parallelverschiebung”
bei homotopen Kurven, (c) ist die “lokale Fortsetzbarkeit” von
Vektoren zu parallelen Vektorfeldern, und (d) die “lokale” Existenz paralleler Basisfelder.
Beweis. (a)⇒(b) Sei H eine Homotopie von c 0 nach c 1 , und sei X p ∈ T p M. Parallelverschiebung
von X längs der Kurven t ↦→ H(s, t) liefert ein Vektorfeld X(s, t)
längs H mit ∇X/∂t = 0. Wir zeigen, dass X(s, b) konstant ist, so dass insbesondere
folgt
P c0
b,a X p = X(0, b) = X(1, b) = P c1
b,a X p.
Nach Lemma 16.3 gilt wegen R = 0
∇ ∇X
∂t ∂s = ∇ ∇X
( ∂H
+ R
∂s ∂t ∂t , ∂H )
X = 0.
∂s
Also ist das Vektorfeld t ↦→ (∇X/∂s)(s, t) parallel längs der Abbildung t ↦→ H(s, t).
Wegen X(s, a) = X p für s ∈ [0, 1] ist
∇X
∂s
∂X
(s, a) = (s, a) = 0.
∂s
Die kovariante Ableitung reduziert sich dabei auf die gewöhnliche, weil X(s, a) ∈
T p M ist für alle s. Es folgt
∂X
∂s
∇X
(s, b) = (s, b) = 0.
∂s
(b)⇒(c) Sei X p ∈ T p M. Wir wählen eine Karte (ϕ, U) mit ϕ(p) = 0 und dergestalt,
dass ϕ(U) = B(0, 1) der Ball vom Radius 1 um den Ursprung ist. Auf U definieren
wir nun ein Vektorfeld X ∈ V(U) durch “radiale” Parallelverschiebung des Vektors
X p von p aus wie folgt. Für q ∈ U sei c q : [0, 1] → M die Kurve c q (t) = ϕ −1 (tϕ(q)).
Wir definieren
X(q) = P cq
1,0 X p.
161

Für das so definierte Vektorfeld zeigen wir nun ∇X = 0. Dazu genügt es, zu
beweisen, dass X ◦ c längs jeder Kurve c ∈ C ∞ ([0, 1], U) parallel ist. Für festes
t ∈ [0, 1] ist die Einschränkung c| [0,t] homotop zur Zusammensetzung γ 1 · γ 2 zweier
radialer Kurven, und nach Konstruktion ist X parallel entlang γ 1 und γ 2 . Da nach
Voraussetzung die Parallelverschiebung von X(c(0)) längs c| [0,t] und längs γ 1 · γ 2
dasselbe ergibt, folgt
Also ist X ◦ c parallel längs c.
P c t,0X(c(0)) = P γ2 P γ1 X(c(0)) = X(c(t)).
(c)⇒(d) Man wählt eine Basis X 1 (p), . . . , X n (p) von T p M und wendet (c) auf jeden
der Vektoren X i (p) an, um das gewünschte Repèrefeld auf U zu erhalten.
(d)⇒(a) Sei X 1 , . . . , X n ein paralleles Repèrefeld auf U ⊆ M. Nach Definition des
Krümmungstensors ist dann R(X i , X j )X k = 0. Da die Vektorfelder X i an jeder
Stelle von U eine Basis des Tangentialraumes bilden, verschwindet R auf U. QED
Bemerkung. Zum Beweis der Implikation (b)⇒(c) sei bemerkt, dass sich die
Kurve γ 1 · γ 2 als C ∞ –Kurve parametrisieren lässt und dann C ∞ –homotop zu c| [0,t]
ist. Um die etwas mühsame Durchführung zu vermeiden, könnte man stattdessen
stückweise differenzierbare Kurven und Homotopien betrachten und Aussage (b)
entsprechend modifizieren.
16.6. Ein zweiter Beweis. Wir skizzieren noch einen zweiten Beweis für die
Implikation (a)⇒(b), der die Beziehung (16.4.2) verwendet. Sei
H : A = [0, 1] × [0, 1] → M
eine differenzierbare Abbildung, p = H(0, 0) und q = H(1, 1). Mit P : T p M → T q M
bezeichnen wir die Parallelverschiebung längs der Kurve c 1 (s) = H(s, 0) und dann
längs c 2 (t) = H(1, t); mit P ′ : T p M → T q M die Parallelverschiebung entlang
c 3 (t) = H(0, t), gefolgt von der längs c 4 (s) = H(s, 1). Wir zeigen P ′ = P .
Dazu unterteilen wir das Quadrat A in m 2 Teilquadrate A 1 , . . . , A m 2 der Seitenlänge
1/m und ändern den Weg γ 0 := c 1 · c 2 nach und nach ab in Wege γ 1 , γ 2 , . . . , γ m 2
dergestalt, dass sich γ i+1 von γ i nur dadurch unterscheidet, dass das Quadrat A i+1
“anders herum” umfahren wird (Skizze). Nach m 2 solcher Änderungen erhalten wir
schließlich die Kurve γ m 2 = c 3 · c 4 . Bezeichnet P i die Parallelverschiebung entlang
γ i von p nach q, dann ist P 0 = P und P m 2 = P ′ , und nach (16.4.1) gilt wegen R = 0
( 1
)
P −1
i+1 ◦ P i = I + O
m 3
da 1/m die Seitenlänge von A i ist. Daraus folgt
( 1
)
P i+1 − P i = O
m 3
162

und insgesamt
P ′ − P = ∑ m 2
( 1
)
(P i − P i−1 ) = m 2 O
i=1 m 3 ,
und der Grenzübergang m → ∞ liefert P ′ − P = 0.
16.7. Affine Diffeomorphismen. Seien (M, ∇) und (M ′ , ∇ ′ ) Mannigfaltigkeiten
mit Zusammenhängen. Ein Diffeomorphismus ψ : M → M ′ heißt ein affiner Diffeomorphismus,
wenn für alle Vektorfelder X, Y ∈ V(M) gilt
ψ ∗ (∇ X Y ) = ∇ ′ ψ ∗X ψ ∗Y. (16.7.1)
Dabei ist ψ ∗ X das Vektorfeld ψ ∗ X = (T ψ) ◦ X ◦ ψ −1 auf M ′ . Affine Diffeomorphismen
von (M, ∇) auf sich selbst bezeichnet man auch als affine Transformationen.
Mit Zusammenhängen versehene Mannigfaltigkeiten heißen affin diffeomorph, wenn
es einen affinen Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt.
Bemerkungen. (a) Affine Diffeomorphie ist offenbar eine Äquivalenzrelation. Sie
ist der natürliche Isomorphiebegriff für Mannigfaltigkeiten, die mit einem Zusammenhang
ausgestattet sind.
(b) Die affinen Transformationen des mit dem Standardzusammenhang ∇ versehenen
Raumes R n sind genau die Abbildungen der Gestalt x ↦→ Ax + b mit einer
Matrix A ∈ GL(n, R) und mit b ∈ R n . Setzt man nämlich in (16.7.1) für X und
Y die Standardbasisfelder ∂ i , ∂ j des R n ein und beachtet ∇ ∂i ∂ j = 0, dann ergibt
sich, dass die zweiten partiellen Ableitungen aller Komponentenfunktionen von ψ
verschwinden. Der Taylorsche Satz ergibt dann die Behauptung.
(c) Sei ψ : M → M ′ ein Diffeomorphismus. Ist (ϕ, U) eine Karte von M, dann ist
(ϕ◦ψ −1 , ψ(U)) eine Karte von M ′ . Seien Γ ij k ∈ C ∞ (U) die Christoffelsymbole von
∇, und seien Γ ′ ij k ∈ C ∞ (ψ(U)) diejenigen von ∇ ′ bezüglich dieser Karten. Dann
gilt: ψ ist ein affiner Diffeomorphismus genau dann, wenn für alle solchen Karten
gilt
Γ ij k = Γ ′ ij k ◦ ψ. (16.7.2)
Der Beweis ergibt sich aus der Definition der Christoffelsymbole, wenn man beachtet,
dass für die Basisfelder der Karten ψ ∗ ∂ i = ∂ ′ i ist.
(d) Ist ψ : M → M ′ ein affiner Diffeomorphismus, dann gilt für die Krümmungstensoren
R von ∇ und R ′ von ∇ ′
ψ ∗ (R(X, Y )Z) = R ′ (ψ ∗ X, ψ ∗ Y )ψ ∗ Z. (16.7.3)
Das ergibt sich sofort aus der Definition von R, Gleichung (16.7.1) und der Beziehung
ψ ∗ [X, Y ] = [ψ ∗ X, ψ ∗ Y ] für die Lieklammer (Aufgabe 5 in Kapitel 7).
16.8. Flache torsionsfreie Zusammenhänge. Der Standardzusammenhang ∇
des R n ist flach und torsionsfrei, erfüllt also R = 0 und T = 0. Wir zeigen nun,
163

dass für jeden Zusammenhang ∇ mit R = 0 und T = 0 auf einer Mannigfaltigkeit
M das Paar (M, ∇) lokal affin diffeomorph zu (R n , ∇) ist.
Satz. Sei ∇ ein Zusammenhang auf M mit Krümmungstensor R und Torsionstensor
T . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
(a) Es gilt R = 0 und T = 0.
(b) Zu jedem Punkt p ∈ M existiert eine Karte (ϕ, U) mit p ∈ U und mit der
Eigenschaft, dass die Christoffelsymbole auf U verschwinden, also Γ ij k = 0 ist.
(c) Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine Umgebung U von p, eine offene Teilmenge
V ⊆ R n und ein affiner Diffeomorphismus φ : (U, ∇) → (V, ∇), wobei ∇
den Standardzusammenhang des R n bezeichnet.
Beweis. (a)⇒(b) Ist R = 0, dann existiert nach Abschnitt 16.5 ein paralleles Repèrefeld
X 1 , . . . , X n auf einer Umgebung U 0 von p. Aus der Torsionsfreiheit folgt, dass
die Lieklammern der Vektorfelder X i verschwinden:
0 = T (X i , X j )
= ∇ Xi X j − ∇ Xj X i − [X i , X j ]
= −[X i , X j ].
Nach Satz 7.8 existiert eine Karte (ϕ, U) mit p ∈ U ⊆ U 0 und mit der Eigenschaft,
dass X i = ∂ i ist. Daraus folgt
0 = ∇ Xi X j = ∇ ∂i ∂ j = Γ ij k ∂ k .
(b)⇒(a) Die Formel (16.2.2) für die Komponenten R ijk
l
des Krümmungstensors
und die Beziehung T ij k = Γ ij k − Γ ji k zeigen, dass R und T verschwinden, wenn
Γ ij k = 0 ist.
(b)⇒(c) Ist (ϕ, U) eine Karte mit Γ ij k = 0, dann setze man ψ = ϕ und V = ϕ(U).
Nach der dem Satz vorausgehenden Bemerkung (c) ist ψ ein affiner Diffeomorphismus.
(c)⇒(b) Sei ψ : U → V ein affiner Diffeomorphismus wie in (c). Verwendet man
(ψ, U) als Karte, dann gilt für die entsprechenden Christoffelsymbole nach derselben
Bemerkung Γ k ij = 0. QED
16.9. Flache Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
(M, g) heißt flach, wenn ihr Levi–Civita–Zusammenhang flach ist. Auf
diesen Zusammenhang ist dann insbesondere das Resultat aus 16.8 anwendbar. Wir
zeigen nun, dass flache Riemannsche Mannigfaltigkeiten lokal isometrisch zum mit
der Standardmetrik ḡ versehenen R n sind.
Satz. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent.
164

(a) (M, g) ist flach.
(b) Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine Umgebung U von p und eine Isometrie
φ : (U, g| U ) → (V, ḡ| V ) auf eine offene Teilmenge V ⊆ R n .
Beweis. Ist (M, g) flach, dann findet man wie im Beweis von Satz 16.8 ein paralleles
Repèrefeld
X 1 =
∂
∂x 1 , . . . , X n =
∂
∂x n ,
welches aus den Basisfeldern einer Karte (ϕ, U) besteht. Wählt man dabei für
X 1 (p), . . . , X n (p) eine Orthonormalbasis von T p M, dann sind diese Vektorfelder in
jedem Punkt von U orthonormal, weil sie parallel sind und Parallelverschiebung
nach 15.5 isometrisch ist. Setzt man ψ = ϕ, dann gilt mit den Standardbasisfeldern
e 1 , . . . , e n des R n für q ∈ U
ḡ((T ψ)X i (q), (T ψ)X j (q)) = ḡ(e i (ψ(q)), e j (ψ(q))
= δ ij
= g(X i (q), X j (q)),
und folglich ψ ∗ ḡ = g. Also ist ψ eine Isometrie. Zum Beweis der umgekehrten Implikation
(b)⇒(a) beachtet man, dass Isometrien zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten
auch affine Diffeomorphismen bezüglich der zugehörigen Levi–Civita–
Zusammenhänge sind (Aufgabe 2). Die Behauptung R = 0 folgt nun aus Bemerkung
(d) in Abschnitt 16.7. QED
Aufgaben
1. Krümmungstensor. Verifizieren Sie, dass die in (16.1.1) definierte Abbildung
R in allen drei Variablen linear über dem Ring C ∞ (M) ist.
2. Affine Diffeomorphismen. Zeigen Sie, dass jede Isometrie zwischen Riemannschen
Mannigfaltigkeiten ein affiner Diffeomorphismus bezüglich der Levi–Civita–
Zusammenhänge ist. Hinweis: Verwenden Sie die Eindeutigkeit des Levi–Civita–
Zusammenhanges.
3. Geodätische und affine Diffeomorphismen. Zeigen Sie, dass affine Diffeomorphismen
Geodätische in Geodätische abbilden: Ist ψ : (M, ∇) → (M ′ , ∇ ′ ) ein
affiner Diffeomorphismus, und ist c : I → M eine Geodätische von ∇, dann ist
c ′ = ψ ◦ c eine Geodätische von ∇ ′ . Gilt die Umkehrung?
4. Wegabhängigkeit der Parallelverschiebung. Sei ∇ ein Zusammenhang auf
einer Mannigfaltigkeit M, und sei H : [0, 1] × [a, b] → M eine differenzierbare
Abbildung. Mit P s,t werde die Parallelverschiebung entlang der Kurve c s = H(s, ·)
von t nach b bezeichnet. Es ist also
P s,t = P cs
b,t : T H(s,t)M → T H(s,b) M
165

mit der in 15.2 eingeführten Notation. Weiter bezeichne R s,t die lineare Abbildung
( ∂H ∂H
)
R s,t = P s,t ◦ R (s, t),
∂t ∂s (s, t) ◦ (P s,t ) −1
von T H(s,b) M in sich. Sei X ein Vektorfeld längs H mit ∇X/∂t = 0 auf [0, 1] × [a, b]
und mit (∇X/∂s)(s, a) = 0 für 0 ≤ s ≤ 1.
(a) Zeigen Sie, dass gilt
∫
∇X
b
∂s (s, b) = R s,t dt X(s, b).
a
(∗)
(b) Verwenden Sie diese Gleichung, um einen Beweis der Implikation (a)⇒(b) in
Satz 16.5 zu geben.
Anleitung zu (a): Das Integral ∫ b
a R s,t dt ist ein Vektorraumendomorphismus von
T H(s,b) M, der auf den Vektor X(s, b) angewandt wird. Zeigen Sie mit Hilfe von
(16.3.1) zunächst, dass gilt
d
(
∇X
) ( ∇
P s,t
dt ∂s (s, t) ∇X
)
= P s,t
∂t ∂s (s, t) = R s,t X(s, b) . (∗∗)
5. ∗ Homotopie. Zeigen Sie, dass stückweise differenzierbare Homotopie eine
Äquivalenzrelation auf der Menge der stückweise differenzierbaren Kurven c : [a, b]
→ M ist. Zeigen Sie dann, dass dasselbe für die differenzierbare Homotopie differenzierbarer
Kurven gilt. Zeigen Sie schließlich, dass differenzierbare Kurven, die
stetig homotop sind, auch differenzierbar homotop sind.
166

17. Geodätische und Exponentialabbildung
Geodätische eines Zusammenhanges sind Kurven, deren kovariante Beschleunigung
verschwindet. In lokalen Koordinaten führt diese Bedingung auf ein System gewöhnlicher
Differentialgleichungen, und der Existenz– und Eindeutigkeitssatz für solche
Systeme liefert einen entsprechenden Satz für die Geodätischen: Zu jedem Tangentialvektor
X gibt es eine eindeutig bestimmte Geodätische c X mit Anfangsgeschwindigkeit
ċ X (0) = X. Die Abbildung X ↦→ c X (1), die jedem Tangentialvektor
den Wert der zugehörigen Geodätischen an der Stelle t = 1 zuordnet, heisst die
Exponentialabbildung von ∇. Sie kann unter anderem zur Einführung spezieller Koordinatensysteme
in M verwendet werden. Wir beschließen das Kapitel mit einem
wichtigen Spezialfall, dem des kanonischen Zusammenhanges und der Exponentialabbildung
einer Liegruppe.
Im Folgenden bezeichnet ∇ einen Zusammenhang auf einer n–dimensionalen differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M. Tangentialvektoren an Kurven werden gelegentlich
mit dem Symbol d/dt angedeutet, also etwa ċ(0) = d/dt ∣ 0
c. Mit Differenzierbarkeit
ist immer Differenzierbarkeit von der Klasse C ∞ gemeint.
17.1. Geodätische. Eine differenzierbare Kurve c : I → M heißt nach Abschnitt
15.6 eine Geodätische von ∇, wenn die kovariante Beschleunigung ∇ċ/dt = 0 ist.
Ist (ϕ, U) eine Karte und gilt c(I) ⊆ U, dann dann lautet diese Gleichung wegen
(15.1.1)
d 2 c k
dt 2
+ Γ ij k ◦ c dci dc j
dt dt
= 0 (k = 1, . . . , n). (17.1.1)
Für die Kurve x(t) = ϕ(c(t)) im R n und mit ¯Γ ij k = Γ ij k ◦ϕ −1 ist das ein System
nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung
d 2 x k
dt 2
+ ¯Γ ij k ◦x dxi
dt
dx j
dt
= 0, (17.1.2)
welches wir durch Einführen neuer Variablen X k auf ein System erster Ordnung
reduzieren:
dx k
dt (t) = Xk (t)
(17.1.3)
dX k
dt (t) = −¯Γ k ij (x(t)) X i (t) X j (t) .
17.2. Satz. (a) Zu jedem Vektor X ∈ T M existieren ein offenes Intervall J um 0
und eine Geodätische c ∈ C ∞ (J, M) mit ċ(0) = X.
(b) Sind c 1 : J 1 → M und c 2 : J 2 → M zwei Geodätische mit ċ 1 (0) = ċ 2 (0) = X,
dann stimmen c 1 und c 2 auf dem Durchschnitt J 1 ∩ J 2 ihrer Definitionsintervalle
Version 30. Mai 2000
167

überein. Insbesondere gibt es eine eindeutig bestimmte Geodätische c X mit maximalem
Definitionsintervall J X und ċ X (0) = X.
(c) Für jede reelle Zahl a ist die Geodätische c aX gegeben durch c aX (t) = c X (at)
mit dem maximalen Definitionsbereich
J aX = 1 a J X =
falls a ≠ 0 ist, und J aX = R sonst.
{ 1
a t ∣ ∣∣ t ∈ JX
}
,
Im Folgenden bezeichnet c X die Geodätische mit ċ X (0) = X und maximalem Definitionsintervall
J X . Nach Teil (c) haben die Geodätischen c X und c aX dasselbe
Bild, werden aber mit unterschiedlicher Geschwindigkeit durchlaufen.
Beweis. (a) Sei etwa X ∈ T p M. Wir wählen eine Karte (ϕ, U) an p. Ist bezüglich
dieser Karte
X = ∑ ∣
X j ∂ ∣∣∣ϕ(p)
0
∂x j ,
dann sind die X j 0 die Komponenten des Bildes (T ϕ)X ∈ T ϕ(p)R n . Nach dem
Existenz– und Eindeutigkeitsatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es
genau eine Lösung (x(t), X(t)) des Systems (17.1.3) mit dem Anfangswert
(x(0), X(0)) = (ϕ(p), X 0 ) ∈ R n × R n .
Für diese Lösung ist die Kurve c = ϕ ◦ x eine Geodätische in M mit ċ(0) = X.
(b) Zum Beweis der Eindeutigkeitsaussage (b) zeigen wir, dass die nichtleere Menge
{t ∈ J 1 ∩ J 2 | ċ 1 (t) = ċ 2 (t)}
zugleich offen und abgeschlossen im Durchschnitt J 1 ∩ J 2 ist. Da dieser Durchschnitt
zusammenhängend ist, muss sie dann mit J 1 ∩ J 2 übereinstimmen. Die
Abgeschlossenheit folgt unmittelbar aus der Stetigkeit von ċ 1 und ċ 2 . Um die Offenheit
zu beweisen, ist zu zeigen, dass aus ċ 1 (t 0 ) = ċ 2 (t 0 ) folgt, dass ċ 1 und ċ 2 auch
auf einer Umgebung von t 0 übereinstimmen. Das ergibt sich, indem man lokale
Koordinaten um den Punkt c 1 (t 0 ) = c 2 (t 0 ) einführt, aus der Eindeutigkeitsaussage
für Systeme (17.1.3). Die maximale Geodätische c X erhält man schließlich als
Vereinigung aller Geodätischen c mit ċ(0) = X.
(c) Mit c ist offensichtlich auch jede Kurve γ : t ↦→ c(at) eine Geodätische, und es
gilt ˙γ(0) = a ċ(0). Folglich ist γ = c aX . QED
Wir werden nun die “Reduktion” der Differentialgleichung der Geodätischen auf ein
System erster Ordnung wie folgt interpretieren: c ist eine Geodätische genau dann,
wenn die Kurve ċ : I → T M Integralkurve eines gewissen Vektorfeldes X auf T M
168

ist. Mit dieser Deutung ergibt sich der Existenz– und Eindeutigkeitssatz 17.2 auch
als Folgerung von Satz 1 in Abschnitt 7.5 über Integralkurven.
17.3. Vorbetrachtung über T T M. Jede Karte (ϕ, U) für M induziert nach
Abschnitt 4.6 eine Karte ¯ϕ : T M| U → ϕ(U) × R n mit
(
¯ϕ X i
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x i = (x 1 , . . . , x n , X 1 , . . . , X n ),
wobei x i = ϕ i (p) ist. Unter Verwendung der Projektion π : T M → M wird das zu
¯ϕ(X) = (ϕ 1 ◦π(X), . . . , ϕ n ◦π(X), dx 1 (X), . . . , dx n (X)).
Sind ∂/∂x i und ∂/∂X i die Basisfelder einer solchen Karte ( ¯ϕ, T M| U ), dann lassen
sich Elemente des zweiten Tangentialbündels T T M = T (T M) schreiben als Linearkombination
n∑
i=1
a i
∂
∂x i ∣ ∣∣∣X
+
n∑
i=1
A i
∂
∂X i ∣ ∣∣∣X
∈ T X (T M),
und man erhält eine Karte ( ¯ϕ, T T M| U ) für T T M, die diesen Vektor abbildet auf
(x 1 , . . . , x n , X 1 , . . . , X n , a 1 , . . . , a n , A 1 , . . . , A n ).
Zu beachten ist, dass das Symbol ∂/∂x i nun zwei verschiedene Vektorfelder bezeichnet,
eines auf U und eines auf T M| U . Ist c : I → M eine differenzierbare
Kurve mit c(I) ⊆ U, dann ist ċ : I → T M eine differenzierbare Kurve in T M. Deren
Tangentialvektorfeld ¨c : I → T T M beschreiben wir nun in lokalen Koordinaten.
Lemma. Sei C ∈ C ∞ (I, T M) eine differenzierbare Kurve in T M mit C(I) ⊆ T M| U ,
so dass
n∑
∣
C(t) = Y i ∂ ∣∣∣c(t)
(t)
∂x i
i=1
mit Komponenten Y i ∈ C ∞ (I) und der nach M projizierten Kurve c(t) = π(C(t)).
Dann gilt
n∑
C(t) ˙ =
i=1
d(ϕ i ◦c)
(t)
dt
∣
∂ ∣∣∣C(t)
∂x i + dY i
dt (t)
∂
∂X i ∣
∣∣∣C(t)
(17.3.1)
Ist speziell C = ċ das Tangentialvektorfeld einer Kurve c : I → U ⊆ M, dann gilt
mit c i := ϕ i ◦ c
¨c(t) =
n∑
i=1
dc i
dt (t)
∣
∂
∂x
∣∣∣ċ(t) i + d2 c i
dt 2 (t)
∂
∂X i ∣
∣∣∣ċ(t)
. (17.3.2)
169

Beweis. Nach Abschnitt 4.4 ist
˙ C(t) =
2n∑
i=1
d( ¯ϕ i ◦C)
(t)
dt
∂
∂z i ∣
∣∣∣C(t)
,
wobei ∂/∂z i die Basisfelder der Karte ¯ϕ sind. Daraus folgt (17.3.1), und (17.3.2)
ist ein Spezialfall mit
C(t) = ċ(t) =
n∑
i=1
dc i
dt (t)
∂
∂x i ∣
∣∣∣c(t)
.
17.4. Der geodätische Fluss. Wir verwenden die Notation aus Abschnitt 17.3.
Lemma. Sei (ϕ, U) eine Karte an p ∈ M, und sei
X = X i
Wir definieren X (X) ∈ T X M durch
X (X) = X k
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
∈ T p M.
∂
∂x k ∣ ∣∣∣X
− Γ ij k (p) X i X j
∂
∂X k ∣ ∣∣∣X
. (17.4.1)
Dann ist X (X) unabhängig von der Wahl der Karte, und die so definierte Abbildung
X : T M → T T M ist ein differenzierbares Vektorfeld auf T M.
Beweis. Das Lemma in 17.3 zeigt, dass für die Geodätische c X mit ċ X (0) = X gilt
X (X) = ¨c X (0). Da ¨c X (0) nicht von der Wahl einer Karte abhängt, gilt dasselbe für
X (X). Die Differenzierbarkeit des Vektorfeldes X ergibt sich aus der Differenzierbarkeit
seiner Komponenten bezüglich der Basisfelder ∂/∂x i und ∂/∂X i der Karten
( ¯ϕ, T M| U ),
X = ¯ϕ n+k ∂
∂x k − Γ ij k ◦π ¯ϕ n+i ¯ϕ n+j ∂
∂X k . (17.4.2)
Definitionen. Das Vektorfeld X heißt der geodätische Spray des Zusammenhangs
∇. Der Fluss φ von X heißt der geodätische Fluss. Ein Zusammenhang ∇ heißt
vollständig, wenn der geodätische Spray X ein vollständiges Vektorfeld im Sinne
von Abschnitt 7.5 ist, wenn also der geodätische Fluss φ auf ganz R × T M definiert
ist.
Satz. Eine Kurve c in M ist eine Geodätische von ∇ genau dann, wenn ihr Tangentialvektorfeld
ċ eine Integralkurve des geodätische Sprays ist. Ist C : I → T M eine
beliebige Integralkurve des geodätische Sprays, dann ist c = π ◦ C eine Geodätische
mit ċ = C.
170

Beweis. Die Kurve ċ ist genau dann eine Integralkurve von X , wenn sie ¨c(t) =
X (ċ(t)) erfüllt. Nach (17.3.2) und der Definition von X ist das genau dann der Fall,
wenn c eine Geodätische ist. Sei nun C eine Integralkurve von X , und sei X = C(0).
Die Geodätische c X liefert nach dem schon Bewiesenen eine weitere Integralkurve
ċ X , und zwar ebenfalls mit ċ X (0) = X. Wegen der Eindeutigkeit von Integralkurven
folgt ċ X = C, also c X = π ◦ C. QED
Wegen des Satzes ist ∇ genau dann vollständig, wenn alle Geodätischen c X den
maximalen Definitionsbereich J X = R haben. Die Wirkung des Flusses φ auf Punkte
X ∈ T M kann man sich folgendermaßen veranschaulichen: Ist X ∈ T M gegeben,
so nimmt man die Geodätische c X mit ċ X (0) = X. Dann ist φ t (X) = ċ X (t). Und
da ċ X ein paralleles Vektorfeld längs c X ist, gilt mit der Parallelverschiebung P cX
t,0
̷längs c X auch
φ t (X) = ċ X (t) = P cX
t,0 (X).
17.5. Die Exponentialabbildung eines Zusammenhanges. Für X ∈ T M
bezeichnet J X das maximale Definitionsintervall der Geodätischen c X wie in 17.2.
Satz. (a) Sei ˜T M = {X ∈ T M | 1 ∈ J X }. Dann ist ˜T M eine offene Umgebung
des Nullschnittes 0 M := {0 p ∈ T p M | p ∈ M}.
(b) Die durch
exp(X) = c X (1)
definierte Abbildung exp : ˜T M → M ist differenzierbar.
Beweis. (a) Offensichtlich enthält ˜T M alle Nullvektoren 0 p . Nach Satz 1 in Abschnitt
7.5 ist
U :=
⋃
J X × {X}
X∈T M
eine offene Teilmenge von R×T M, da J X das maximale Definitionsintervall der Integralkurve
ċ X des geodätischen Sprays ist. Die Menge ˜T M = {X ∈ T M | (1, X) ∈
U} ist das Urbild der offenen Menge U unter der stetigen Abbildung X ↦→ (1, X)
von T M nach R × T M, also selbst offen.
(b) Es gilt exp(X) = c X (1) = π(ċ X (1)) = π(φ(1, X)), wobei φ den geodätischen
Fluss bezeichnet und π die Projektion T M → M. Nach Satz 1 in Abschnitt 7.5 ist
φ von der Klasse C ∞ . QED
Die Abbildung exp heißt die Exponentialabbildung des Zusammenhanges ∇. Ihre
Einschränkung exp p := exp | TpM auf den Tangentialraum T p M nennt man die Exponentialabbildung
im Punkt p ∈ M. Nach 17.2(c) gilt
exp(tX) = c tX (1) = c X (t).
Die Kurve t ↦→ exp(tX) ist also die Geodätische mit Anfangsgeschwindigkeit X.
Die Bezeichnung als “Exponentialabbildung” entstammt einem Spezialfall (17.8.2),
auf den wir am Ende dieses Kapitels eingehen werden.
171

Beispiel. Sei M = S n ⊆ R n+1 die Standardsphäre, versehen mit dem Levi–Civita–
Zusammenhang ∇ ihrer ersten Fundamentalform. Die Geodätischen von ∇ sind die
proportional zur Bogenlänge parametrisierten Großkreise (siehe Abschnitt 15.6).
Für p ∈ M ist die Abbildung exp p injektiv auf dem offenen Ball B(0, π) ⊆ T p M.
Der gesamte Rand ∂B(0, π) dieses Balles wird auf den p gegenüberliegenden Punkt
−p abgebildet, die Sphären ∂B(0, ρ) mit 0 < ρ < π auf “Breitenkreise” zwischen p
und −p.
17.6. Normalkoordinaten. Zwischen den Tangentialräumen T v V eines reellen
Vektorraumes V und dem Raum V selbst bestehen kanonische Vektorraumisomorphismen
ι v : V → T v V , die durch
ι v (w) = d dt ∣ (v + tw) (17.6.1)
0
gegeben sind. Dabei steht auf der rechten Seite der Tangentialvektor an die Kurve
t ↦→ v + tw im Punkt t = 0.
Lemma. Die Ableitung T 0 exp p : T 0 T p M → T p M der Exponentialabbildung exp p ist
der kanonische Isomorphismus ι −1
0 : T 0 T p M ∼ = T p M. Insbesondere bildet exp p eine
offene Umgebung U ⊆ T p M des Nullpunktes diffeomorph auf eine offene Umgebung
V = exp p (U) ⊆ M von p ab.
Beweis. Für X ∈ T p M gilt
(T 0 exp p )ι 0 X = (T 0 exp p ) d dt∣ (tX) = d 0
dt∣ exp p (tX) = X,
0
also in der Tat (T 0 exp p ) = ι −1
0 . Die zweite Behauptung folgt aus dem Satz über
inverse Funktionen 4.2(c). QED
Mit Hilfe des Isomorphismus ι v identifiziert man oft die Vektorräume V und T v V ,
wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind. Die erste Aussage des Lemmas
lautet dann einfach, aber nicht ganz korrekt,
T 0 exp p = id TpM .
Sind 0 ∈ U ⊆ T p M und V = exp p (U) ⊆ M wie im Lemma, und ist A : T p M → R n
ein Vektorraumisomorphismus, dann ist
ϕ = A ◦ (exp | U ) −1 : V → R n
eine Karte. Jede solche Karte heißt ein Normalkoordinatensystem mit Zentrum p.
Normalkoordinaten bilden also die Geodätischen c(t) = exp p tX durch p in Geraden
ϕ(c(t)) = t AX durch den Ursprung im R n ab.
172

Bemerkung. Für Normalkoordinaten mit Zentrum p gilt Γ ij k (p) = −Γ ji k (p). Ist
insbesondere der Zusammenhang ∇ torsionsfrei, dann gilt Γ ij k (p) = 0.
Beweis. Die Geodätengleichung
d 2 (ϕ k ◦c)
dt 2
+ Γ k ij ◦c d(ϕi ◦c) d(ϕ j ◦c)
= 0
dt dt
liefert in Normalkoordinaten (ϕ, V ) für c(t) = exp p (tX)
Γ ij k (p) (AX) i (AX) j = 0.
Also gilt Γ ij k (p) Y i Y j = 0 für alle Y ∈ R n , und daraus folgt, indem man Y durch
Y + Z ersetzt, Γ ij k (p) + Γ ji k (p) = 0. Ist ∇ torsionsfrei, dann gilt nach (14.8.4)
zusätzlich
Γ ij k (p) − Γ ji k (p) = T ij k (p) = 0,
also insgesamt Γ ij k (p) = 0. QED
17.7. π × exp und der Injektivitätsradius. Sei exp die Exponentialabbildung
eines Zusammenhanges ∇ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M. Das folgende
Lemma besagt, dass die Abbildung π × exp auf dem Nullschnitt von T M
maximalen Rang hat.
Lemma. Für jeden Punkt p ∈ M ist die Ableitung
der Abbildung
im Nullpunkt 0 p von T p M bijektiv.
T 0p (π × exp) : T 0p T M → T p M × T p M
π × exp : ˜T M → M × M
X ↦→ (π(X), exp(X))
Beweis. Wir wählen eine Karte (ϕ, U) mit ϕ(p) = 0 und betrachten die dadurch
induzierte Karte ( ¯ϕ, T M| U ) an 0 p ∈ T M. Seien ∂/∂x i und ∂/∂X i die entsprechenden
Basisvektorfelder wie in 17.3. Bezeichnet e i den i–ten Standardbasisvektor des
R 2n , dann ist für i = 1, . . . , n
∣
∂ ∣∣∣0p
T (π × exp)
∂x i = T (π × exp) d dt∣ ¯ϕ −1 (te i )
0
= d dt∣ (π × exp) ( ¯ϕ −1 (te i ) )
0
= d dt∣ (π × exp) ( )
0 ϕ −1 (te i)
0
= d ( dt∣ ϕ −1 (te i ), ϕ −1 (te i ) )
0
=
( ∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
,
173
∣
∂ ∣∣∣p )
∂x i .

