DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Lemma. Eine Abbildung A : M → T s r M mit π ◦ A = id M ist genau dann differenzierbar
von der Klasse C k , wenn für jede Karte (ϕ, U) ∈ A die durch
A| U = ∑ A i1···i r
j 1···j s
dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ⊗ ∂
∂x j1 ⊗ · · · ⊗ ∂
∂x js
j
eindeutig bestimmten Komponentenfunktionen A 1···j s
i1···i r
∈ C k (U) sind.
Beweis. Mit der Karte aus (6.3) gilt
¯ϕ ◦ A ◦ ϕ −1 (x) = ( x, A i1···i r
j 1···j s
(ϕ −1 (x)) ) .
QED
6.5. Aus dem Lemma in 6.4 folgt unmittelbar, dass Tensorprodukte und Kontraktionen
von differenzierbaren Tensorfeldern wieder differenzierbare Tensorfelder
ergeben. Nach 5.7 liefert daher auch das Einsetzen von differenzierbaren Vektorfeldern
in differenzierbare Tensorfelder erneut differenzierbare Tensorfelder. Ist zum
Beispiel g ein (2, 0)–Tensorfeld, und sind X und Y Vektorfelder, dann ist g(X, Y )
das (0, 0)–Tensorfeld (also die Funktion)
(g(X, Y ))(p) = g(p)(X(p), Y (p)).
Bezüglich einer Karte (ϕ, U) ist X| U = X i ∂/∂x i , ebenso Y | U = Y j ∂/∂y j und
g| U = g ik dx i ⊗ dx k . Damit ist
g(X, Y )| U = g ik dx i ⊗ dx k( X j ∂
∂x j , Y l ∂
)
∂x l
= g ik X j Y l dx i( ∂
)
∂x j
= g ik X j Y l δj i δk l
= g ik X i Y k ,
dx k( ∂
∂x l )
und das ist eine differenzierbare Funktion auf U, wenn die Komponenten g ik , X i
und Y k differenzierbar sind.
6.6. Riemannsche Metriken. Eine Riemannsche Metrik auf M ist ein differenzierbares
(2, 0)–Tensorfeld g mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt p ∈ M die
bilineare Abbildung
g(p) : T p M × T p M → R
symmetrisch und positiv definit, also ein Skalarprodukt ist. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
ist ein Paar (M, g), bestehend aus einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
M und einer Riemannschen Metrik g auf M. Die Norm (oder Länge) eines
Vektors X ∈ T p M ist definiert als
‖X‖ = √ g(p)(X, X) .
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