DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Folglich ist c kürzer als die Nachbarkurven c s für alle hinreichend kleinen s ≠ 0.
(b) Ist c(t 0 ) konjugiert zu c(a) für einen Wert t 0 ∈ (a, b), dann existiert eine stückweise
glatte Variation mit festen Endpunkten und mit
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(c s ) < 0.
Insbesondere ist dann L(c s ) < L(c) für alle hinreichend kleinen s ≠ 0, und c ist
keine Kürzeste.
Beweis. (a) Anwendung des Indexlemmas auf V ⊥ und das Jacobifeld J = 0 ergibt
die Ungleichung
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(c s ) = I(V ⊥ , V ⊥ ) > I(J, J) = 0.
(b) Sei J ≠ 0 ein Jacobifeld mit J(0) = 0 und J(t 0 ) = 0. Nach Lemma 4(a) in 23.1
ist J orthogonal zu ċ, und wir können ein Vektorfeld Y ∈ Vc
⊥ definieren als
Y (t) =
{
J(t) für a ≤ t ≤ t0
0 für t 0 < t ≤ b.
Dann ist I(Y, Y ) = 0, und für die einseitigen Ableitungen in t 0 gilt
(∇ t Y )(t − 0 ) = (∇ tJ)(t 0 ) ≠ 0, da J ≠ 0
(∇ t Y )(t + 0 ) = 0.
Sei Z ∈ Vc
⊥ ein Vektorfeld mit Z(a) = 0 und Z(b) = 0, und sei V = Y + δZ mit
einer noch zu wählenden Zahl δ ∈ R. Aus I(Y, Y ) = 0 und der Bilinearität der
Indexform folgt
I(V, V ) = 2δ I(Y, Z) + δ 2 I(Z, Z).
Mit der Jacobigleichung ∇ t ∇ t Y + R(Y, ċ)ċ = 0 ergibt sich
I(Y, Z) = 1
‖ċ‖
∫ b
a
∫ b
(
〈∇t Y, ∇ t Z 〉 − 〈R(Y, ċ)ċ, Z 〉 ) dt
= 1 〈∇ t Y, Z 〉 ′ dt
‖ċ‖ a
= 1 ( 〈∇t Y, Z 〉∣
∣ t− 0
‖ċ‖
+ 〈∇ ∣
tY, Z 〉
a
= 1
‖ċ‖ 〈∇ tJ(t 0 ), Z(t 0 ) 〉.
Wegen 〈J, ċ 〉 = 0 ist auch 〈∇ t J, ċ 〉 = 0. Man kann deshalb Z ∈ Vc
⊥ so wählen,
dass Z(t 0 ) = ∇ t J(t 0 ) gilt. Dann ist I(Y, Z) > 0, und für δ < 0 nahe Null folgt
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∣ b t + 0
)