DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

7. Vektorfelder und Flüsse
Differenzierbare Vektorfelder, zunächst definiert als Schnitte des Tangentialbündels
der Mannigfaltigkeit M, lassen sich auch als R–lineare Abbildungen des Raumes
C ∞ (M) der differenzierbaren Funktionen in sich selbst charakterisieren, die eine
Produktregel erfüllen, d.h. die Derivationen im Sinne der Algebra sind. Dieser
Beschreibung ist der Anfang des Kapitels gewidmet. Sie wird dann verwendet,
um die Lieklammer [X, Y ] = XY − Y X zweier Vektorfelder einzuführen. Die
Lieklammer verleiht dem reellen Vektorraum V(M) der C ∞ –Vektorfelder auf M
die zusätzliche Struktur einer Liealgebra.
Vektorfelder treten auch auf als Geschwindigkeitsfelder stationärer Strömungen auf
M. Man denkt sich dabei M erfüllt von einer in Bewegung befindlichen Flüssigkeit.
Die Geschwindigkeitsvektoren der (Bahnkurven der) einzelnen Flüssigkeitspartikel
bilden zu jedem festen Zeitpunkt ein Vektorfeld auf M. Wenn dieses Geschwindigkeitsfeld
selbst nicht von der Zeit abhängt, dann spricht man von einer stationären
Strömung auf M. Derartige Strömungen—d.h. die einzelnen Bahnkurven—lassen
sich aus ihrem Geschwindigkeitsfeld rekonstruieren. Solche der Hydrodynamik
entstammenden Betrachtungen führen zum mathematischen Begriff des Flusses
eines Vektorfeldes und dem der Einparametergruppe von Diffeomorphismen. Diese
Dinge werden im zweiten Teil des Kapitels behandelt. Dabei ergibt sich eine geometrische
Deutung der Lieklammer [X, Y ] als Ableitung von Y längs des Flusses
von X, und weiter ein Kriterium dafür, dass vorgegebene Vektorfelder Basisfelder
einer Karte sind.
Wie bisher ist (M, A) eine n–dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, und
Differenzierbarkeit bedeutet Differenzierbarkeit von der Klasse C ∞ . Buchstaben
X, Y, . . . bezeichnen in diesem Abschnitt Vektorfelder, und V = V(M) ist die Menge
aller differenzierbaren Vektorfelder auf M. Für den Wert X(p) eines Vektorfeldes
an einer Stelle p ∈ M schreiben wir auch X p .
7.1. Vektorfelder als Derivationen des Ringes C ∞ (M). Sei X ein differenzierbares
Vektorfeld, und sei f ∈ C ∞ (M). Wir definieren Xf ∈ C ∞ (M) durch
(Xf)(p) := X p f ∈ R.
Statt Xf werden wir gelegentlich X(f) schreiben.
Zum Beweis, dass die Funktion Xf ∈ C ∞ (M) ist, sei (ϕ, U) eine Karte. Dann ist
und X| U = ∑ X i ∂/∂x i mit Komponenten X i ∈ C ∞ (U), und für p ∈ U gilt
Version: 18. Februar 2000
(Xf)(p) =
n∑
i=1
X i (p) ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i (ϕ(p)) .
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