DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

16. Krümmung und Flachheit von Zusammenhängen
Auf die Krümmung eines Zusammenhanges ∇ stößt man, wenn man die Vertauschbarkeit
zweiter und höherer kovarianter Ableitungen untersucht. Man erhält beim
Vertauschen einen Fehlerterm ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z, der sich durch einen Tensor R
beschreiben lässt, den Krümmungstensor von ∇. Es zeigt sich, dass die Nichtvertauschbarkeit
damit zusammenhängt, dass man bei der Parallelverschiebung eines
Vektors von p nach q ∈ M längs verschiedener Wege im allgemeinen unterschiedliche
Resultate erhält. Diese Wegabhängigkeit der Parallelverschiebung liefert eine geometrische
Deutung des Krümmungstensors, auf die wir in Abschnitt 16.4 und Aufgabe
4 ausführlich eingehen. Insbesondere ergeben sich in 16.5 notwendige und
hinreichende Bedingungen die “Flachheit” von ∇, d.h. für das Verschwinden von
R. Wir bemerken, dass sich die Definitionen und Resultate der Abschnitte 16.1 bis
16.6 ohne Schwierigkeiten auf Zusammenhänge in beliebigen Vektorbündeln über
M verallgemeinern lassen.
Verschwindet nicht nur der Krümmungstensor R von ∇, sondern auch der Torsionstensor,
dann ist (M, ∇) lokal “isomorph” zum R n , versehen mit dem Standardzusammenhang
∇. Der dabei verwendete Isomorphiebegriff ist die affine Diffeomorphie,
auf die wir in 16.7 eingehen. Anschließend spezialisieren wir die Situation
weiter auf den Fall des Levi–Civita–Zusammenhanges einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g). In Abschnitt 16.9 zeigen wir, dass der Levi–Civita–Zusammenhang
genau dann flach ist, wenn (M, g) lokal isometrisch zum euklidischen Raum ist.
Im Folgenden bezeichnet V = V(M) die Menge der differenzierbaren Vektorfelder
auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, und V ∗ = V ∗ (M) die Menge der
differenzierbaren 1–Formen.
16.1. Der Krümmungstensor. Die Abbildung
mit
R : V × V × V → V, (X, Y, Z) ↦→ R(X, Y )Z
R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [X,Y ] Z (16.1.1)
heißt der Krümmungstensor von ∇. Die spezielle Klammersetzung mit R(X, Y )Z
anstelle von R(X, Y, Z) wird in Abschnitt 16.4 begründet.
Bemerkung. Nach dieser Definition ist R also streng genommen kein Tensorfeld.
Mit den in Abschnitt 7.3 behandelten Eigenschaften der Lieklammer rechnet man
aber leicht nach (Aufgabe 1), dass die Abbildung R in allen drei Variablen X, Y
und Z linear über C ∞ (M) ist. Dasselbe gilt für die durch R induzierte Abbildung
Version 16. Mai 2000
R : V × V × V × V ∗ → C ∞ (M)
R(X, Y, Z, α) = α(R(X, Y )Z).
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