DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

21. Zweite Variation der Bogenlänge
Um festzustellen, ob eine Geodätische c = c 0 einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
unter den Kurven einer Variation c s = H(s, ·) die Bogenlänge L(c s ) minimiert,
kann man die zweite Ableitung der Funktion L(c s ) an der Stelle s = 0 untersuchen.
Diese Ableitung ist durch die zweite Variationsformel gegeben, die wir im
ersten Abschnitt des Kapitel behandeln. In diese Formel geht der Krümmungstensor
in Gestalt der Schnittkrümmung ein. Wir verwenden diesen Umstand, um
für Mannigfaltigkeiten mit positiv definitem Riccitensor eine Beziehung zwischen
Krümmung und Durchmesser herzuleiten, den Satz von Bonnet und Myers. Anschließend
gehen wir auf eine wichtige Klasse von Beispielen positiv gekrümmter
Riemannscher Metriken ein, die biinvarianten Metriken auf Liegruppen.
In diesem Kapitel ist (M n , g) eine n–dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit
und ∇ ihr Levi–Civita–Zusammenhang.
21.1. Zweite Variationsformel. Sei c : [a, b] → M eine proportional zur Bogenlänge
parametrisierte, nichtkonstante differenzierbare Kurve. Sei weiter H ∈
C ∞ ((−ε, ε) × [a, b], M), (s, t) ↦→ H(s, t) eine Variation von c, also H(0, t) = c(t) für
alle t ∈ [a, b]. Nach Abschnitt 18.1 gilt für die Länge der Kurven c s (t) = H(s, t) die
erste Variationsformel
d
ds∣ L(c s ) = 1 (〈V, ċ〉 ∣ ∫ 1
b
0
‖ċ‖
a − 〈V, ∇ċ )
dt 〉 dt . (21.1.1)
Dabei ist V (t) = ∂H/∂s (0, t) das Variationsvektorfeld längs der Kurve c = c 0 .
Wir berechnen nun die zweite Ableitung d 2 /ds 2∣ ∣
0
L(c s ). Dabei verwenden wir die
abkürzenden Schreibweisen
∂ s H = ∂H
∂s , ∂ tH = ∂H
∂t
0
und
∇ s W = ∇W
∂s , ∇ tW = ∇W
∂t
für Vektorfelder (s, t) ↦→ W (s, t) längs H. Nach (18.1.1) und (16.3.1) gelten
Man berechnet zunächst
∇ t ∂ s H = ∇ s ∂ t H
∇ s ∇ t W − ∇ t ∇ s W = R(∂ s H, ∂ t H)W.
d
ds L(c s) = d ds
=
∫ b
a
∫ b
a
〈∂ t H, ∂ t H〉 1/2 dt
1
‖∂ t H‖ 〈∇ s∂ t H, ∂ t H〉 dt,
(21.1.2)
Version 30. Juni 2000
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