DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

22. Riemannsche Überlagerungen
Die Krümmungseigenschaften einer vollständigen Riemannschen Metrik lassen in
gewissem Umfang Rückschlüsse auf die topologische Struktur der unterliegenden
Mannigfaltigkeit zu. Der Satz von Bonnet–Myers etwa zeigt, dass strikte Positivität
der Riccikrümmung nur auf kompakten Räumen möglich ist, und der in 21.4
erwähnte Sphärensatz besagt unter der zusätzlichen Voraussetzung des einfachen
Zusammenhangs von M, dass Riemannsche Metriken mit Schnittkrümmung zwischen
1/4 und 1 nur auf Mannigfaltigkeiten existieren, die homömorph zur Sphäre
sind. Daneben gibt es eine Reihe weiterer Resultate, die Aussagen über andere
topologische Eigenschaften gestatten.
Was aber sind topologische Eigenschaften eines Raumes M? Es sind solche, die
topologisch äquivalente, d.h. homöomorphe Räumen gemein haben, die also nur
vom Homöomorphietyp von M abhängen. Man spricht daher auch von topologischen
“Invarianten”. Kompaktheit ist eine topologische Eigenschaft, aber auch
der Homöomorphietyp selbst. Verfahren, solche Invarianten zu ermitteln, liefert die
algebraische Topologie. Hier werden den Räumen Objekte algebraischer Natur, etwa
Homologie- und Homotopiegruppen, zugeordnet, die bei homöomorphen Räumen
isomorph sind. Die Isomorphieklasse einer solchen Gruppe ist also eine topologische
Invariante des Raumes.
Die ersten Abschnitte dieses Kapitels sind der ersten Homotopiegruppe oder Fundamentalgruppe
und dem damit zusammenhängenden Begriff der Überlagerung gewidmet.
Überlagerungen sind uns bereits in Abschnitt 13.4 begegnet. Wir beschränken
uns auf eine knappe Darstellung und betonen Aspekte, die für die Riemannsche Geometrie
wichtig sind. Für eine ausführlichere Behandlung sei etwa auf das dritte
Kapitel von Glen E. Bredon’s Buch “Topology and Geometry” verwiesen. Danach
gehen wir auf den Begriff der Riemannschen Überlagerung ein und geben einfache
Anwendungen. Anschließend setzen wir die Untersuchung positiv gekrümmter Mannigfaltigkeiten
mit einem Fixpunktsatz von Weinstein fort, aus dem wir schließlich
den Satz von Synge über Fundamentalgruppe und Orientierbarkeit von Mannigfaltigkeiten
positiver Schnittkrümmung erhalten.
22.1. Überlagerungen. Sei M eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine Überlagerung von M ist eine surjektive differenzierbare Abbildung
π : ¯M → M mit folgender Eigenschaft: Jeder Punkt p ∈ M hat eine offene Umgebung
U dergestalt, dass
π −1 (U) = ⋃ α∈Λ U α (22.1.1)
ist mit disjunkten offenen Teilmengen U α ⊆ ¯M, die durch π| Uα diffeomorph auf U
abgebildet werden. Derartige offene Teilmengen U ⊆ M nennt man zulässige oder
Version 21. Juli 2000
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