DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

erhält man die Gleichungen
∂ i g jk = Γ ij l g lk + Γ ik l g lj
∂ j g ki = Γ jk l g li + Γ ji l g lk
∂ k g ij = Γ ki l g lj + Γ kj l g li ,
die durch zyklisches Vertauschen der Indizes auseinander hervorgehen. Subtraktion
der dritten Gleichung von der Summe der beiden ersten ergibt
∂ i g jk + ∂ j g ki − ∂ k g ij = 2 Γ ij l g lk
und nach Multiplikation beider Seiten mit g km und Summation über k erhält man
schließlich
Γ ij k = 1 2 gkl (∂ i g jl + ∂ j g li − ∂ l g ij ). (11.8.3)
Satz. Die Christoffelsymbole Γ ij k lassen sich allein aus den Koeffizienten g ij der
ersten Fundamentalform und ihren Ableitungen berechnen.
Es sei bemerkt, dass die Γ k ij nicht die Komponenten eines Tensorfeldes auf M
sind, da ihr Transformationsverhalten bei Kartenwechsel nicht das eines Tensors
ist (siehe 6.2). Vielmehr sind sie, wie wir bald sehen werden, die Komponenten
eines “Zusammenhanges” auf M, und zwar des Levi–Civita–Zusammenhanges der
Riemannschen Metrik g M .
11.9. Kongruenz isometrischer Flächen. Sei M ⊆ R 3 eine Fläche, φ eine
euklidische Bewegung des R 3 , und sei N = φ(M). Nach Abschnitt 10.9 ist die Einschränkung
f = φ| M eine Isometrie der Riemannsche Mannigfaltigkeiten (M, g M )
und (N, g N ), erfüllt also f ∗ g N = g M . Umgekehrt ist nicht jede Isometrie zwischen
Flächen notwendig die Einschränkung einer euklidische Bewegung, da solche Einschränkungen
nach 11.7 auch f ∗ II N = ± II M erfüllen müssen.
Satz. Seien M und N zusammenhängende orientierte Flächen im R 3 , und sei
f : (M, g M ) → (N, g N ) eine Isometrie mit f ∗ II N = II M . Dann existiert eine
euklidische Bewegung φ : R 3 → R 3 mit φ| M = f.
Beweis. Sei p ∈ M und sei ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M eine lokale Parametrisierung
von M mit ψ(0) = p und mit zusammenhängendem Parameterbereich W . Dann ist
˜ψ := f ◦ ψ : W → f(U) ⊆ N
eine lokale Parametrisierung von N mit ˜ψ(0) = f(p).
Sei φ(x) = Ax + b die euklidische Bewegung des R 3 , die p in f(p) abbildet, und
deren Ableitung A das “begleitende Dreibein” der Parametrisierung ψ im Punkt p
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