Außerdem ist
T (π × exp)
∣
∂ ∣∣∣0p
∂X i = d dt∣ (π × exp) ( ¯ϕ −1 (t e n+i ) )
0
= d ( ∣ ∂ ∣∣∣p )
dt∣ (π × exp) t
0
∂x i
= d (
dt∣ p, exp p t ∂ ∣ ∣∣∣p )
0
∂x i
( ∣
∂ ∣∣∣p )
= 0,
∂x i .
Bezüglich der Basis ∂/∂x i | 0p , ∂/∂X i | 0p von T 0p T M und der Basis (∂/∂x i | p , 0),
(0, ∂/∂X i | p ) von T p M × T p M ∼ = T (p,p) (M × M) entspricht T 0p (π × exp) also die
invertierbare 2n × 2n–Matrix ( )
I 0
.
I I
Satz 1. Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine offene Umgebung U ⊆ M von p
und eine offene Umgebung W ⊆ T M von 0 p ∈ T p M mit folgenden Eigenschaften.
(a) Zu je zwei Punkten q, r ∈ U gibt es genau eine Geodätische c qr : [0, 1] → M mit
c qr (0) = q und c qr (1) = r und ċ qr (0) ∈ W .
(b) Die durch (q, r) ↦→ ċ qr (0) gegebene Abbildung U × U → T M ist differenzierbar.
(c) Für alle q ∈ U ist exp q | W ∩TqM eine Einbettung.
Aussage (a) lässt sich auch wie folgt formulieren: Zu je zwei Punkten q, r ∈ U existiert
ein eindeutig bestimmter Tangentialvektor X q ∈ T q M ∩ W mit exp(X q ) = r.
Beweis. Wir wählen W und U so, dass π × exp die Umgebung W diffeomorph
auf U × U abbildet. Solche Umgebungen existieren aufgrund des letzten Lemmas,
und Teil (a) und (b) folgen unmittelbar. Zum Beweis von (c) bemerkt man, dass
(π × exp)| W eine Einbettung ist. Da allgemein Einschränkungen von Einbettungen
auf Untermannigfaltigkeiten wieder Einbettungen sind, ist auch
(π × exp)| W ∩TqM = const q × (exp | W ∩TqM)
eine Einbettung. Dabei bezeichnet const q die konstante Abbildung W ∩T q M → {q}.
QED
Wir geben noch eine Variante des Satzes für Mannigfaltigkeiten mit Riemannscher
Metrik. Dabei bezeichnet B(p, ε) den Ball
B(p, ε) = {q ∈ M | d(p, q) < ε}
174

wie in Abschnitt 10.5, und es ist B(0 q , ϱ) = {X ∈ T q M | ‖X‖ < ϱ}.
Satz 2. Seien ∇ ein Zusammenhang auf M und g eine Riemannsche Metrik. Zu
jedem Punkt p ∈ M existieren Zahlen ε > 0 und ϱ > 0 mit folgenden Eigenschaften.
(a) Zu je zwei Punkten q, r ∈ B(p, ε) gibt es einen eindeutig bestimmten Tangentialvektor
X ∈ T q M mit ‖X‖ < ϱ und mit exp X = r.
(b) Die durch (q, r) ↦→ X gegebene Abbildung B(p, ε) × B(p, ε) → T M ist differenzierbar.
(c) Für jeden Punkt q ∈ B(p, ε) ist die Einschränkung exp q | B(0q,ϱ) der Exponentialabbildung
eine Einbettung.
Beweis. Man wählt zunächst ϱ und ε ′ > 0 so klein, dass die Menge
W ′ = {X ∈ T M | π(X) ∈ B(p, ε ′ ) und ‖X‖ < ϱ}
durch π × exp diffeomorph auf ihr Bild U ′ ⊆ M abgebildet wird. Dann wählt man
0 < ε < ε ′ so klein, dass B(p, ε) × B(p, ε) ⊆ U ′ ist. Mit diesem ϱ und ε gelten
offenbar (a) und (b), und (c) folgt wie bei Satz 1. QED
Definition. Sei ∇ ein Zusammenhang auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g), und sei exp die Exponentialabbildung von ∇. Dann heißt für p ∈ M die
Zahl
∣
inj(p) := sup{ ρ | exp ∣B(0p,ρ) p ist definiert und eine Einbettung }
der Injektivitätsradius von exp im Punkt p. Ist speziell ∇ der Levi–Civita–Zusammenhang
von (M, g), dann heißt inj(q) der Injektivitätsradius der Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g) im Punkt p.
Der Injektivitätsradius inj(p) ist also das Supremum aller Zahlen ρ, für welche die
Einschränkung exp p | B(0p,ρ) Normalkoordinaten mit Zentrum p liefert. Wegen Satz
2(c) hat die Funktion inj : M → R auf jeder kompakten Teilmenge von M eine
positive untere Schranke.
17.8. Kanonischer Zusammenhang und Exponentialabbildung einer Liegruppe.
Eine Liegruppe ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit G, die dergestalt
mit einer Gruppenstruktur versehen ist, dass die Gruppenoperation µ : G × G → G
und die Inversion ι : G → G differenzierbare Abbildungen sind (siehe Aufgabe 3
zu Kapitel 2). Es ist allgemein bei Gruppen üblich, die Gruppenoperation µ nicht
explizit hervorzuheben. Man schreibt also oft a · b oder auch nur ab anstelle von
µ(a, b), wenn hinsichtlich der Gruppenstruktur µ keine Zweifel bestehen.
Für a ∈ G bezeichne L a : G → G die Linksmultiplikation L a (b) = ab. Dann ist L a
ein Diffeomorphismus mit inverser Abbildung (L a ) −1 = L a −1. Ein Vektorfeld X
auf G heißt linksinvariant, wenn für alle a, b ∈ G gilt
(T L a )X(b) = X(ab),
175

wenn also in der Notation aus Abschnitt 7.7 gilt
L a∗ X = T L a ◦ X ◦ L −1
a = X.
Da die Gruppenoperation µ differenzierbar ist, ist jedes linksinvariante Vektorfeld
differenzierbar. Ist e ∈ G das neutrale Element und ist X e ∈ T e G, dann existiert
genau ein linksinvariantes Vektorfeld X auf G mit X(e) = X e , definiert durch
X(a) = (T L a )X e
für a ∈ G. Wählt man eine Basis X 1 (e), . . . , X n (e) von T e G, dann liefert die
Definition X j (a) = (T L a )X j (e) ein linksinvariantes Repèrefeld X 1 , . . . , X n auf G.
Lemma 1. Es existiert genau ein Zusammenhang ∇ 0 auf G mit der Eigenschaft,
dass jedes linksinvariante Vektorfeld X parallel ist, also ∇ 0 X = 0 gilt.
Beweis. Sei X 1 , . . . , X n ein linksinvariantes Repèrefeld auf G und seien Y, Z ∈ V(G).
Dann ist Z = Z i X i mit Komponentenfunktionen Z i ∈ C ∞ (G). Wenn ∇ 0 existiert,
dann ist notwendig ∇ 0 Y Z = Y (Zi )X i + Z i ∇ 0 Y X i = Y (Z i )X i , also
∇ 0 Y Z =
n∑
Y (Z i ) X i . (17.8.1)
i=1
Damit ist die Eindeutigkeit von ∇ 0 gezeigt. Umgekehrt sieht man leicht, dass
nach Wahl eines linksinvarianten Repèrefeldes durch (17.8.1) ein Zusammenhang
definiert wird, für den alle linksinvarianten Vektorfelder parallel sind. Wegen der
Eindeutigkeit ist dieser Zusammenhang unabhängig von der Wahl des linksinvarianten
Repèrefeldes. QED
Lemma 2. Eine differenzierbare Kurve c : I → G ist genau dann eine Geodätische
von ∇ 0 , wenn c Integralkurve eines linksinvarianten Vektorfeldes X ∈ V(G) ist.
Beweis. Ist c eine Integralkurve von X, also ċ = X ◦ c, dann gilt nach Abschnitt
15.1
∇ 0 ċ
dt
= ∇0 (X ◦ c)
dt
= ∇ 0 ċ X = 0.
Also ist c eine Geodätische von ∇ 0 . Nun sei umgekehrt c eine Geodätische, t 0 ∈ I
und a = c(t 0 ). Sei X das linksinvariante Vektorfeld mit X(a) = ċ(t 0 ), und sei
γ : J → G die maximale Integralkurve von X mit γ(t 0 ) = a. Nach dem bereits
Bewiesenen ist γ eine Geodätische von ∇ 0 , und es gilt
˙γ(t 0 ) = X(γ(t 0 )) = X(a) = ċ(t 0 ).
Die Eindeutigkeitsaussage für Geodätische aus Satz 17.2(b) zeigt nun, dass c = γ| I
gilt. Also ist c Integralkurve des linksinvarianten Vektorfeldes X. QED
176

Lemma 3. Jedes linksinvariante Vektorfeld X ∈ V(G) ist vollständig.
Beweis. Ist γ eine Integralkurve von X, dann auch jede Kurve aγ = L a ◦ γ für
a ∈ G, denn
(aγ)˙(t) = (T L a ) ˙γ(t) = (T L a )X(γ(t)) = X(aγ(t)).
Ist daher ein Intervall (−ε, ε) im Definitionsbereich der Integralkurve γ mit γ(0) = e
enthalten, dann ist dieses Intervall im Definitionsbereich jeder Integralkurve von X
enthalten. Der Definitionsbereich des Flusses φ von X enthält also die Menge
(−ε, ε) × G. Nach Aufgabe 4(a) in Kapitel 7 ist X vollständig. QED
Als Folgerung aus Lemma 2 und 3 ergibt sich, dass der Zusammenhang ∇ 0 im Sinne
von Abschnitt 7.4 vollständig ist. Seine Exponentialabbildung exp : T G → G ist
also auf ganz T G definiert.
Definitionen. Die Exponentialabbildung der Liegruppe G, exp : T e G → G, ist die
Einschränkung der Exponentialabbildung von ∇ 0 auf den Tangentialraum T e G im
neutralen Element. Eine Einparameteruntergruppe von G ist ein differenzierbarer
Gruppenhomomorphismus (R, +) → G, also eine differenzierbare Kurve c : R → G
mit den Eigenschaften c(s + t) = c(s)c(t) und c(−t) = c(t) −1 .
Satz. Sei c : R → G eine differenzierbare Kurve mit c(0) = e. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent.
(a) c ist eine Einparameteruntergruppe von G.
(b) c ist Integralkurve eines linksinvarianten Vektorfeldes X.
(c) Es gilt c(t) = exp(tv) für einen Vektor v ∈ T e G.
Beweis. Die Äquivalenz von (b) und (c) ergibt sich aus Lemma 2, weil die Geodätischen
des Zusammenhangs ∇ 0 mit c(0) = e genau die Kurven der Gestalt c(t) =
exp(tv) sind. Sei nun c ein Gruppenhomomorphismus wie in (a). Bezeichnet X das
linksinvariante Vektorfeld mit X(e) = ċ(0), dann gilt
ċ(s) = d dt∣ c(s + t) = d 0
dt∣ c(s)c(t)
0
= (T L c(s) )ċ(0) = (T L c(s) )X(e)
= X(c(s)).
Also ist c Integralkurve eines linksinvarianten Vektorfeldes. Ist umgekehrt c Integralkurve
eines linksinvarianten Vektorfeldes X, dann sind sowohl t ↦→ c(s + t) als
auch t ↦→ c(s)c(t) Integralkurven von X, die für t = 0 übereinstimmen. Also gilt
c(s + t) = c(s)c(t), und c ist ein Gruppenhomomorphismus. QED
Beispiel. Sei G = GL(n, R) die Gruppe der invertierbaren n × n–Matrizen, und
sei e = I die Einheitsmatrix. Dann ist G eine offene Teilmenge des Vektorraumes
177

Mat(n, R) der reellen n × n–Matrizen. Man kann daher den Tangentialraum T e G
kanonisch mit Mat(n, R) identifizieren. Die Exponentialabbildung der Liegruppe G
wird damit zu einer Abbildung exp : Mat(n, R) → GL(n, R). Für X ∈ Mat(n, R)
ist die Exponentialreihe
e X =
∞∑
k=0
1
k! Xk = I + X + 1 2 X2 + . . .
für jede Wahl einer Norm auf Mat(n, R) absolut konvergent, und man sieht leicht,
dass c(t) = e tX ein differenzierbarer Homomorphismus (R, +) → G ist mit ċ(0) =
X. Der Satz zeigt nun, dass e tX = exp(tX) ist. Insbesondere gilt
exp(X) = e X . (17.8.2)
Kommentar: Liegruppen und Liealgebren. Sind X und Y linksinvariante
Vektorfelder auf einer Liegruppe G, dann ist auch [X, Y ] linksinvariant, da nach
Aufgabe 5 zu Kapitel 2 gilt
L a∗ [X, Y ] = [L a∗ X, L a∗ Y ] = [X, Y ].
Die Menge G aller linksinvarianten Vektorfelder auf G bildet deshalb bezüglich der
Lieklammer eine Liealgebra, und zwar eine Unteralgebra der Liealgebra aller C ∞ –
Vektorfelder auf G (siehe 7.3). Man nennt G die Liealgebra der Liegruppe G. Da
die Auswertungsabbildung X → X(e) ein Vektorraumisomorphismus von G auf
T e G ist, bezeichnet man oft auch T e G mit der von G durch diesen Isomorphismus
induzierten Lieklammer als die Liealgebra von G. Man erhält, indem man G mit
T e G identifiziert, eine Exponentialabbildung
exp : G → G,
mit deren Hilfe sich Eigenschaften der Gruppe G in Eigenschaften der Liealgebra
G übersetzen lassen. Insbesondere lässt sich die Gruppenoperation in durch exp
definierten Normalkoordinaten beschreiben durch die Liealgebrastruktur auf G ∼ =
T e G mittels der Campbell–Hausdorff–Formel
(
exp(X) exp(Y ) = exp X + Y + 1 2 [X, Y ]
+ 1
12 [X, [X, Y ]] + 1 [Y, [Y, X]]
12
− 1
1
)
[X, [Y, [X, Y ]]] −
48 48 [Y, [X, [X, Y ]]] + . . .
(17.8.3).
Dabei stehen auf der rechten Seite der Gleichung die ersten Glieder einer unendlichen
Reihe, die für alle X und Y aus einer Umgebung von 0 ∈ T e G absolut konvergiert.
Auch die weggelassenen Reihenglieder sind mehrfache Lieklammern von X
und Y , und zwar von mindestens vierter Ordnung in X und Y . Die Korrespondenz
178

zwischen Liegruppen und Liealgebren liefert eines der wichtigsten Hilfsmittel zur
Untersuchung von Liegruppen.
Aufgaben
1. Geodätische. Zeigen Sie, dass die Bilder der Geodätischen in der hyperbolischen
Ebene (M, g) aus Aufgabe 6 in Kapitel 10 genau die Halbkreise und Halbgeraden
sind, die auf der x–Achse senkrecht stehen. Zeigen Sie auch, dass (M, g)
vollständig ist.
2. Liegruppen. Sei G eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren
Gruppenstruktur. Die Gruppenoperation µ : G × G → G sei differenzierbar.
Zeigen Sie, dass dann auch die Inversion ι : G → G differenzierbar, also G eine
Liegruppe ist. Hinweis: Wenden Sie den Satz über implizite Funktionen auf die
Gleichung µ(a, b) = e an.
*3. Homomorphismen. Man kann zeigen, dass jeder stetige Homomorphismus
zwischen Liegruppen sogar differenzierbar (von der Klasse C ∞ ) ist. Wir betrachten
die reelle Achse R als Liegruppe bezüglich der Addition. Zeigen Sie, dass es
unstetige Gruppenisomorphismen von R auf sich selbst gibt.
4. Matrixgruppe. Sei G = GL(n, R) mit Liealgebra G ∼ = T e G ∼ = Mat(n, R).
(a) Sei A ∈ Mat(n, R). Berechnen Sie dasjenige linksinvariante Vektorfeld X auf
G, für welches X(e) = A ist. Beachten Sie dazu, dass G eine offene Teilmenge von
Mat(n, R) = R n×n ist, so dass mit den Standardbasisfeldern ∂/∂x jk von Mat(n, R)
gilt
n∑
X = X jk ∂
∂x jk .
j,k=1
Zu bestimmen sind die Funktionen X jk .
(b) Zeigen Sie, dass die Liealgebrastruktur unter der Identifikation G ∼ = Mat(n, R)
für X, Y ∈ Mat(n, R) gegeben ist durch den Matrixkommutator
[X, Y ] = XY − Y X.
5. Repèrefelder. Sei X 1 , . . . , X n ein Repèrefeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
M.
(a) Zeigen Sie, dass durch Gleichung (17.8.1) ein flacher Zusammenhang ∇ 0 auf M
definiert wird, für dessen Torsionstensor T gilt T (X i , X j ) = −[X i , X j ].
(b) Zeigen Sie, dass die Geodätischen von ∇ 0 genau die Integralkurven der parallelen
Vektorfelder sind.
(c) Zeigen Sie: Ein Diffeomorphismus φ von M auf sich selbst ist genau dann affin
bezüglich ∇ 0 , wenn gilt φ ∗ X i = a k i X k mit einer konstanten Matrix (a k i ).
179

18. Erste Variation der Bogenlänge
Die Geodätischen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M, also die Geodätsichen
des Levi–Civita–Zusammenhanges der Metrik, sind nicht nur Kurven verschwindender
kovarianter Beschleunigung, also in diesem Sinne “geradeste Linien”. Sie lassen
sich auch dadurch charakterisieren, dass sie unter gewissen Einschränkungen die
kürzesten Kurven sind, die ihre Endpunkte verbinden. Dass dabei Einschränkungen
erforderlich sind, zeigt schon das Beispiel der Großkreise auf der Standardsphäre im
R 3 : Abschnitte eines Großkreises, die länger als ein Halbäquator sind, liefern offenbar
nicht die kürzeste Verbindung ihrer Endpunkte. In die genaue Formulierung
(Satz 2 in 18.4) geht der Injektivitätsradius inj(p) ein, den wir bereits in Abschnitt
17.7 eingeführt haben. Dabei wird—über das sogenannte Gauß–Lemma—die erste
Variationsformel verwendet, die, grob gesprochen, beschreibt, wie sich die Länge
einer Kurve bei kleinen Deformationen in erster Ordnung ändert.
In diesem Kapitel ist (M, g) eine n–dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Wir betrachten Geodätische und die Exponentialabbildung exp ihres Levi–Civita–
Zusammenhanges ∇. Mit d bezeichnen wir die durch die Riemannsche Metrik induzierte
Abstandsfunktion (10.4.2). Eine differenzierbare Kurve c : [a, b] → M heißt
proportional zur Bogenlänge parametrisiert, wenn ‖ċ‖ konstant ist. Da der Zusammenhang
∇ mit der Riemannschen Metrik g verträglich ist, ist das insbesondere für
die Geodätischen c(t) = exp(tX) der Fall, und für deren Länge gilt
L(c) =
∫ b
a
‖ċ(t)‖ dt =
∫ b
a
∥ P
c
t,0 ċ(0) ∥ dt = ‖X‖ (b − a).
18.1. Erste Variationsformel. Sei c : [a, b] → M eine differenzierbare Kurve.
Eine Variation von c ist eine differenzierbare Abbildung
H : (−ε, ε) × [a, b] → M
mit H(0, t) = c(t) für alle t ∈ [a, b]. Wie in Abschnitt 16.3 bezeichnen wir mit
∂H/∂s(s, t) ∈ T H(s,t) M den Tangentialvektor der Kurve s ↦→ H(s, t), und definieren
∂H/∂t entsprechend. Dann sind ∂H/∂s und ∂H/∂t Vektorfelder längs der Abbildung
H. Das Vektorfeld V (t) = ∂H/∂s(0, t) längs c nennt man das Variationsvektorfeld
von H.
Lemma. Es gilt
∇ ∂H
∂s ∂t = ∇ ∂H
∂t ∂s . (18.1.1)
Version 30. Mai 2000
180

Beweis. In lokalen Koordinaten (ϕ, U) ist mit H k := ϕ k ◦ H
also nach (15.1.1)
∂H
∂t = ∂Hk ∂
∂t ∂x k ◦H,
∇ ∂H
( ∂ 2
∂s ∂t = H k
∂s∂t + ∂Hi ∂H j ) ∂
∂s ∂t Γ ij k ◦H
∂x k ◦Hk .
Die Behauptung folgt aus der Torsionsfreiheit Γ ij k = Γ ji k . QED
Satz (Erste Variationsformel). Sei H eine Variation der proportional zur Bogenlänge
parametrisierten differenzierbaren Kurve c, und sei L(c s ) die Länge der Kurve
c s (t) = H(s, t). Dann gilt
d
ds ∣ L(c s ) = 1 (
∫ g(V, ċ) ∣ b b
0
‖ċ‖
− a
a
(
g
V, ∇ċ
dt
) )
dt . (18.1.2)
Dabei ist
g(V, ċ) ∣ ∣ b a = g( V (b), ċ(b) ) − g ( V (a), ċ(a) ) .
Beweis. Mit Gleichung (15.5.1) ergibt sich
d
ds L(c s) = d ds
=
und wegen des Lemmas gilt
Speziell für s = 0 ist
∫ b
a
∫ b
a
( ∂H
g
( ∂H
g
∂t , ∂H ) 1/2dt
∂t
∂t , ∂H
∂t
( ∇ ∂H
g
∂s ∂t , ∂H ) ( ∇ ∂H
= g
∂t ∂t ∂s , ∂H )
∂t
= ∂ ( ∂H
∂t g ∂s , ∂H
∂t
) −1/2g ( ∇ ∂H
∂s ∂t , ∂H )
dt,
∂t
) ( ∂H
− g
∂s , ∇ ∂t
∂H
)
.
∂t
∂H
∂H
(0, t) = ċ(t),
∂t
und die Behauptung folgt. QED
(0, t) = V (t),
∂s
18.2. Stückweise differenzierbare Kurven. Wir betrachten nun allgemeiner
stückweise differenzierbare Kurven c : [a, b] → M und ihre Variationen. Die Kurve
181

c sei also stetig, und es gebe eine Unterteilung a = t 0 < t 1 < · · · < t m = b des
Intervalls [a, b] in endlich viele Teilintervalle dergestalt, dass die Einschränkungen
c| [ti,t i+1] differenzierbar sind. Sei H : [−ε, ε) × [a, b] → M eine stückweise differenzierbare
Variation von c in folgendem Sinne: H ist eine stetige Abbildung
mit H(0, t) = c(t), und alle Einschränkungen H| (−ε,ε)×[ti,t i+1] sind differenzierbar.
Dann ist das Variationsvektorfeld V (t) = ∂H/∂s(0, t) ein stückweise differenzierbares
Vektorfeld längs c, und es existieren die links– und rechtsseitigen Ableitungen
ċ(t − i ) = lim
t↑t i
ċ(t)
ċ(t + i ) = lim
t↓t i
ċ(t).
Für die Kurven c s (t) = H(s, t) erhält man
L(c s ) =
m−1
∑
i=0
( ∣ )
L c ∣[ti,t s i+1]
.
Summiert man die ersten Variationsformeln für die Teilkurven c ∣ [ti,t i+1]
ergibt sich:
auf, dann
Satz (Erste Variationsformel). Sei c : [a, b] → M stückweise differenzierbar mit
‖ċ‖ = const > 0, und sei H(s, t) = c s (t) eine stückweise differenzierbare Variation
von c. Dann gilt
d
ds ∣ L(c s ) = 1 (
g ( V (b), ċ(b) ) − g ( V (a), ċ(a) )
s=0
‖ċ‖
∑
g ( V (t i ), ċ(t − i ) − ċ(t+ i )) −
m−1
+
i=1
∫ b
a
(
g
V, ∇ċ
dt
) )
dt .
(18.2.1)
Die gegenüber (18.1.2) hinzugekommenen Terme g ( V (t i ), ċ(t − i ) − ċ(t+ i )) haben eine
einfache anschauliche Deutung: Variation in Richtung des “Knicks” ċ(t − i ) − ċ(t+ i )
vergrößert die Bogenlänge.
Lemma. Sei c : [a, b] → M (stückweise) differenzierbar, und sei V ein (stückweise)
differenzierbares Vektorfeld längs c. Dann existiert eine (stückweise) differenzierbare
Variation H : (−ε, ε) × [a, b] → M der Kurve c mit Variationsvektorfeld
∂H/∂s(0, t) = V (t).
Beweis. Wir definieren H(s, t) = exp c(t) sV (t). Für hinreichend klein gewähltes ε >
0 ist (−ε, ε)×[a, b] im Definitionsbereich von H enthalten, da der Definitionsbereich
von exp eine offene Teilmenge von T M ist, welche die Menge {0} × [a, b] enthält.
QED
182

Korollar 1. Sei c : [a, b] → M eine stückweise differenzierbare, proportional zur
Bogenlänge parametrisierte Kurve. Gilt L(c) = d ( c(a), c(b) ) , dann ist c eine Geodätische,
also insbesondere differenzierbar.
Beweis. Wir betrachten zunächst das Variationsvektorfeld
V (t) = ϕ(t) ∇ċ
dt (t)
mit einer differenzierbaren Funktion ϕ, die an allen Punkten t i (i = 0, . . . , m)
verschwindet und sonst positiv ist. Für die Kurven c s (t) = H(s, t) = exp c(t) sV (t)
gilt dann c s (a) = c(a), c s (b) = c(b), und daher L(c s ) ≥ d(c(a), c(b)) = L(c). Die
Funktion L(c s ) hat also ein Minimum an s = 0, und mit Satz 2 folgt
0 = d ∣ L(c s ) = − 1
ds 0 ‖ċ‖
∫ b
ϕ(t)
∇ċ
2
∥ dt ∥ dt.
Also ist ∇ċ/dt = 0, und alle Teilkurven c| [ti,t i+1] sind Geodätische. Nun wählen wir
ein Variationsvektorfeld V mit V (a) = 0, mit V (b) = 0 und
V (t i ) = ċ(t − i ) − ċ(t+ i ).
Dann zeigt die erste Variationsformel wegen ∇ċ/dt = 0, dass ċ(t − i ) − ċ(t+ i ) = 0
ist. Folglich ist c ∈ C 1 ([a, b], M). Da alle Teilstücke c| [ti,t i+1] Geodätische sind
und Geodätische durch ihren Anfangstangentialvektor eindeutig bestimmt sind, ist
c eine Geodätische, insbesondere differenzierbar von der Klasse C ∞ . QED
Korollar 2. Seien N 1 und N 2 Untermannigfaltigkeiten von M mit positivem Abstand
dist(N 1 , N 2 ) := inf{d(p 1 , p 2 ) | p i ∈ M i }. (18.2.2)
Die stückweise differenzierbare, proportional zur Bogenlänge parametrisierte Kurve
c : [a, b] → M sei eine kürzeste Verbindung von N 1 nach N 2 , es gelte also c(a) ∈ N 1 ,
c(b) ∈ N 2 und L(c) = dist(N 1 , N 2 ). Dann ist c eine Geodätische, die auf N 1 und
N 2 senkrecht steht:
ċ(a) ⊥ T c(a) N 1
a
ċ(b) ⊥ T c(b) N 2 .
Beweis. Wegen L(c) = dist(N 1 , N 2 ) ≤ d(c(a), c(b)) und Korollar 1 ist c eine
Geodätische. Sei nun X 1 ∈ T c(a) N 1 . Wir zeigen, dass g(X 1 , ċ(a)) = 0 ist. Dazu
konstruieren wir eine Variation H von c mit Variationsvektorfeld V und mit den
Eigenschaften V (a) = X 1 , H(s, a) ∈ N 1 und H(s, b) = c(b) für alle s. Insbesondere
ist dann V (b) = 0. Um eine solche Variation H zu erhalten, konstruiert
man zunächst mit Hilfe eines an N 1 angepaßten Koordinatensystems um c(a) ein
Vektorfeld X ∈ V(M) mit kompaktem Träger und mit X(c(a)) = X 1 , dessen Einschränkung
auf N 1 tangentiell an N 1 ist (vergleiche Satz 8.5). Ist Φ der Fluß von
X, dann definiert man H(s, t) = Φ s (c(t)).
183

