DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Daher ist für (x, ξ) ∈ ϕ 1 (U 1 ∩ U 2 ) × R n
Die Behauptung folgt. QED
( ¯ϕ 2 ◦ ¯ϕ −1
1 )(x, ξ) = ( ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 (x), D(ϕ 2 ◦ ϕ −1
1 )(x) ξ ) .
Folgerung. Mit dem Atlas { ( ¯ϕ, π −1 (U)) | (ϕ, U) ∈ A } wird T M zu einer 2n–
dimensionalen C ∞ –Mannigfaltigkeit und die Projektion π : T M → M zu einer
C ∞ –Abbildung.
Bemerkungen. (a) Ist M eine C k –Mannigfaltigkeit mit endlichem k ≥ 1, dann
ist der soeben definierte Atlas nur ein C k−1 Atlas, wie man den Kartenwechseln im
Beweis von Lemma 2 ansieht.
(b) Der Nullschnitt 0 M = {0 ∈ T p M | p ∈ M} ist eine zu M diffeomorphe Untermannigfaltigkeit
von T M. Die Karten ¯ϕ sind angepasst im Sinne von Definition
2.8, und die Einschränkung π| 0M der Projektion liefert den Diffeomorphismus von
0 M auf M.
4.7. Die Ableitung. Für f ∈ C ∞ (M, N) definieren wir T f : T M → T N durch
(T f)| TpM = T p f (siehe 4.1). Die Abbildung T f heißt die Ableitung von f.
Lemma. Bezüglich der in 4.6 definierten C ∞ –Strukturen auf T M und T N gilt
T f ∈ C ∞ (T M, T N).
Beweis. Seien (ϕ, U) eine Karte von M und (ψ, V ) eine Karte von N. Wir zeigen,
dass ¯ψ ◦ T f ◦ ¯ϕ −1 eine C ∞ – Abbildung ist. Diese Abbildung
¯ψ ◦ T f ◦ ¯ϕ −1 : ϕ(U ∩ f −1 (V )) × R n → ψ(f(U) ∩ V ) × R n ⊆ R 2n
ist mit ξ = (ξ 1 , . . . , ξ n ) wegen (4.3.1) gegeben durch
Daher ist
( ¯ψ ◦ T f ◦ ¯ϕ −1 )(x, ξ) = ¯ψ
( ∑
◦ T f
= ¯ψ
( ∑
i,j
i
ξ i
∣
∂ ∣∣∣ϕ )
∂x i −1 (x)
ξ i ∂(ψj ◦ f ◦ ϕ −1 )
∂x i (x)
∣
∂ ∣∣∣f(ϕ )
∂y j −1 (x))
( ¯ψ ◦ T f ◦ ¯ϕ −1 )(x, ξ) = ( (ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )(x), D(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )(x) ξ ) ,
und die Behauptung folgt. QED
Bemerkung. Höhere Ableitungen einer Abbildung f ∈ C ∞ (M, N) sind nun in
naheliegender Weise definiert, so etwa die zweite Ableitung als T T f = T (T f) :
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