DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Die Funktionen b ij = 〈e i , e j 〉 erfüllen also das lineare Differentialgleichungssystem
b ′ ij = ∑ k a kib kj + a kj b ik
mit den Anfangswerten b ij (a) = δ ij . Die konstanten Funktionen δ ij erfüllen dasselbe
System, da a ji + a ij = 0 ist, und zwar mit denselben Anfangswerten. Mit der
Eindeutigkeitsaussage aus 9.5 folgt die Behauptung.
Wir definieren nun die Kurve c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) durch
c(s) = p +
∫ s
a
e 1 (t) dt
(∗)
Es gilt c ∈ C 3 , weil e ′ 1 = κe 2 von der Klasse C 1 ist und deshalb e 1 ∈ C 2 . Dann
ist c(a) = p und c ′ (s) = e 1 (s), also ||c ′ || = 1. Weiter ist c ′′ = e ′ 1 = κe 2, folglich c
biregulär mit Krümmung κ. Die Vektoren e 1 , e 2 , e 3 bilden das begleitende Dreibein
von c, und die Gleichung e ′ 3 = −τe 2 zeigt, dass τ die Torsion von c ist.
Die Eindeutigkeit der Kurve c ist offensichtlich: Ihr begleitendes Dreibein muss
die Frenetgleichungen mit den gegebenen Anfangswerten erfüllen, und das Dreibein
bestimmt c durch Gleichung (∗).
(b) Seien e 1 , e 2 , e 3 und ẽ 1 , ẽ 2 , ẽ 3 die begleitenden Dreibeine der Kurven c und ˜c. Sei
F (x) = Ax+b die euklidische Bewegung mit Ae i (0) = ẽ i (0) und mit F (c(a)) = ˜c(a).
Dann erfüllen sowohl ˜c als auch F ◦c die Bedingungen aus Teil (a), also ist ˜c = F ◦c.
Es gilt A ∈ SO(3), weil A die positiv orientierte Orthonormalbasis e 1 (0), e 2 (0), e 3 (0)
in die positiv orientierte Orthonormalbasis ẽ 1 (0), ẽ 2 (0), ẽ 3 (0) abbildet. Die euklidische
Bewegung F ist also eigentlich. QED
9.7. Bemerkung. Die Torsion τ einer biregulären Kurve c ∈ C 3 ([a, b], R 3 ) verschwindet
genau dann, wenn das Bild c([a, b]) in einer Ebene enthalten ist.
Beweis. Wir können annehmen, dass c nach der Bogenlänge parametrisiert ist. Aus
τ = 0 folgt e ′ 3 = −τe 2 = 0, und damit 〈c, e 3 〉 ′ = 〈c ′ , e 3 〉 = 〈e 1 , e 3 〉 = 0. Also sind
sowohl der Binormalenvektor e 3 als auch das Skalarprodukt 〈c, e 3 〉 konstant. Daher
ist 〈c(t), e 3 (a)〉 = 〈c(t), e 3 (t)〉 = 〈c(a), e 3 (a)〉, und damit
〈c(t) − c(a), e 3 (a)〉 = 0
für alle t. Die Kurve ist also in der zum konstanten Vektor e 3 (a) senkrechten Ebene
durch den Punkt c(a) enthalten. QED
9.8. Beispiel. Die durch
⎧
⎨ (t, 0, e −1/t2 ), t < 0
c 1 (t) = 0, t = 0
⎩
(t, e −1/t2 , 0), t > 0
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