Wegen der Minimalität von c ist L(c s ) ≥ L(c) für alle s, und wegen ∇ċ/dt = 0
ergibt die erste Variationsformel
0 = d ds∣ L(c s )
0
= 1 ( )
g(V (b), ċ(b)) − g(V (a), ċ(a))
‖ċ‖
= − 1
‖ċ‖ g( X 1 , ċ(a) ) .
Also gilt ċ(a) ⊥ T c(a) N 1 , wie behauptet. QED
18.3. Das Gauß–Lemma. Für X ∈ T p M sei ι X : T p M → T X T p M der kanonische
Isomorphismus aus (17.6.1). Das Skalarprodukt g(p) auf T p M induziert mittels
dieser Isomorphismen ι X ein Skalarprodukt auf jedem der Räume T X T p M, also
eine (flache) Riemannsche Metrik auf T p M. Für die entsprechenden Normen gilt
dann ‖ι X Y ‖ = ‖Y ‖. Die Vektoren der Gestalt λ ι X (X) ∈ T X T p M mit λ ∈ R
bezeichnen wir als radiale Vektoren.
Lemma. Die Ableitung T exp der Exponentialabbildung bildet radiale Vektoren
längentreu nach T M ab:
‖(T exp)ι X (X)‖ = ‖X‖ .
Beweis. Mit c X (t) = exp(tX) ist
∥
‖(T exp)ι X (X)‖ = ∥(T exp) d dt∣ (X + tX) ∥
0 = ∥ d dt∣ exp(X + tX) ∥
0 = ∥ d dt∣ exp(tX) ∥
1
= ‖ċ X (1)‖ = ‖ċ X (0)‖
= ‖X‖.
Gauß–Lemma. Sei X ∈ T p M \{0} im Definitionsbereich der Exponentialabbildung
exp enthalten, und sei v ∈ T X T p M orthogonal zum radialen Vektor w = ι X (X).
Dann ist auch (T exp)v orthogonal zu (T exp)w in T exp(X) M, also
g ( (T exp)v, (T exp)w ) = 0.
184

Beweis. Sei Y (s) eine Kurve in T p M mit Y (0) = X, Ẏ (0) = v und mit konstanter
Norm ‖Y (s)‖ = ‖X‖. Sei weiter H : (−ε, ε) × [0, 1] → M die Variation
H(s, t) = exp p t Y (s). Dabei ist zu beachten, dass für hinreichend kleines ε > 0
alle Vektoren t Y (s) im Definitionsbereich der Exponentialabbildung liegen. Alle
Kurven c s = H(s, ·) sind Geodätische derselben Länge L(c s ) = ‖Y (s)‖ = ‖X‖. Für
das Variationsvektorfeld V (t) = ∂H/∂s(0, t) längs c 0 gilt V (0) = 0 und
V (1) = d ds∣ exp(Y (s)) = (T exp)Ẏ (0) = (T exp)v.
0
Außerdem ist
ċ 0 (1) = d dt∣ exp(tX)
1
= d dt∣ exp((1 + t)X)
0
( d )
= (T exp)
dt∣
∣ (X + tX)
0
= (T exp)w.
Die erste Variationsformel ergibt nun
0 = d ds∣ L(c s )
0
= 1 (
g(V (1), ċ0 (1)) − g(V (0), ċ 0 (0)) )
‖X‖
= 1
‖X‖ g( (T exp)v, (T exp)w ) ,
wie behauptet. QED
18.4. Minimaleigenschaft von Geodätischen. Sei ˜Tp M := T p M ∩ ˜T M der
Definitionsbereich der Exponentialabbildung exp p = exp | TpM im Punkt p.
Satz 1. Sei ˜c : [a, b] → ˜T p M eine stückweise differenzierbare Kurve mit Anfangspunkt
˜c(a) = 0 und Endpunkt X = ˜c(b). Sei c die Kurve c = exp ◦ ˜c in M,
und sei γ : [0, 1] → M die Geodätische γ(t) = exp(tX). Dann gilt
L(γ) = ‖X‖ ≤ L(c).
Falls L(γ) = L(c) gilt und die Ableitung (T exp p )˜c(s) für alle s ∈ [a, b] invertierbar
ist, dann existiert eine stückweise differenzierbare Funktion u : [a, b] → [0, 1] mit
Ableitung u ′ ≥ 0 dergestalt, dass gilt
˜c(s) = u(s)X.
185

Die Kurve c ist also eine monotone Umparametrisierung der Geodätischen γ.
Wir bemerken, dass die Voraussetzung über die Invertierbarkeit von T exp p insbesondere
dann erfüllt ist, wenn das Bild ˜c([a, b]) in einem Ball B p (0, ϱ) ⊆ T p M
enthalten ist, dessen Radius ϱ kleiner ist als der Injektivitätsradius inj(p) an p
(siehe Abschnitt 17.7).
Beweis. Indem man, falls nötig, zu einer Einschränkung von ˜c auf ein Teilintervall
[a 1 , b] ⊆ [a, b] übergeht, kann man annehmen, dass ˜c(s) ≠ 0 ist für alle s > a. Für
s ∈ (a, b] ist dann ˜c(s) = u(s)X(s), wobei die Funktion u(s) := ‖˜c(s)‖ / ‖X‖ positiv
und stückweise differenzierbar ist, und der Vektor
X(s) :=
‖X‖
‖˜c(s)‖ ˜c(s)
konstante Norm ‖X(s)‖ = ‖X‖ hat. Mit Ausnahme der endlich vielen Stellen, an
denen ˜c nicht differenzierbar ist, gilt
ċ(s) = (T exp p )˜c(s) ˙˜c(s).
Nun gilt allgemein für den Tangentialvektor einer Kurve Y (s) in einem Vektorraum
E stets
Ẏ (s) = ι Y (s) Y ′ (s) ∈ T Y (s) E,
wobei Y ′ (s) ∈ E die übliche Ableitung und ι Y (s) den kanonischen Isomorphismus
E ∼ = T Y (s) E bezeichnet. Im vorliegenden Fall ergibt sich mit ˜c(s) = u(s)X(s)
ċ(s) = (T exp)˜c(s) ι˜c(s) ˜c ′ (s)
= (T exp)˜c(s) ι˜c(s)
(
u ′ (s)X(s) + u(s)X ′ (s) )
= (T exp)˜c(s)
(
u ′ (s) ι˜c(s) X(s) + u(s) ι˜c(s) X ′ (s) ) .
Der Vektor ι˜c(s) X(s) ist radial im Sinne von Abschnitt 18.3, und wegen ‖X(s)‖ =
const ist ι˜c(s) X ′ (s) orthogonal zur radialen Richtung. Mit den beiden Lemmata aus
18.3 folgt für s ∈ (a, b]
‖ċ(s)‖ =
(
|u ′ (s)| 2 ‖X(s)‖ 2 + ∥ ∥(T exp p )˜c(s)
(
u(s)ι˜c(s) X ′ (s) )∥ ∥ 2 ) 1/2
≥ |u ′ (s)| ‖X(s)‖
≥ u ′ (s) ‖X‖ .
(∗)
Integration liefert für ε > 0
∫ b
ε
‖ċ(s)‖ ds ≥ (u(b) − u(ε)) ‖X‖ ,
186

und im Grenzwert für ε → 0 folgt L(c) ≥ ‖X‖ = L(γ), wie behauptet.
L(c) = ‖X‖, dann muss in (∗) die Gleichheit gelten, und daher insbesondere
Gilt
(T exp p )˜c(s)
(
u(s)ι˜c(s) X ′ (s) ) = 0.
Aus der Bedingung an die Ableitung (T exp p )˜c(s) und wegen u(s) > 0 ergibt sich,
dass X ′ (s) = 0 ist für alle s. Also ist X(s) = const = X, und damit
˜c(s) = u(s)X.
Die Gleichheit in (∗) ergibt weiter, dass u ′ (s) = |u ′ (s)| ist. Daher ist u ′ ≥ 0, wie
behauptet. QED
Satz 2. Sei γ : [a, b] → M eine Geodätische mit Anfangspunkt p = γ(a) und
Endpunkt q = γ(b). Gilt L(γ) < inj(p), dann ist
L(γ) = d(p, q).
Jede stückweise differenzierbare Kurve c : [α, β] → M mit c(α) = p und c(β) = q
und L(c) = d(p, q) entsteht aus γ durch monotone Umparametrisierung. Es ist also
c(s) = γ(u(s)) für eine stückweise differenzierbare Funktion u : [α, β] → [a, b] mit
u ′ ≥ 0.
Für Tangentialvektoren X ∈ T p M mit Norm ‖X‖ < inj(p) gilt also
d(exp p X, p) = ‖X‖ . (18.4.1)
Insbesondere folgt (Aufgabe 2), dass für Radien r < inj(p) die Abstandssphären
S(p, r) := {q ∈ M | d(p, q) = r} (18.4.2)
differenzierbare Untermannigfaltigkeiten von M sind, und zwar diffeomorphe Bilder
der Sphären
S p (0, r) := {X ∈ T p M | ‖X‖ = r} (18.4.3)
um den Ursprung im Tangentialraum T p M unter exp p .
Kurven γ : [a, b] → M, deren Länge mit dem Abstand ihrer Endpunkte übereinstimmt,
für die also L(γ) = d(γ(a), γ(b)) ist, nennt man Kürzeste. Der Satz besagt
also: Genügend kurze Abschnitte von Geodätischen sind Kürzeste, und zwar bis
auf monotone Umparametrisierungen die einzigen kürzesten Verbindungen ihrer
Endpunkte.
Beweis. Man kann annehmen, dass [a, b] = [0, 1] ist. Dann ist γ(t) = exp(tX) mit
dem Vektor X = ˙γ(0), dessen Norm ‖X‖ = L(γ) < inj(p) erfüllt. Sei c : [α, β] → M
stückweise differenzierbar mit c(α) = p und c(β) = q, und sei ϱ eine Zahl mit
187

L(γ) < ϱ < inj(p). Falls nun c([α, β]) im Bild exp p B p (0, ϱ) enthalten ist, dann
folgen die Behauptungen aus dem vorhergehenden Satz, angewandt auf die Kurve
˜c := ( (exp p )| Bp(0,ϱ)) −1
◦ c.
Falls nicht, dann existiert ein Wert s ∈ (α, β) mit c(s) ∈ exp p ∂B p (0, ϱ). Dabei
bezeichnet ∂B p (0, ϱ) den Rand des Balles B p (0, ϱ), also eine kompakte Menge. Sei
s 0 die kleinste solche Zahl s. Aus Satz 1 folgt dann L(c) ≥ L(c| [α,s0]) ≥ ϱ > L(γ).
QED
Aufgaben
1. Torsionstensor. Zeigen Sie, dass die Verallgemeinerung von Gleichung (18.1.1)
für Zusammenhänge mit nicht notwendig verschwindendem Torsionstensor lautet
∇ ∂H
∂s ∂t − ∇ ∂H
( ∂H
∂t ∂s = T ∂s , ∂H )
.
∂t
2. Abstandssphären. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, und sei p ∈
M. Zeigen Sie, dass für die Abstandssphären
mit Radius r < inj(p) und die Sphären
S(p, r) = {q ∈ M | d(p, q) = r}
S p (0, r) = {X ∈ T p M | ‖X‖ = r}
um den Ursprung im Tangentialraum T p M gilt
exp p (S p (0, r)) = S(p, r).
3. Kurven ohne Umwege. Eine stetige Kurve c : [a, b] → M in einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit heiße eine Kurve ohne Umwege, wenn für alle a ≤ t 1 ≤
t 2 ≤ t 3 ≤ b gilt
d(c(t 1 ), c(t 3 )) = d(c(t 1 ), c(t 2 )) + d(c(t 2 ), c(t 3 )).
Zeigen Sie: Ist c eine Kurve ohne Umwege, dann ist c([a, b]) im Bild einer Geodätischen
enthalten.
Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall d(c(a), c(b)) < inj(c(a)).
188

19. Vollständigkeit, konvexe Umgebungen
Typische Fragen der Riemannschen Geometrie im Großen oder der globalen Riemannschen
Geometrie sind solche nach Zusammenhängen zwischen der Riemannschen
Struktur und der topologischen Gestalt der unterliegenden Mannigfaltigkeit.
Beispiele für entsprechende Sätze haben wir in Kapitel 13 über Eiflächen bereits kennengelernt:
Dort konnte etwa aus der Positivität der Gaußkrümmung geschlossen
werden, dass eine Fläche diffeomorph zur 2–Sphäre ist. Ähnliche Resultate gibt es
im allgemeineren Rahmen der Riemannschen Geometrie.
Nun zeigt bereits die Betrachtung offener Teilmengen des R n , dass auch die “einfachsten”
Riemannschen Mannigfaltigkeiten, nämlich die flachen, von sehr komplizierter
topologischer Struktur sein können. Um zu sinnvollen Fragestellungen zu
gelangen, erlegt man daher den betrachteten Räumen zusätzliche Bedingungen auf,
so wie wir schon bei den Eiflächen deren Kompaktheit vorausgesetzt haben. Die
wichtigste dieser Bedingungen ist die der Vollständigkeit einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
In diesem Kapitel führen wir den Begriff der Vollständigkeit ein und
beweisen den grundlegenden Satz von Hopf und Rinow, der verschiedene Charakterisierungen
der Vollständigkeit zum Gegenstand hat. Anschließend vertiefen wir
unser Studium der Normalkoordinaten im Riemannschen Fall und beweisen die
Existenz konvexer Umgebungen.
In diesem Kapitel bezeichnen weiterhin (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit,
d ihre Abstandfunktion, ∇ ihren Levi–Civita–Zusammenhang, und exp : ˜T M → M
die Exponentialabbildung von ∇ mit ihrem maximalen Definitionsbereich ˜T M.
19.1. Surjektivität der Exponentialabbildung. Für p ∈ M und ϱ > 0 betrachten
wir die Bälle
B p (0, ϱ) = {X ∈ T p M | ‖X‖ < ϱ}
in T p M und
B(p, ϱ) = {q ∈ M | d(p, q) < ϱ}
in M. Da die Geodätische c : [0, 1] → M mit c(t) = exp p tX die Punkte p und
exp p X verbindet und die Länge L(c) = ‖X‖ hat, gilt
und daher ist
d(exp p X, p) ≤ ‖X‖ ,
exp p (B p (0, ϱ) ∩ ˜T M) ⊆ B(p, ϱ).
Diese Inklusion ist im allgemeinen echt, wie man sich am Beispiel offener Teilmengen
M ⊆ R n klarmacht. Der folgende Satz besagt aber, dass zwischen diesen Mengen
Gleichheit besteht, sobald B p (0, ϱ) ⊆ ˜T M ist.
Version 5. Juni 2000
189

Satz. Sei B p (0, ϱ) ⊆ T p M im Definitionsbereich ˜T M der Exponentialabbildung
exp p enthalten. Dann existiert zu jedem Punkt q ∈ B(p, ϱ) eine nach der Bogenlänge
parametrisierte Kürzeste c : [0, l] → M, c(t) = exp p (tX) mit c(l) = q. Insbesondere
ist
exp B p (0, ϱ) = B(p, ϱ). (19.1.1)
Beweis. Sei q ∈ B(p, ϱ), und sei l := d(p, q) der Abstand von p und q. Wir wählen
eine Zahl ε mit 0 < ε < min{inj(p), l}. Da die Abstandssphäre (vergleiche Kapitel
18, Aufgabe 2)
S(p, ε) = exp S p (0, ε) = {r ∈ M | d(r, p) = ε}
kompakt ist, existiert ein Punkt p 1 ∈ S(p, ε) mit minimalem Abstand zu q, also
d(p 1 , q) = min{d(x, q) | x ∈ S(p, ε)}.
Sei X ∈ T p M der Einheitsvektor mit exp(εX) = p 1 , und sei c : [0, l] → M die Geodätische
c(t) = exp p (tX). Dann ist c nach der Bogenlänge parametrisiert. Wir
werden zeigen, dass c(l) = q ist. Wegen L(c) = l = d(p, q) ist dann c eine Kürzeste
von p nach q.
Um c(l) = q zu zeigen, betrachten wir die Menge A ⊆ [0, l] derjenigen t, für die gilt
d(c(t), q) = l − t.
(∗)
Diese Menge ist offenbar abgeschlossen. Sie enthält ε, denn da jede Verbindungskurve
von p nach q die Abstandssphäre S(p, ε) schneiden muss, gilt
l = d(p, q)
= ε + min d(x, q)
x∈S(p,ε)
= ε + d(p 1 , q)
= ε + d(c(ε), q).
Sei t 0 das Maximum von A. Dann ist jedenfalls t 0 ≥ ε. Wir zeigen t 0 = l. Daraus
folgt dann d(c(l), q) = 0, wie behauptet.
Wir nehmen dazu an, t 0 sei kleiner als l. Sei p 2 = c(t 0 ). Dann ist p 2 ≠ q. Wir
wählen eine Zahl δ mit 0 < δ < min{inj(p 2 ), d(p 2 , q)}, und einen Punkt p 3 ∈ S(p 2 , δ)
mit
d(p 3 , q) = min{d(x, q) | x ∈ S(p 2 , δ)}.
Wie vorher folgt d(p 2 , q) = δ + d(p 3 , q). Wegen t 0 ∈ A gilt d(p 2 , q) = l − t 0 , und
daher
d(p 3 , q) = l − t 0 − δ.
(∗∗)
190

Daraus folgt zunächst d(p, p 3 ) ≥ d(p, q) − d(q, p 3 ) = t 0 + δ. Andererseits hat die
stückweise differenzierbare Kurve ˜c : [0, t 0 + δ] → M, bestehend aus c| [0,t0] gefolgt
von der kürzesten Geodätischen σ von p 2 nach p 3 , die Länge t 0 + δ und verbindet p
mit p 3 . Also ist ˜c eine Kürzeste, und damit nach Korollar 1 in Abschnitt 18.3 eine
Geodätische. Folglich ist ˜c = c| [0,t0+δ] und daher c(t 0 + δ) = p 3 . Nun liefert (∗∗)
d(c(t 0 + δ), q) = l − (t 0 + δ).
Also ist t 0 + δ ∈ A, aber das widerspricht der Maximalität von t 0 . QED
19.2. Der Satz von Hopf und Rinow. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (oder
ihre Riemannsche Metrik) heißt vollständig, wenn ihr Levi–Civita–Zusammenhang
vollständig ist, wenn also der Definitionsbereich ˜T M der Exponentialabbildung exp
mit ganz T M übereinstimmt.
Satz. Sei (M, g) eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit.
sind folgende Aussagen äquivalent.
Dann
(a) Es existiert ein Punkt p ∈ M mit der Eigenschaft, dass T p M im Definitionsbereich
von exp enthalten ist.
(b) Jede abgeschlossene beschränkte Teilmenge A ⊆ M ist kompakt (Heine–Borel–
Eigenschaft).
(c) (M, d) ist eine vollständiger metrischer Raum, d.h.
konvergieren.
(d) (M, g) ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Wenn die Aussagen (a)–(d) zutreffen, dann gilt auch
alle Cauchyfolgen in M
(e) Je zwei Punkte von M können durch eine kürzeste Geodätische verbunden werden.
Insbesondere ist exp(T p M) = M für jeden Punkt p ∈ M.
Bemerkungen. (i) Kompakte metrische Räume sind vollständig. Aus dem Satz
folgt daher, dass auf einer kompakten Mannigfaltigkeit jede Riemannsche Metrik
vollständig ist.
(ii) Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten N ⊆ M vollständiger Riemanscher
Mannigfaltigkeiten M sind bezüglich der induzierten Riemannschen Metrik selbst
vollständig. Das liegt daran, dass sich die Heine Borel–Eigenschaft von M auf N
überträgt: Für die Abstandsfunktion d N auf N gilt offenbar d N (p, q) ≥ d(p, q) für
alle p, q ∈ N. Ist daher A ⊆ N abgeschlossen und bezüglich d N beschränkt, so ist
A auch in M abgeschlossen und bezüglich d beschränkt, also kompakt.
(iii) Das Beispiel der offenen Einheitskreisscheibe B(0, 1) ⊆ R 2 mit der Standardmetrik
zeigt, dass Eigenschaft (e) des Satzes nicht die anderen Eigenschaften impliziert.
Entfernt man aus der Standardsphäre S 2 eine sphärische Kreisscheibe,
deren Radius kleiner ist als der einer Hemisphäre, dann erhält man eine Riemannsche
Mannigfaltigkeit mit folgender Eigenschaft: Je zwei Punkte können durch
eine Geodätische verbunden werden, aber nicht notwendig durch eine Kürzeste.
191

(iv) Die Aussagen des Satzes lassen sich nicht ohne weiteres auf andere Zusammenhänge
übertragen. Sei etwa ∇ 0 der kanonische Zusammenhang einer Liegruppe
G. Nach Abschnitt 17.8 ist ∇ 0 vollständig. Dennoch ist die Exponentialabbildung
exp : T e G → G auch für zusammenhängende G nicht immer surjektiv. Sei etwa
G = GL + (2, R) = {a ∈ GL(2, R) | det(a) > 0}.
Dann ist G zusammenhängend, aber der Punkt
( )
−2 0
a =
0 −1
ist nicht im Bild von exp e enthalten. Wäre nämlich a = exp X, dann hätte man
a = exp( 1 2 X) exp( 1 2 X) = b2 mit einem b ∈ GL(2, R), woraus man leicht einen
Widerspruch herleitet. Andererseits zeigt man mit Hilfe der Jordanschen Normalform
unschwer, dass die Exponentialabbildung der Liegruppe GL(n, C) surjektiv
ist.
Wir kommen zum Beweis des Satzes.
(d)⇒(e) Da M wegzusammenhängend ist, gilt M = ⋃ ϱ>0
B(p, ϱ). Die Behauptung
folgt aus dem Satz in 19.1.
(a)⇒(b) Sei A ⊆ M abgeschlossen und beschränkt. Da A beschränkt ist, gilt
A ⊆ B(p, ϱ) für hinreichend große Radien ϱ. Und da A abgeschlossen ist, ist auch
das Urbild exp −1
p (A) abgeschlossen in T pM. Folglich ist à := exp−1 p (A) ∩ ¯B(0, ϱ)
eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge von T p M, also kompakt. Nach 19.1
ist exp(Ã) = A, also ist A als Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen
Abbildung ebenfalls kompakt.
(b)⇒(c) Jede Cauchyfolge (p n ) n∈N ist beschränkt. Folglich ist auch der Abschluss
der Menge {p n | n ∈ N} beschränkt und zugleich abgeschlossen, also nach (b) kompakt.
Daher besitzt (p n ) eine konvergente Teilfolge. Da Cauchyfolgen höchstens
einen Häufungspunkt haben können, ist die Folge (p n ) selbst konvergent.
(c)⇒(d) Sei X ∈ T M, und sei J X ⊆ R das maximale Definitionsintervall der Geodätischen
c(t) = exp tX. Wir zeigen J X = R. Wegen J aX = aJ X (siehe 17.2) kann
man annehmen, dass ‖X‖ = 1 ist. Dann ist c nach der Bogenlänge parametrisiert.
Wir führen die Annahme eines endlichen Supremums t 0 := sup(J X ) < ∞ zu einem
Widerspruch. Sei dazu t j ∈ J X eine Folge mit lim j→∞ t j = t 0 . Dann gilt
d ( c(t j ), c(t k ) ) ≤ L ( c| [tj,t k ])
= |tj − t k | .
Also ist c(t j ) eine Cauchyfolge in M. Sei q ihr Grenzwert, und sei ε > 0 so klein
gewählt, dass der abgeschlossene Ball B := ¯B(q, ε) kompakt ist. Nach 19.1 ist das
der Fall, wenn für ein ε ′ > ε der Ball B(0, ε ′ ) ⊆ T q M im Definitionsbereich von
exp q enthalten ist. Indem man ε nötigenfalls verkleinert, kann man annehmen, dass
die Menge
{X ∈ T M | π(X) ∈ B und ‖X‖ < ε}
192

in ˜T M enthalten ist. Geodätische γ mit γ(0) ∈ B und ‖ ˙γ(0)‖ = 1 sind also
zumindest auf dem Intervall (−ε, ε) definiert. Wir wählen t ′ mit t 0 − ε 2 < t′ < t 0 .
Dann ist c(t ′ ) ∈ B, weil
d(c(t ′ ), q) = lim
i→∞
d(c(t ′ ), c(t i )) ≤ lim
i→∞
|t ′ − t i | < ε/2.
Sei γ : (−ε, ε) → M die Geodätische mit ˙γ(0) = ċ(t ′ ). Dann ist die Kurve
{
c(t), falls 0 ≤ t ≤ t
′
˜c(t) =
γ(t − t ′ ), falls t ′ ≤ t < t ′ + ε
eine auf [0, t ′ +ε) definierte Fortsetzung von c. Es folgt t ′ + ε 2 ∈ J X, im Widerspruch
zu t ′ + ε 2 > t 0 = sup J X .
(d)⇒(a) Offensichtlich. QED
19.3. Konvexe Umgebungen. Da der Torsionstensor des Levi–Civita–Zusammenhanges
verschwindet, ist die Hessesche ∇df jeder Funktion f ∈ C ∞ (M) (siehe
14.8) ein symmetrisches (2, 0)–Tensorfeld. Die Funktion f heißt konvex auf M, wenn
(∇df)(p) für jeden Punkt p ∈ M positiv semidefinit ist. Sie heißt streng konvex,
wenn ∇df überall positiv definit ist.
Lemma 1. Eine Funktion f ∈ C ∞ (M) ist genau dann streng konvex, wenn für
jede nichtkonstante Geodätische c in M gilt
d 2
(f ◦c) > 0.
dt2 Beweis. Zunächst ist die erste Ableitung (d/dt)f(c(t)) = df(ċ(t)). Nun verwenden
wir die kovariante Ableitung von Tensorfeldern längs Kurven aus 15.4:
Die Behauptung folgt. QED
d 2
dt 2 f(c(t)) = ∇ ( )
df(ċ(t))
dt
= ∇(df) ( ∇ċ
)
(ċ(t)) + df
dt
dt (t)
= ( ∇ċ(t) df ) (ċ(t))
= (∇df)(ċ(t), ċ(t)).
Riemannsche Normalkoordinaten mit Zentrum p ∈ M sind lokale Koordinatensysteme
ϕ : B(p, ϱ) → R n der Form
( ∣ −1
ϕ = A ◦ exp ∣Bp(0,ϱ)) p (19.3.1)
193

mit einer linearen Isometrie A : T p M → R n . Dabei ist der Radius ϱ höchstens
gleich dem Injektivitätsradius inj(p) der Exponentialabbildung im Punkt p, und
der Definitionsbereich von ϕ ist nach (19.1.1) der Ball B(p, ϱ).
Lemma 2. Sei p ∈ M und sei ϱ = inj(p). Dann ist die Funktion f(q) = (d(p, q)) 2
differenzierbar auf dem Ball B(p, ϱ). Es existiert ein Radius ϱ 1 ≤ inj(p) dergestalt,
dass f auf B(p, ϱ 1 ) streng konvex ist.
Für ϱ 1 lassen sich explizite Werte angeben, in die ausser inj(p) die Krümmungseigenschaften
der Riemannschen Metrik eingehen. Wir werden später auf diesen
Punkt zurückkommen.
Beweis. Seien ϕ : B(p, ϱ) → R n Riemannsche Normalkoordinaten wie in (19.3.1).
In diesen Koordinaten gilt nach (18.4.2)
f ◦ ϕ −1 (x) = ‖x‖ 2 = ∑ n
i=1 (xi ) 2 . (19.3.2)
Also ist f differenzierbar auf B(p, ϱ). Mit Gleichung (14.8.3) ergibt sich
∇df = (∂ i ∂ j f − Γ ij k ∂ k f) dx i ⊗ dx j
= 2(δ ij − Γ ij k x k ) dx i ⊗ dx j .
Die Christoffelsymbole sind stetige Funktionen, also insbesondere beschränkt auf
kompakten Umgebungen von p. Der Term Γ ij k x k konvergiert deshalb mit x gleichmäßig
gegen Null. Für hinreichend klein gewählte Radien ϱ 1 ≤ inj(p) ist daher die
Hessesche ∇df positiv definit auf B(p, ϱ 1 ). QED
Eine Teilmenge A ⊆ M heißt stark konvex, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Für je zwei Punkte p, q ∈ A existiert genau eine Geodätische c : [0, l] → M in M
mit c(0) = p, c(l) = q, ‖ċ‖ = 1 und L(c) = d(p, q), und das Bild c([0, l]) dieser
Geodätischen ist in A enthalten.
Etwas ungenau formuliert bedeutet diese Bedingung: Je zwei Punkte in A können
durch genau eine kürzeste Geodätische in M verbunden werden, und diese liegt
in A. Wir weisen darauf hin, dass in der Literatur inäquivalente Definitionen des
Begriffes des starken Konvexität existieren.
Satz 1. Zu jedem Punkt p ∈ M existiert eine Zahl ϱ 0 > 0 mit der Eigenschaft,
dass für jeden Radius ϱ ≤ ϱ 0 der Ball B(p, ϱ) stark konvex ist.
Beweis. Nach Satz 2 in Abschnitt 17.7 existieren Zahlen ϱ 2 und δ > 0 mit folgenden
Eigenschaften: Für alle q ∈ B(p, ϱ 2 ) ist der Injektivitätsradius inj(q) ≥ δ, und zu je
zwei Punkten q, r ∈ B(p, ϱ 2 ) existiert genau ein Vektor X ∈ T q M mit ‖X‖ < δ und
exp q (X) = r. Wegen δ ≤ inj(q) und Gleichung (18.4.1) ist dann ‖X‖ = d(q, r) <
2ϱ 2 . Wir erhalten damit als vorläufiges Resultat:
194

Zu jedem Punkt p ∈ M existiert ein Radius ϱ 2 > 0 dergestalt, dass
je zwei Punkte q, r ∈ B(p, ϱ 2 ) durch genau eine Kürzeste c in M
miteinander verbunden werden können.
Mit ϱ 2 hat offensichtlich auch jede Zahl 0 < ϱ ≤ ϱ 2 diese Eigenschaft. Es bleibt
zu zeigen, dass nach eventueller Verkleinerung von ϱ 2 die Kürzesten c ganz im Ball
B(p, ϱ 2 ) verlaufen.
Sei ϱ 1 > 0 ein Radius wie in Lemma 2, so dass die quadrierte Abstandsfunktion
f(q) = (d(p, q)) 2 auf B(p, ϱ 1 ) streng konvex ist. Wir zeigen, dass die Zahl
ϱ 0 := min{ϱ 1 /3, ϱ 2 }
die im Satz behauptete Eigenschaft hat. Sei dazu ϱ ≤ ϱ 0 . Dann können je zwei
Punkte q, r ∈ B(p, ϱ) durch eine kürzeste Geodätische c : [a, b] → M verbunden
werden. Wegen L(c) = d(q, r) < 2ϱ und d(p, q) < ϱ ist c ganz im Ball B(0, 3ϱ) ⊆
B(0, ϱ 1 ) enthalten. Mit Lemma 1 folgt
d 2
f(c(t)) > 0.
dt2 Die Funktion f(c(t)) = (d(c(t), p)) 2 nimmt daher ihr Maximum in einem der Randpunkte
a oder b an. In diesen Punkten hat sie Werte < ϱ 2 . Also ist d(c(t), p) < ϱ
auf [a, b], und damit c in B(p, ϱ) enthalten. QED
Die folgende Erweiterung von Satz 1 besagt, dass sich ein Radius ρ 0 wie in Satz 1
für alle Punkte einer kompakten Teilmenge von M gemeinsam wählen lässt.
Satz 2. Zu jeder kompakten Teilmenge A ⊆ M existiert eine Zahl ϱ 0 > 0 mit der
Eigenschaft, dass für jeden Radius ϱ ≤ ϱ 0 und jeden Punkt p ∈ A der Ball B(p, ϱ)
stark konvex ist.
Der Beweis folgt dem von Satz 1. Dabei ist zu überprüfen, dass sich die Zahlen ϱ 1 , ϱ 2
und δ für alle Punkte p ∈ A gemeinsam wählen lassen. Für ϱ 2 und δ ergibt sich das
ohne weiteres aus 17.7. Für den Radius ρ 1 aus Lemma 2 benötigt man gleichmässige
obere Schranken für Ausdrücke Γ ij k x k , und zwar mit Christoffelsymbolen, die zu
verschiedenen Normalkoordinatensystemen mit Zentren p ∈ A gehören. Auf offenen
Teilmengen U von M, auf welchen ein differenzierbares orthonormales Repèrefeld
X 1 , . . . , X n existiert, kann man wie folgt vorgehen: Für p ∈ U sei A p : T p M →
R n die lineare Isometrie, welchen X 1 (p), . . . , X n (p) in die Standardbasis des R n
abbildet. Dann hat man Normalkoordinaten
ϕ p = A p ◦ (exp p | Bp(0,δ)) −1
mit Zentrum p. Seien Γ ij k (p, q) die Christoffelsymbole zur Karte ϕ p , ausgewertet
an der Stelle q. Dann ist die Funktion (p, q) ↦→ Γ ij k (p, q) differenzierbar auf ihrem
195

