DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Eine Untermannigfaltigkeit M ⊆ ¯M heißt total geodätisch im Punkt p ∈ M, wenn
ihre zweite Fundamentalform in p verschwindet, wenn also s(p) = 0 ist. Sie heißt
total geodätisch, wenn sie in jedem ihrer Punkte total geodätisch ist.
Lemma. Jede Geodätische von ¯M, deren Bild in M enthalten ist, ist eine Geodätische
von M. Die Untermannigfaltigkeit M ⊆ ¯M ist genau dann total geodätisch,
wenn jede Geodätische in M auch Geodätische in ¯M ist.
Beweis. Wegen der Eindeutigkeitsaussage in Satz 15.1 gilt für die kovarianten
Ableitungen längs Kurven c in M
¯∇ċ
dt = ∇ċ + s(ċ, ċ). (20.7.3)
dt
Dabei ist ∇ċ/dt tangentiell an M und s(ċ, ċ) orthogonal zu M. Ist ¯∇ċ/dt = 0,
dann folgt insbesondere ∇ċ/dt = 0 und s(ċ, ċ) = 0. Die zweite Aussage folgt ohne
Schwierigkeiten. QED
20.8. Krümmung von Untermannigfaltigkeiten. Sei weiterhin M ⊆ ¯M eine
Untermannigfaltigkeit, und seien R und ¯R die Krümmungstensoren von M und ¯M.
Für Vektorfelder X, Y, Z, W ∈ V(M) gilt nach (20.7.2)
und damit
¯R(X, Y )Z = ¯∇ X ¯∇Y Z − ¯∇ Y ¯∇X Z − ¯∇ [X,Y ] Z
= ¯∇ X (∇ Y Z + s(Y, Z)) − ¯∇ Y (∇ X Z + s(X, Z))
− ∇ [X,Y ] Z − s([X, Y ]), Z)
= ∇ X ∇ Y Z + s(X, ∇ Y Z) + ¯∇ X (s(Y, Z)
− ∇ Y ∇ X Z − s(Y, ∇ X Z) − ¯∇ Y (s(X, Z))
− ∇ [X,Y ] Z − s([X, Y ], Z)
¯R(X, Y )Z = R(X, Y )Z + ¯∇ X (s(Y, Z)) − ¯∇ Y (s(X, Z)) (20.8.1)
Das Skalarprodukt mit W ergibt wegen
die Gaußgleichung
+ s(X, ∇ Y Z) − s(Y, ∇ X Z) − s([X, Y ], Z).
〈 ¯∇ X (s(Y, Z)), W 〉 = X〈s(Y, Z), W 〉 − 〈s(Y, Z), ¯∇ X W 〉
= −〈s(Y, Z), ( ¯∇ X W ) ⊥ 〉
= −〈s(Y, Z), s(X, W )〉
〈R(X, Y )Z, W 〉 = 〈 ¯R(X, Y )Z, W 〉
+ 〈s(Y, Z), s(X, W )〉 − 〈s(X, Z), s(Y, W )〉.
(20.8.2)
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