DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Nach Abschnitt 6.7 definiert daher R ein (3, 1)–Tensorfeld auf M. Wir werden im
Folgenden R, R und das dadurch definierte (3, 1)–Tensorfeld mit demselben Buchstaben
R bezeichnen und im Allgemeinen nicht unterscheiden. Aus dem Kontext
wird dann jeweils ersichtlich sein, was gemeint ist.
16.2. Komponenten des Krümmungstensors. Speziell für Basisfelder ∂ i =
∂/∂x i einer Karte gilt [∂ i , ∂ j ] = 0, so dass R(∂ i , ∂ j ) die Vertauschbarkeit der kovarianten
Ableitungen ∇ ∂i und ∇ ∂j misst. Nun ist
mit
R = R ijk l dx i ⊗ dx j ⊗ dx k ⊗ ∂ l
R ijk l = R(∂ i , ∂ j , ∂ k , dx l ) = dx l( R(∂ i , ∂ j )∂ k
)
,
und das ist die l–te Komponente des Vektorfeldes R(∂ i , ∂ j )∂ k . Die R ijk l sind also
bestimmt durch die Gleichung
R(∂ i , ∂ j )∂ k = R ijk l ∂ l . (16.2.1)
Mit den durch ∇ ∂i ∂ j = Γ ij k ∂ k definierten Christoffelsymbolen berechnet man daraus
für die Komponenten des Krümmungstensors
R ijk l = ∂ i Γ jk l − ∂ j Γ ik l + Γ jk m Γ im l − Γ ik m Γ jm l . (16.2.2)
Bemerkung. Im Fall einer Fläche M ⊆ R 3 ist uns diese Gleichung bereits in
(12.7.4) begegnet. Die dort verwendeten Γ k ij sind nach Abschnitt 14.9 die Christoffelsymbole
des Levi–Civita–Zusammenhanges der ersten Fundamentalform von M.
l
Die in (12.7.4) eingeführten R ijk sind also die Komponenten des Krümmungstensors
des Levi–Civita–Zusammenhanges der ersten Fundamentalform. Für die
Gaußkrümmung der Fläche M ergibt (12.7.5)
K =
R l 122 g l1
g 11 g 22 − (g 12 ) 2 = g( )
R(∂ 1 , ∂ 2 )∂ 2 , ∂ 1
‖∂ 1 ‖ 2 ‖∂ 2 ‖ 2 − g(∂ 1 , ∂ 2 ) 2 . (16.2.3)
16.3. Ein Lemma. Sei H : [0, 1] × [a, b] → M, (s, t) ↦→ H(s, t) differenzierbar.
Wir definieren Vektorfelder ∂H/∂s und ∂H/∂t längs der Abbildung H wie folgt:
∂H/∂s (s, t) ist der Tangentialvektor der Kurve σ ↦→ H(σ, t) an der Stelle σ = s,
und entsprechend ist ∂H/∂t (s, t) derjenige von τ ↦→ H(s, τ) an der Stelle τ = t. Es
ist also, mit der Ableitung T H von H,
∂H
( ∂
∂s (s, t) = (T H) )
∂s∣ (s,t)
∂H
( ∂
∂t (s, t) = (T H) )
∂t∣ .
(s,t)
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