Definitionsbereich, insbesondere also beschränkt auf kompakten Teilen. Man erhält
die gewünschten Schranken auf U, und damit auch auf jedem Kompaktum.
Aufgaben
1. Starke Konvexität. Für welche Radien ϱ sind Abstandsbälle B(p, ϱ) auf einem
Kreiszylinder oder einem Kreiskegel mit Öffnungswinkel α im R3 stark konvex?
2. Vollständige Metriken. Zeigen Sie, dass auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit
vollständige Riemannsche Metriken existieren. Hinweis: Einbettungssatz
von Whitney.
3. Konvexe Bälle. Führen Sie die Einzelheiten des skizzierten Beweises von Satz
2 aus.
4. Beschränkte Vektorfelder. Ein Vektorfeld X auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g) heißt beschränkt, wenn die Funktion ‖X‖ = g(X, X) 1/2 auf M
beschränkt ist. Zeigen Sie, dass eine Riemannschen Mannigfaltigkeit M genau dann
vollständig ist, wenn jedes beschränkte Vektorfeld auf M vollständig ist.
5. Divergente Kurven. Eine Kurve c : [0, ∞) → M heisse divergent, wenn sie
eine eigentliche Abbildung ist (Kapitel 4, Aufgabe 4), wenn also das Urbild c −1 (A)
jeder kompakten Teilmenge A ⊆ M kompakt ist. Zeigen Sie: Eine Riemannsche
Mannigfaltigkeit M ist genau dann vollständig, wenn jede divergente differenzierbare
Kurve in M unendliche Länge hat.
196

20. Krümmung Riemannscher Mannigfaltigkeiten
Als Krümmungstensor R einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) bezeichnet
man den Krümmungstensor ihres Levi–Civita–Zusammenhanges. Er besitzt Symmetrieeigenschaften,
die zur Folge haben, dass R sich vollständig durch eine reellwertige
Funktion beschreiben lässt, die Schnittkrümmung K von (M, g). Diese
Funktion K, welche die Gaußkrümmung einer Fläche im R 3 verallgemeinert, ist
allerdings nicht auf M selbst definiert, sondern auf der Menge aller zweidimensionalen
Untervektorräume sämtlicher Tangentialräume T p M. Durch Spurbildung
erhält man aus dem Krümmungstensor ein symmetrisches (2, 0)–Tensorfeld Ric,
den Riccitensor, welcher zuerst durch sein Auftreten in den Feldgleichungen der
Gravitation Prominenz erlangt hat. Durch erneute Kontraktion entsteht aus Ric
die Skalarkrümmung.
Nach der Behandlung dieser allgemeinen Begriffe gehen wir auf die zweite Fundamentalform
und die Krümmung von Untermannigfaltigkeiten Riemannscher Mannigfaltigkeiten
ein. Indem wir die Resultate auf den Fall von Hyperflächen, also
Untermannigfaltigkeiten der Kodimension eins, spezialisieren, schließen wir an die
Krümmungstheorie der Flächen aus Kapitel 12 an.
Im Folgenden ist (M, g) eine n–dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, ∇ ihr
Levi–Civita–Zusammenhang, und R der Krümmungstensor von ∇. Wir schreiben
gelegentlich 〈X, Y 〉 = g(X, Y ) für das durch die Riemannsche Metrik gegebene
Skalarprodukt von Vektoren oder Vektorfeldern X und Y .
20.1. Krümmungsidentitäten. Sei R der Krümmungstensor der Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Dann gilt für alle Vektorfelder X, Y, Z ∈ V(M)
(a)
R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z
(b) g(R(X, Y )Z, W ) = −g(R(X, Y )W, Z)
(c) g(R(X, Y )Z, W ) = g(R(Z, W )X, Y )
(d) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0
(e) (∇ X R)(Y, Z) + (∇ Y R)(Z, X) + (∇ Z R)(X, Y ) = 0.
Dabei ist, entsprechend der Produktregel für ∇ X , die Abbildung (∇ X R)(Y, Z) :
V(M) → V(M) gegeben durch
(∇ X R)(Y, Z)W =∇ X (R(Y, Z)W ) − R(∇ X Y, Z)W
− R(Y, ∇ X Z)W − R(Y, Z)∇ X W.
Die Identität (a) gilt allgemeiner für beliebige Zusammenhänge, und (b) für solche,
die mit g verträglich sind. Beziehungen (d) und (e) gelten für beliebige torsionsfreie
Version 26. Juni 2000
197

Zusammenhänge, und (c) für den Levi–Civita–Zusammenhang der Riemannschen
Metrik. Gleichung (d) heißt die erste, (e) die zweite Bianchi–Identität. Die beiden
Bianchi–Identitäten, die wir hier nur im Nachhinein verifizieren, erscheinen auf
natürliche Weise bei der Behandlung von Zusammenhängen im Kalkül der Differentialformen.
Beweis. (a) folgt sofort aus der Definition
R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [X,Y ] Z,
und (b) wurde in (16.4.4) bewiesen. Den Nachweis von (d) und (e) vereinfacht sich
mit folgendem
Standardargument: Um die Identität zweier Tensoren nachzuweisen,
genügt es, zu zeigen, dass ihre Komponenten im Zentrum von Normalkoordinaten
übereinstimmen.
Zum Beweis von (e) sei etwa p ∈ M. Wir wählen Normalkoordinaten mit Zentrum
p. Da ∇ torsionsfrei ist, gilt Γ ij k (p) = 0, und für die Komponenten von ∇R in p
folgt nach Gleichung (14.7.3)
R ijk
l ,m (p) = ∂ m R ijk l (p).
Zu zeigen ist, dass die Komponenten der linken Seite von (e) verschwinden, dass
also gilt
R ijl
m ,k + R jkl
m ,i + R kil
m ,j = 0. (20.1.1)
Im Punkt p ist mit (16.2.2)
R ijl
m
,k = ∂ k R ijl
m
= ∂ k (∂ i Γ jl m − ∂ j Γ il m + Γ jl q Γ iq m − Γ il q Γ jq m )
= ∂ k ∂ i Γ jl m − ∂ k ∂ j Γ il m .
Die Behauptung (20.1.1) folgt ohne Mühe. Schließlich ergibt sich (c) aus (a), (b)
und (d). Wir schreiben dazu abkürzend XY ZW := g(R(X, Y )Z, W ). Nach der
ersten Bianchi–Identität (d) gilt
XY ZW + Y ZXW + ZXY W = 0
Y ZW X + ZW Y X + W Y ZX = 0
ZW XY + W XZY + XZW Y = 0
W XY Z + XY W Z + Y W XZ = 0.
Addition dieser Gleichungen liefert ZXY W + Y W XZ = 0 und damit (c). QED
20.2. Ergänzungen zur Tensorrechnung. Sei zunächst ∇ ein beliebiger Zusammenhang
auf M. Bereits in 14.6 haben wir die kovariante Ableitung von Tensorfeldern
kennengelernt. Ist zum Beispiel A ein (2, 1)–Tensorfeld, dann ist ∇A ein
(3, 1)–Tensorfeld mit Komponenten
A i1i 2
j ,k = ∂ k A i1i 2 j − Γ ki1 l A li2 j − Γ ki2 l A i1l j + Γ kl j A i1i 2 l .
198

Ist insbesondere ∇ torsionsfrei, dann gilt im Zentrum p von Normalkoordinaten
Γ ij k (p) = 0, und die kovariante Ableitung reduziert sich in p auf die gewöhnliche
Ableitung der Komponentenfunktionen. Die Produktregel
lautet in Komponenten
∇ X (A ⊗ B) = (∇ X A) ⊗ B + A ⊗ (∇ X B)
(A i1i 2
j 1
B i3
j 2
) ,k = A i1i 2
j 1,k
B i3
j 2
+ A i1i 2
j 1
B i3
j 2,k
und da alle Kontraktionen mit kovarianter Ableitung vertauschen, kann man unzweideutig
A ij
i
,k
für die Komponenten des Tensorfeldes ∇C1 1A = C1 1∇A schreiben. Schließlich bemerken
wir noch, dass Symmetrien unter kovarianter Ableitung erhalten bleiben:
A ij = A ji impliziert A ij,k = A ji,k , weil mit dem Tensor B ij = A ij − A ji auch die
kovariante Ableitung B ij,k verschwindet.
Sei nun g eine Riemannsche Metrik. Das Skalarprodukt g(p) auf T p M induziert
ein Skalarprodukt ǧ(p) auf dem Dualraum Tp ∗ M, das durch folgende Eigenschaft
eindeutig bestimmt ist: Ist e 1 , . . . , e n eine Orthonormalbasis von T p M, dann ist die
duale Basis e ∗1 , . . . , e ∗n eine Orthonormalbasis von Tp ∗ M bezüglich ǧ(p).
Lemma. (a) Ist in lokalen Koordinaten g = g ij dx i ⊗ dx j , dann gilt ǧ = g ij ∂ i ⊗ ∂ j ,
wobei g ij die zu g ij inverse Matrix ist.
(b) Gilt ∇g = 0, dann ist auch ∇ǧ = 0.
Beweis. (a) Seien ǧ ij die Komponenten von ǧ. Wir zeigen g ij ǧ jk = δ i k . Zu diesem
Zweck betrachten wir die (unabhängig vom Koordinatensystem wohldefinierten)
Tensorfelder A = g ij ǧ jk dx i ⊗ ∂ k und E = δ i k dx i ⊗ ∂ k und zeigen, dass A = E
ist. Sei dazu p ∈ M. Dann existiert ein Koordinatensystem an p, so dass für die
entsprechenden Komponenten von g gilt g jk (p) = δ jk . Dann ist offensichtlich auch
ǧ jk = δ jk , und es folgt A(p) = E(p).
(b) Nach der Produktregel gilt
0 = (g ij g jk ) ,l
= g ij ,l g jk + g ij g jk,l
= g ij ,l g jk .
Multiplikation beider Seiten mit g km mit anschließender Summation über k ergibt
0 = g im ,l, und mit (a) folgt ǧ im ,l = 0. QED
Sei nun etwa
A = A ij k dx i ⊗ dx j ⊗ ∂ k
199

ein (2, 1)–Tensorfeld auf (M, g). Dann sind
C 2 1(ǧ ⊗ A) = g il A lj k ∂ i ⊗ dx j ⊗ ∂ k
C 1 1(g ⊗ A) = g kl A ij l dx i ⊗ dx j ⊗ dx k
ebenfalls Tensorfelder, deren Komponenten man kurz mit
A i j k := g il A lj
k
A ijk := g kl A ij
l
und
(20.2.1)
bezeichnet. Solche Operationen nennt man das Herauf- bzw. Herunterziehen eines
Index. Man beachte, dass g ij selbst durch zweimaliges Heraufziehen eines Index
aus g ij entsteht—die Notation ist insofern konsistent, wird aber unbrauchbar, wenn
nicht klar ist, welche Riemannsche Metrik g verwendet wird. Im Zweifelsfall wird
man daher auf Abkürzungen wie in (20.2.1) verzichten.
Bemerkung. Gilt ∇g = 0, dann vertauscht das Herauf- und Herunterziehen von
Indizes mit der kovarianten Ableitung. Denn es ist zum Beispiel
∇(C1 2 (ǧ ⊗ A)) = C2 1 ∇(ǧ ⊗ A) = C2 1 (ǧ ⊗ ∇A)
weil auch ∇ǧ = 0 ist. Falls ∇g ≠ 0 ist, dann ist eine Schreibweise wie A i j k ,l
zweideutig, weil nicht klar ist, ob zuerst kovariant abgeleitet und dann der Index
heraufgezogen werden soll oder umgekehrt, ob also g mi A mj
k ,l gemeint ist oder
(g mi A mj k ) ,l . Aus diesem Grund werden wir diese Notation in Zukunft nur bei Rechnungen
verwenden, in denen ausschließlich der Levi–Civita–Zusammenhang von g
vorkommt.
Beispiele: Gradient, Divergenz, Laplaceoperator. (a) Der Gradient gradf ∈
V(M) einer Funktion f ist dadurch charakterisiert, dass für alle Vektorfelder X auf
M gilt
g(grad f, X) = (df)(X). (20.2.2)
In lokalen Koordinaten ist gradf = f , k ∂ k wobei die f , k aus den Komponenten f ,k =
∂ k f des Differentials df durch Heraufziehen des Index entstehen:
f , k = g jk f ,j
(b) Die Spur der zweiten kovarianten Ableitung von Funktionen f ∈ C ∞ (M) liefert
den Laplace–Operator
∆f = −Spur g (∇df) = −g jk f ,jk . (20.2.3)
Bezeichnet
div(X) = Spur ∇X = X k ,k (20.2.4)
200

die Divergenz eines Vektorfeldes X, dann gilt offenbar
∆f = −f ,k k = −f ,
k k = −div gradf. (20.2.5)
Wir besprechen abschließend das Skalarprodukt von Tensoren auf einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit. Die Metrik g(p) induziert ein Skalarprodukt auf dem Raum
T s
r (T pM) = ⊗ r
T
∗
p M ⊗ ⊗ s
Tp M,
welches durch folgende Eigenschaft eindeutig bestimmt ist: Ist e 1 , . . . , e n eine Orthonormalbasis
von T p M und ist e ∗1 , . . . , e ∗n die duale Basis von Tp ∗ M, dann bilden
die Tensoren
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e i1 ⊗ · · · ⊗ e is
eine Orthonormalbasis von T s
r (M). Man sieht leicht, dass das Skalarprodukt zweier
(r, s)–Tensoren A und B durch ihre Komponenten bezüglich lokaler Koordinaten
gegeben ist durch
〈A, B〉 = A i1···i r
j 1···j s
B i1···ir j 1···j s
= A i1···i r
j 1···j s
B k1···k r
l 1···l s
g i1k1 · · · g irkr g j1l 1
· · · g jsl s
.
(20.2.6)
Bezüglich dieser Skalarprodukte ist das Heben und Senken von Indizes isometrisch,
erhält also die Norm eines Tensors. Insbesondere gilt für Differential und Gradient
einer Funktion ‖df‖ = ‖gradf‖ = f ,i f , i .
20.3. Riccitensor und Skalarkrümmung. Sei R der Krümmungstensor von
(M, g). Dann heißt das aus R durch Kontraktion über den ersten unteren und den
oberen Index entstehende symmetrische (2, 0)–Tensorfeld Ric = C1 1 R der Riccitensor
der Riemannschen Mannigfaltigkeit. Es gilt also
Ric(X, Y ) = Spur(R(·, X)Y ), (20.3.1)
und in lokalen Koordinaten ist Ric = R ij dx i ⊗ dx j mit den Komponenten
R ij = R kij k . (20.3.2)
Man sieht mit Hilfe der Krümmungsidentitäten aus 20.1 leicht ein, dass die anderen
möglichen Kontraktionen von R entweder Null oder bis auf ein Vorzeichen ebenfalls
Ric ergeben. Durch Spurbildung bezüglich der Metrik g erhält man aus Ric eine
Funktion
scal = Spur g Ric = g ij R ij . (20.3.3)
Dabei sind g ij wie in 20.2 die Koeffizienten der zu g ij inversen Matrix. Die Funktion
scal heißt die Skalarkrümmung von (M, g).
201

Ist speziell g die erste Fundamentalform einer Fläche M ⊆ R 3 , dann zeigt Gleichung
(12.7.5) für die Gaußkrümmung K, dass der Riccitensor Ric = Kg ist und scal =
2K.
Lemma. (a) Für die kovariante Ableitung des Riccitensors gilt
R ij, j = 1 2 scal ,i. (20.3.4)
(b) Ist Ric = ϱ g mit einer Funktion ϱ auf M, dann gilt scal = nϱ. Ist außerdem
die Dimension n ≥ 3 und ist M zusammenhängend, dann ist ϱ konstant.
Riemannsche Metriken g, für die Ric = ϱ g gilt mit einer Konstanten ϱ, heißen Einsteinmetriken.
Es ist nicht bekannt, ob auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit
der Dimension ≥ 5 solche Metriken existieren.
Beweis. Die zweite Bianchi–Identität 20.1(e) lautet in lokalen Koordinaten
Man erhält
R ijk
m ,l + R jlk
m ,i + R lik
m ,j = 0.
scal ,l = g jk R jk,l
und damit (a). Ist Ric = ϱ g, dann gilt
= g jk R ijk
i
,l
= −g jk (R jlk
i ,i + R lik
i ,j )
= −g jk g im (R jlkm,i + R likm,j )
= g jk g im (R jlmk,i + R ilkm,j )
= g im R lm,i + g jk R lk,j
= 2R lk,
k
scal = g jk R jk = g jk ϱ g jk = nϱ.
Daraus folgt scal ,i = n ϱ ,i . Andererseits impliziert (a)
scal ,i = 2R ij , j = 2g kj R ij,k = 2g kj ϱ ,k g ij
= 2ϱ ,i .
Insgesamt folgt (n − 2)ϱ ,i = 0, und daraus dϱ = 0, falls n ≥ 3 ist. Also ist ϱ
konstant. QED
20.4. Kommentar: Gravitation. Eine Pseudo–Riemannsche Metrik auf einer
Mannigfaltigkeit M ist ein differenzierbares (2, 0)–Tensorfeld g mit der Eigenschaft,
dass für jeden Punkt p ∈ M die Bilinearform g(p) auf T p M symmetrisch, nicht
202

ausgeartet und von konstantem Index ist. Dabei ist der Index einer symmetrischen
Bilinearform die maximale Dimension eines Untervektorraumes, auf dem sie negativ
definit ist. Pseudo–Riemannsche Metriken vom Index Null sind also Riemannsche
Metriken, und solche vom Index 1 nennt man Lorentzmetriken. Pseudo–
Riemannsche Mannigfaltigkeiten (M, g) sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit
einer pseudo–Riemannschen Metrik, und solche mit einer Lorentzmetrik nennt man
Lorentzmannigfaltigkeiten. Wie in 14.9 ist jeder Pseudo–Riemannschen Metrik g
ein eindeutig bestimmter torsionsfreier Zusammenhang mit ∇g = 0 zugeordnet, der
Levi–Civita–Zusammenhang von g.
Die allgemeine Relativitätstheorie beschreibt das Universum, genauer die Raumzeit,
als eine zusammenhängende, vierdimensionale Lorentzmannigfaltigkeit (M, g).
Frei im “Gravitationsfeld” fallende Partikel bewegen sich auf Weltlinien in M, die
zeitartige Geodätische von ∇ sind—das sind Geodätische c mit g(ċ, ċ) < 0. Diese
Weltlinien—etwa von Satelliten in einer Erdumlaufbahn —sind also “Geraden” im
Sinne der Lorentzgeometrie.
Die Lorentzmetrik hängt mit dem sogenannten Energie–Impulstensor T durch die
Einsteinschen Gleichungen
Ric − 1 scal · g = 8πT (20.4.1)
2
zusammen. Im leeren Raum (oder weit entfernt von Materie) ist insbesondere T = 0,
und der Vergleich mit Teil (b) des Lemmas in 20.3 liefert Ric = 0. Teil (a) dieses
Lemmas liefert
T ij, j = 0.
eine Aussage, die sich als Energieerhaltungssatz interpretieren lässt.
20.5. Schnittkrümmung. Sei E ≤ T p M ein zweidimensionaler Untervektorraum
des Tangentialraumes in p. Bilden X, Y ∈ T p M eine Basis von E, dann hängt die
Zahl
〈R(X, Y ), Y, X〉
K(E) := K(X, Y ) :=
‖X‖ 2 ‖Y ‖ 2 (20.5.1)
− 〈X, Y 〉 2
nur von E, nicht von der Wahl der Basis ab. Man verifiziert das ohne Schwierigkeiten
mit Hilfe der Krümmungsidentitäten aus Abschnitt 20.1. Die Funktion E ↦→ K(E)
heißt die Schnittkrümmung der Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g). Sie hat als
Definitionsbereich die Menge Gr 2 (T M) der zweidimensionalen Untervektorräume
aller Tangentialräume T p M, die man auch als (ein) Grassmannbündel über M bezeichnet.
Man kann zeigen (Aufgabe 7), dass diese Menge Gr 2 (T M) die Struktur
eines differenzierbaren Faserbündels über M trägt.
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, für die K konstant ist, heißt ein Raum konstanter
Krümmung.
Bemerkungen. (a) Im Nenner von (20.5.1) steht das Quadrat des Flächeninhalts
des von X und Y aufgespannten Parallelogramms.
203

(b) Der Vergleich mit (12.7.5) zeigt, dass für Flächen M ⊆ R 3 und E = T p M die
Schnittkrümmung K(E) der ersten Fundamentalform mit der Gaußkrümmung im
Punkt p übereinstimmt.
(c) Riccikrümmung und Skalarkrümmung lassen sich (abgesehen von einem Faktor)
als gemittelte Schnittkrümmungen deuten. Ist nämlich e 1 , . . . , e n eine Orthonormalbasis
von T p M, dann gelten offenbar
Ric(e j , e j ) =
scal(p) =
∑
k=1,...,n
∑
j=1,...,n
〈R(e k , e j )e j , e k 〉 =
Ric(e j , e j ) =
∑
j,k=1...,n
k≠j
∑
k=1,...,n
k≠j
K(e k , e j )
K(e j , e k ).
(20.5.2)
Proposition. (Schnittkrümmung bestimmt R). Für alle Vektorfelder X, Y, Z, W ∈
V(M) gilt
〈R(X, Y )Y, Z〉 = 1 4
(
〈R(X+Z, Y )Y, X+Z〉 − 〈R(X−Z, Y )Y, X−Z〉
)
〈R(X, Y )Z, W 〉 = 1 6(
〈R(X, Y +Z)(Y +Z), W 〉 − 〈R(X, Y −Z)(Y −Z), W 〉
− 〈R(Y, X+Z)(X+Z), W 〉 + 〈R(Y, X−Z)(X−Z), W 〉 ) .
Insbesondere ist der Krümmungstensor R in jedem Punkt durch das Skalarprodukt
g = 〈 , 〉 und die Funktion (X, Y ) ↦→ K(X, Y ) bestimmt. Die Metrik ist genau dann
flach, wenn ihre Schnittkrümmung verschwindet.
Beweis. Beide Gleichungen ergeben sich durch einfache Rechnung. Dabei werden
nur die Multilinearität von 〈R(X, Y, )Z, W 〉 und die Krümmungsidentitäten
(a)–(d) aus Abschnitt 20.1 verwendet. Zum Nachweis von (b) verwenden wir die
Kurzschreibweise XY ZW = 〈R(X, Y )Z, W 〉. Mit der Linearität in jeder der Variablen
und den Krümmungsidentitäten aus 20.1 ergibt sich
X(Y +Z)(Y +Z)W − X(Y −Z)(Y −Z)W
−Y (X+Z)(X+Z)W + Y (X−Z)(X−Z)W
wie behauptet. QED
= X(Y Y +ZY +Y Z+ZZ)W − X(Y Y −ZY −Y Z+ZZ)W
− Y (XX+ZX+XZ+ZZ)W + Y (XX−ZX−XZ+ZZ)W
= 2(XZY W + XY ZW − Y ZXW − Y XZW )
= 2(XZY W + XY ZW + ZY XW + XY ZW )
= 2(−Y XZW + 2XY ZW ) (Bianchi–Identität)
= 6 XY ZW,
204

20.6. Der Satz von Schur.
Lemma. Sei p ∈ M. Wenn alle Ebenen E ≤ T p M im Punkt p dieselbe Schnittkrümmung
K(E) =: κ(p) haben, dann gilt für alle X, Y, Z ∈ T p M
R(X, Y )Z = κ(p) ( 〈Y, Z〉X − 〈X, Z〉Y ) . (20.6.1)
Gleichung (20.6.1) gilt insbesondere für alle zweidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten
und für Räume konstanter (Schnitt-)Krümmung K. Speziell für Basisfelder
X = ∂ i , Y = ∂ j und Z = ∂ k einer Karte ergibt sich daraus
R ijk l = κ(g jk δ i l − g ik δ j l ). (20.6.2)
Beweis. Wir definieren eine trilineare Abbildung S : T p M × T p M × T p M → T p M
durch die rechte Seite von (20.6.1), also durch
S(X, Y, Z) = κ(p)(〈Y, Z〉X − 〈X, Z〉Y ).
Dann erfüllt S die Krümmungsidentitäten (a)–(d) aus Abschnitt 20.1, und man
verifiziert, dass für alle X, Y ∈ T p M gilt
〈R(X, Y )Y, X〉 = 〈S(X, Y, Y ), X〉.
Der Beweis der Proposition in 20.5, in dem nur die genannten Krümmungsidentitäten
verwendet wurden, zeigt nun, dass für alle W ∈ T p M gilt
Die Behauptung folgt. QED
〈R(X, Y )Z, W 〉 = 〈S(X, Y, Z), W 〉.
Satz von Schur. Sei M zusammenhängend und von der Dimension n ≥ 3. Wenn
es eine Funktion κ auf M gibt mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt p ∈ M
alle Ebenen E ≤ T p M dieselbe Schnittkrümmung K(E) = κ(p) haben, dann ist κ
konstant. Also ist (M, g) ein Raum konstanter Krümmung.
Hängt also die Schnittkrümmung K(E) nur vom Fußpunkt p von E ab, dann ist sie
überhaupt konstant. Die Aussage ist offensichtlich falsch für n = 2.
Beweis. Wegen des Lemmas gilt für den Riccitensor
R jk = R ijk
i
= κ(g jk δ i i − g ik δ j i )
= κ(ng jk − g jk )
= κ (n − 1)g jk ,
205

also Ric = κ(n − 1)g. Die Behauptung folgt aus dem Lemma in Abschnitt 20.3.
QED
20.7. Zweite Fundamentalform von Untermannigfaltigkeiten. Sei M ⊆
¯M eine Untermannigfaltigkeit der Riemannschen Mannigfaltigkeit ( ¯M, ḡ), und sei
ι M : M → ¯M die Inklusionsabbildung. Dann ist der Pullback g = ι ∗ M h die auf
M induzierte Riemannsche Metrik. Für die Levi–Civita–Zusammenhänge ∇ und ¯∇
von g und ḡ gilt nach Abschnitt 14.10
∇ X Y = Π ◦ ¯∇ X Y
wobei X und Y Vektorfelder auf M sind und π die faserweise orthogonale Projektion
T ¯M| M → T M bezeichnet. Sei
V ⊥ (M) = { Z ∈ C ∞ (M, T ¯M) | Z(p) ∈ (T p M) ⊥ für alle p ∈ M }
die Menge der differenzierbaren Normalenfelder auf M. Die zweite Fundamentalform
von M in ¯M ist die durch
definierte Abbildung
s(X, Y ) = ( ¯∇ X Y ) ⊥ (20.7.1)
s : V(M) × V(M) → V ⊥ (M).
Dabei bezeichnet X ⊥ = X − Π(X) die zu T M orthogonale Komponente eines
Vektors X. Für Vektorfelder X, Y ∈ V(M) auf M gilt also
¯∇ X Y = ∇ X Y + s(X, Y ). (20.7.2)
Lemma. (a) Die zweite Fundamentalform ist symmetrisch, es gilt also s(X, Y ) =
s(Y, X) für alle X, Y ∈ V(M).
(b) Die Abbildung s ist bilinear über C ∞ (M). Insbesondere hängt für p ∈ M der
Wert s(X, Y )(p) nur von X(p) und Y (p) ab, und man erhält eine symmetrische
bilineare Abbildung
s(p) : T p M × T p M → (T p M) ⊥ .
Beweis. Die Symmetrie von s folgt aus der Torsionsfreiheit von ¯∇ und aus (14.10.2)
wegen
s(X, Y ) − s(Y, X) = ( ¯∇ X Y − ¯∇ Y X) ⊥
= ( ¯T (X, Y ) + [X, Y ]) ⊥
= 0.
Die Bilinearität in (b) ist offensichtlich, und die letzte Aussage ergibt sich mit
Abschnitt 6.7. QED
206

Eine Untermannigfaltigkeit M ⊆ ¯M heißt total geodätisch im Punkt p ∈ M, wenn
ihre zweite Fundamentalform in p verschwindet, wenn also s(p) = 0 ist. Sie heißt
total geodätisch, wenn sie in jedem ihrer Punkte total geodätisch ist.
Lemma. Jede Geodätische von ¯M, deren Bild in M enthalten ist, ist eine Geodätische
von M. Die Untermannigfaltigkeit M ⊆ ¯M ist genau dann total geodätisch,
wenn jede Geodätische in M auch Geodätische in ¯M ist.
Beweis. Wegen der Eindeutigkeitsaussage in Satz 15.1 gilt für die kovarianten
Ableitungen längs Kurven c in M
¯∇ċ
dt = ∇ċ + s(ċ, ċ). (20.7.3)
dt
Dabei ist ∇ċ/dt tangentiell an M und s(ċ, ċ) orthogonal zu M. Ist ¯∇ċ/dt = 0,
dann folgt insbesondere ∇ċ/dt = 0 und s(ċ, ċ) = 0. Die zweite Aussage folgt ohne
Schwierigkeiten. QED
20.8. Krümmung von Untermannigfaltigkeiten. Sei weiterhin M ⊆ ¯M eine
Untermannigfaltigkeit, und seien R und ¯R die Krümmungstensoren von M und ¯M.
Für Vektorfelder X, Y, Z, W ∈ V(M) gilt nach (20.7.2)
und damit
¯R(X, Y )Z = ¯∇ X ¯∇Y Z − ¯∇ Y ¯∇X Z − ¯∇ [X,Y ] Z
= ¯∇ X (∇ Y Z + s(Y, Z)) − ¯∇ Y (∇ X Z + s(X, Z))
− ∇ [X,Y ] Z − s([X, Y ]), Z)
= ∇ X ∇ Y Z + s(X, ∇ Y Z) + ¯∇ X (s(Y, Z)
− ∇ Y ∇ X Z − s(Y, ∇ X Z) − ¯∇ Y (s(X, Z))
− ∇ [X,Y ] Z − s([X, Y ], Z)
¯R(X, Y )Z = R(X, Y )Z + ¯∇ X (s(Y, Z)) − ¯∇ Y (s(X, Z)) (20.8.1)
Das Skalarprodukt mit W ergibt wegen
die Gaußgleichung
+ s(X, ∇ Y Z) − s(Y, ∇ X Z) − s([X, Y ], Z).
〈 ¯∇ X (s(Y, Z)), W 〉 = X〈s(Y, Z), W 〉 − 〈s(Y, Z), ¯∇ X W 〉
= −〈s(Y, Z), ( ¯∇ X W ) ⊥ 〉
= −〈s(Y, Z), s(X, W )〉
〈R(X, Y )Z, W 〉 = 〈 ¯R(X, Y )Z, W 〉
+ 〈s(Y, Z), s(X, W )〉 − 〈s(X, Z), s(Y, W )〉.
(20.8.2)
207

