DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

13. Eiflächen
Eine Eifläche ist eine kompakte, zusammenhängende Fläche im R 3 , deren Gaußkrümmung
überall positiv ist. Hauptergebnis dieses Kapitels ist der Starrheitssatz
für Eiflächen in der Fassung von S. Cohn–Vossen (1936), welcher besagt, dass zwei
isometrische Eiflächen stets kongruent sind. Wir verwenden eine Beweismethode
von A. D. Alexandrov und E. P. Senkin (1955), die auf dem Maximumprinzip beruht.
Mit diesem auch in anderen Zusammenhängen wichtigen Resultat beginnen wir das
Kapitel.
13.1. Das Maximumprinzip von E. Hopf. Sei U ⊆ R n offen und zusammenhängend.
Wir betrachten einen Differentialoperator
Lu =
n∑
a ij ∂ i ∂ j u +
i,j=1
n∑
b i ∂ i u (13.1.1)
auf Funktionen u ∈ C 2 (U), dessen Koeffizienten a ij = a ji und b i reellwertige Funktionen
auf U sind mit den folgenden Eigenschaften: Zu jeder kompakten Teilmenge
K ⊆ U existieren Konstanten c K und ε K > 0, so dass gilt
i=1
∣ b i (x) ∣ ≤ cK
∣ a ii (x) ∣ ≤ cK
n∑
a ij (x) ξ i ξ j ≥ ε K ‖ξ‖ 2
i,j=1
für alle x ∈ K, ξ ∈ R n und i = 1, . . . , n.
folgende
Unter diesen Voraussetzungen gilt der
Satz. (Maximumprinzip) Sei u ∈ C 2 (U) mit Lu ≥ 0. Die Funktion u habe ein
Maximum in einem Punkt x 0 ∈ U, also u(x 0 ) = sup x∈U u(x). Dann ist u konstant.
Lemma. Seien A eine positiv semidefinite und B eine negativ semidefinite reelle
symmetrische Matrix. Dann ist Spur(AB) ≤ 0.
Zum Beweis des Lemmas genügt es, eine der beiden Matrizen zu diagonalisieren. Um
das Maximumprinzip zu beweisen, führen wir die Annahme, u sei nicht konstant, zu
einem Widerspruch. Sei M = u(x 0 ). Ist u nicht konstant, dann existiert ein offener
Ball B, dessen Abschluss ¯B ⊆ U ist, und so dass u < M auf B und u(x 1 ) = M
für einen Randpunkt x 1 ∈ ∂B. Sei x 2 ein auf der Verbindungsstrecke zwischen x 1
Version: 18. Februar 2000
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