DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

ijektiv und es gilt A −1 (v) = [c], wobei c(t) = ϕ −1 (ϕ(p) + tv). Zum Beweis dieser
Aussage verifiziert man, dass AA −1 = id R n und A −1 A = id T
geo
p M gelten. Insbesondere
erhält die Menge Tp
geo M von R n die Struktur eines n–dimensionalen
reellen Vektorraumes durch “Strukturübertragung”: Für λ i ∈ R und [c i ] ∈ Tp
geo M
definieren wir
λ 1 [c 1 ] + λ 2 [c 2 ] = A −1 ( λ 1 A[c 1 ] + λ 2 A[c 2 ] ).
Explizit lassen sich die Vektorraumoperationen in Tp
geo M so beschreiben: Es ist
wobei c die Kurve
mit v i = d(ϕ ◦ c i )/dt (0) bezeichnet.
λ 1 [c 1 ] + λ 2 [c 2 ] = [c],
c(t) = ϕ −1( ϕ(p) + t(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) )
Lemma. Die so definierte Vektorraumstruktur auf Tp
geo M ist unabhängig von der
Wahl der Karte (ϕ, U) an p.
Beweis. Ist (ψ, V ) eine andere Karte an p, und bezeichnet B : Tp
geo M → R n die
Abbildung
d(ψ ◦ c)
B([c]) = (0),
dt
dann ist
AB −1 (v) = d dt∣ ϕ ◦ ψ −1 (ψ(p) + tv) = D(ϕ ◦ ψ −1 )(ψ(p)) v.
0
Also ist AB −1 : R n → R n linear. Damit folgt
B −1 (λ 1 B[c 1 ] + λ 2 B[c 2 ]) = A −1 (AB −1 )(λ 1 B[c 1 ] + λ 2 B[c 2 ])
= A −1 (λ 1 (AB −1 )B[c 1 ] + λ 2 (AB −1 )B[c 2 ])
= A −1 (λ 1 A[c 1 ] + λ 2 A[c 2 ]). QED
Ist speziell M eine C ∞ –Untermannigfaltigkeit des R k , dann ist nach 2.4 M selbst
eine C ∞ –Mannigfaltigkeit. Neben dem Tangentialraum T p M aus 3.1 gibt es dann
denjenigen Tp
geo M aus 3.2. Ihre Beziehung klärt die folgende
3.4. Proposition. Sei M ⊆ R k eine n–dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit
von R k und p ∈ M. Dann ist die durch
Ψ p ([c]) =
(
p, dc
dt (0) )
definierte Abbildung Ψ p : Tp
geo M → T p M ein Vektorraumisomorphismus.
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