Setzt man speziell X = W und Y = Z, dann ergibt sich die Gaußgleichung für die
Schnittkrümmungen von M und ¯M
K(X, Y ) = ¯K(X, Y ) +
〈s(X, X), s(Y, Y )〉 − ‖s(X, Y )‖2
‖X‖ 2 ‖Y ‖ 2 − 〈X, Y 〉 2 . (20.8.3)
Im Spezialfall einer Fläche M im R 3 ist ¯K = 0, und (20.8.3) reduziert sich auf die
in Abschnitt 12.4 gegebene Gleichung für die Gaußkrümmung.
Riemanns Deutung der Schnittkrümmung. Sei E ⊆ T p M ein zweidimensionaler
Unterraum. Dann ist für Radien ϱ ≤ inj(p) das Bild M E := exp(E ∩ B p (0, ϱ))
eine Untermannigfaltigkeit von M, deren Tangentialraum im Punkt p mit der Ebene
E übereinstimmt. Wählt man Normalkoordinaten für M mit Zentrum p so, dass
E von den Basisvektoren ∂ 1 und ∂ 2 aufgespannt wird, so ist für i, j ∈ {1, 2} wegen
Γ ij k (p) = 0 die zweite Fundamentalform
s(∂ i | p , ∂ j | p ) = (∇ ∂i ∂ j ) ⊥ (p) = 0.
Die Untermannigfaltigkeit M E ist also im Punkt p total geodätisch. Nach (20.8.3)
stimmt daher die Schnittkrümmung K(E) mit der Schnittkrümmung der Fläche
M E im Punkt p überein.
“Um dem Krümmungsmass einer nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit
in einem gegebenen Punkte und einer gegebenen durch ihn gelegten
Flächenrichtung eine greifbare Bedeutung zu geben, muss man davon
ausgehen, dass eine von einem Punkte ausgehende kürzeste Linie völlig
bestimmt ist, wenn ihre Anfangsrichtung gegeben ist. Hienach wird
man eine bestimmte Fläche erhalten, wenn man sämmtliche von dem
gegebenen Punkte ausgehenden und in dem gegebenen Flächenelement
liegenden Anfangsrichtungen zu kürzesten Linien verlängert, und diese
Fläche hat in dem gegebenen Punkte ein bestimmtes Krümmungsmass,
welches zugleich das Krümmungsmass der nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit
in dem gegebenen Punkte und der gegebenen Flächenrichtung
ist.”
Bernhard Riemann, “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde
liegen”, vorgetragen in Göttingen am 10. Juni 1854.
20.9. Hyperflächen. Sei nun speziell n = dim(M) = dim( ¯M) − 1. Wir nehmen
an, dass es auf M ein Einheitsnormalenfeld ν gibt—sollte das nicht der Fall sein,
dann gehen wir zu einer offenen Teilmenge von M über, auf der ein solches Feld
existiert. Wir definieren eine Abbildung II : V(M) × V(M) → C ∞ (M) durch
s(X, Y ) = II(X, Y ) ν. (20.9.1)
208

Dann ist
II(X, Y ) = 〈s(X, Y ), ν〉 = 〈 ( ¯∇ X Y ) ⊥ , ν〉 = 〈 ¯∇ X Y, ν〉
= X〈Y, ν〉 − 〈Y, ¯∇ X ν〉
= −〈Y, ¯∇ X ν〉
Mit der Weingartenabbildung L : T M → T M, die durch
definiert ist, gilt also
L(X) = − ¯∇ X ν (20.9.2)
II(X, Y ) = 〈LX, Y 〉. (20.9.3)
Der Vergleich mit Abschnitt 15.4 zeigt, dass II im Fall von Flächen im R 3 mit der
dort definierten zweiten Fundamentalform übereinstimmt. Wegen der Symmetrie
von II ist die Weingartenabbildung L p := L| TpM selbstadjungiert bezüglich g(p),
also reell diagonalisierbar. Die Eigenwerte κ 1 (p), . . . , κ n (p) von L p nennt man die
Hauptkrümmungen von M ⊆ ¯M im Punkt p.
20.10. Hyperflächen im R n+1 . Wir gehen noch etwas näher auf den Fall von
Hyperflächen im R n+1 ein. In diesem Fall ist die Schnittkrümmung ¯K = 0, und
daher nach der Gaußgleichung (20.8.3)
K(X, Y ) =
II(X, X) II(Y, Y ) − II(X, Y )2
‖X‖ 2 ‖Y ‖ 2 − 〈X, Y 〉 2 (20.10.1)
in Übereinstimmung mit Abschnitt 12.4. Außerdem ist der Krümmungstensor ¯R =
0, also nach (20.8.1)
0 = ¯R(X, Y )Z
= R(X, Y )Z + X(II(Y, Z)) ν + II(Y, Z) ¯∇ X ν
− Y (II(X, Z)) ν + II(X, Z) ¯∇ Y ν
+ II(X, ∇ Y Z) ν − II(Y, ∇ X Z) ν − II([X, Y ], Z) ν.
Der an M tangentielle und der zu M normale Anteil der rechten Seite müssen beide
verschwinden. Für den tangentiellen Teil ergibt sich mit ¯∇ X ν = −LX die Gleichung
von Gauß
R(X, Y )Z = 〈LY, Z〉LX − 〈LX, Z〉LY. (20.10.2)
Der normale Anteil liefert wegen
X(II(Y, Z)) = (∇ X II)(Y, Z) + II(∇ X Y, Z) + II(Y, ∇ X Z)
und wegen T (X, Y ) = 0 die Codazzi–Mainardi–Gleichung
(∇ X II)(Y, Z) − (∇ Y II)(X, Z) = 0. (20.10.3)
209

Im Fall n = 2 spezialisieren sich (20.10.2) und (20.10.3) auf die Gleichungen (12.7.1)
und (12.7.2) für Flächen.
Beispiel: Sphären. Wit betrachten die Sphäre M = S n r ⊆ R n+1 vom Radius r
um den Ursprung,
S n r = { x ∈ Rn+1 | (x 1 ) 2 + . . . + (x n+1 ) 2 = r 2 }
mit der von R n+1 induzierten Riemannschen Metrik g, also der ersten Fundamentalform.
Sei ν die äußere Normale, und sei X ∈ T p S n r . Dann gilt nach Definition
des Standardzusammenhangs ¯∇ von R n+1
Sei c(t) eine Kurve in S n r
¯∇ X ν = ∑ n+1
i=1 X(νi ) ∂
∂x i .
mit ċ(0) = X. Für i = 1, . . . , n + 1 ist dann
ν i (c(t)) = 1 r ci (t),
weil der Ortsvektor eines Punktes p ∈ Sr
n senkrecht auf dem Tangentialraum T pSr
n
steht. Damit ist
LX = − ¯∇ X ν = d ∣ dt ∣ ν i ∂ ∣∣∣p
(c(t))
0
∂x i = 1 r ċ(0) = 1 r X.
Für den Krümmungstensor von S n r
ergibt (20.10.2) nun
R(X, Y )Z = 1 r 2 (
〈Y, Z〉X − 〈X, Z〉Y
)
,
und die Schnittkrümmung ist konstant K = 1/r 2 .
Aufgaben
1. Bianchi–Identität. Geben Sie direkte Beweise der beiden Bianchi–Identitäten
20.1(d)(e) ohne Einführung lokaler Koordinaten. Wie lauten die entsprechenden
Beziehungen für Zusammenhänge mit Torsion?
2. Isometrien. Zeigen Sie, dass Isometrien f : M → M ′ Riemannscher Mannigfaltigkeiten
deren Schnittkrümmungsfunktionen ineinander abbilden, dass also gilt
K M ′ ◦ f ∗ = K M , wenn f ∗ die auf den Grassmannbündeln induzierte Abbildung
bezeichnet. Verifizieren Sie die entsprechende Aussage für die zweiten Fundamentalformen
von Untermannigfaltigkeiten N ⊆ M und f(N) ⊆ M ′ .
210

3. Fixpunktmengen von Isometrien. Sei f eine Isometrie einer Riemannsche
Mannigfaltigkeit (M, g), und sei
M f = {p ∈ M | f(p) = p}
die Menge ihrer Fixpunkte. Zeigen Sie, dass jede Zusammenhangskomponente
von M f eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von (M, g) ist mit Tangentialräumen
T p M f = {X ∈ T p M | (T p f)X = X} = Kern(T p f − id).
Hinweis: Ist p ∈ M f und ist U ⊆ T p M ein Ball um den Ursprung, der durch exp p
diffeomorph auf eine offene Teilmenge V von M abgebildet wird, dann ist
f| V = exp p ◦T p f ◦ (exp p | U ) −1 .
In Normalkoordinaten mit Zentrum p ist f also durch die lineare Abbildung T p f
gegeben.
4. Hyperbolischer Raum. Das Ballmodell des n–dimensionalen hyperbolischen
Raumes ist die Riemannsche Mannigfaltigkeit (D n , g), wobei D n = {x ∈ R n | |x| <
1} der Einheitsball im R n ist und
2 ∑
n
g(x) =
1 − |x| 2 dx i ⊗ dx i .
Dabei ist |x| = ( ∑ n
i=1 (xi ) 2) 1/2
die euklidische Norm. Zeigen Sie, dass (D n , g) eine
vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung K = −1 ist.
5. Synge–Ungleichung. Sei M ⊆ ¯M eine Untermannigfaltigkeit der Riemannschen
Mannigfaltigkeit ( ¯M, ḡ), versehen mit der induzierten Riemannschen Metrik.
Sei c : I → ¯M eine Geodätische, deren Bild in M liegt. Zeigen Sie, dass für die
Schnittkrümmungen von Ebenen E ⊆ T c(t) M ⊆ T c(t) ¯M mit ċ(t) ∈ E gilt
i=1
K(E) ≤ ¯K(E).
6. Grassmannmannigfaltigkeiten. Die Menge aller k–Tupel linear unabhängiger
Vektoren im R n nennt man die Stiefelmannigfaltigkeit V k,n . Sie kann offenbar
mit einer offenen Teilmenge des Raumes der reellen n×k–Matrizen identifiziert werden.
Die Menge aller k–dimensionalen Untervektorräume des R n heißt die Grassmannmannigfaltigkeit
Gr k,n . Man hat eine Abbildung σ : V k,n → Gr k,n , die jedem
k–Tupel seinen Spann zuordnet. Wir versehen die Grassmannmannigfaltigkeit mit
der Quotiententopologie zu dieser Abbildung. Zeigen Sie: Auf Gr k,n existiert genau
eine C ∞ –Struktur, für die σ eine Submersion ist.
7. Grassmannbündel. Sei M eine n–dimesnsionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Zeigen Sie, dass die Menge Gr k (T M) der k–dimensionalen Untervektorräume
aller Tangentialräume T p M die Struktur eines differenzierbaren Faserbündels über
M trägt, dessen Faser die Grassmannmannigfaltigkeit Gr k,n ist.
211

21. Zweite Variation der Bogenlänge
Um festzustellen, ob eine Geodätische c = c 0 einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
unter den Kurven einer Variation c s = H(s, ·) die Bogenlänge L(c s ) minimiert,
kann man die zweite Ableitung der Funktion L(c s ) an der Stelle s = 0 untersuchen.
Diese Ableitung ist durch die zweite Variationsformel gegeben, die wir im
ersten Abschnitt des Kapitel behandeln. In diese Formel geht der Krümmungstensor
in Gestalt der Schnittkrümmung ein. Wir verwenden diesen Umstand, um
für Mannigfaltigkeiten mit positiv definitem Riccitensor eine Beziehung zwischen
Krümmung und Durchmesser herzuleiten, den Satz von Bonnet und Myers. Anschließend
gehen wir auf eine wichtige Klasse von Beispielen positiv gekrümmter
Riemannscher Metriken ein, die biinvarianten Metriken auf Liegruppen.
In diesem Kapitel ist (M n , g) eine n–dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit
und ∇ ihr Levi–Civita–Zusammenhang.
21.1. Zweite Variationsformel. Sei c : [a, b] → M eine proportional zur Bogenlänge
parametrisierte, nichtkonstante differenzierbare Kurve. Sei weiter H ∈
C ∞ ((−ε, ε) × [a, b], M), (s, t) ↦→ H(s, t) eine Variation von c, also H(0, t) = c(t) für
alle t ∈ [a, b]. Nach Abschnitt 18.1 gilt für die Länge der Kurven c s (t) = H(s, t) die
erste Variationsformel
d
ds∣ L(c s ) = 1 (〈V, ċ〉 ∣ ∫ 1
b
0
‖ċ‖
a − 〈V, ∇ċ )
dt 〉 dt . (21.1.1)
Dabei ist V (t) = ∂H/∂s (0, t) das Variationsvektorfeld längs der Kurve c = c 0 .
Wir berechnen nun die zweite Ableitung d 2 /ds 2∣ ∣
0
L(c s ). Dabei verwenden wir die
abkürzenden Schreibweisen
∂ s H = ∂H
∂s , ∂ tH = ∂H
∂t
0
und
∇ s W = ∇W
∂s , ∇ tW = ∇W
∂t
für Vektorfelder (s, t) ↦→ W (s, t) längs H. Nach (18.1.1) und (16.3.1) gelten
Man berechnet zunächst
∇ t ∂ s H = ∇ s ∂ t H
∇ s ∇ t W − ∇ t ∇ s W = R(∂ s H, ∂ t H)W.
d
ds L(c s) = d ds
=
∫ b
a
∫ b
a
〈∂ t H, ∂ t H〉 1/2 dt
1
‖∂ t H‖ 〈∇ s∂ t H, ∂ t H〉 dt,
(21.1.2)
Version 30. Juni 2000
212

und damit
d 2
∫ b
ds 2 L(c 1 1
s) = −
‖∂ t H‖ 2 ‖∂ t H‖ 〈∇ s∂ t H, ∂ t H〉 2 dt
+
+
a
∫ b
a
∫ b
a
1
‖∂ t H‖ 〈∇ s∇ s ∂ t H, ∂ t H〉 dt
1
‖∂ t H‖ 〈∇ s∂ t H, ∇ s ∂ t H〉 dt.
Im ersten und dritten Integral verwenden wir nun die Beziehung ∇ s ∂ t H = ∇ t ∂ s H.
Den zweiten Integranden schreiben wir wie folgt:
〈∇ s ∇ s ∂ t H, ∂ t H〉 = 〈∇ s ∇ t ∂ s H, ∂ t H〉
= 〈∇ t ∇ s ∂ s H, ∂ t H〉 + 〈R(∂ s H, ∂ t H)∂ s H, ∂ t H〉
= ∂ t 〈∇ s ∂ s H, ∂ t H〉 − 〈∇ s ∂ s H, ∇ t ∂ t H〉
+ 〈R(∂ s H, ∂ t H)∂ s H, ∂ t H〉.
Speziell für s = 0 ist (∂ s H)(0, t) = V (t) und (∂ t H)(0, t) = ċ(t), und da ‖ċ‖ konstant
ist, ergibt sich
∣
d 2 ∣∣∣0
ds 2 L(c s ) = − 1 ∫ b
‖ċ‖ 3 〈∇ t V, ċ〉 2 dt
a
+ 1
‖ċ‖ 〈∇ s∂ s H, ċ〉 ∣ (0,b)
(0,a)
− 1
‖ċ‖
+ 1
‖ċ‖
+ 1
‖ċ‖
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
〈∇ s ∂ s H(0, t), ∇ t ċ〉 dt
〈R(V, ċ)V, ċ〉 dt
〈∇ t V, ∇ t V 〉 dt.
(21.1.3)
Bezeichnet man die zum Tangentialvektor ċ senkrechte Komponente von V mit V ⊥ ,
also
〈
V ⊥ ċ
〉 ċ
= V − V,
‖ċ‖ ‖ċ‖ , (21.1.4)
dann ist wegen der Krümmungsidentitäten (a) und (b) aus 20.1
〈R(V, ċ)V, ċ〉 = 〈R(V ⊥ , ċ)V ⊥ , ċ〉.
Wir setzen nun zusätzlich voraus, dass c eine Geodätische ist. Dann gilt ∇ t ċ = 0,
und (∇ t V ) ⊥ = ∇ t (V ⊥ ) =: ∇ t V ⊥ . Daraus folgt
〈∇ t V, ∇ t V 〉 − 1
‖ċ‖ 2 〈∇ tV, ċ〉 2 = 〈∇ t V ⊥ , ∇ t V ⊥ 〉.
213

Wir erhalten folgenden Satz.
Satz (zweite Variationsformel). Sei H eine differenzierbare Variation der Geodätischen
c : [a, b] → M, und sei c s (t) = H(s, t). Dann gilt
∣
d 2 ∣∣∣0
ds 2 L(c s ) = 1
‖ċ‖ 〈∇ ∣
s∂ s H, ċ〉
+ 1
‖ċ‖
∫ b
a
∣ (0,b)
(0,a)
(
〈∇t V ⊥ , ∇ t V ⊥ 〉 − 〈R(V ⊥ , ċ)ċ, V ⊥ 〉 ) dt.
Bemerkungen. (i) Die in dieser Formel auftretenden Randterme verschwinden,
wenn die Kurven s ↦→ H(s, a) und s ↦→ H(s, b) Geodätische sind. Das ist insbesondere
bei Variationen mit festen Endpunkten der Fall, also solchen Variationen, bei
denen diese Kurven konstant sind. Wenn die Randterme verschwinden, dann hängt
d 2 /ds 2 | 0 L(c s ) nur vom Variationsvektorfeld V , nicht von der Variation H selbst ab.
(ii) Die zweite Variationsformel gilt offenbar unverändert für stückweise differenzierbare
Variationen.
(iii) Variiert man eine Geodätische c bei festgehaltenen Endpunkten in eine Richtung
nichtpositiver Krümmung in dem Sinne, dass die Schnittkrümmung K(V ⊥ , ċ)
auf [a, b] nichtpositiv ist, dann sind für hinreichend kleine Parameterwerte s die
Nachbarkurven c s länger als c. In der Tat verschwindet die erste Ableitung der
Funktion s ↦→ L(c s ) an der Stelle s = 0, und ihre zweite Ableitung ist nach der
zweiten Variationsformel positiv.
21.2. Der Satz von Bonnet und Myers. Der Durchmesser diam(M, g) einer
zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit ist definiert als das Supremum
ihrer Abstandsfunktion,
diam(M, g) = sup{d(p, q) | p, q ∈ M}.
Der Satz 19.2 von Hopf und Rinow zeigt, dass jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit
mit endlichem Durchmesser kompakt ist. Ungekehrt ist jede kompakte
Riemannsche Mannigfaltigkeit vollständig und hat, wegen der Stetigkeit der Abstandsfunktion,
auch endlichen Durchmesser.
Satz von Bonnet–Myers. Sei (M n , g) vollständig und zusammenhängend. Es
gebe eine Konstante κ > 0 mit der Eigenschaft Ric ≥ (n−1)κ g. Dann ist M
kompakt mit Durchmesser
diam(M, g) ≤ √ π . κ
Bemerkungen. (i) Die Ungleichung Ric ≥ (n−1)κg soll bedeuten, dass das symmetrische
Tensorfeld Ric − (n−1)κg überall positiv definit ist. Gleichbedeutend
214

damit ist die Forderung, dass alle Einheitsvektoren X ∈ T M der Ungleichung
Ric(X, X) ≥ (n−1)κ genügen. Diese Voraussetzung ist nach (20.5.2) insbesondere
dann erfüllt, wenn für die Schnittkrümmung K ≥ κ gilt.
(ii) Der Beweis des Satzes zeigt, dass man die Voraussetzung der Vollständigkeit
von (M, g) ersetzen kann durch die Forderung, dass je zwei Punkte in M durch eine
kürzeste Geodätische verbunden werden können. Man vergleiche aber Aufgabe 2.
(iii) Für die Standardsphäre S n κ vom Radius 1/√ κ, also mit Schnittkrümmung κ, ist
Ric = (n−1)κg und der Durchmesser diam(S n κ ) = π/ √ κ. In diesem Beispiel besteht
also Gleichheit in der Durchmesserabschätzung des Satzes von Bonnet–Myers. Der
Starrheitssatz von Cheng (1975) besagt:
Jede kompakte zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riccikrümmung
Ric ≥ (n−1)κg und Durchmesser diam = π/ √ κ ist isometrisch zu S n κ .
Wir kommen nun zum Beweis des Satzes von Bonnet–Myers. Seien p, q ∈ M.
Wir werden zeigen, dass der Abstand d(p, q) ≤ π/ √ κ ist. Sei c : [0, l] → M
eine kürzeste Geodätische von p nach q mit ‖ċ‖ = 1. Eine solche Geodätische
existiert nach dem Satz von Hopf und Rinow, da die Mannigfaltigkeit als vollständig
vorausgesetzt ist. Dann ist l = L(c) = d(p, q), und wir zeigen, dass l ≤ π/ √ κ gilt.
Seien dazu e 1 , . . . , e n orthonormale parallele Vektorfelder längs c mit e n = ċ, und
sei für j = 1, . . . , n − 1
( πt
)
V j (t) = sin e j (t).
l
Es gilt V j (0) = 0 und V j (l) = 0. Sei H j die Variation H j (s, t) = exp(sV j (t)). Dann
ist ∂H j /∂s(0, t) = V j (t), und die zweite Variationsformel ergibt
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(H j (s, ·)) =
=
∫ l
0
∫ l
0
(
〈∇t V j , ∇ t V j 〉 − 〈R(V j , ċ)ċ, V j 〉 ) dt
π 2 ( πt
)
l 2 cos2 l
Summation über j = 1, . . . , n − 1 liefert wegen (20.5.2)
n−1
∑
j=1
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(H j (s, ·)) = (n−1) π2
l 2 ∫ l
0
∫ l
≤ (n−1) π2
l 2
( π
2
= (n−1)
l 2
0
( cos 2 πt
)
dt −
l
( − sin 2 πt
)
K(e j , ċ) dt.
l
∫ l
(
cos 2 πt
)
dt − (n−1)κ
l
− κ
) ∫ l
0
0
(
cos 2 πt
)
dt.
l
( sin 2 πt
)
Ric(ċ, ċ) dt
l
∫ l
0
( sin 2 πt
)
dt
l
Wäre nun l > π/ √ κ, dann wäre die rechte Seite dieser Ungleichung negativ, und
daher d 2 /ds 2 | 0 L(H j (s, ·)) < 0 für einen Index j. Die entsprechende Variation H j
215

enthielte dann Kurven von p nach q, die kürzer wären als c, im Widerspruch zur
Wahl von c. QED
Korollar (zum Beweis). Ist die Geodätische c : [0, l] → M mit ‖ċ‖ = 1 kürzeste
Verbindung ihrer Endpunkte, also d(c(0), c(l)) = L(c), und erfüllt die Riccikrümmung
entlang c die Ungleichung Ric(ċ, ċ) ≥ (n−1)κ > 0, dann ist L(c) ≤ π/ √ κ.
21.3. Invariante Riemannsche Metriken auf Liegruppen. Wir verwenden die
Bezeichnungen aus Abschnitt 17.8. Eine Riemannsche Metrik g auf einer Liegruppe
G heißt linksinvariant, wenn alle Linkstranslationen L a : G → G Isometrien sind,
wenn also für alle a ∈ G gilt L ∗ ag = g. Die Metrik heißt rechtsinvariant, wenn alle
Rechtstranslationen R a : G → G, R a b = ba Isometrien sind, und biinvariant, wenn
sie zugleich links- und rechtsinvariant ist. Indem man Cauchyfolgen in G betrachtet,
sieht man leicht ein (Aufgabe 5), dass jede links- oder rechtsinvariante Riemannsche
Metrik auf einer Liegruppe vollständig ist.
Jedes Element a ∈ G induziert einen Gruppenautomorphismus Inn a : G → G,
Inn a b = aba −1 . (21.3.1)
Solche Automorphismen bezeichnet man als innere Automorphismen von G. Die
adjungierte Darstellung von G ist die Abbildung
Ad : G → GL(T e G),
welche jedem Gruppenelement a ∈ G die Ableitung Ad(a) = Ad a der Abbildung
Inn a = L a R a −1 = R a −1L a im neutralen Element zuordnet. Es ist also
Ad a = T e (Inn a )
= T e (L a ◦ R a −1)
= T a −1L a ◦ T e R a −1.
(21.3.2)
Lemma 1. Die Auswertungsabbildung g ↦→ g(e) ist eine Bijektion zwischen der
Menge der linksinvarianten Riemannschen Metriken g auf G und der Menge aller
Skalarprodukte auf dem Tangentialraum T e G im neutralen Element. Dabei ist die
linksinvariante Metrik g genau dann biinvariant, wenn das entsprechende Skalarprodukt
invariant ist unter der adjungierten Darstellung Ad, wenn also für alle a ∈ G
und alle Vektoren X, Y ∈ T e G gilt
g(e)(Ad a X, Ad a Y ) = g(e)(X, Y ).
Beweis. Ist ein Skalarprodukt g(e) auf T e G gegeben, dann erhält man eine linksinvariante
Riemannsche Metrik g auf G durch die Festlegung g(a) = L ∗ a −1 (g(e)), also
g(a)(X, Y ) = g(e)((T L a −1)X, (T L a −1)Y )
216

für X, Y ∈ T a G. Die dadurch gegebene Abbildung g(e) ↦→ g ist offensichtlich invers
zur Auswertungsabbildung, so dass die Bijektivität bewiesen ist. Ist die Metrik g
biinvariant, dann zeigt (21.3.2), dass das Skalarprodukt g(e) unter Ad a invariant
ist. Ist umgekehrt g(e) unter Ad a = T e (Inn a ) invariant, dann ist nach Aufgabe 7
jeder Gruppenautomorphismus Inn a eine Isometrie. Wegen R a = L a −1 ◦ Inn a −1 ist
dann jede Rechtsmultiplikation R a eine Isometrie, also g biinvariant. QED
Lemma 2. Ist V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, und ist H ≤ GL(V )
eine kompakte Untergruppe der Gruppe GL(V ) der Vektorraumautomorphismen von
V , dann gibt es ein Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf V , welches unter allen Elementen h ∈ H
invariant ist.
Zum Beweis von Lemma 2, den wir hier lediglich skizzieren, wählt man ein beliebiges
Skalarprodukt 〈·, ·〉 0 auf V und “mittelt” es über die Gruppe H, indem man definiert
∫
〈v, w〉 = 〈hv, hw〉 0 dµ(h).
H
Bei dieser Integration ist ein rechtsinvariantes Maß (ein sogenanntes Haarsches Maß)
µ auf H zu verwenden, auf dessen Definition wir hier nicht eingehen. † Man erhält
auf diese Weise ein neues Skalarprodukt 〈·, ·〉 auf V , welches unter H invariant ist.
In der Tat gilt für k ∈ H
∫
〈kv, kw〉 = 〈hkv, hkw〉 0 dµ(h)
H
∫
= 〈hkv, hkw〉 0 dµ(hk)
H
∫
= 〈hv, hw〉 0 dµ(h)
H
= 〈v, w〉.
Satz. Auf jeder kompakten Liegruppe G existiert eine biinvariante Riemannsche
Metrik. Dasselbe gilt allgemeiner für jede Liegruppe, deren Bild Ad(G) ⊆ GL(T e G)
unter der adjungierten Darstellung kompakt ist.
Beweis. Wir wenden Lemma 2 an mit V = T e G und H = Ad(G). Man erhält
ein Ad(G)–invariantes Skalarprodukt auf T e G, und nach Lemma 1 eine biinvariante
Riemannsche Metrik auf G. QED
† Man erhält ein solches Maß etwa auf folgende Weise. Ein bekannter Satz über
Liegruppen besagt, dass jede abgeschlossene Untergruppe H einer Liegruppe eine
Untermannigfaltigkeit ist. Bezüglich der dadurch gegebenen C ∞ –Struktur ist dann
offenbar H selbst eine Liegruppe. Insbesondere ist unsere kompakte Gruppe H ≤
GL(V ) also eine Liegruppe. Sie hat daher rechtsinvariante Riemannsche Metriken
(Lemma 1). Als rechtsinvariantes Maß µ nimmt man das in Abschnitt 10.7 definierte
Lebesguesche Maß einer solchen Metrik.
217

Lemma 3. Sei G eine Liegruppe, und sei X ein linksinvariantes Vektorfeld auf G.
Dann gilt für den Fluss φ : R × G → G von X
φ(t, a) = a exp(tX e ).
Dabei ist exp : T e G → G die Exponentialabbildung (des kanonischen Zusammenhangs)
von G und X e = X(e).
Den Fluss eines linksinvarianten Vektorfeldes erhält man also durch Rechtsmultiplikation
mit der entsprechenden Einparameteruntergruppe.
Beweis. Es ist
d
dt∣ a exp(tX e ) = (T L a ) d t0
ds∣ exp((t 0 + s)X e )
0
= (T L a ) d ( ds∣ exp(t0 X e ) exp(sX e ) )
0
= (T L a )(T L exp(t0X e)) X e
= X(a exp(t 0 X e )).
Die Kurve t ↦→ a exp(tX e ) ist also eine Integralkurve des Vektorfeldes X durch den
Punkt a, und stimmt deshalb mit t ↦→ φ(t, a) überein. QED
21.4. Krümmung biinvarianter Metriken. Ein Vektorfeld X ∈ V(M) auf
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) heißt ein Killingfeld (oder eine “infinitesimale
Isometrie”), wenn sein Fluss φ t aus Isometrien besteht, wenn also gilt
L X g = 0 (siehe 7.9 und Aufgabe 2 in Kapitel 10). Sei G eine Liegruppe. Wie in
Abschnitt 17.8 bezeichnen wir mit G die Liealgebra von G, also die Menge aller
linksinvarianten Vektorfelder.
Lemma. Sei g eine Riemannsche Metrik auf G.
(a) Die Metrik g ist genau dann linksinvariant, wenn für alle linksinvarianten Vektorfelder
X, Y ∈ G die Funktion g(X, Y ) konstant ist.
(b) Ist g rechtsinvariant, dann sind alle X ∈ G Killingfelder.
Den Beweis von Teil (a) überlassen wir als einfache Übungsaufgabe. Teil (b) ergibt
sich sofort aus Lemma 3 im vorhergehenden Abschnitt. QED
Satz. Sei g eine biinvariante Riemannsche Metrik mit Levi–Civita–Zusammenhang
∇ auf einer Liegruppe G. Seien weiter X, Y, Z ∈ G, und sei e 1 , . . . , e n ein linksin-
218

variantes orthonormales Repèrefeld auf G. Dann gilt:
(a) ∇ X Y = 1 2 [X, Y ]
(b) R(X, Y )Z = − 1 [[X, Y ], Z]
4
(c) 〈R(X, Y )Y, X〉 = 1 ‖[X, Y ]‖2
4
(d)
n∑
Ric(X, X) = 〈R(e i , X)X, e i 〉 = 1 4
i=1
Insbesondere hat (G, g) Schnittkrümmung K ≥ 0.
Beweis. Aufgrund des Lemmas gilt
n∑
‖[X, e i ]‖ 2 .
i=1
0 = (L X g)(Y, Z)
= Xg(Y, Z) − g([X, Y ], Z) − g(Y, [X, Z])
= −g([X, Y ], Z) − g(Y, [X, Z]).
(21.4.1)
Die lineare Abbildung ad (X) : G → G, ad (X)Y := [X, Y ] ist also für jedes linksinvariante
Vektorfeld X ∈ G antiselbstadjungiert bezüglich g. Die Formel (14.9.2) für
den Levi–Civita–Zusammenhang ergibt nun wegen Lemma (a)
2〈∇ X Y, Z〉 = g([X, Y ], Z) − g([Y, Z], X) + g([Z, X], Y )
= g([X, Y ], Z) + g(X, [Z, Y ]) + g([Z, X], Y )
= g([X, Y ], Z)
und damit (a). Zum Beweis von (b) berechnet man
R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [X,Y ] Z
= 1 4 [X, [Y, Z]] − 1 4 [Y, [X, Z]] − 1 [[X, Y ], Z]
2
= − 1 4 [[Y, Z], X] − 1 4 [[Z, X], Y ] − 1 [[X, Y ], Z]
2
= − 1 [[X, Y ], Z].
4
Dabei wurde im letzten Schritt die Jacobi–Identität verwendet. Gleichung (c) ergibt
sich aus (b) mittels (21.4.1), und (d) folgt unmittelbar aus (c). QED
Das Zentrum einer Liealgebra G ist definiert als
C(G) = {X ∈ G | [X, Y ] = 0 für alle Y ∈ G}. (21.4.2)
219

