DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Wegen der Minimalität von c ist L(c s ) ≥ L(c) für alle s, und wegen ∇ċ/dt = 0
ergibt die erste Variationsformel
0 = d ds∣ L(c s )
0
= 1 ( )
g(V (b), ċ(b)) − g(V (a), ċ(a))
‖ċ‖
= − 1
‖ċ‖ g( X 1 , ċ(a) ) .
Also gilt ċ(a) ⊥ T c(a) N 1 , wie behauptet. QED
18.3. Das Gauß–Lemma. Für X ∈ T p M sei ι X : T p M → T X T p M der kanonische
Isomorphismus aus (17.6.1). Das Skalarprodukt g(p) auf T p M induziert mittels
dieser Isomorphismen ι X ein Skalarprodukt auf jedem der Räume T X T p M, also
eine (flache) Riemannsche Metrik auf T p M. Für die entsprechenden Normen gilt
dann ‖ι X Y ‖ = ‖Y ‖. Die Vektoren der Gestalt λ ι X (X) ∈ T X T p M mit λ ∈ R
bezeichnen wir als radiale Vektoren.
Lemma. Die Ableitung T exp der Exponentialabbildung bildet radiale Vektoren
längentreu nach T M ab:
‖(T exp)ι X (X)‖ = ‖X‖ .
Beweis. Mit c X (t) = exp(tX) ist
∥
‖(T exp)ι X (X)‖ = ∥(T exp) d dt∣ (X + tX) ∥
0 = ∥ d dt∣ exp(X + tX) ∥
0 = ∥ d dt∣ exp(tX) ∥
1
= ‖ċ X (1)‖ = ‖ċ X (0)‖
= ‖X‖.
Gauß–Lemma. Sei X ∈ T p M \{0} im Definitionsbereich der Exponentialabbildung
exp enthalten, und sei v ∈ T X T p M orthogonal zum radialen Vektor w = ι X (X).
Dann ist auch (T exp)v orthogonal zu (T exp)w in T exp(X) M, also
g ( (T exp)v, (T exp)w ) = 0.
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