DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Zusammenhänge, und (c) für den Levi–Civita–Zusammenhang der Riemannschen
Metrik. Gleichung (d) heißt die erste, (e) die zweite Bianchi–Identität. Die beiden
Bianchi–Identitäten, die wir hier nur im Nachhinein verifizieren, erscheinen auf
natürliche Weise bei der Behandlung von Zusammenhängen im Kalkül der Differentialformen.
Beweis. (a) folgt sofort aus der Definition
R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [X,Y ] Z,
und (b) wurde in (16.4.4) bewiesen. Den Nachweis von (d) und (e) vereinfacht sich
mit folgendem
Standardargument: Um die Identität zweier Tensoren nachzuweisen,
genügt es, zu zeigen, dass ihre Komponenten im Zentrum von Normalkoordinaten
übereinstimmen.
Zum Beweis von (e) sei etwa p ∈ M. Wir wählen Normalkoordinaten mit Zentrum
p. Da ∇ torsionsfrei ist, gilt Γ ij k (p) = 0, und für die Komponenten von ∇R in p
folgt nach Gleichung (14.7.3)
R ijk
l ,m (p) = ∂ m R ijk l (p).
Zu zeigen ist, dass die Komponenten der linken Seite von (e) verschwinden, dass
also gilt
R ijl
m ,k + R jkl
m ,i + R kil
m ,j = 0. (20.1.1)
Im Punkt p ist mit (16.2.2)
R ijl
m
,k = ∂ k R ijl
m
= ∂ k (∂ i Γ jl m − ∂ j Γ il m + Γ jl q Γ iq m − Γ il q Γ jq m )
= ∂ k ∂ i Γ jl m − ∂ k ∂ j Γ il m .
Die Behauptung (20.1.1) folgt ohne Mühe. Schließlich ergibt sich (c) aus (a), (b)
und (d). Wir schreiben dazu abkürzend XY ZW := g(R(X, Y )Z, W ). Nach der
ersten Bianchi–Identität (d) gilt
XY ZW + Y ZXW + ZXY W = 0
Y ZW X + ZW Y X + W Y ZX = 0
ZW XY + W XZY + XZW Y = 0
W XY Z + XY W Z + Y W XZ = 0.
Addition dieser Gleichungen liefert ZXY W + Y W XZ = 0 und damit (c). QED
20.2. Ergänzungen zur Tensorrechnung. Sei zunächst ∇ ein beliebiger Zusammenhang
auf M. Bereits in 14.6 haben wir die kovariante Ableitung von Tensorfeldern
kennengelernt. Ist zum Beispiel A ein (2, 1)–Tensorfeld, dann ist ∇A ein
(3, 1)–Tensorfeld mit Komponenten
A i1i 2
j ,k = ∂ k A i1i 2 j − Γ ki1 l A li2 j − Γ ki2 l A i1l j + Γ kl j A i1i 2 l .
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