Korollar. Ist G eine Liegruppe, deren Liealgebra triviales Zentrum C(G) = {0}
hat, dann hat jede biinvariante Riemannsche Metrik auf G positive Riccikrümmung
Ric > 0. Zusammenhängende Liegruppen mit C(G) = {0}, auf denen eine biinvariante
Riemannsche Metrik existiert, sind kompakt.
Beweis. Die erste Behauptung ergibt sich sofort aus Teil (e) des vorhergehenden
Satzes. Die zweite ergibt sich als Folgerung aus dem Satz von Bonnet–Myers. Sei
dazu G zusammenhängend mit C(G) = {0}, und sei g eine biinvariante Riemannsche
Metrik. Dann ist jedenfalls Ric > 0. Da die Einheitssphäre in T e G kompakt ist,
gibt es eine positive Zahl κ dergestalt, dass für alle Einheitsvektoren X ∈ T e G gilt
Ric(X, X) ≥ (n−1)κ. Da mit der Metrik g auch ihr Riccitensor invariant unter
allen Linkstranslationen L a ist, gilt die Beziehung Ric(X, X) ≥ (n−1)κ dann auch
für alle Einheitsvektoren X ∈ T a G:
Ric(X, X) = Ric ( (T L a −1)X, (T L a −1)X ) ≥ (n−1)κ.
Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Bonnet und Myers erfüllt, und G
ist kompakt. QED
Anmerkung. Die Tatsache, dass biinvariante Riemannsche Metriken auf Liegruppen
Schnittkrümmung K ≥ 0 gaben, ist deshalb von Interesse, weil nur relativ
wenige Beispiele von Mannigfaltigkeiten bekannt sind, die eine Metrik mit K ≥ 0
zulassen. Verschärft man die Bedingung K ≥ 0 weiter zu 1/4 < K ≤ 1, dann
bleiben kaum noch Beispiele übrig: Der Sphärensatz von Rauch, Berger und Klingenberg
besagt, dass einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten
M mit
1/4 < K ≤ 1
zur Sphäre homömorph sind. Beispiele–etwa eine kanonische Metrik des komplex
projektiven Raumes–zeigen, dass diese Krümmungsschranken optimal sind. Es ist
aber nicht bekannt, ob M unter den genannten Voraussetzungen sogar diffeomorph
zur Sphäre mit ihrer üblichen differenzierbaren Struktur sein muss (vergleiche Bemerkung
1.14(b)). Der differenzierbare Sphärensatz von Gromoll, Calabi, Ruh und
anderen besagt, dass das der Fall ist, wenn man die “Pinchingbedingung” an die
Schnittkrümmung verschärft zur δ < K ≤ 1 mit δ = 0.7.
Aufgaben
1. Zweite Variation. Sei (M,g) eine Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krümmung,
und seien c 1 , c 2 : [0, 1] → M zwei Geodätische mit c 1 (0) = c 2 (0) und c 1 (1) = c 2 (1).
Zeigen Sie mit Hilfe der zweiten Variationsformel: Sind c 0 und c 1 differenzierbar
homotop (mit festen Endpunkten, siehe Abschnitt 16.5), dann ist c 0 = c 1 .
2. Bonnet–Myers. Geben Sie ein Beispiel einer zusammenhängenden Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g) mit folgenden Eigenschaften: Je zwei Punkte in M
220

können durch eine Geodätische verbunden werden, die Schnittkrümmung ist konstant
K = 1, und der Durchmesser ist unendlich. Warum widersprechen diese
Eigenschaften nicht der Bemerkung (ii) zum Satz von Bonnet und Myers? Hinweis:
Umwickeln Sie eine Umgebung des Äquators einer Sphäre mit einem unendlich langen
Streifen.
3. Killingfelder. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
(a) X ist ein Killingfeld, also L X g = 0.
(b) Das Feld von Endomorphismen ∇X : T p M → T p M, Y ↦→ ∇ Y X ist in jedem
Punkt p ∈ M antiselbstadjungiert bezüglich g(p), also
g(∇ Y X, Z) = −g(Y, ∇ Z X).
(c) In lokalen Koordinaten gilt X i,j = −X j,i .
4. Satz von Clairaut. (a) Sei X ein Killingfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g), und sei c eine Geodätische in M. Zeigen Sie, dass das Skalarprodukt
t ↦→ g(X(c(t)), ċ(t)) konstant ist.
(b) Sei nun speziell (M, g) eine Drehfläche im R 3 , versehen mit ihrer ersten Fundamentalform.
Für p ∈ M sei r(p) der Radius des Breitenkreises durch den Punkt
p. Sei c eine Geodätische in M, und sei θ(t) der Winkel zwischen ċ(t) und dem
Breitenkreis durch c(t). Zeigen Sie, dass die Funktion t ↦→ r(c(t)) θ(t) konstant ist
(Satz von Clairaut). Hinweis: Breitenkreise sind tangentiell an ein Killingfeld.
5. Linksinvariante Metriken. Zeigen Sie, dass jede linksinvariante Riemannsche
Metrik auf einer Liegruppe vollständig ist.
6. Adjungierte Darstellung. Sei G eine Liegruppe. Zeigen Sie, dass die Ableitung
der Abbildung Ad : G → GL(T e G) im neutralen Element gegeben ist durch
T e Ad : T e G → T e GL(T e G) ∼ = End(T e G)
(T e Ad)X = ad (X) ∈ End(T e G).
Dabei ist der Vektorraumendomorphismus ad (X) definiert durch
ad (X)Y = [X, Y ]
für X, Y ∈ T e G mit der in 17.8 eingeführten Lieklammer auf T e G ∼ = G.
7. Liegruppen. Sei G eine Liegruppe mit einer linksinvarianten Riemannschen
Metrik g. Zeigen Sie: Ein differenzierbarer Gruppenautomorphismus von G ist
genau dann eine Isometrie von g, wenn seine Ableitung im neutralen Element eine
lineare Isometrie (d.h. orthogonale Abbildung) von T e G bezüglich des Skalarproduktes
g(e) ist.
221

22. Riemannsche Überlagerungen
Die Krümmungseigenschaften einer vollständigen Riemannschen Metrik lassen in
gewissem Umfang Rückschlüsse auf die topologische Struktur der unterliegenden
Mannigfaltigkeit zu. Der Satz von Bonnet–Myers etwa zeigt, dass strikte Positivität
der Riccikrümmung nur auf kompakten Räumen möglich ist, und der in 21.4
erwähnte Sphärensatz besagt unter der zusätzlichen Voraussetzung des einfachen
Zusammenhangs von M, dass Riemannsche Metriken mit Schnittkrümmung zwischen
1/4 und 1 nur auf Mannigfaltigkeiten existieren, die homömorph zur Sphäre
sind. Daneben gibt es eine Reihe weiterer Resultate, die Aussagen über andere
topologische Eigenschaften gestatten.
Was aber sind topologische Eigenschaften eines Raumes M? Es sind solche, die
topologisch äquivalente, d.h. homöomorphe Räumen gemein haben, die also nur
vom Homöomorphietyp von M abhängen. Man spricht daher auch von topologischen
“Invarianten”. Kompaktheit ist eine topologische Eigenschaft, aber auch
der Homöomorphietyp selbst. Verfahren, solche Invarianten zu ermitteln, liefert die
algebraische Topologie. Hier werden den Räumen Objekte algebraischer Natur, etwa
Homologie- und Homotopiegruppen, zugeordnet, die bei homöomorphen Räumen
isomorph sind. Die Isomorphieklasse einer solchen Gruppe ist also eine topologische
Invariante des Raumes.
Die ersten Abschnitte dieses Kapitels sind der ersten Homotopiegruppe oder Fundamentalgruppe
und dem damit zusammenhängenden Begriff der Überlagerung gewidmet.
Überlagerungen sind uns bereits in Abschnitt 13.4 begegnet. Wir beschränken
uns auf eine knappe Darstellung und betonen Aspekte, die für die Riemannsche Geometrie
wichtig sind. Für eine ausführlichere Behandlung sei etwa auf das dritte
Kapitel von Glen E. Bredon’s Buch “Topology and Geometry” verwiesen. Danach
gehen wir auf den Begriff der Riemannschen Überlagerung ein und geben einfache
Anwendungen. Anschließend setzen wir die Untersuchung positiv gekrümmter Mannigfaltigkeiten
mit einem Fixpunktsatz von Weinstein fort, aus dem wir schließlich
den Satz von Synge über Fundamentalgruppe und Orientierbarkeit von Mannigfaltigkeiten
positiver Schnittkrümmung erhalten.
22.1. Überlagerungen. Sei M eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine Überlagerung von M ist eine surjektive differenzierbare Abbildung
π : ¯M → M mit folgender Eigenschaft: Jeder Punkt p ∈ M hat eine offene Umgebung
U dergestalt, dass
π −1 (U) = ⋃ α∈Λ U α (22.1.1)
ist mit disjunkten offenen Teilmengen U α ⊆ ¯M, die durch π| Uα diffeomorph auf U
abgebildet werden. Derartige offene Teilmengen U ⊆ M nennt man zulässige oder
Version 21. Juli 2000
222

gleichmässig überlagerte Teilmengen. Insbesondere ist also π ein lokaler Diffeomorphismus.
Da M zusammenhängend ist, hängt die Anzahl der Urbilder |π −1 (p)| ∈
N ∪ {∞} eines Punktes p ∈ M nicht von p ab. Sie heißt die Blätterzahl der
Überlagerung.
In ungenauer Sprechweise bezeichnet man oft anstelle der Abbildung π auch den
Raum ¯M als eine Überlagerung von M. Eine zusammenhängende Überlagerung ist
also eine Überlagerung π : ¯M → M, bei der ¯M zusammenhängend ist.
Jede einfach zusammenhängende Überlagerung π : ˜M → M heißt eine universelle
Überlagerung. Ist insbesondere M selbst einfach zusammenhängend, dann ist die
Identität id M : M → M eine universelle Überlagerung. Der folgende Satz, den wir
ohne Beweis angeben, besagt, dass es zu jedem M eine universelle Überlagerung
gibt und dass diese bis auf “fasertreue” Diffeomorphie eindeutig bestimmt ist.
Satz. (a) Zu jeder zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit M existiert
eine universelle Überlagerung π : ˜M → M.
(b) Seien π 1 : M 1 → M eine universelle Überlagerung und π 2 : M 2 → M eine Überlagerung
von M. Sind p 1 ∈ M 1 und p 2 ∈ M 2 Punkte mit π 1 (p 1 ) = π 2 (p 2 ), dann
existiert genau eine differenzierbare Abbildung φ : M 1 → M 2 mit π 2 ◦ φ = π 1 und
φ(p 1 ) = p 2 . Ist M 2 zusammenhängend, dann ist diese Abbildung eine Überlagerung.
(c) Seien π 1 : M 1 → M und π 2 : M 2 → M universelle Überlagerungen von M.
Sind p 1 ∈ M 1 und p 2 ∈ M 2 Punkte mit π 1 (p 1 ) = π 2 (p 2 ), dann existiert genau eine
differenzierbare Abbildung φ : M 1 → M 2 mit π 2 ◦ φ = π 1 und φ(p 1 ) = p 2 . Diese
Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
Falls M 2 in Teil (b) nicht zusammenhängend ist, dann kann man M 2 durch die p 2
enthaltende Zusammenhangskomponente M 2 ′ ersetzen und (b) auf die Überlagerung
π 2 | M ′
2
: M 2 ′ → M anwenden. — Die Aussage in Teil (c) ist eine einfache Folgerung
aus (b). In der Tat erhält man aus (b) differenzierbare Abbildungen φ : M 1 → M 2
und, nach Vertauschen der Rollen von M 1 und M 2 , auch ψ : M 2 → M 1 . Die Abbildung
ψ ◦ φ : M 1 → M 1 erfüllt dann π 1 ◦ (ψ ◦ φ) = π 1 und bildet p 1 auf sich selbst
ab. Dasselbe gilt für die Identitätsabbildung id M1 , und wegen der Eindeutigkeitsaussage
in (b), diesmal angewandt auf M 1 = M 2 , folgt ψ ◦ φ = id M1 . Ebenso zeigt
man φ ◦ ψ = id M2 . Also ist φ ein Diffeomorphismus mit inverser Abbildung ψ.
Korollar. Seien ¯M und M differenzierbare Mannigfaltigkeiten. ¯M sei zusammenhängend
und M einfach zusammenhängend. Dann ist jede Überlagerung π :
¯M → M ein Diffeomorphismus.
Beweis. Wendet man Teil (b) des Satzes an auf die universelle Überlagerung id :
M → M und die Überlagerung π : ¯M → M, so erhält man eine Überlagerung
φ : M → ¯M mit π ◦ φ = id M . Aus dieser Gleichung folgt zunächst, dass φ injektiv
ist, also ein Diffeomorphismus. Damit ist auch π = φ −1 ein Diffeomorphismus.
QED
223

Beispiel. Die Abbildung π : R → S 1 , π(t) = e it ist eine universelle Überlagerung
von S 1 . Schränkt man aber π ein auf ein beschränktes offenes Intervall, so erhält
man einen lokalen Diffeomorphismus, der keine Überlagerung ist.
22.2. Gruppenoperationen. Eine große Zahl weiterer Beispiele von Überlagerungen
erhält man durch Quotientenbildung nach freien und eigentlich diskontinuierlichen
Gruppenoperationen (Kapitel 11, Aufgabe 5). Wir erinnern zunächst
an diesen Begriff.
Eine differenzierbare (Links–)Operation einer Gruppe Γ auf einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung µ : Γ × M → M mit der Eigenschaft, dass
die Abbildung γ ↦→ µ(γ, ·) ein Gruppenhomomorphismus von Γ in die Diffeomorphismengruppe
von M ist. Wir schreiben kurz γp anstelle von µ(γ, p), wenn über
die Gruppenoperation µ kein Zweifel besteht. Jede Gruppenoperation definiert eine
Äquivalenzrelation auf M. Deren Äquivalenzklassen sind die Bahnen
Γp = {γp | γ ∈ Γ}
der Punkte p ∈ M. Den Quotientenraum dieser Operation, also die Menge aller
Bahnen, bezeichnen wir mit Γ\M. Dieser Quotient, versehen mit der Quotiententopologie,
trägt im allgemeinen nicht die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
Eine Gruppenoperation heißt frei und eigentlich diskontinuierlich, wenn gilt:
(a) Jeder Punkt p ∈ M besitzt eine Umgebung U mit U ∩ γU = ∅ für
alle γ ∈ Γ\{e}.
(b) Ist q ∈ M nicht in der Bahn Γp enthalten, dann existieren Umgebungen
U von p und V von q mit U ∩ γV = ∅ für alle γ ∈ Γ.
Operiert die Gruppe Γ frei und eigentlich diskontinuierlich auf der Mannigfaltigkeit
M, dann trägt nach Aufgabe 5 von Kapitel 11 der Quotientenraum Γ\M die
Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Man sieht leicht ein, dass die
kanonische Projektion M → Γ\M eine Überlagerung ist.
22.3. Decktransformationen. Sei π : ˜M → M eine universelle Überlagerung.
Eine Decktransformation ist ein Diffeomorphismus φ : ˜M → ˜M mit π ◦ φ = π.
Die Gruppe Deck aller Decktransformationen der Überlagerung bezeichnet man als
deren Decktransformationsgruppe, oder kurz Deckgruppe. Satz 22.1(c), angewandt
auf M 1 = M 2 = ˜M, ergibt: Zu je zwei Punkten ˜p, ˜q ∈ ˜M mit π(˜p) = π(˜q) existiert
genau eine Decktransformation φ mit φ(˜p) = ˜q. Daher stimmt die Anzahl der Decktransformationen
einer universellen Überlagerung mit ihrer B̷lätterzahl überein, es
ist also
Blätterzahl = |π −1 (p)| = |Deck|.
Satz. Sei π : ˜M → M eine universelle Überlagerung, Γ = Deck die Gruppe der
Decktransformationen. Dann operiert Γ frei und eigentlich diskontinuierlich auf ˜M,
und die Quotientenmannigfaltigkeit Γ\ ˜M ist diffeomorph zu M.
224

Zusammen mit Satz 22.1(a) ergibt sich, dass jede Mannigfaltigkeit diffeomorph ist
zum Quotienten einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit ˜M nach einer
frei und eigentlich diskontinuierlich operierenden Gruppe von Diffeomorphismen.
Beweis. Um zu zeigen, dass die Operation von Γ frei und eigentlich diskontinuierlich
ist, sind die Eigenschaften (a) und (b) aus 22.2 zu verifizieren. Sei dazu ˜p ∈ ˜M,
und sei U ⊆ M eine zulässige Umgebung von π(˜p) wie in (22.1.1). Dann ist ˜p ∈ U α
für einen Index α. Wir zeigen, dass die Umgebung U α von ˜p die Bedingung aus (a)
erfüllt, dass also für alle γ ∈ Γ mit γ ≠ id gilt γ(U α ) ∩ U α = ∅. Ist γ(U α ) ∩ U α ≠ ∅,
dann existieren ˜q, ˜r ∈ U α mit γ(˜q) = ˜r. Daraus folgt π(˜q) = π ◦ γ(˜q) = π(˜r), und
da π| Uα injektiv ist, folgt ˜q = ˜r. Also ist γ eine Decktransformation mit γ(˜q) = ˜q,
ebenso wie die Identitätsabbildung id von ˜M, und es folgt γ = id. Damit ist
Eigenschaft (a) bewiesen, und ein ähnliches Argument ergibt (b).
Es bleibt zu zeigen, dass der Quotient Γ\ ˜M diffeomorph zu M ist. Die Projektion
π : ˜M → M induziert eine offenbar bijektive Abbildung ¯π : Γ\ ˜M → M. Da die
Abbildungen ˜M → Γ\ ˜M und π : ˜M → M lokale Diffeomorphismen sind, ist das
auch für ¯π der Fall. Also ist ¯π ein bijektiver lokaler Diffeomorphismus, und folglich
ein Diffeomorphismus. QED
22.4. Deckgruppe und Fundamentalgruppe. Wir erinnern zunächst an den
Begriff der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes M in einem Punkt
p ∈ M. Eine stetige Schleife an p ist eine stetige Abbildung c : [0, 1] → M mit c(0) =
c(1) = p. Homotopie mit festen Endpunkten definiert eine Äquivalenzrelation ∼ auf
der Menge S(M, p) aller stetigen Schleifen an p. Die Quotientenmenge
π 1 (M, p) = S(M, p)/∼,
also die Menge aller Äquivalenzklassen [c], heißt die Fundamentalgruppe von M in p.
Man erhält eine Gruppenstruktur auf π 1 (M, p), indem man setzt [c 1 ] [c 2 ] = [c 1 ∗ c 2 ]
mit der Schleife
(c 1 ∗ c 2 )(t) =
{
c1 (2t) für 0 ≤ t ≤ 1/2;
c 2 (2t − 1) für 1/2 ≤ t ≤ 1.
Sind p und q ∈ M Punkte, die durch einen stetigen Weg verbunden werden können,
dann sind die Gruppen π 1 (M, p) und π 1 (M, q) isomorph. Man erhält einen Isomorphismus,
indem man Schleifen an p durch “Anhängen” des Verbindungsweges
zu Schleifen an q verlängert. Insbesondere ist in einem wegzusammenhängenden
Raum die Fundamentalgruppe π 1 (M, p) bis auf Isomorphie von p unabhängig. Man
spricht dann etwas ungenau von “der” Fundamentalgruppe von M und schreibt
π 1 (M) anstelle von π 1 (M, p). Der Raum M ist einfach zusammenhängend, wenn
diese Gruppe nur aus dem neutralen Element besteht.
Fundamentalgruppen können verwendet werden, um topologische Räume zu unterscheiden,
da zueinander homöomorphe Räume isomorphe Fundamentalgruppen
225

haben (Aufgabe 1). In diesem Sinne ist die Isomorphieklasse der Fundamentalgruppe
eine “topologische Invariante” des Raumes, d.h. invariant unter Homöomorphismen.
Der folgende Satz gestattet es oft, die Fundamentalgruppe eines
Raumes zu bestimmen, dessen universelle Überlagerung bekannt ist.
Satz. Die Deckgruppe jeder universellen Überlagerung π : ˜M → M einer zusammenhängenden
Mannigfaltigkeit ist zur Fundamentalgruppe π 1 (M, p) isomorph.
Beweisskizze. Wir definieren einen Gruppenisomorphismus Ψ : Deck → π 1 (M, p)
wie folgt. Sei ˜p ∈ π −1 (p). Für γ ∈ Deck sei c eine Kurve von γ(˜p) nach ˜p. Da ˜M
einfach zusammenhängend ist, sind je zwei solche Kurven homotop. Dann ist π ◦ c
eine Schleife an p, also [π ◦ c] ∈ π 1 (M, p). Wir setzen Ψ(γ) = [π ◦ c]. Man verifiziert,
dass Ψ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist. QED
Da die Blätterzahl einer universellen Überlagerung mit der Mächtigkeit ihrer Deckgruppe,
also mit der Mächtigkeit von π 1 (M, p) übereinstimmt, ergibt sich als
Folgerung. Die universelle Überlagerung einer kompakten zusammenhängenden
Mannigfaltigkeit M ist genau dann kompakt, wenn die Fundamentalgruppe π 1 (M, p)
endlich ist.
22.5. Riemannsche Überlagerungen. Eine Riemannsche Überlagerung ist eine
Überlagerung π : ¯M → M Riemannscher Mannigfaltigkeiten ( ¯M, ḡ) und (M, g), die
gleichzeitig eine lokale Isometrie ist, für die also π ∗ g = ḡ gilt. Ist π : ¯M → M eine
Überlagerung einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g),
dann wird π mit der Riemannschen Metrik ḡ := π ∗ g auf ¯M zu einer Riemannschen
Überlagerung. Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) besitzt also eine Riemannsche
universelle Überlagerung ( ˜M, ˜g), und diese ist bis auf fasertreue Isometrie
eindeutig bestimmt.
Für Decktransformationen φ ∈ Deck einer Riemannschen Überlagerung gilt wegen
π ◦ φ = π
φ ∗˜g = φ ∗ π ∗ g = (π ◦ φ) ∗ g = π ∗ g = ˜g.
Also sind alle Decktransformationen Isometrien der induzierten Metrik ˜g. Mit de
Ergebnissen aus 22.3 und 22.4 ergibt sich:
Folgerung. Jede zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist isometrisch
zum Quotienten einer einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit
( ˜M, ˜g) nach einer frei und eigentlich diskontinuierlich operierenden
Gruppe Γ von Isometrien. Die Gruppe Γ ist isomorph zur Fundamentalgruppe von
M.
Ist umgekehrt Γ eine eigentlich diskontinuierlich und frei operierende Gruppe von
Isometrien einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ( ¯M, ḡ) dann existiert auf der Quotientenmannigfaltigkeit
Γ\ ¯M offenbar genau eine Riemannsche Metrik g, mit der
die kanonische Projektion ¯M → Γ\ ¯M zur Riemannschen Überlagerung wird.
226

Lemma. Sei π : ¯M → M eine Riemannsche Überlagerung. Dann gilt:
dann vollständig, wenn M vollständig ist.
¯M ist genau
Beweis. Ist ¯M vollständig, dann auch M, weil π als lokale Isometrie Geodätische
in Geodätische abbildet. Sei nun umgekehrt M vollständig, und sei ¯c : [0, ε) → ¯M
eine Geodätische. Wir zeigen, dass sich ¯c für jede Zahl a > 0 zu einer auf [0, a]
definierten Geodätischen fortsetzen lässt. Die Kurve π ◦ ¯c =: c eine Geodätische in
M, also auf ganz R definiert. Indem man das Kompaktum c([0, a]) durch endlich
viele zulässige Mengen überdeckt, findet man durch sukzessives “Liften” von c eine
Kurve ˜c : [0, a] → ¯M mit π ◦ ˜c = c| [0,a] und ˜c| [0,ε) = ¯c. Da c eine Geodätische ist
und π eine lokale Isometrie, ist auch ˜c eine Geodätische. QED
Kommentar über Raumformen. Vollständige zusammenhängende Riemannsche
Mannigfaltigkeiten konstanter (Schnitt-)Krümmung werden traditionell als
Raumformen bezeichnet. Die Ergebnisse diese Abschnittes sind Ansatzpunkt für
eine “Klassifikation” der Raumformen.
Ist (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung K, dann hat
für positives λ ∈ R die Metrik λg Schnittkrümmung K/λ, da g und λg offenbar
denselben Levi–Civita–Zusammenhang haben. Es reicht daher aus, Räume
der konstanten Krümmung K = 1, K = 0 oder K = −1 zu untersuchen. Wir bemerken
weiter, dass Riemannsche Überlagerungsräume von Räumen konstanter
Krümung dieselbe konstante Krümmung haben, da Riemannsche Überlagerungen
lokale Isometrien sind.
Man kann zeigen dass alle einfach zusammenhängenden Raumformen isometrisch
zur Standardsphäre, zum euklidischen Raum oder zum hyperbolischen Raum (Kapitel
20, Aufgabe 4) sind, je nachdem, ob die Krümmung K = 1, K = 0 oder K = −1
ist. Alle anderen Raumformen erhält man dann als Quotienten dieser drei Standardräume
nach frei und eigentlich diskontinuierlich operierenden Untergruppen Γ ihrer
Isometriegruppe. Die entsprechenden Quotientenräume nennt man sphärische, euklidische
und hyperbolische Raumformen. Einzelheiten zu diesem Thema findet man
in J. A. Wolf’s Buch “Spaces of constant curvature”.
22.6. Eine einfache Anwendung.
Satz. Sei (M n , g) eine kompakte und zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit
mit positiver Riccikrümmung Ric > 0. Dann ist die Fundamentalgruppe
von M endlich.
Beweis. Da M kompakt ist, existiert eine Zahl κ > 0 mit Ric ≥ (n−1)κg. Sei
π : ˜M → M eine universelle Überlagerung und sei ˜g = π ∗ g. Dann erfüllt ( ˜M, ˜g) die
Voraussetzungen des Satzes von Bonnet–Myers. Das Lemma in 22.5 sichert dabei
die Vollständigkeit von ˜g, und die Krümmungsschranke von (M, g) übertragt sich
auf ( ˜M, ˜g), weil π eine lokale Isometrie ist. Nach dem Satz von Bonnet–Myers ist
˜M kompakt, und die Folgerung aus 22.4 liefert die Behauptung. QED
227

Beispiel. Sei M eine kompakte zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann existiert auf M × S 1 keine Riemannsche Metrik mit positiver Riccikrümmung.
Denn die Fundamentalgruppe π 1 (M × S 1 ) ∼ = π 1 (M) × π 1 (S 1 ) enthält
π 1 (S 1 ) ∼ = Z, ist also unendlich. Dagegen ist seit 1992 bekannt † , dass auf jeder
differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Dimension ≥ 3 vollständige Riemannsche
Metriken mit negativer Riccikrümmung existieren.
Korollar (Satz von Weyl). Sei G eine kompakte zusammenhängende Liegruppe,
deren Liealgebra triviales Zentrum C(G) = {0} hat. Dann ist die Fundamentalgruppe
von G endlich.
Beweis. Nach dem Satz in 21.3 existiert auf G eine biinvariante Riemannsche
Metrik. Das Korollar in 21.4 besagt, dass jede solche Metrik auf G positive Riccikrümmung
hat. Die Behauptung folgt nun aus dem Satz. QED
22.7. Ein Kriterium für Überlagerungen. Um zu schließen, dass ein lokaler
Diffeomorphismus eine Überlagerung ist, sind zusätzliche Voraussetzungen erforderlich.
Für unsere Zwecke ist das folgende Kriterium nützlich.
Satz 1. Seien ¯M ≠ ∅ und M differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Zusammenhängen
¯∇ und ∇. Die Mannigfaltigkeit M sei zusammenhängend. Sei π :
¯M → M ein lokaler Diffeomorphismus, der Geodätische in Geodätische abbildet.
Ist ¯∇ vollständig, dann ist π eine Überlagerung.
Die Voraussetzung über π ist so zu verstehen: Ist ¯c eine Geodätische von ¯∇, dann
ist π ◦ ¯c Geodätische von ∇. Diese Bedingung ist offensichtlich gleichbedeutend mit
π ◦ exp = exp ◦ T π, (22.6.1)
wenn exp die Exponentialabbildungen von ∇ und ¯∇ bezeichnet.
Beweis. Wir beweisen zunächst, dass π surjektiv ist. Zu diesem Zweck zeigen wir,
dass das Bild π( ¯M) eine nichtleere, offene und abgeschlossene Teilmenge von M ist.
Daraus folgt dann π( ¯M) = M, also die Surjektivität. Nach dem Satz über inverse
Funktionen 4.2(c) ist das Bild offen, da π ein lokaler Diffeomorphismus ist. Zum
Nachweis der Abgeschlossenheit sei π(¯p k ) eine Folge in π( ¯M) mit Grenzwert p. Wir
zeigen, dass dann auch p ∈ π( ¯M) ist. Für jeden hinreichend großen Index k existiert
eine Geodätische c : [0, 1] → M mit c(0) = π(¯p k ) und c(1) = p. Sei ¯c : [0, 1] → ¯M
die Geodätische mit
˙¯c(0) = (T¯pk π) −1 ċ(0).
Die Vollständigkeit von ¯∇ stellt sicher, dass ¯c auf ganz [0, 1] definiert ist. Dann
gilt π ◦ ¯c = c, insbesondere π(¯c(1)) = c(1) = p und damit p ∈ π( ¯M). Damit ist die
Surjektivität von π bewiesen.
† J. Lohkamp, Metrics of negative Ricci curvature, Ann. of Math. 140(1994), 655–
683.
228

Wir zeigen nun, dass jeder Punkt p ∈ M ein zulässige Umgebung U im Sinne von
22.1 hat. Sei V ⊆ T p M eine konvexe Umgebung des Nullpunktes, die durch die
Exponentialabbildung exp p diffeomorph auf eine offene Teilmenge U := exp p (V )
von M abgebildet wird. Sei weiter π −1 (p) = {p α | α ∈ Λ} mit einer Indexmenge Λ,
und sei
V α := (T pα π) −1 (V ) ⊆ T pα ¯M.
Da π Geodätische in Geodätische abbildet, ist
π ◦ exp pα
= exp p ◦ T pα π.
Folglich wird V α durch exp pα
diffeomorph auf die offene Teilmenge
U α := exp pα
(V α ) ⊆ ¯M
abgebildet. Also ist
π ∣ ∣
Uα
= exp p
∣
∣V ◦ T pα π ◦ (exp pα
∣
∣Vα
) −1
ein Diffeomorphismus von U α auf U. Wir beenden den Beweis, indem wir zeigen:
(1) U α ∩ U β ≠ ∅ impliziert α = β
(2) π −1 (U) = ⋃ α∈Λ U α.
Zum Beweis von (1) sei ¯p ∈ U α ∩ U β . Sei c α : [0, 1] → ¯M die eindeutig bestimmte
Geodätische mit c α (0) = ¯p und c α (1) = p α , die ganz in U α verläuft. Ebenso
sei c β : [0, 1] → ¯M die eindeutig bestimmte Geodätischen von c β (0) = ¯p nach
c β (1) = p β , die ganz in U β liegt. Dann sind die Kurven π ◦ c α und π ◦ c β Geodätische
von π(¯p) nach p, die ganz in U enthalten sind. Also gilt π ◦ c α = π ◦ c β ,
und es folgt
(T¯p π) ċ α (0) = (π ◦ c α )·(0)
= (π ◦ c β )·(0)
= (T¯p π) ċ β (0).
Damit ist ċ α (0) = ċ β (0), also c α = c β . Insbesondere folgt p α = c α (1) = c β (1) = p β ,
und daraus α = β.
Zum Beweis von (2): Offensichtlich ist ⋃ α U α ⊆ π −1 (U). Wir beweisen die umgekehrte
Inklusion. Seien dazu ¯q ∈ π −1 (U) und q := π(¯q). Wir betrachten die
Geodätische c : [0, 1] → M von c(0) = q nach c(1) = p mit c([0, 1]) ⊆ U, und die
Geodätische ¯c : [0, 1] → ¯M mit Tangentialvektor
˙¯c(0) = (T¯q π) −1 ċ(0).
Dann ist ¯c(0) = ¯q und π ◦ ¯c = c, insbesondere also π(¯c(1)) = c(1) = p. Daher gilt
¯c(1) = p α für einen Index α ∈ Λ, und es folgt ¯q ∈ U α . QED
229

Satz 2. Sei (M, g) eine zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit,
und sei p ∈ M. Ist exp p : T p M → M ein lokaler Diffeomorphismus, dann
ist exp p eine Überlagerung. Ist zusätzlich M einfach zusammenhängend, dann ist
exp p ein Diffeomorphismus.
Beweis. Wir betrachten die Riemannsche Metrik ḡ = exp ∗ p g auf T p M. Die Riemannsche
Mannigfaltigkeit (T p M, ḡ) hat die Eigenschaft, dass die Geodätischen
durch 0 genau die Kurven c(t) = tX mit X ∈ T p M sind. Insbesondere ist die Exponentialabbildung
exp 0 : T 0 (T p M) → T p M auf ganz T 0 (T p M) definiert. Nach dem
Kriterium (a) des Satzes 19.2 von Hopf und Rinow ist (T p M, ḡ) eine vollständige
Riemannsche Mannigfaltigkeit. Satz 1 liefert nun die erste Aussage, und mit dem
Korollar aus 22.1 folgt die zweite. QED
Beispiel. Beim Rotationsparaboloid z = x 2 + y 2 im R 3 ist der Scheitelpunkt
p = (0, 0, 0) der einzige Punkt, der die Voraussetzung des Satzes erfüllt.
22.8. Fixpunktsatz von Weinstein. Sei (M n , g) eine kompakte, zusammenhängende
orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung K > 0. Sei
f : M → M eine Isometrie. Ist die Dimension n gerade und f orientierungserhaltend,
oder ist n ungerade und f orientierungsumkehrend, dann existiert ein Punkt
p ∈ M mit f(p) = p.
Die Voraussetzungen des Satzes lassen sich anhand der Antipodenabbildung x ↦→
−x der Einheitssphäre S n ⊆ R n+1 illustrieren. Diese Abbildung ist fixpunktfrei,
und sie ist genau dann orientierungserhaltend, wenn die Dimension n ungerade ist.
Für den Beweis des Fixpunktsatzes verwenden wir das folgende Lemma über die
Existenz invarianter Geodätischer.
Lemma. Sei f : M → M eine Isometrie einer zusammenhängenden Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Die Verschiebungsfunktion p ↦→ d(p, f(p)) nehme ein
lokales Minimum im Punkt p ∈ M an. Sei c : R → M eine Geodätische mit
der Eigenschaft, dass für eine Zahl l ≥ 0 die Einschränkung c| [0,l] eine Kürzeste
von p nach f(p) ist, also c(0) = p, c(l) = f(p) und L(c| [0,l] ) = d(p, f(p)). Dann gilt
(T p f)ċ(0) = ċ(l), und es ist f(c(t)) = c(t + l) für alle t ∈ R.
Beweis. Ist f(p) = p, dann ist c konstant, und die Behauptungen gelten offensichtlich.
Sei nun f(p) ≠ p. Wir zeigen zunächst, dass für alle X ∈ T p M aus dem
orthogonalen Komplement ċ(0) ⊥ gilt
(T p f)X ∈ ċ(l) ⊥ . (∗)
Sei dazu V ein differenzierbares Vektorfeld längs c mit V (0) = X und V (l) =
(T p f)X, und sei H(s, t) = c s (t) = exp(sV (t)). Nach der ersten Variationsformel
(18.1.2) ist dann
d
ds∣ L(c s ) = 1 ∣ ∣∣
0
‖ċ‖ 〈V, ċ〉 l
230
0 = 1
‖ċ‖
〈V (l), ċ(l)〉.

