DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

topologische Mannigfaltigkeiten, auf denen kein C 1 –Atlas existiert (M. Kervaire,
Comment. Math. Helv. 34(1960), 257–270).
1.6. Erste Beispiele. (a) Die leere Menge ∅ mit dem leeren Atlas ist eine n–
dimensionale C ∞ –Mannigfaltigkeit für jedes n. Dieses Beispiel ist nützlich, um bei
der Formulierung von Aussagen Sonderfälle mit einzuschließen.
(b) Nulldimensionale topologische Mannigfaltigkeiten sind abzählbare Mengen M
mit der diskreten Topologie (jede Teilmenge von M ist offen).
(c) Beispiele für eindimensionale topologische Mannigfaltigkeiten sind die Einheitskreislinie
(oder 1–Sphäre) S 1 , offene Intervalle (a, b) ⊆ R und die disjunkte Vereinigung
S 1 ˙∪S 1 . Disjunkte Vereinigungen abzählbar vieler C k –Mannigfaltigkeiten
derselben Dimension sind offenbar wieder C k –Mannigfaltigkeiten.
(d) R n mit dem Atlas {(id, R n )}. Allgemeiner hat jeder endlichdimensionale reelle
Vektorraum E eine Standard–C ∞ –Struktur: Sei e 1 . . . e n eine Basis von E und sei
ϕ : E → R n definiert durch
ϕ ( ∑
n λ i )
e i = (λ 1 , . . . , λ n ).
i=1
Die durch den Atlas {(ϕ, E)} bestimmte C ∞ –Struktur hängt offenbar nicht von der
Wahl der Basis e 1 . . . e n ab.
(e) Für die n–Sphäre S n = {x ∈ R n+1 | (x 1 ) 2 + · · · + (x n+1 ) 2 = 1} gibt es
einen aus zwei Karten bestehenden C ∞ –Atlas. Seien dazu U 1 = S n \{(0, 0 . . . 0, 1)}
und U 2 = S n \{(0, 0 . . . 0, −1)}. Wir definieren ϕ 1 : U 1 → R n , die stereographische
Projektion vom “Nordpol” (0, . . . , 0, 1) aus, und ϕ 2 : U 2 → R n , die stereographische
Projektion vom “Südpol” (0, . . . , 0, −1), durch
(
x 1
ϕ 1 (x) =
1 − x n+1 , . . . , x n )
1 − x n+1
(
x 1
ϕ 2 (x) =
1 + x n+1 , . . . , x n )
1 + x n+1 ,
wobei x = (x 1 , . . . , x n+1 ). Es ist ϕ 1 (U 1 ∩ U 2 ) = ϕ 2 (U 1 ∩ U 2 ) = R n \{0}, und man
berechnet ( ∑
für den Kartenwechsel ϕ 1 ◦ ϕ −1
2 (y) = ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 (y) = y/||y||2 , wobei ||y|| =
n
j=1 (yj ) ) 2 1/2 die euklidische Norm im R n ist. Die durch diesen Atlas definierte
C ∞ –Struktur der Sphäre bezeichnet man auch als die “Standardstruktur”.
1.7. Bemerkung. (Produkte von C k –Mannigfaltigkeiten sind C k –Mannigfaltigkeiten.)
Seien (M, A) und (N, B) zwei C k –Mannigfaltigkeiten. Dann ist
{(ϕ × ψ, U × V ) | (ϕ, U) ∈ A und (ψ, V ) ∈ B}
offensichtlich ein C k –Atlas für M × N mit der Produkttopologie. Dabei bezeichnet
ϕ × ψ : U × V → R m × R n ≃ R m+n die Abbildung (ϕ × ψ)(p, q) = (ϕ(p), ψ(q)).
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