DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

aus 11.8
∂ ¯ψ
∂w i = ¯Z i
∂ ¯Z k
∂w i = ¯Γ l ik ◦ ¯ψ · ¯Z l + ¯h ik ◦ ¯ψ · ¯n◦ ¯ψ
(11.9.1)
∂(¯n◦ ¯ψ)
∂w i = −¯L k i ◦ ¯ψ · ¯Z k ,
und für die Größen mit ˜· anstelle von ¯· gelten entsprechende Gleichungen. Die
Gleichungen (11.9.1) sind ein System der Form
für die durch
∂ ¯X
∂w i = F i( ¯X) (i = 1, 2)
¯X = ( ¯ψ, ( ¯Z1 , ¯Z 2 , ¯n◦ ¯ψ) ) ,
definierte Abbildung ¯X : W → R 3 × R 3×3 ∼ = R 12 , und die Abbildung
˜X = ( ˜ψ, ( ˜Z1 , ˜Z 2 , ñ◦ ˜ψ) )
erfüllt dasselbe System, mit denselben Funktionen F i . Da ˜X(0) = ¯X(0) gilt, und
da W zusammenhängend ist, folgt nun ˜X = ¯X auf ganz W . Ist nämlich w 0 ∈ W , so
wähle man eine differenzierbare Kurve c : [0, 1] → W mit c(0) = 0 und c(1) = w 0 .
Dann erfüllt ¯X ◦ c das System gewöhnlicher Differentialgleichungen
d( ¯X ◦ c)
(t) = F i (X(c(t)) dci
dt
dt (t) ,
ist also durch den Anfangswert ¯X(c(0)) = ¯X(0) eindeutig bestimmt. Insbesondere
ist ¯ψ = ˜ψ, also φ ◦ ψ = f ◦ ψ, und damit φ| U = f| U , wie beabsichtigt.
Wir haben gezeigt, dass zu jedem Punkt p ∈ M eine euklidische Bewegung φ p ∈ E(3)
existiert mit φ p | U = f| U auf einer Umgebung U von p, und φ p wird eindeutig, wenn
man fordert (T φ)◦(ν M | U ) = ν N ◦f| U . Die Abbildung p ↦→ φ p von M in die Gruppe
E(3) der euklidischen Bewegungen ist lokal konstant. Da M zusammenhängend ist,
ist sie konstant. QED
Aufgaben
1. Unterschied. Erläutern Sie den Unterschied zwischen der Standardorientierung
des R 3 als Vektorraum und der Standardorientierung des R 3 als differenzierbare
Mannigfaltigkeit.
2. Affine Abbildungen. Sei φ ein Diffeomorphismus des R n auf sich selbst.
Zeigen Sie: φ ist eine affine Abbildung genau dann, wenn für alle differenzierbaren
Vektorfelder X und Y auf R n gilt
φ ∗ (∇ X Y ) = ∇ (φ∗X)(φ ∗ Y ) .
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