Nun ist c s (0) = exp(sX) und
c s (l) = exp(s(T p f)X) = f(exp(sX)) = f(c s (0)),
da f eine Isometrie ist. Da die Verschiebungsfunktion ein lokales Minimum an p
hat, folgt für alle s aus einer Umgebung von 0
L(c s ) ≥ d(c s (0), c s (l))
= d(c s (0), f(c s (0))
≥ d(p, f(p))
= L(c 0 ).
Daher ist die Ableitung d/ds| 0 L(c s ) = 0, also 〈V (l), ċ(l)〉 = 0, und die Behauptung
(∗) ist bewiesen.
Da T p f eine lineare Isometrie ist, folgt aus (∗) zunächst (T p f)ċ(0) = ± ċ(l), und
daraus f(c(t)) = c(l ± t), da sowohl f(c(t)) als auch c(l ± t) Geodätische mit demselben
Tangentialvektor an t = 0 sind. Wäre f(c(t)) = c(l − t), dann hätte man
d(c(t), f(c(t))) = ‖ċ‖ · (l − 2t), und p wäre kein lokales Minimum der Verschiebungsfunktion,
im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist f(c(t)) = c(l + t). QED
Wir kommen nun zum Beweis des Fixpunktsatzes. Da (M n , g) kompakt ist, nimmt
die Verschiebungsfunktion p ↦→ d(p, f(p)) ihr Minimum in einem Punkt p an. Wir
führen die Annahme p ≠ f(p) zu einem Widerspruch. Sei c : [0, l] → M eine kürzeste
Geodätische von p nach f(p), und sei A : T p M → T p M die lineare Isometrie
A := P0,l c ◦ T pf, wobei P0,l c die Parallelverschiebung längs c bezeichnet. Wegen
des Lemmas gilt A ċ(0) = ċ(0), also auch A(ċ(0) ⊥ ) ⊆ ċ(0) ⊥ . Nun verwenden wir
folgende
Bemerkung. Sei A : V → V eine orthogonale Abbildung eines m–dimensionalen
euklidischen Vektorraumes V . Ist m ungerade und die Determinante det(A) > 0,
oder ist m gerade und det(A) < 0, dann existiert ein Vektor X ∈ V \{0} mit
AX = X.
Der Beweis ergibt sich leicht aus der Normalform orthogonaler Abbildungen: V ist
eine orthogonale direkte Summe von zweidimensionalen Unterräumen, auf denen A
eine Drehung um einen Winkel /∈ Zπ ist, und von Eigenräumen zu Eigenwerten 1
und −1. Die Voraussetzungen sind so beschaffen, dass der Eigenwert 1 vorkommen
muss.
Die Bemerkung, angewandt auf V = ċ(0) ⊥ , impliziert, dass ein Einheitsvektor
X ∈ ċ(0) ⊥ existiert mit AX = X, also mit (T p f)X = Pl,0 c X. Sei
V (t) = P c t,0X ∈ T c(t) M.
Dann ist V ein paralleles Vektorfeld längs c mit V (0) = X und V (l) = (T p f)X. Die
zweite Variationsformel, angewandt auf c s (t) = H(s, t) = exp(sV (t)), ergibt wegen
231

∇ t V = 0 und ∇ s ∂ s H(0, t) = 0
∣
d 2 ∣∣∣0
ds 2 L(c s ) = − 1
‖ċ‖
= −‖ċ‖
∫ l
0
∫ l
Also ist L(c s ) < L(c 0 ) für kleine |s|. Andererseits ist
und damit
c s (l) = exp(sV (l))
0
= exp(s(T p f)X)
= f(exp(sX))
= f(c s (0)),
〈R(V, ċ)ċ, V 〉 dt
K(V, ċ) dt < 0.
d( c s (0), f(c s (0)) ) = L(c s ) < L(c 0 ) = d(p, f(p))
im Widerspruch zur Wahl von p. QED
22.9. Orientierungsüberlagerung und Satz von Synge. Sei M eine zusammenhängende
differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wir betrachten die Menge ¯M aller
Orientierungen (siehe 11.1) aller Tangentialräume an M, also
¯M = { (p, O p ) | p ∈ M, O p ist eine Orientierung von T p M }.
Sei π : ¯M → M die Abbildung π(p, Op ) = p. Dann existieren, wie man leicht
einsieht, auf ¯M genau eine Topologie und differenzierbare Struktur dergestalt, dass
π eine zweiblättrige Überlagerung wird. Diese Überlagerung π : ¯M → M heißt
die Orientierungsüberlagerung von M. Durch die Festlegung, dass für alle ¯p =
(p, O p ) ∈ ¯M die Ableitung T¯p π : T¯p ¯M → Tp M bezüglich der Orientierung O p von
T p M orientierungserhaltend ist, wird ¯M zu einer orientierten Mannigfaltigkeit. Man
zieht also die Orientierung O p von T p M mit dem Vektorraumisomorphismus T¯p π
zu einer Orientierung von T¯p ¯M zurück. Bezeichnet O
′
p die zu O p entgegengesetzte
Orientierung von T p M, dann ist die durch flip(p, O p ) = (p, O ′ p) definierte Abbildung
flip : ¯M → ¯M offenbar ein orientierungsumkehrender Diffeomorphismus von ¯M.
Lemma. Die Orientierungsüberlagerung ¯M einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit
M ist genau dann zusammenhängend, wenn M nicht orientierbar ist. Insbesondere
ist jede einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit orientierbar.
Beweis. M ist genau dann nicht orientierbar, wenn es zu jedem Punkt p ∈ M
eine orientierungsumkehrende Schleife c an p gibt, genauer: eine stetige Kurve
¯c : [0, 1] → ¯M,
¯c(t) = (c(t), O c(t) )
232

mit c(0) = c(1) = p und O c(1) = O
c(0) ′ . Die erste Aussage ergibt sich leicht aus dieser
Feststellung. Da nach dem Korollar in 22.1 einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten
keine zweiblättrigen zusammenhängenden Überlagerungsräume haben,
folgt die zweite Aussage aus der ersten. QED
Satz von Synge. Sei (M n , g) eine kompakte zusammenhängende Riemannsche
Mannigfaltigkeit mit positiver Schnittkrümmung K > 0.
(a) Ist n gerade und M orientierbar, dann ist M einfach zusammenhängend.
(b) Ist n gerade und M nicht orientierbar, dann ist die Fundamentalgruppe von M
isomorph zu Z/2Z.
(c) Ist n ungerade, dann ist M orientierbar.
Beweis. (a) Wir zeigen, dass die Fundamentalgruppe von M trivial ist. Sei π : ˜M →
M eine Riemannsche universelle Überlagerung. Nach 22.4 genügt es, zu zeigen, dass
ihre Deckgruppe Deck trivial ist.
Da M kompakt ist, gibt es eine positive Zahl κ mit K > κ. Dieselbe Ungleichung
gilt für den Überlagerungsraum ( ˜M, π ∗ g). Nach dem Satz von Bonnet–Myers ist
daher ˜M kompakt und erfüllt die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes 22.8 von
Weinstein. Die Mannigfaltigkeit M ist diffeomorph zum Quotienten Deck\ ˜M, und
da M orientierbar ist, ist jede Decktransformation γ ein orientierungserhaltender
Diffeomorphismus von ˜M (vergleiche Aufgabe 6 von Kapitel 11). Der Fixpunktsatz
von Weinstein impliziert nun, dass γ einen Fixpunkt hat. Da andererseits Deck frei
und eigentlich diskontinuierlich auf ˜M operiert, hat kein Element γ ≠ id Fixpunkte.
Also besteht Deck nur aus der Identität.
(b) Die Anwendung von (a) auf die Orientierungsüberlagerung π : ¯M → M (mit der
Metrik π ∗ g) ergibt, dass ¯M einfach zusammenhängend ist. Folglich ist π : ¯M → M
eine universelle Überlagerung mit Blätterzahl 2, und damit |π 1(M)| = |Deck| = 2.
(c) Die zweifache orientierte Überlagerung ¯M ist eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit
positiver Schnittkrümmung, die einen orientierungsumkehrenden Diffeomorphismus
flip : ¯M → ¯M ohne Fixpunkte zuläßt. Nach dem Fixpunktsatz von
Weinstein ist ¯M unzusammenhängend. Folglich ist M orientierbar. QED
Aufgaben
1. Fundamentalgruppen. Zeigen Sie, dass zueinander homöomorphe zusammenhängende
topologische Räume isomorphe Fundamentalgruppen haben. Hinweis:
Jede stetige Abbildung ϕ : M → N induziert einen Gruppenhomomorphismus
ϕ # : π 1 (M, p) → π 1 (N, ϕ(p)).
2. Produkte. Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes in 23.3 folgende Beziehung für
die Fundamentalgruppe eines kartesischen Produktes:
π 1 (M × N) ∼ = π 1 (M) × π 1 (N)
233

3. Liegruppen. Sei φ : G → H ein differenzierbarer Gruppenhomomorphismus
von Liegruppen G und H. Die Ableitung T e φ : T e G → T e H im neutralen Element
sei ein Vektorraumisomorphismus. Zeigen Sie, dass φ eine Überlagerung ist.
4. Killingfelder. Sei (M, g) eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit
positiver Schnittkrümmung und gerader Dimension. Zeigen Sie, dass jedes Killingfeld
auf M eine Nullstelle hat.
5. Geschlossene Geodätische. Eine Geodätische c : [a, b] → M heißt geschlossen,
wenn c(a) = c(b) und ċ(a) = ċ(b) ist. Sei c eine geschlossene Geodätische in
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit positiver Schnittkrümmung und gerader
Dimension. Die Parallelverschiebung T c(a) → T c(b) M längs c sei orientierungserhaltend,
habe also positive Determinante. Zeigen sie: Es existiert eine Variation
c s (t) = H(s, t) von c durch geschlossene differenzierbare Kurven c s , die kürzer sind
als c. Hinweis: Verwenden Sie die zweite Variationsformel mit einem geeigneten
Vektorfeld V längs c.
234

23. Jacobifelder und Indexlemma
Jacobifelder sind Vektorfelder längs einer Geodätischen c in einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit M, die der Jacobigleichung, einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung
zweiter Ordnung, genügen. Sie sind charakterisiert als die Variationsvektorfelder
derjenigen Variationen von c = c 0 , bei denen alle Nachbarkurven
c s Geodätische sind. Es zeigt sich insbesondere, dass die Ableitung der Exponentialabbildung
exp p auf einfache Weise durch Jacobifelder beschrieben wird. Da in
die Jacobigleichung der Krümmungstensor eingeht, ergeben sich Beziehungen zwischen
dem Krümmungsverhalten von M und Eigenschaften der Exponentialabbildung.
Als Folgerung erhalten wir den Satz von Hadamard–Cartan über die Struktur
von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung. Danach beweisen wir eine
Minimaleigenschaft von Jacobifeldern, das sogenannte Indexlemma, das im nächsten
Kapitel Verwendung finden wird, und beschließen das Kapitel mit dem Jacobikriterium
für die Minimalität von Geodätischen.
Im Folgenden ist (M, g) eine n–dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit
Levi–Civita–Zusammenhang ∇ und Exponentialabbildung exp. Soweit nichts anderes
festgelegt wird, bezeichnet c : [a, b] → M eine Geodätische. Wir verwenden
die abkürzende Schreibweise ∇ t = ∇/dt.
23.1. Jacobifelder als Variationsvektorfelder. Ein differenzierbares Vektorfeld
J längs der Geodätischen c heißt ein Jacobifeld, wenn für alle t ∈ [a, b] die
Jacobigleichung
∇ t ∇ t J + R(J, ċ)ċ = 0. (23.1.1)
erfüllt ist. Dabei ist R der Krümmungstensor von (M, g).
Lemma 1. Sei H ∈ C ∞ ((−ε, ε) × [a, b], M) eine Variation von c, und sei V (t) =
∂H/∂s(0, t) das entsprechende Variationsvektorfeld längs c = c 0 . Sind alle Kurven
c s = H(s, ·) Geodätische, dann ist V ein Jacobifeld.
Beweis. Da alle c s Geodätische sind, ist ∇ t ∂ t H = 0. Mit den Gleichungen (18.1.1)
und (16.3.1) ergibt sich
∇ t ∇ t ∂ s H = ∇ t ∇ s ∂ t H
= ∇ s ∇ t ∂ t H + R(∂ t H, ∂ s H)∂ t H
= R(∂ t H, ∂ s H)∂ t H.
Für s = 0 ist ∂ t H = ċ und ∂ s H = V , und die Behauptung folgt. QED
Lemma 2. Seien J 0 , J ′ 0 ∈ T c(a)M. Dann existiert genau ein Jacobifeld längs c mit
J(a) = J 0 und (∇ t J)(a) = J ′ 0. Insbesondere ist die Menge der Jacobifelder längs c
ein 2n–dimensionaler Vektorraum.
Version 25. Juli 2000
235

Beweis. Seien V 1 , . . . , V n parallele Vektorfelder längs c, die für jeden Wert t ∈ [a, b]
eine Basis von T c(t) M bilden, und sei J ein Vektorfeld längs c. Dann ist J = J i V i
mit gewissen Komponentenfunktionen J i , und es gilt ∇ t J = (J i ) ′ V i . Außerdem ist
R(V i , ċ)ċ = a i k V k mit Koeffizienten a i k ∈ C ∞ ([a, b]), und damit R(J, ċ)ċ = J i a i k V k .
Die Jacobigleichung ist daher äquivalent zum linearen System gewöhnlicher Differentialgleichungen
(J k ) ′′ + a i k J i = 0 (k = 1, . . . , n). (23.1.2)
Die Behauptung folgt (siehe 9.5). QED
Bemerkung. Ist ∇R = 0 auf M, dann ist R(V i , ċ)ċ ein paralleles Vektorfeld längs
c, und damit sind die Koeffizienten a k i konstant. Das Differentialgleichungssystem
(23.1.2) läßt sich dann explizit lösen. Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit
parallelem Krümmungstensor, also mit ∇R = 0, heißen lokalsymmetrische Räume.
Beispiele lokalsymmetrischer Räume sind die Räume konstanter Krümmung und
Liegruppen mit biinvarianter Riemannscher Metrik. Man folgert das leicht aus den
jeweiligen Formeln für den Krümmungstensor in (20.6.1) und 21.4.
Lemma 3. Seien J 0 , J ′ 0 ∈ T c(a)M, und sei γ : (−ε, ε) → M differenzierbar mit
˙γ(0) = J 0 . Sei H die Variation
H(s, t) = exp γ(s)
(
(t − a)P
γ
s,0 (ċ(a) + sJ ′ 0) ) . (23.1.3)
Dann ist das Variationsvektorfeld J(t) = ∂H/∂s(0, t) das Jacobifeld längs c mit den
Anfangswerten J(a) = J 0 und (∇ t J)(a) = J ′ 0 .
Insbesondere ist also jedes Jacobifeld längs c das Variationsvektorfeld einer Variation
mit geodätischen Nachbarkurven c s = H(s, ·). Um sicherzustellen, dass H auf
(−ε, ε) × [a, b] definiert ist, muß ε nötigenfalls verkleinert werden, da (M, g) nicht
als vollständig vorausgesetzt ist.
Beweis. Da die Kurven c s = H(s, ·) Geodätische sind, ist J jedenfalls ein Jacobifeld.
Zu zeigen bleibt, dass J(a) = J 0 gilt und (∇ t J)(a) = J ′ 0. Tatsächlich ist
J(a) = ∂H (0, a) =
d ∂s
ds ∣ exp γ(s) (0) = d 0
ds∣ γ(s) = J 0
0
und
(∇ t J)(a) = (∇ t ∂ s H)(0, a)
= (∇ s ∂ t H)(0, a)
∣
= ∇ ∣s=0 s P γ s,0 (ċ(a) + sJ 0 ′ )
= 0 + J 0 ′ ,
wie behauptet. QED
236

Korollar. Seien p ∈ M, X, Y ∈ T p M und sei J das Jacobifeld längs der Geodätischen
t ↦→ exp(tX) mit J(0) = 0 und (∇ t J)(0) = Y . Dann gilt
J(t) = ( T tX exp p
)
(ιtX tY ). (23.1.4)
Dabei bezeichnet ι tX
: T p M → T tX T p M den kanonischen Isomorphismus (17.6.1).
Beweis. Wendet man Lemma 3 mit der konstanten Kurve γ(s) = p an, dann ergibt
sich
J(t) = ∂H (0, t)
∂s
= ∂ ∂s∣ exp p (t(X + sY ))
0
= (T tX exp p ) ∂ ∂s∣ t(X + sY )
0
= (T tX exp p )(ι tX
tY ) . QED
Lemma 4. Sei J ein Jacobifeld längs der Geodätischen c.
(a) Es gilt 〈J(t), ċ(t)〉 = λt + µ mit Konstanten λ, µ ∈ R.
(b) Die an c tangentielle Komponente
J tan =
〈
ċ
〉 ċ
J,
‖ċ‖ ‖ċ‖
und die zu ċ orthogonale Komponente J ⊥ = J − J tan sind ebenfalls Jacobifelder.
(c) Für an c tangentielle Jacobifelder J gilt
J(t) = P c t,a(
J(a) + t(∇t J)(a) ) .
Da die an c tangentielle Komponente eines Jacobifeldes durch (c) gegeben ist, kann
man sich für viele Zwecke auf die Betrachtung der zu ċ orthogonalen Jacobifelder
beschränken.
Beweis. Die erste Aussage ergibt sich aus
〈J, ċ 〉 ′′ = 〈∇ t ∇ t J, ċ 〉 = −〈R(J, ċ)ċ, ċ 〉 = 0.
Für (b) bemerkt man, dass J tan die Jacobigleichung erfüllt. Die rechte Seite der
Gleichung in (c) ist ein Jacobifeld mit denselben Anfangswerten J(a) und ∇ t J(a)
wie J, stimmt also mit J überein. QED
23.2. Jacobifelder in Räumen konstanter Krümmung. In Räumen konstanter
Schnittkrümmung K = κ gilt nach (20.6.1) R(X, Y )Z = κ(〈Y, Z 〉X −〈X, Z 〉Y ),
also
R(J, ċ)ċ = κ(‖ċ‖ 2 J − 〈J, ċ 〉ċ ).
237

Ist speziell 〈J, ċ 〉 = 0, dann lautet die Jacobigleichung
∇ t ∇ t J + κ ‖ċ‖ 2 J = 0. (23.2.1)
Sei V 1 , . . . , V n wie im Beweis von 23.1 Lemma 2 ein längs c paralleles Repèrefeld.
Für die durch J = J i V i definierten Komponenten von J ergibt sich das System
(J k ) ′′ + κ ‖ċ‖ 2 J k = 0.
Mit J(t) = P c t,a(
J k (t)V k (a) ) erhält man die Lösung explizit als
J(t) = P c t,a
(
cos (√ κ ‖ċ‖ (t − a) ) J(a) + sin (√ κ ‖ċ‖ (t − a) ) )
√ (∇ t J)(a)
κ ‖ċ‖
falls κ > 0 ist. Im Fall κ < 0 sind in dieser Formel κ durch −κ, sin durch sinh und
cos durch cosh zu ersetzen, also
J(t) = P c t,a
(
cosh (√ −κ ‖ċ‖ (t − a) ) J(a) + sinh (√ −κ ‖ċ‖ (t − a) )
√ −κ ‖ċ‖
Für κ = 0 schließlich lautet die Lösung
J(t) = P c t,a(
J(a) + (t − a)(∇t J)(a) ) .
)
(∇ t J)(a) .
23.3. Konjugierte Punkte und negative Krümmung. Ein Punkt c(t) einer
Geodätischen c : [a, b] → M heißt zu c(a) konjugiert längs c, oder etwas ungenauer:
ein konjugierter Punkt von c, wenn ein Jacobifeld J ≠ 0 längs c existiert mit J(a) =
0 und J(t) = 0. Wegen Lemma 4(a) in 23.1 ist dann 〈J, ċ 〉 = 0. Aus dem Korollar
in 23.1 ergibt sich:
Lemma. Der Punkt exp p (X) ist genau dann zu p konjugiert längs der Geodätischen
γ(t) = exp p (tX), wenn Kern(T X exp p ) ≠ {0} ist.
Die Dimension des Raumes der Jacobifelder längs c mit J(a) = 0 und J(t) = 0 nennt
man die Multiplizität des konjugierten Punktes. In der Situation des Lemmas ist
das die Dimension des Kernes von T X exp p .
Proposition. In Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g) mit Schnittkrümmung
K ≤ 0 haben Geodätische keine konjugierten Punkte. Insbesondere ist für jeden
Punkt p ∈ M die Abbildung exp p : ˜T p M → M ein lokaler Diffeomorphismus.
Beweis. Sei J ≠ 0 ein Jacobifeld längs c mit J(a) = 0. Dann ist
〈J, J 〉 ′′ = 2〈∇ t J, J 〉 ′
= 2〈∇ t ∇ t J, J 〉 + 2 ‖∇ t J‖ 2
= −2〈R(J, ċ)ċ, J 〉 + 2 ‖∇ t J‖ 2
≥ 0.
238

Für die Funktion f(t) = 〈J(t), J(t)〉 auf [a, b] gilt also f ′′ ≥ 0. Außerdem ist f(a) =
f ′ (a) = 0 und f ′′ (a) = 〈∇ t J, ∇ t J 〉(a) ≥ 0. Da J nicht identisch verschwindet, ist
∇ t J(a) ≠ 0 und damit f ′′ (a) > 0. Folglich hat f keine Nullstelle in (a, b], und die
Geodätische c hat keinen zu c(a) konjugierten Punkt. QED
Satz von Hadamard–Cartan. Sei (M, g) eine zusammenhängende, vollständige
Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung K ≤ 0, und sei p ∈ M. Dann
ist die Exponentialabbildung exp p : T p M → M eine Überlagerung. Ist M einfach
zusanmmenhängend, dann ist exp p ein Diffeomorphismus.
Der Satz folgt unmittelbar aus der Proposition und aus Satz 2 in 22.7. Vollständige,
einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung
K ≤ 0 nennt man Hadamard–Mannigfaltigkeiten. Aufgrund des Satzes sind solche
Mannigfaltigkeiten M diffeomorph zu R n , und je zwei Punkte p, q ∈ M können
durch eine eindeutig bestimmte Geodätische c : [0, 1] → M verbunden werden.
Diese Geodätische c hängt differenzierbar von p und q ab. Genauer gesagt, gilt
folgende
Bemerkung. Ist ∇ ein vollständiger Zusammenhang auf einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M, und ist für jeden Punkt p ∈ M die Abbildung exp p : T p M → M
ein Diffeomorphismus, dann ist auch π×exp : T M → M×M ein Diffeomorphismus.
Dabei bezeichnet π : T M → M die Projektion des Tangentialbündels. Die Abbildung
π×exp ist nach Voraussetzung bijektiv. Der Beweis des Lemmas in 17.7 liefert,
dass die Ableitung T X (π × exp) = T X π × T X exp invertierbar ist für alle X ∈ T M.
Folglich ist π × exp ein bijektiver lokaler Diffeomorphismus, also ein Diffeomorphismus,
und die Bemerkung ist bewiesen. Die eindeutige Verbindbarkeit von Punkten
durch Geodätische hat zur Folge, dass sich viele geometrische Konstruktionen der
euklidischen Geometrie auch in Hadamard–Mannigfaltigkeiten durchführen lassen.
Kommentar. Nach Abschnitt 22.5 ist jede zusammenhängende, vollständige Riemannsche
Mannigfaltigkeit (M, g) mit K ≤ 0 isometrisch zum Quotienten Γ\ ˜M
einer Hadamard–Mannigfaltigkeit ( ˜M, ˜g) nach einer frei und eigentlich diskontinuierlich
operierenden Gruppe Γ ∼ = π 1 (M) von Isometrien. Da ˜M diffeomorph zu R n
ist, liegt die Vermutung nahe, dass die Gruppenstruktur von π 1 (M) von großem
Einfluss auf die topologische Struktur von M ist. In der Tat gilt der folgende
Starrheitssatz von Farrell und Jones † .
Satz. Seien (M 1 , g 1 ) und (M 2 , g 2 ) kompakte zusammenhängende Riemannsche
Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Schnittkrümmung. Die Dimension von M 1
sei ≠ 3, 4. Sind die Fundamentalgruppen isomorph, π 1 (M 1 ) ∼ = π 1 (M 2 ), dann sind
M 1 und M 2 homöomorph.
† F. T. Farrell, L. E. Jones, Topological rigidity for compact nonpositively curved
manifolds, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 54(1993), Part 3, 229–
274
239

Beispiele zeigen, dass in der Formulierung das Wort “homöomorph” nicht durch
“diffeomorph” ersetzt werden kann.
23.4. Indexform und Indexlemma. Sei V ⊥ c der Raum der stückweise differenzierbaren
Vektorfelder V längs der Geodätischen c mit 〈V (t), ċ(t)〉 = 0 für alle
t ∈ [a, b]. Die Indexform von c ist die durch
I(V, W ) = 1
‖ċ‖
∫ b
a
(
〈∇t V, ∇ t W 〉 − 〈R(V, ċ)ċ, W 〉 ) dt (23.4.1)
definierte symmetrische Bilinearform I : V ⊥ c × V ⊥ c → R. Nach der zweiten Variationsformel
gilt für Variationsvektorfelder V von Variationen mit festen Endpunkten
Für Jacobifelder J ist
∫ b
I(V ⊥ , V ⊥ ) = d2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(c s ). (23.4.2)
I(J, J) = 1 (
∂t 〈∇ t J, J 〉 − 〈∇ t ∇ t J + R(J, ċ)ċ, J 〉 ) dt
‖ċ‖ a
= 1
(23.4.3)
‖ċ‖ 〈∇ tJ, J 〉 ∣ b . a
Lemma. Ist c(t) nicht konjugiert zu c(a) längs c, dann ist die Randwertabbildung
J ↦→ (J(a), J(t)) ein Isomorphismus des Vektorraums der Jacobifelder längs c auf
den Raum T c(a) M × T c(t) M.
Beweis. Es handelt sich um eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen derselben
Dimension 2n, deren Kern der Nullraum ist. QED
Satz (Indexlemma). Die Geodätische c enthalte keine zu c(a) längs c konjugierten
Punkte. Sei V ∈ Vc
⊥ ein Vektorfeld mit V (a) = 0, und sei J das Jacobifeld längs c
mit denselben Randwerten J(a) = 0 und J(b) = V (b). Dann ist I(J, J) ≤ I(V, V ),
und Gleichheit impliziert V = J.
Bei gegebenen Randwerten V (a) = 0 und V (b) minimieren also Jacobifelder die Indexform.
Für den Beweis treffen wir zunächst einige Vorbereitungen. Sei Y 1 , . . . , Y n
eine Basis von T c(b) M, und sei J i das Jacobifeld längs c mit Randwerten J i (a) = 0
und J i (b) = Y i .
(a) Für jeden Wert t ∈ (a, b] bilden die Vektoren J 1 (t), . . . , J n (t) eine Basis von
T c(t) M.
Ist nämlich für einen Wert t 0 ∈ (a, b] eine Linearkombination a i J i (t 0 ) = 0, dann ist
˜J(t) := a i J i (t) ein Jacobifeld, das an den Stellen a und t 0 verschwindet. Da c keine
240

konjugierten Punkte hat, folgt ˜J = 0, und insbesondere ˜J(b) = 0. Da die Y i linear
unabhängig sind, ist dann a 1 = · · · = a n = 0, und (a) ist bewiesen.
(b) Es gilt 〈∇ t J i , J k 〉 − 〈J i , ∇ t J k 〉 = 0.
Wir bezeichnen mit f(t) die linke Seite dieser Gleichung. Mit Hilfe der Jacobigleichung
ergibt sich f ′ (t) = 0. Da ausserdem f(0) = 0 ist, folgt f = 0, also die
Behauptung.
Sei nun V ∈ V ⊥ c . Dann gilt V (t) = V i (t)J i (t) mit gewissen stückweise differenzierbaren
Komponentenfunktionen V i auf (a, b]. Diese sind im Punkt a zunächst nicht
definiert.
(c) Sei J das Jacobifeld längs c mit Randwerten J(a) = 0 und J(b) = V (b). Dann
gilt J(t) = V i (b)J i (t) für alle t ∈ [a, b].
In der Tat ist die Differenz beider Seiten ein Jacobifeld, das für t = a und t = b
verschwindet. Da c keine konjugierten Punkte hat, verschwindet es auf [a, b].
(d) Ist V ∈ Vc
⊥ ein Vektorfeld mit V (a) = 0, dann können die Komponentenfunktionen
V i : (a, b] → R zu stückweise differenzierbaren Funktionen auf [a, b] fortgesetzt
werden.
Beweis. Für Werte t ∈ (a, b] ist V (t) = V i (t)J i (t), also
P c a,tV (t) = V i (t)P c a,tJ i (t).
Mit der Taylorformel (15.3.1) folgt daraus
V (a) + (t − a)∇ t V (a) + O((t − a) 2 )
und wegen V (a) = J i (a) = 0 ergibt sich
= V i (t) ( J i (a) + (t − a)∇ t J i (a) + O((t − a) 2 ) ) ,
∇ t V (a) + O(t − a) = V i (t) ( ∇ t J i (a) + O(t − a) ) . (∗ t )
Nun sind ∇ t J 1 (a), . . . , ∇ t J n (a) linear unabhängig, da andernfalls eine nichttriviale
Linearkombination ˜J(t) = a i J i (t) die Bedingungen ˜J(a) = 0 und ∇ t ˜J(a) = 0
erfüllen würde, im Gegensatz zu Aussage (a). Gleichung (∗ t ) ist daher ein lineares
Gleichungssystem der Form V i (t)a k i (t) = bk (t) mit Funktionen a k i und b k i , die in
einer Umgebung von a differenzierbar sind, wobei die Matrix ( a k i (a)) invertierbar
ist. Behauptung (d) folgt, indem man dieses System nach den V i (t) auflöst und
V i (0) als die Lösung von (∗ 0 ) definiert. QED
Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis des Indexlemmas. Mit
∇ t V = (V i ) ′ J i + V i ∇ t J i =: A + B
241

folgt
I(V, V ) = 1
‖ċ‖
∫ b
a
(
〈A, A〉 + 2〈A, B〉 + 〈B, B〉 − 〈R(V, ċ)ċ, V 〉
)
dt.
Nun ist, unter Verwendung von (b) und der Jacobigleichung,
∫ b
a
Wegen (c) ist
〈B, B〉 dt =
und daher mit (23.4.3)
=
=
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
V i V k 〈∇ t J i , ∇ t J k 〉 dt
V i V k( 〈∇ t J i , J k 〉 ′ + 〈R(J i , ċ)ċ, J k 〉 ) dt
(
(V i V k 〈∇ t J i , J k 〉) ′ − (V i ) ′ V k 〈∇ t J i , J k 〉
− V i (V k ) ′ 〈∇ t J i , J k 〉 + 〈R(V, ċ)ċ, V 〉 ) dt
= 〈B, V 〉 ∣ ∫ b
b + ( )
a − 2〈A, B〉 + 〈R(V, ċ)ċ, V 〉 dt.
a
〈B, V 〉 ∣ ∣ b a = 〈 V i (b)∇ t J i (b), V (b) 〉
= 〈 ∇ t J(b), J(b) 〉
I(V, V ) = 1
‖ċ‖ 〈∇ tJ, J 〉 ∣ b a + 1
‖ċ‖
≥ 1
‖ċ‖ 〈∇ tJ, J 〉 ∣ b a
= I(J, J),
∫ b
a
〈A, A〉 dt
wie behauptet. Gleichheit in dieser Ungleichung impliziert A = 0, also V i = const =
V i (b) und damit wegen (c) auch V = J. QED
23.5. Jacobikriterium. Mit Hilfe konjugierter Punkte lässt sich ein Kriterium
dafür angeben, dass eine Geodätische c : [a, b] → M unter den Nachbarkurven c s
jeder Variation mit festen Endpunkten die Bogenlänge minimiert. Wir betrachten
dazu stückweise glatte Variationen H : (−ε, ε) × [a, b] → M, H(s, t) =: c s (t) von
c mit festen Endpunkten, also mit c s (a) = c(a) und c s (b) = c(b) für alle s. Sei
V (t) = ∂H/∂s(0, t) das Variationsvektorfeld.
Satz. (a) Enthält c auf (a, b] keinen zu c(a) konjugierten Punkt, dann gilt für jede
stückweise glatte Variation mit festen Endpunkten und mit V ⊥ ≠ 0
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(c s ) > 0.
242

