DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis. In lokalen Koordinaten (ϕ, U) ist mit H k := ϕ k ◦ H
also nach (15.1.1)
∂H
∂t = ∂Hk ∂
∂t ∂x k ◦H,
∇ ∂H
( ∂ 2
∂s ∂t = H k
∂s∂t + ∂Hi ∂H j ) ∂
∂s ∂t Γ ij k ◦H
∂x k ◦Hk .
Die Behauptung folgt aus der Torsionsfreiheit Γ ij k = Γ ji k . QED
Satz (Erste Variationsformel). Sei H eine Variation der proportional zur Bogenlänge
parametrisierten differenzierbaren Kurve c, und sei L(c s ) die Länge der Kurve
c s (t) = H(s, t). Dann gilt
d
ds ∣ L(c s ) = 1 (
∫ g(V, ċ) ∣ b b
0
‖ċ‖
− a
a
(
g
V, ∇ċ
dt
) )
dt . (18.1.2)
Dabei ist
g(V, ċ) ∣ ∣ b a = g( V (b), ċ(b) ) − g ( V (a), ċ(a) ) .
Beweis. Mit Gleichung (15.5.1) ergibt sich
d
ds L(c s) = d ds
=
und wegen des Lemmas gilt
Speziell für s = 0 ist
∫ b
a
∫ b
a
( ∂H
g
( ∂H
g
∂t , ∂H ) 1/2dt
∂t
∂t , ∂H
∂t
( ∇ ∂H
g
∂s ∂t , ∂H ) ( ∇ ∂H
= g
∂t ∂t ∂s , ∂H )
∂t
= ∂ ( ∂H
∂t g ∂s , ∂H
∂t
) −1/2g ( ∇ ∂H
∂s ∂t , ∂H )
dt,
∂t
) ( ∂H
− g
∂s , ∇ ∂t
∂H
)
.
∂t
∂H
∂H
(0, t) = ċ(t),
∂t
und die Behauptung folgt. QED
(0, t) = V (t),
∂s
18.2. Stückweise differenzierbare Kurven. Wir betrachten nun allgemeiner
stückweise differenzierbare Kurven c : [a, b] → M und ihre Variationen. Die Kurve
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