DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

mit Restglied in Integralform
R m+1 = (t − t 0) m+1
m!
∫ 1
0
(1 − s) m f (m+1) (t s ) ds.
Wegen E j (t 0 ) = P c t 0,t s
E j (t s ) ergibt sich im vorliegenden Fall
R m+1 = (t − t 0) m+1
m!
= (t − t 0) m+1
m!
= (t − t 0) m+1
m!
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
und damit die Behauptung. QED
0
(1 − s) m dm+1 X j
dt m+1 (t s) ds E j (t 0 )
( d
(1 − s) m Pt c m+1 X j )
0,t s
dt m+1 (t s) E j (t s ) ds
(1 − s) m P c t 0,t s
(
X (m+1) (t s ) ) ds,
15.4. Parallelverschiebung von Tensorfeldern. Ein Tensorfeld längs c : I →
M ist eine Abbildung A : I → Tr s M mit Werten in einem der Tensorbündel von M,
und mit der Eigenschaft π ◦ A = c. Sie ordnet also jedem Parameter t einen Tensor
an der Stelle c(t) zu. Die zunächst auf Vektorfeldern definierte Ableitung ∇/dt lässt
sich eindeutig zu einer R-linearen Abbildung des Raumes der Tensorfelder längs c
in sich fortsetzen mit folgenden Eigenschaften:
(1) Auf (0, 0)–Tensoren längs c, also Funktionen in C ∞ (I, R), ist ∇/dt die gewöhnliche
Ableitung.
(2) ∇/dt vertauscht mit allen Kontraktionen.
(3) Es gilt die Produktregel
∇
∇A
(A ⊗ B) =
dt dt ⊗ B + A ⊗ ∇B
dt .
Wir geben eine explizite Beschreibung der zugehörigen Parallelverschiebung von
Tensorfeldern längs c. Seien dazu E 1 , . . . , E n parallele Basisvektorfelder längs c wie
Abschnitt 15.3, und sei
θ 1 (t), . . . , θ n (t)
die zu E 1 (t), . . . , E n (t) duale Basis des Kotangentialraumes Tc(t) ∗ M. Dann sind die
Eins–Formen θ 1 , . . . , θ n längs c parallel. Ein (r, s)–Tensorfeld A längs c läßt sich
schreiben
A(t) = A i1...i r
j 1...j s
(t) θ i1 ⊗ · · · ⊗ θ ir ⊗ E j1 ⊗ · · · ⊗ E js
∣
∣t (15.4.1)
j
mit Komponentenfunktionen A 1...j s i1...i r
(t). Das Tensorfeld ist parallel längs c
genau dann, wenn diese Komponenten konstant sind. Und allgemeiner ist die kovariante
Ableitung von A wie in (15.3.4) gegeben durch die Ableitung der Komponenten
A 1...j s i1...i r
j
(t).
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