DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Korollar 1. Sei c : [a, b] → M eine stückweise differenzierbare, proportional zur
Bogenlänge parametrisierte Kurve. Gilt L(c) = d ( c(a), c(b) ) , dann ist c eine Geodätische,
also insbesondere differenzierbar.
Beweis. Wir betrachten zunächst das Variationsvektorfeld
V (t) = ϕ(t) ∇ċ
dt (t)
mit einer differenzierbaren Funktion ϕ, die an allen Punkten t i (i = 0, . . . , m)
verschwindet und sonst positiv ist. Für die Kurven c s (t) = H(s, t) = exp c(t) sV (t)
gilt dann c s (a) = c(a), c s (b) = c(b), und daher L(c s ) ≥ d(c(a), c(b)) = L(c). Die
Funktion L(c s ) hat also ein Minimum an s = 0, und mit Satz 2 folgt
0 = d ∣ L(c s ) = − 1
ds 0 ‖ċ‖
∫ b
ϕ(t)
∇ċ
2
∥ dt ∥ dt.
Also ist ∇ċ/dt = 0, und alle Teilkurven c| [ti,t i+1] sind Geodätische. Nun wählen wir
ein Variationsvektorfeld V mit V (a) = 0, mit V (b) = 0 und
V (t i ) = ċ(t − i ) − ċ(t+ i ).
Dann zeigt die erste Variationsformel wegen ∇ċ/dt = 0, dass ċ(t − i ) − ċ(t+ i ) = 0
ist. Folglich ist c ∈ C 1 ([a, b], M). Da alle Teilstücke c| [ti,t i+1] Geodätische sind
und Geodätische durch ihren Anfangstangentialvektor eindeutig bestimmt sind, ist
c eine Geodätische, insbesondere differenzierbar von der Klasse C ∞ . QED
Korollar 2. Seien N 1 und N 2 Untermannigfaltigkeiten von M mit positivem Abstand
dist(N 1 , N 2 ) := inf{d(p 1 , p 2 ) | p i ∈ M i }. (18.2.2)
Die stückweise differenzierbare, proportional zur Bogenlänge parametrisierte Kurve
c : [a, b] → M sei eine kürzeste Verbindung von N 1 nach N 2 , es gelte also c(a) ∈ N 1 ,
c(b) ∈ N 2 und L(c) = dist(N 1 , N 2 ). Dann ist c eine Geodätische, die auf N 1 und
N 2 senkrecht steht:
ċ(a) ⊥ T c(a) N 1
a
ċ(b) ⊥ T c(b) N 2 .
Beweis. Wegen L(c) = dist(N 1 , N 2 ) ≤ d(c(a), c(b)) und Korollar 1 ist c eine
Geodätische. Sei nun X 1 ∈ T c(a) N 1 . Wir zeigen, dass g(X 1 , ċ(a)) = 0 ist. Dazu
konstruieren wir eine Variation H von c mit Variationsvektorfeld V und mit den
Eigenschaften V (a) = X 1 , H(s, a) ∈ N 1 und H(s, b) = c(b) für alle s. Insbesondere
ist dann V (b) = 0. Um eine solche Variation H zu erhalten, konstruiert
man zunächst mit Hilfe eines an N 1 angepaßten Koordinatensystems um c(a) ein
Vektorfeld X ∈ V(M) mit kompaktem Träger und mit X(c(a)) = X 1 , dessen Einschränkung
auf N 1 tangentiell an N 1 ist (vergleiche Satz 8.5). Ist Φ der Fluß von
X, dann definiert man H(s, t) = Φ s (c(t)).
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