Folglich ist c kürzer als die Nachbarkurven c s für alle hinreichend kleinen s ≠ 0.
(b) Ist c(t 0 ) konjugiert zu c(a) für einen Wert t 0 ∈ (a, b), dann existiert eine stückweise
glatte Variation mit festen Endpunkten und mit
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(c s ) < 0.
Insbesondere ist dann L(c s ) < L(c) für alle hinreichend kleinen s ≠ 0, und c ist
keine Kürzeste.
Beweis. (a) Anwendung des Indexlemmas auf V ⊥ und das Jacobifeld J = 0 ergibt
die Ungleichung
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(c s ) = I(V ⊥ , V ⊥ ) > I(J, J) = 0.
(b) Sei J ≠ 0 ein Jacobifeld mit J(0) = 0 und J(t 0 ) = 0. Nach Lemma 4(a) in 23.1
ist J orthogonal zu ċ, und wir können ein Vektorfeld Y ∈ Vc
⊥ definieren als
Y (t) =
{
J(t) für a ≤ t ≤ t0
0 für t 0 < t ≤ b.
Dann ist I(Y, Y ) = 0, und für die einseitigen Ableitungen in t 0 gilt
(∇ t Y )(t − 0 ) = (∇ tJ)(t 0 ) ≠ 0, da J ≠ 0
(∇ t Y )(t + 0 ) = 0.
Sei Z ∈ Vc
⊥ ein Vektorfeld mit Z(a) = 0 und Z(b) = 0, und sei V = Y + δZ mit
einer noch zu wählenden Zahl δ ∈ R. Aus I(Y, Y ) = 0 und der Bilinearität der
Indexform folgt
I(V, V ) = 2δ I(Y, Z) + δ 2 I(Z, Z).
Mit der Jacobigleichung ∇ t ∇ t Y + R(Y, ċ)ċ = 0 ergibt sich
I(Y, Z) = 1
‖ċ‖
∫ b
a
∫ b
(
〈∇t Y, ∇ t Z 〉 − 〈R(Y, ċ)ċ, Z 〉 ) dt
= 1 〈∇ t Y, Z 〉 ′ dt
‖ċ‖ a
= 1 ( 〈∇t Y, Z 〉∣
∣ t− 0
‖ċ‖
+ 〈∇ ∣
tY, Z 〉
a
= 1
‖ċ‖ 〈∇ tJ(t 0 ), Z(t 0 ) 〉.
Wegen 〈J, ċ 〉 = 0 ist auch 〈∇ t J, ċ 〉 = 0. Man kann deshalb Z ∈ Vc
⊥ so wählen,
dass Z(t 0 ) = ∇ t J(t 0 ) gilt. Dann ist I(Y, Z) > 0, und für δ < 0 nahe Null folgt
243
∣ b t + 0
)

I(V, V ) < 0. Die Variation H(s, t) = exp c(t) (sV (t)) erfüllt dann die Bedingungen
des Satzes. QED
Aufgaben
1. Jacobifelder mit Torsion. Sei ∇ ein Zusammenhang auf einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M, und sei c eine Geodätische. Sei H(s, t) eine Variation
von c mit der Eigenschaft, dass alle Kurven c s = H(s, ·) Geodätische von ∇ sind.
Zeigen Sie, dass das Variationsvektorfeld der verallgemeinerten Jacobigleichung
∇ t ∇ t J + R(J, ċ)ċ + ∇ t (T (J, ċ)) = 0
mit dem Krümmungstensor R und dem Torsionstensor T von ∇ genügt.
2. Lokalsymmetrische Räume. Zeigen Sie, dass Räume konstanter Krümmung
und Liegruppen mit biinvarianter Riemannscher Metrik lokalsymmetrisch sind. Geben
Sie explizite Formeln für die Jacobifelder lokalsymmetrischer Räume, indem Sie
ein paralleles Repèrefeld X 1 , . . . , X n längs der Geodätischen c verwenden, welches
aus Eigenvektoren der selbstadjungierten Abbildung X ↦→ R(X, ċ)ċ besteht.
3. Jacobifelder und Killingfelder. Sei X ein Killingfeld auf einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass für jede Geodätische c das Vektorfeld X ◦ c ein
Jacobifeld längs c ist. Folgern Sie: Die Menge der Nullstellen eines Killingfeldes auf
einer vollständigen Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist wegzusammenhängend.
4. Abstandsfunktion. Sei d die Abstandsfunktion einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g), und sei p ∈ M. Wir definieren die Funktion f : M → R als
f(q) = 1 2 d(p, q)2 .
Sei ϱ > 0 kleiner als der Injektivitätsradius inj(p). Zeigen Sie, dass f auf dem Ball
B(p, ϱ) differenzierbar ist mit Gradient
gradf(q) = − exp −1
q (p).
Sei c : [0, 1] → M die eindeutig bestimmte Geodätische von p nach q, die ganz in
B(p, ϱ) verläuft. Zeigen Sie, dass für X ∈ T q M gilt
(∇ X gradf)(q) = (∇ t J)(1),
wobei J das Jacobifeld längs c ist mit den Randwerten J(0) = 0 und J(1) = X.
244

24. Vergleichssatz von Rauch
Da in die Jacobigleichung (23.1.1) der Krümmungstensor einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g) eingeht, liegt es nahe, dass aus Schranken für die Krümmung
Abschätzungen für Jacobifelder gewonnen werden können. Eine derartige Aussage
ist Inhalt des Vergleichssatzes von Rauch, der, grob gesprochen, besagt, dass bei
vergleichbaren Ausgangsbedingungen die Jacobifelder einer negativer gekrümmten
Mannigfaltigkeit entlang einer Geodätischen stärker wachsen als die einer positiver
gekrümmten. Da Jacobifelder die Ableitung der Exponentialabbildung beschreiben,
und da man die Jacobifelder der Räume konstanter Krümmung kennt, ergeben sich
Folgerungen für die Längenverzerrung durch Normalkoordinaten und für die Lage
der konjugierten Punkte auf einer Geodätischen.
24.1. Vergleichssatz von Rauch. Seien (M, g) und (M ∗ , g ∗ ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten
derselben Dimension, und seien c : [a, b] → M und c ∗ : [a, b] → M ∗
Geodätische mit ‖ċ‖ = ‖ċ ∗ ‖. Es gelte
(a) c ∗ hat keine zu c ∗ (a) längs c ∗ konjugierten Punkte, und
(b) Für alle t ∈ [a, b] und alle Vektoren X ∈ T c(t) M und X ∗ ∈ T c ∗ (t)M ∗ sind die
Schnittkrümmungen
K(ċ(t), X) ≤ K ∗ (ċ ∗ (t), X ∗ ).
Seien J und J ∗ Jacobifelder längs c und c ∗ mit den Eigenschaften
(c) 〈J, ċ 〉 = 〈J ∗ , ċ ∗ 〉 = 0,
(d) J(a) = 0 und J ∗ (a) = 0
(e) ‖(∇ t J)(a)‖ = ‖(∇ t J ∗ )(a)‖.
Dann gilt
‖J(t)‖ ≥ ‖J ∗ (t)‖
auf [a, b]. Gilt in dieser Ungleichung für einen Wert t 0 ∈ (0, a] das Gleichheitszeichen,
dann ist für alle t ∈ [0, t 0 ]
K(ċ(t), J(t)) = K ∗ (ċ ∗ (t), J ∗ (t)).
Ist J ∗ ≠ 0, dann ist J ∗ (t) ≠ 0 für alle t ∈ (a, b], und die Funktion
ist monoton wachsend.
t ↦→ ‖J(t)‖
‖J ∗ (t)‖
Die Aussage des Satzes lässt sich gut am Beispiel von Sphären unterschiedlicher
Radien 1/ √ κ veranschaulichen. Der Beweis wird zeigen, dass die Voraussetzung
Version 17. Juli 2000
245

gleicher Dimension durch dim(M) ≤ dim(M ∗ ) ersetzt werden kann. Es gibt eine
Reihe von Verallgemeinerungen dieses Satzes, die alle als Rauchsche Vergleichssätze
bezeichnet werden. Die Idee ist jedenfalls, aus der Jacobigleichung (23.1.1) und
Annahmen über den Krümmungstensor R Abschätzungen für J (in Abhängigkeit
von Anfangs- oder Randwerten) zu gewinnen, und damit über das Verhalten der
Geodätischen auf M.
Beweis. Man kann annehmen, dass J ∗ ≠ 0 ist, da andernfalls nichts zu beweisen
ist. Dann gilt J ∗ (t) ≠ 0 für alle t ∈ (a, b], da c ∗ keine zu c ∗ (a) konjugierten Punkte
hat. Sei t 0 ∈ (a, b]. Es existiert eine lineare Isometrie A : T c(a)M → T c ∗ (a)M ∗ mit
A ċ(a) = ċ ∗ (a) und
(
A Pa,t c ‖J(t0 )‖
)
0
J(t 0 ) = Pa,t c∗
0
‖J ∗ (t 0 )‖ J ∗ (t 0 ) .
Wir definieren ein Vektorfeld Y längs c ∗ durch
Dann gilt
Y (t) = (P c∗
t,a ◦ A ◦ P c a,t)J(t).
(∇ t Y )(t) = (P c∗
t,a ◦ A ◦ P c a,t)(∇ t J)(t).
Nach Wahl von A hat Y an der Stelle t = t 0 denselben Wert wie das Jacobifeld
˜J(t) = ‖J(t 0)‖
‖J ∗ (t 0 )‖ J ∗ (t).
Da außerdem Y (a) = 0 = ˜J(a) ist, läßt sich auf Y und ˜J das Indexlemma aus
Abschnitt 23.4 (für die Kurve c ∗ | [a,t0]) anwenden. In der folgenden Rechnung verwenden
wir die Gleichung (23.4.3) für I(J, J), die Eigenschaften ‖∇ t Y ‖ = ‖∇ t J‖
und ‖Y ‖ = ‖J‖, die Krümmungsvoraussetzung und das Indexlemma. Mit I bezeichnen
wir sowohl die Indexform der Kurve c| [a,t0] als auch diejenige von c ∗ | [a,t0].
1
2
d
dt∣ ‖J‖ 2 ∣
= 〈J, ∇ t J〉
t0
= I(J, J)
= 1
‖ċ‖
≥ 1
‖ċ ∗ ‖
∫ t0
∣ t0
a
a
∫ t0
a
(
〈∇t J, ∇ t J〉 − 〈R(J, ċ)ċ, J〉 ) dt
(
〈∇t Y, ∇ t Y 〉 − 〈R ∗ (Y, ċ ∗ )ċ ∗ , Y 〉 ) dt
= I(Y, Y )
≥ I( ˜J, ˜J)
( ‖J(t0 )‖
) 2I(J
=
∗ ‖J ∗ , J ∗ )
(t 0 )‖
( ‖J(t0 2 1 d
=
‖J ∗ (t 0 )‖)
2 dt∣ ‖J ∗ ‖ 2 . (24.1.1)
t0
246

Da t 0 ∈ (a, b] beliebig gewählt war, folgt
d
dt
‖J‖ 2
‖J ∗ ‖ 2 ≥ 0
auf (a, b], also ist ‖J‖ / ‖J ∗ ‖ monoton wachsend, wie behauptet. Zweimalige Anwendung
der Regel von de L’Hospital ergibt
lim
t→a
‖J(t)‖ 2
‖J ∗ (t)‖ 2 = lim 〈J, ∇ t J〉
t→a 〈J ∗ , ∇ t J ∗ 〉
= lim
t→a
‖∇ t J‖ 2 + 〈J, −R(J, ċ)ċ 〉
‖∇ t J ∗ ‖ 2 + 〈J ∗ , −R ∗ (J ∗ , ċ ∗ 〉ċ ∗ 〉
= 1,
und damit ‖J‖ ≥ ‖J ∗ ‖ auf [a, b]. Falls für einen Wert t 0 > 0 das Gleichheitszeichen
gilt, dann ist ˜J = J ∗ . In der Ungleichungskette (24.1.1) muss gelten I(Y, Y ) =
I( ˜J, ˜J), also nach dem Indexlemma Y = ˜J, und außerdem
〈R(J, ċ)ċ, J〉 = 〈R ∗ (Y, ċ ∗ )ċ ∗ , Y 〉
auf dem Intervall [0, t 0 ].
Intervall. QED
Folglich ist K(ċ(t), J(t)) = K ∗ (ċ ∗ (t), J ∗ (t)) auf diesem
24.2. Anwendungen des Rauchschen Satzes. Für κ ∈ R sei s κ die Lösung der
gewöhnlichen Differentialgleichung f ′′ + κf = 0 mit den Anfangswerten s κ (0) = 0
und s ′ κ (0) = 1. Explizit ist
⎧
√1
⎪⎨ κ
sin( √ κt), falls κ > 0
s κ (t) = t, falls κ = 0
⎪⎩
√1
−κ
sinh( √ (24.2.1)
−κt), falls κ < 0.
Für X ∈ T p M sei ι X
: T p M → T X T p M der kanonische Isomorphismus (17.6.1). Wie
in 18.3 definieren wir eine Riemannsche Metrik auf T p M durch die Festlegung, dass
für jedes X ∈ T p M die Abbildung ι X
eine lineare Isometrie ist. Damit wird T p M
zu einer flachen Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die erste Anwendung beschreibt
die infinitesimale Längenverzerrung der Abbildung exp p : ˜T p M → M.
Satz 1. Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, K ihre Schnittkrümmung,
p ∈ M und X ∈ ˜T p M. Sei w ∈ T X T p M orthogonal zur radialen Richtung ι X
X.
(a) Gilt K ≤ ∆ für eine Zahl ∆ ∈ R, und ist im Fall ∆ > 0 zusätzlich ‖X‖ ≤
π/ √ ∆, dann gilt
∥ (TX exp p )w ∥ s ∆ (‖X‖)
≥ ‖w‖ . (24.2.2)
‖X‖
247

(b) Gilt K ≥ δ für eine Zahl δ ∈ R, und hat die Geodätische γ : [0, 1] → M,
γ(t) = exp p (tX) keine zu p = γ(0) konjugierten Punkte, dann gilt
∥
∥(T X exp p )w ∥ ∥ ≤ s δ(‖X‖)
‖X‖
‖w‖ . (24.2.3)
Nach Abschnitt 18.3 gilt für radiale Vektoren w ∈ T X T p M, dass ∥ (TX exp p )w ∥ =
‖w‖, und nach dem Gauß–Lemma werden die radiale und die dazu orthogonale Richtung
in T X T p M durch T X exp p in zueinander orthogonale Richtungen in T exp(X) M
abgebildet. Daher ist in Satz 1 die Einschränkung auf Vektoren orthogonal zur
radialen Richtung nicht gravierend.—Wir haben in (a) der Einfachheit halber vorausgesetzt,
dass die Krümmungsschranke K ≤ ∆ überall gilt. Der Beweis zeigt aber,
dass die Forderung K( ˙γ(t), Y ) ≤ ∆ für t ∈ [0, 1] und alle Y ∈ T ˙γ(t) M ausreichend
ist. Entsprechendes gilt in (b).
Beweis von Satz 1. Nach dem Korollar in 23.1 ist (T X exp p )w = J(1), wobei J das
Jacobifeld längs γ(t) = exp(tX) bezeichnet mit J(0) = 0 und ∇ t J(0) = ι −1 X
w. Zum
Beweis von (a) seien (M ∗ , g ∗ ) eine vollständige n–dimensionale Mannigfaltigkeit
konstanter Schnittkrümmung ∆, p ∗ ∈ M und A : T p M → T p ∗M ∗ eine lineare
Isometrie. Sei X ∗ = AX und sei γ∗ : [0, 1] → M ∗ die Geodätische γ ∗ (t) = exp(tX ∗ ).
Schließlich sei J ∗ das Jacobifeld längs c ∗ mit J ∗ (0) = 0 und ∇ t J ∗ (0) = A(∇ t J(0)).
Dann gilt nach dem Rauchschen Satz und den Formeln für Jacobifelder in Räumen
konstanter Krümmung aus Abschnitt 23.2
‖J(1)‖ ≥ ‖J ∗ (1)‖
= s ∆(‖ ˙γ ∗ ‖)
‖ ˙γ ∗ ‖(∇ t J ∗ )(0)‖
‖
= s ∆(‖X‖)
‖w‖ ,
‖X‖
wie behauptet. Der Beweis von (b) verläuft analog. QED
Korollar 1. (a) Ist K ≤ ∆ mit einer positiven Zahl ∆, dann haben Geodätische
der Länge < π/ √ ∆ keine konjugierten Punkte.
(b) Ist K ≥ δ mit einer positiven Zahl δ, dann haben alle Geodätischen der Länge
≥ π/ √ δ konjugierte Punkte.
(c) Ist K ≤ 0, dann hat keine Geodätische konjugierte Punkte.
Das Korollar folgt sofort aus Satz 1. Teil (c) ist identisch mit der Proposition in
Abschnitt 23.3, für die dort ein kurzer Beweis gegeben wurde. Da auf jeder kompakten
Teilmenge von M eine Schranke K ≤ ∆ existiert, folgt aus (a) insbesondere,
dass eine Geodätische c auf jedem kompakten Intervall [a, b] höchstens endlich viele
zu c(a) konjugierte Punkte enthält.
248

Da nach dem Jacobikriterium (23.5) Geodätische mit einem konjugierten Punkt
keine Kürzesten sind, ergibt sich aus (b) eine abgeschwächte Form des Satzes von
Bonnet–Myers: Ist (M, g) vollständig und zusammenhängend, und ist K ≥ δ mit
einer positiven Konstante δ, dann ist M kompakt mit Durchmesser diam(M, g) ≤
π/ √ κ.
Satz 2. Seien (M, g) und (M ∗ , g ∗ ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten derselben Dimension,
p ∈ M, p ∗ ∈ M ∗ . Die Zahl ϱ > 0 sei kleiner als der Injektivitätsradius
inj(p), und die Exponentialabbildung exp p ∗ sei auf dem Ball B p ∗(0, ϱ) definiert und
ein lokaler Diffeomorphismus. Sei A : T p M → T p ∗M ∗ eine lineare Isometrie, und
sei F : B(p, ϱ) → B(p ∗ , ϱ) die Abbildung
F = exp p ∗ ◦A ◦ ( exp p
∣
∣B(0,ϱ)
) −1.
(24.2.4)
Für die Schnittkrümmungen aller zweidimensionalen Unterräume E ≤ T q M mit
q ∈ B(p, ϱ) gelte
K(E) ≤ K ∗ ((T F )(E)).
Dann ist
Insbesondere gilt für die Längen aller in B(p, ϱ) ver-
für alle X ∈ T M| B(p,ϱ) .
laufenden Kurven
‖(T F )X‖ ≤ ‖X‖ (24.2.5)
L(F ◦ c) ≤ L(c).
Beweis. Es genügt, die Behauptung für alle X der Gestalt X = (T Y exp p )w
nachzuweisen, wobei Y ∈ B(0, ϱ) ⊆ T p M ist, und wobei w ∈ T Y T p M zur radialen
Richtung ι Y
Y orthogonal ist. Seien Y ∗ = AY und w ∗ = (T Y A)w ∈ T Y ∗T p ∗M ∗ .
Dann ist (T Y exp p )w = J(1), wobei J das Jacobifeld längs c(t) = exp p (tY ) ist mit
J(0) = 0 und ∇ t J(0) = τ −1
Y
(w). Ebenso ist (T Y ∗ exp p ∗)w∗ = J ∗ (1), wobei J ∗ das
Jacobifeld längs c ∗ (t) = exp p ∗(tY ∗ ) ist mit J ∗ (0) = 0 und ∇ t J ∗ (0) = τ −1
Y ∗ (w∗ ). Da
exp p ∗ auf dem Ball B p ∗(0, ϱ) ein lokaler Diffeomorphismus ist, hat die Geodätische
c ∗ auf [0, 1] keine zu c(0) konjugierten Punkte. Außerdem ist J ⊥ ċ und J ∗ ⊥ ċ ∗ ,
da diese Vektorfelder an 0 verschwinden und w und w ∗ orthogonal zur radialen
Richtung sind. Wegen
‖∇ t J)(0)‖ = ‖w‖ = ‖w ∗ ‖ = ‖(∇ t J ∗ )(0)‖
ist der Rauchsche Vergleichssatz anwendbar und liefert ‖J(1)‖ ≥ ‖J ∗ (1)‖, also
∥ (TY exp p )w ∥ ∥ ≥
∥ ∥(TY
∗ exp p ) ◦ (T Y A)w ∥ ∥ .
Mit X = (T Y exp p )w folgt daraus
‖X‖ ≥ ∥ ∥ (TY ∗ exp p ) ◦ (T Y A) ◦ (T Y exp p ) −1 X ∥ ∥
= ‖(T F )X‖ ,
249

wie behauptet. QED
Korollar 2. Seien (M, g) und (M ∗ , g ∗ ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten derselben
Dimension und derselben konstanten Schnittkrümmung. Seien p ∈ M und p ∗ ∈ M ∗ .
Dann existiert eine Isometrie F : U → U ∗ einer Umgebung U von p auf eine Umgebung
U ∗ von p ∗ .
Dieses Korollar folgt aus Satz 2, indem man ρ < min{inj(p), inj(p ∗ )} wählt und
beachtet, dass Ungleichung (24.2.5) sowohl auf F als auch auf F −1 anwendbar ist.
Also ist F ein Diffeomorphismus mit ‖(T F )X‖ = ‖X‖, und damit eine Isometrie.
Im Spezialfall K = 0 ergibt sich erneut Satz 16.9.
Korollar 2 lässt sich zu einem Beweis des bereits in 22.5 erwähnten Satzes verwenden,
dass je zwei vollständige einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeiten
derselben Dimension und derselben konstanten Schnittkrümmung isometrisch
sind. Der Beweisgedanke besteht darin, die zunächst nur lokal definierten
Isometrien F : U → U ∗ unter Ausnutzung der Vollständigkeit entlang Kurven
fortzusetzen. Man verwendet dann die Voraussetzung des einfachen Zusammenhanges,
also den Umstand, dass je zwei Kurven homotop (mit festen Endpunkten)
sind, um zu zeigen, dass die Fortsetzung nicht von der Wahl der Kurve abhängt, so
dass sich eine global definierte Isometrie ergibt.
250

Literaturhinweise
Die vorliegende Auswahl berücksichtigt ausschließlich die neuere Literatur und
beschränkt sich auf Bücher. Ausführlichere Verzeichnisse enthalten die Werke von
Kobayashi–Nomizu, Spivak (Band 5), Besse und Sakai.
1. Grundlagen: Topologie und differenzierbare Mannigfaltigkeiten
F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups; Scott, Foresman,
1971; 2. Auflage Springer, 1983.
M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry; Band 1, 3. Auflage,
Publish or Perish, 1999; www.mathpop.com.
R.L. Bishop, S. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds; Dover Publications, 1980.
G.E. Bredon, Topology and Geometry; Springer, 1993.
S. Lang, Fundamentals of Differential Geometry; Springer, 1999.
2. Riemannsche Geometrie
M.P. do Carmo, Riemannian Geometry; Birkhäuser, 1992.
Ausgezeichnetes, erprobtes Lehrbuch, das mit geringem technischen Aufwand zu
klassischen Ergebnissen der globalen Riemannschen Geometrie führt.
T. Sakai, Riemannian Geometry; American Mathematical Society, 1996.
Umfassende, in die Tiefe gehende Monographie, die auch neuere Entwicklungen
berücksichtigt.
P. Petersen, Riemannian Geometry; Springer, 1998.
Moderner Standpunkt, führt in neue Entwicklungen ein.
I. Chavel, Riemannian Geometry–A Modern Introduction; Cambridge University
Press, 1993.
D. Gromoll, W. Klingenberg, W. Meyer, Riemannsche Geometrie im Großen; Springer
1968.
Als “GKM” bekannte Lecture Notes, die für eine ganze Generation Riemannscher
Geometer prägend waren.
M. Gromov, S.M. Bates, Metric Structures for Riemannian and Non–Riemannian
Spaces; Birkhäuser, 1999.
Monographie für Fortgeschrittene; enthält eine Fülle von Ideen, die zu verfolgen
sich lohnt. Der Stil ist ungewöhnlich.
Version 20. Juli 2000
251

A. Besse, Einstein Manifolds; Springer, 1987.
Eine spezielles Thema wird zum Anlass genommen, große Teile der Riemannschen
Geometrie zu entwickeln. Hinter dem Namen Besse verbirgt sich ein Autorenkollektiv.
S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry; 2nd ed.; Springer, 1990.
W. Klingenberg, Riemannian Geometry; 2nd ed., de Gruyter, 1995.
3. Differentialgeometrie der Kurven und Flächen
M.P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces; Prentice Hall, 1976.
Ausgezeichnetes, erprobtes und beliebtes Lehrbuch, etwa ab dem dritten Semester
zu verwenden. Eine stark gekürzte deutsche Übersetzung ist erschienen als
M.P. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg, 1983.
W. Klingenberg, Eine Vorlesung über Differentialgeometrie, Springer, 1973.
Trotz des äußerlich geringen Umfanges ein bemerkenswert inhaltsreiches Buch. Eine
Übersetzung ins Englische liegt vor als
W. Klingenberg, A Course in Differential Geometry; Springer, 1978.
J. Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen; Springer, 1994.
Gibt eine schnelle Einführung in die Theorie der Minimalflächen und das Plateauproblem.
4. Differentialgeometrie allgemein
S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry I, II; Wiley 1963,
1969.
Kompromisslose und klare Darstellung der Differentialgeometrie vom Standpunkt
der Zusammenhänge in Hauptfaserbündeln. Abstrakt, aber dank sorgfältiger Ausarbeitung
keine schwierige Lektüre. Gilt als Referenz- und Standardwerk, nicht als
Lehrbuch.
M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry; 5 Bände, 3.
Auflage, Publish or Perish, 1999; www.mathpop.com.
Leserfreundlich durch ausführliche und gut motivierte Darstellung.
N. Hicks, Notes on Differential Geometry, van Nostrand, 1965.
S. Sternberg, Lectures on Differential Geometry, 2nd ed., American Mathematical
Society / Chelsea Publishing, 1983.
S.S. Chern (ed.), Global Differential Geometry, The Mathematical Association of
America, 1989.
Es gibt verschiedene Aufsatzsammlungen, die einen Überblick über die neuere Forschung
gestatten. Umfassend und neueren Datums ist
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R. Greene, S.T. Yau (eds.), Differential Geometry I,II,III; Proceedings of Symposia
in Pure Mathematics, American Mathematical Society, 1993.
Die wichtigste Spezialzeitschrift zur Differentialgeometrie ist das Journal of Differential
Geometry. Viele Resultate werden in thematisch breiter angelegten Zeitschriften
veröffentlicht, etwa den Annals of Mathematics.
Zusammenfassende Darstellungen wichtiger Entwicklungen in der Mathematik findet
man jeweils in den Tagungsberichten zum alle vier Jahre stattfindenden Internationalen
Mathematikerkongress, z.B. in den
Proceedings of the International Congress of Mathematicians Berlin 1998.
5. Beziehungen zur Analysis
J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2nd ed.; Springer, 1998.
T. Aubin, Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry; Springer, 1998.
R. Schoen, S.T. Yau, Lectures on Differential Geometry; International Press, 1994.
Enthält Zusammenstellungen offener Probleme.
I. Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry; Academic Press, 1984.
6. Beziehungen zur Physik
V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics; 2nd ed., Springer 1989.
T. Frankel, The Geometry of Physics; Cambridge University Press, 1997.
W. Thirring, Lehrbuch der Mathematischen Physik, Band 1 und 2; 2. Auflage,
Springer, 1988.
Es existiert eine englische Fassung in einem Band:
W. Thirring, Classical Mathematical Physics, Dynamical Systems and Field Theory;
Springer, 1997.
B. O’Neill, Semi–Riemannian Geometry with Applications to Relativity; Academic
Press, 1983.
R.M. Wald, General Relativity; The University of Chicago Press, 1984.
7. Liegruppen und Differentialgeometrie
S. Kobayashi, Transformation Groups in Differential Geometry; Springer, 1995.
S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces; Academic
Press, 1978.
R.W. Sharpe, Differential Geometry, Cartan’s Generalization of Klein’s Erlangen
Program; Springer, 1997.
P.L. Olver, Equivalence, Invariants, and Symmetry; Cambridge University Press,
1995.
J. Wolf, Spaces of Constant Curvature; 5th ed., Publish or Perish, 1984.
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