DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

U ⊆ U α ∩ U β von ψ α (x) ∈ M in R n+l und einen C k –Diffeomorphismus ϕ : U →
ϕ(U) ⊆ R n+l dergestalt, dass gilt
ϕ(M ∩ U) = ϕ(U) ∩ (R n × {0}).
Sei π : R n+l ≃ R n × R l → R n die Projektion auf die ersten n Komponenten und
sei i : R n → R n+l die Inklusion i(x) = (x, 0). Auf ϕ(M ∩ U) ⊆ R n × {0} ist i ◦ π
die Identität. Daher ist auf ψα −1 (U ∩ M)
ψ −1
β
◦ ψ α = ψ −1
β
◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ ψ α = (ψ −1
β ◦ ϕ−1 ◦ i) ◦ (π ◦ ϕ ◦ ψ α ).
Nun sind sowohl ψ −1
β
◦ ϕ−1 ◦ i = (π ◦ ϕ ◦ ψ β ) −1 als auch π ◦ ϕ ◦ ψ α C k –Abbildungen
zwischen offenen Teilmengen von R n , also auch ihre Zusammensetzung ψ −1
β ◦ ψ α.
QED
2.5. Spezialfälle. Wichtige Spezialfälle von 2.2 sind Niveaumengen und (global)
parametrisierte Untermannigfaltigkeiten im R n .
(a) Niveaumengen. Seien V ⊆ R n+l eine offene Teilmenge, f : V → R l eine
C k –Abbildung und c ∈ R l . Es gelte Rang (Df(x)) = l in jedem Punkt x der
Niveaumenge
f −1 (c) = {x ∈ V | f(x) = c}.
Dann ist f −1 (c) eine n–dimensionale C k –Untermannigfaltigkeit von R n+l .
Beweis. Die Aussage folgt aus Kriterium 2.2(a), angewandt auf die Abbildung
f − c : x ↦→ f(x) − c. Es bleibt nur zu zeigen, dass Rang Df(x) = l auf einer
Umgebung U von f −1 (c) gilt, nicht nur auf der Niveaumenge selbst. Dazu sei
x 0 ∈ f −1 (c). Da Rang Df(x 0 ) = l ist, existiert eine (l × l)–Unterdeterminante A(x)
von det(Df(x)) mit A(x 0 ) ≠ 0. Die Funktion x ↦→ A(x) ist stetig, weil f ∈ C 1
ist. Daher ist A(x) ≠ 0 auf einer Umgebung U(x 0 ) des Punktes x 0 . Es folgt
Rang Df(x) = l auf U(x 0 ). Wir setzen U = ⋃ x 0∈f −1 (c) U(x 0). QED
Derartige Niveaumengen sind also “global” durch im Sinne einer Rangbedingung
unabhängige Gleichungen
definierte Untermannigfaltigkeiten.
f 1 (x) = 0, . . . , f l (x) = 0
(b) Parametrisierte Untermannigfaltigkeiten. Sei W ⊆ R n offen, und sei
ψ : W → R n+l eine C k –Abbildung mit Rang Dψ(w) = n für alle w ∈ W . Wir
setzen voraus, dass ψ ein Homöomorphismus von W auf ψ(W ) ist. Dann ist ψ(W )
eine C k –Untermannigfaltigkeit von R n+l . Dies folgt nach Kriterium 2.2(c) mit
U = R n+l . Im Spezialfall n = 2 und l = 1 nennt man ψ(W ) eine parametrisierte
Fläche im R 3 .
2.5.1. Rotationsflächen. Eine Klasse von Beispielen zu 2.5(b) liefern parametrisierte
Rotationsflächen (oder Drehflächen) im R 3 . Wir rotieren etwa die Kurve
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