DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis. Es ist ∂ψ/∂w 1 (w) = c ′ (0), wobei c die Kurve c(t) = ψ(w 1 + t, w 2 ) ist. Für
f ∈ C ∞ (M) gilt daher
Θ(p, c ′ (0)) f = d ∂(f ◦ ψ)
dt∣ f(c(t)) =
0
∂w 1 (w) = ∂ ∣ ∣∣∣p
∂w 1 f . QED
10.3. Erste Fundamentalform einer Fläche im R 3 . Die Standardmetrik des
R 3 ist die Riemannsche Metrik, die bezüglich der Karte id R 3 gegeben ist durch
g R 3 = ∑ 3
i=1 dxi ⊗ dx i .
Die Standardmetrik ist auch dadurch charakterisiert, dass die Standardbasisfelder
∂/∂x i an jeder Stelle p orthornormal sind bezüglich des Skalarproduktes g R 3(p).
Für X = ∑ 3
i=1 Xi ∂/∂x i | p ∈ T p R 3 und Y entsprechend hat man daher
g R 3(p)(X, Y ) = ∑ 3
i=1 Xi Y i .
Sei nun M eine Fläche im R 3 . Dann heißt die durch Einschränkung von g R 3
T M, also durch
auf
g(p) = g R 3(p) ∣ ∣
TpM×T pM
für p ∈ M definierte Riemannsche Metrik auf M die erste Fundamentalform von
M. Ist ψ : W → M eine lokale Parametrisierung mit p ∈ ψ(W ) = U, dann ist
(ψ −1 , U) eine Karte, und nach Abschnitt 6.6 gilt
mit den Komponenten
( ∣ ∂ ∣∣∣p
g ij (p) = g
∂w i ,
g ∣ ∣
U
= ∑ 2
i,j=1 g ij dw i ⊗ dw j
∣
∂ ∣∣∣p ) 〈 ∂ψ
∂w j =
∂w i (ψ−1 (p)), ∂ψ 〉
∂w j (ψ−1 (p)) .
Dabei bezeichnet 〈·, ·〉 das übliche Skalarprodukt des R 3 . Insbesondere sind die
Komponentenfunktionen g ij differenzierbar, und daher ist g ein differenzierbares
Tensorfeld.
10.4. Längen, Winkel und Abstände auf Flächen. Durch die erste Fundamentalform
wird jeder Tangentialraum T p M der Fläche M zu einem zweidimensionalen
euklidischen Vektorraum. Insbesondere ist die Norm eines Vektors X ∈ T p M
definiert durch ‖X‖ = (g(X, X)) 1/2 , und der Kosinus des Winkels zwischen zwei
Vektoren X, Y ∈ T p M ist gegeben durch
cos ̸ (X, Y ) = g(X, Y )
‖X‖ ‖Y ‖ .
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