DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

1.8. Bemerkung. (Offene Teilmengen von C k –Mannigfaltigkeiten sind C k –Mannigfaltigkeiten).
Sei (M, A) eine C k –Mannigfaltigkeit, und sei V ⊆ M offen. Dann
ist offensichtlich
{(ϕ| U∩V , U ∩ V ) | (ϕ, U) ∈ A}
ein C k –Atlas für V , versehen mit der Unterraumtopologie. Dabei bezeichnet ϕ| U∩V
die Restriktion von ϕ auf U ∩ V ⊆ U.
1.9. Definition. Seien (M, A) eine n–dimensionale C k –Mannigfaltigkeit, (M ′ , A ′ )
eine C k′ –Mannigfaltigkeit und l ≤ min(k, k ′ ). Eine stetige Abbildung f : M → M ′
heißt differenzierbar von der Klasse C l (oder eine C l –Abbildung), wenn gilt: Für
jedes (ϕ, U) ∈ A und (ϕ ′ , U ′ ) ∈ A ′ mit f(U) ∩ U ′ ≠ ∅ ist
ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1 : ϕ ( U ∩ f −1 (U ′ ) ) → ϕ ′ (f(U) ∩ U ′ ) ⊆ R n′
eine C l –Abbildung im üblichen Sinne des R n . Ist speziell (M ′ , A ′ ) die reelle Gerade,
versehen mit der Standardstruktur (1.6(d)), dann heißt f eine C l –Funktion.
Wir bemerken, dass die Teilmenge U ∩ f −1 (U ′ ) eine offene Teilmenge von U ist, da
f stetig ist und U ′ ⊆ M ′ offen. Also ist ϕ(U ∩ f −1 (U ′ )) offen in ϕ(U) und daher
in R n , da ϕ(U) offen in R n ist. Damit macht der Begriff der C l –Abbildung mit
Definitionsbereich ϕ(U ∩ f −1 (U ′ )) ⊆ R n ohne weiteres Sinn. Wir werden in 1.10
sehen, dass man die Bedingung der Differenzierbarkeit von ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1 nicht für
alle Karten in A und A ′ nachprüfen muss.
1.9.1. Bezeichnungen. Wir bezeichnen mit C l (M, N) die Menge der C l –Abbildungen
f : M → N. Diese Notation ist etwas ungenau, weil C l (M, N) von den
differenzierbaren Strukturen A und A ′ abhängt. Im Fall N = R schreiben wir
C l (M) := C l (M, R).
1.10. Lemma. In den Bezeichnungen von 1.9.1 gilt: f ∈ C l (M, M ′ ) genau dann,
wenn zu jedem p ∈ M Karten (ϕ, U) ∈ A an p und (ϕ ′ , U ′ ) ∈ A ′ an f(p) existieren,
so dass ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1 : ϕ ( U ∩ f −1 (U ′ ) ) → R n′ eine C l –Abbildung ist. Insbesondere
gilt für reellwertige Funktionen f ∈ C l (M) genau dann, wenn f ◦ ϕ −1 ∈ C l (ϕ(U))
ist für alle Karten (ϕ, U) eines beliebigen Atlas A 1 ⊆ A.
Beweis. Eine Implikation ist klar nach Definition von C l (M, M ′ ). Zum Beweis der
Umkehrung seien (ϕ 1 , U 1 ) ∈ A und (ϕ ′ 1, U ′ 1) ∈ A ′ beliebige Karten mit f(U 1 )∩U ′ 1 ≠
∅. Wir müssen zeigen, dass die Abbildung
ϕ ′ 1 ◦ f ◦ ϕ −1
1 : ϕ 1 (U 1 ∩ f −1 (U ′ 1)) → R n′
von der Klasse C l ist. Sei dazu x ∈ ϕ 1 (U 1 ∩ f −1 (U 1 ′ )). Dann gibt es Karten
(ϕ, U) mit p = ϕ −1
1 (x) ∈ U und (ϕ′ , U ′ ) mit f(p) ∈ U ′ , so dass ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1 eine
C l –Abbildung ist. Es ist
ϕ ′ 1 ◦ f ◦ ϕ−1 1 = ( ϕ ′ 1 ◦ (ϕ′ ) −1) ◦ ( ϕ ′ ◦ f ◦ ϕ −1) ◦ ( ϕ ◦ ϕ −1 )
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